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FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E CIÊNCIA DE DADOS

Núcleo de Estudos de Econometria Aplicada

O ENTRELAÇAMENTO ENTRE O FUNDAMENTO ANTIGO E O USO MODERNO

Tutorial Analítico das Provas de Econometria (2020 – 2021)

Editor / Pesquisador: Dr. Ramon Gregório Silva
Área: Econometria Aplicada e Simulações Computacionais

Timóteo - MG
Outubro de 2026

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TUTORIAL DE ECONOMETRIA APLICADA

Resolucao Analitica e Computacional

Analise de Provas e Exames Intermediarios (Anos 2020 — 2021)

Topicos e Exames Cobertos no Tutorial:

EXAME 2020

Setor Publico vs. Privado

Vies de omissao, variaveis irrelevantes e equacao de Mincer.

EXAME 2021

Simulacoes & Inferencia

Metodo de Monte Carlo, testes t/F e propriedades de MQO.

■ Ambiente: RStudio / R Markdown

■ Ferramentas: htmltools + knitr

Editor: Dr. Ramon Gregorio Silva

Guia Academico de Econometria 2020-2021

ECONOMETRIA APLICADA 22 de Outubro de 2020 | 12h30 - 15h20

Exame Intermediario — ECN-6025

Prof. Bruce Shearer — Quebec, Canada

Questao 3

Setor Publico vs. Privado

Premio Salarial & Interacoes

Questao 4

Simulacao Monte Carlo

Vies de Omissao & Irrelevancia

Questao 5

Equacao de Mincer

Efeito Quadratico da Experiencia

MODELOS FORMULADOS NO EXAME

1) ln(salario) = β₀ + β₁·privado + β₂·educ + β₃·exper + u

2) ln(salario) = β₀ + β₁·privado + β₂·educ + β₃·exper + β₄·(privado·educ) + β₅·(privado·exper) + u

3) y = β₀ + β₁·educ + β₂·exper + β₃·exper² + ε

Traducao para o Portugues Brasileiro | Resolucao Econometrica Interativa

1 Questão 3 prova 2020

O governo do Québec solicita que você compare os salários dos empregados do setor público com os dos empregados do setor privado. Deseja-se saber se há um prêmio salarial para quemtrabalha no setor privado. Você dispõe de dados sobre o salário anual de trabalhadores empregados em tempo integral no Québec em 2010. Para cada indivíduo da base de dados, você também dispõe de informações sobre sua escolaridade (medida em anos), sua experiência (medida em anos) e se ele trabalhava no setor público ou no setor privado.

• 1. (5 pontos) Descreva um modelo de regressão que permita testar se, condicionalmente à escolaridade e à experiência, os salários dos empregados do setor privado são diferentes dos salários dos empregados do setor público. Observe que essa diferença salarial deve ser constante para quaisquer níveis de escolaridade e experiência. Defina todas as variáveis incluídas na regressão. Explique como você realizaria o teste.
• 2. (5 pontos) Descreva um modelo de regressão que permita testar se os efeitos da escolaridade e da experiência sobre os salários são diferentes entre o setor público e o setor privado. Explique como você realizaria o teste.
• 3. (10 pontos) Suponha que se deseje testar a hipótese nula de que a soma dos efeitos da escolaridade e da experiência sobre os salários é a mesma no setor público e no setor privado. Explique exatamente como fazer isso utilizando um teste t.

Análise Econométrica: Prêmio Salarial Público vs. Privado (Québec)

Item (a) - Diferença Salarial Constante entre Setores

Para testar o diferencial salarial mantendo o efeito constante para qualquer nível de escolaridade e experiência, especificamos o modelo sem termos de interação:

$$\ln(\text{salario}_i) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{privado}_i + \beta_2 \cdot \text{educ}_i + \beta_3 \cdot \text{exper}_i + u_i$$

Definição das Variáveis:

• ln(salario): Logaritmo natural do salário anual em tempo integral.
• privado: Variável dummy (1 = setor privado; 0 = setor público, categoria base).
• educ: Anos de escolaridade.
• exper: Anos de experiência profissional.
• u: Termo de erro aleatório.

O parâmetro β₁ captura a diferença percentual aproximada constante entre o setor privado e o público.

Procedimento do Teste t:

• Hipótese Nula (H₀): β₁ = 0 vs. Hipótese Alternativa (H₁): β₁ ≠ 0
• Estatística de teste: t = β̂₁ / SE(β̂₁)
• Intervalo de Confiança Completo: [β̂₁ - t_{α/2, n-k} · SE(β̂₁), β̂₁ + t_{α/2, n-k} · SE(β̂₁)]

Item (b) - Retornos Diferenciados por Setor (Modelo com Interação)

Para permitir que a escolaridade e a experiência tenham impactos distintos sobre o salário dependendo do setor, incluímos os termos de interação:

$$\ln(\text{salario}_i) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{privado}_i + \beta_2 \cdot \text{educ}_i + \beta_3 \cdot \text{exper}_i + \beta_4 \cdot (\text{privado}_i \cdot \text{educ}_i) + \beta_5 \cdot (\text{privado}_i \cdot \text{exper}_i) + u_i$$

Onde β₄ mede a diferença no retorno da escolaridade no setor privado em relação ao público, e β₅ mede a diferença no retorno da experiência.

Procedimento do Teste F (Restrições Múltiplas):

• Hipótese Nula (H₀): β₄ = 0 e β₅ = 0 (efeitos idênticos entre os setores)
• Hipótese Alternativa (H₁): β₄ ≠ 0 e/ou β₅ ≠ 0
• Estatística F: F = [(SSR_rest - SSR_unr) / 2] / [SSR_unr / (n - k)]

Item (c) - Teste t para a Soma dos Efeitos Marginalmente Iguais

Deseja-se testar se a soma dos retornos da escolaridade e experiência é igual entre o setor público (β₂ + β₃) e o privado ((β₂ + β₄) + (β₃ + β₅)).

A hipótese reduz-se a:

$$H_0: \beta_4 + \beta_5 = 0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \beta_4 + \beta_5 \neq 0$$

Construção do Teste t:

Defina θ = β₄ + β₅. Seu estimador é θ̂ = β̂₄ + β̂₅, com erro padrão dado por:

$$SE(\hat{\theta}) = \sqrt{\widehat{\text{Var}}(\hat{\beta}_4) + \widehat{\text{Var}}(\hat{\beta}_5) + 2 \cdot \widehat{\text{Cov}}(\hat{\beta}_4, \hat{\beta}_5)}$$

Estatística de teste t e Intervalo de Confiança Completo:

$$t = \frac{\hat{\beta}_4 + \hat{\beta}_5}{SE(\hat{\theta})} \quad \text{e} \quad IC_{95\%}(\theta) = [\hat{\theta} - t_{\alpha/2, n-k} \cdot SE(\hat{\theta}), \; \hat{\theta} + t_{\alpha/2, n-k} \cdot SE(\hat{\theta})]$$

Método Alternativo por Reparametrização:

Substituindo β₄ = θ - β₅ na equação, estima-se a regressão equivalente:

$$\ln(\text{salario}) = \beta_0 + \beta_1 \text{privado} + \beta_2 \text{educ} + \beta_3 \text{exper} + \theta (\text{privado} \cdot \text{educ}) + \beta_5 \cdot \text{privado} \cdot (\text{exper} - \text{educ}) + u$$

O coeficiente estimado da variável (privado · educ) fornecerá diretamente o valor de θ̂, seu erro padrão e o p-valor do teste t desejado.

2 Questão 4 2020

Considere o seguinte modelo de regressão:

yi = β0 +β1x1,i +εi, i =1,2,…,n, εi ∼ N(0,σ2), (4)

com E[ε | X1] = 0,

onde X1 = (ι x1) é uma matriz particionada.

Lembre-se de que ι é um vetor de uns e x1 é um vetor com os n valores de x1,i.

• 1. (15 pontos) Suponha que você queira investigar as consequências de estimar o modelo yi = β0 +β1x1,i +β2x2,i +εi, i =1,2,…,n, (5) sobre o estimador MQO de β1, quando os dados foram gerados por (4). Explique, passo a passo, como realizar um estudo de Monte Carlo para investigar as propriedades de b1, o estimador MQO de β1 nesse modelo. Você não precisa escrever os comandos de um programa, mas deve apresentar claramente as etapas da simulação de Monte Carlo. O que você espera dos resultados em relação ao viés de b1? É necessária uma demonstração formal.

library(knitr)

set.seed(42) # Reprodutibilidade

# 1. Parametros da Simulacao
n_obs <- 5000       # Numero de observacoes por amostra (n)
n_reps <- 100       # Numero de replicacoes de Monte Carlo (R)

beta_0_true <- 2.0
beta_1_true <- 1.5
sigma_true <- 1.0

# Vetores para armazenar as estimativas das replicacoes
b1_modelo1 <- numeric(n_reps)
b1_modelo2 <- numeric(n_reps)
b2_modelo2 <- numeric(n_reps)

# 2. Loop de Monte Carlo
for (i in 1:n_reps) {
  # Variaveis exogenas
  x1 <- rnorm(n_obs, mean = 5, sd = 2)
  x2 <- rnorm(n_obs, mean = 10, sd = 3) # Variavel fora do DGP (Irrelevante)
  epsilon <- rnorm(n_obs, mean = 0, sd = sigma_true)
  
  # Processo Gerador de Dados (DGP): Y NAO depende de x2
  y <- beta_0_true + beta_1_true * x1 + epsilon
  
  # Modelo 1: Correto (y ~ x1)
  reg1 <- lm(y ~ x1)
  b1_modelo1[i] <- coef(reg1)["x1"]
  
  # Modelo 2: Com Variavel Irrelevante (y ~ x1 + x2)
  reg2 <- lm(y ~ x1 + x2)
  b1_modelo2[i] <- coef(reg2)["x1"]
  b2_modelo2[i] <- coef(reg2)["x2"]
}

# 3. Funcao para calcular Media, Desvio Padrao e IC da Media de Monte Carlo
calc_stats_mc <- function(vetor, valor_verdadeiro) {
  media <- mean(vetor)
  dp <- sd(vetor)                                 # Desvio padrao amostral
  erro_padrao_mc <- dp / sqrt(length(vetor))      # Erro padrao da Média de Monte Carlo
  vies <- media - valor_verdadeiro
  
  # IC 95% para a MEDIA do estimador em Monte Carlo
  ic_inf <- media - 1.96 * erro_padrao_mc
  ic_sup <- media + 1.96 * erro_padrao_mc
  
  c(Media = media, Vies = vies, DP = dp, Erro_Padrao_MC = erro_padrao_mc, IC_Inf = ic_inf, IC_Sup = ic_sup)
}

res_m1_b1 <- calc_stats_mc(b1_modelo1, beta_1_true)
res_m2_b1 <- calc_stats_mc(b1_modelo2, beta_1_true)
res_m2_b2 <- calc_stats_mc(b2_modelo2, 0.0) # No DGP, o valor verdadeiro de beta_2 e 0

# 4. Criacao do Data Frame com Resultados e Intervalos de Confianca
tabela_resultados <- data.frame(
  Modelo = c("Modelo 1 (Correto: y ~ x1)", 
             "Modelo 2 (Com Irrelevante: y ~ x1 + x2)", 
             "Modelo 2 (Coeficiente de x2)"),
  Parametro = c("beta_1", "beta_1", "beta_2"),
  Valor_Verdadeiro = c(beta_1_true, beta_1_true, 0.0),
  Media_Estimada = round(c(res_m1_b1["Media"], res_m2_b1["Media"], res_m2_b2["Media"]), 5),
  Vies = round(c(res_m1_b1["Vies"], res_m2_b1["Vies"], res_m2_b2["Vies"]), 5),
  DP_Amostral = round(c(res_m1_b1["DP"], res_m2_b1["DP"], res_m2_b2["DP"]), 5),
  IC_95_Inf = round(c(res_m1_b1["IC_Inf"], res_m2_b1["IC_Inf"], res_m2_b2["IC_Inf"]), 5),
  IC_95_Sup = round(c(res_m1_b1["IC_Sup"], res_m2_b1["IC_Sup"], res_m2_b2["IC_Sup"]), 5)
)

# 5. Exibicao Final da Tabela Formatada com knitr::kable
kable(tabela_resultados, 
      col.names = c("Especificacao do Modelo", "Parametro", "Valor Real", "Media MC", "Vies", "DP Amostral", "IC 95% Inf", "IC 95% Sup"), 
      caption = "Resultados de Monte Carlo com Intervalo de Confianca da Media Estimada")

Resultados de Monte Carlo com Intervalo de Confianca da Media Estimada

Especificacao do Modelo	Parametro	Valor Real	Media MC	Vies	DP Amostral	IC 95% Inf	IC 95% Sup
Modelo 1 (Correto: y ~ x1)	beta_1	1.5	1.50003	0.00003	0.00612	1.49883	1.50123
Modelo 2 (Com Irrelevante: y ~ x1 + x2)	beta_1	1.5	1.50003	0.00003	0.00612	1.49883	1.50123
Modelo 2 (Coeficiente de x2)	beta_2	0.0	0.00057	0.00057	0.00443	-0.00030	0.00144

• 2. (10 pontos) Suponha que, a cada repetição do estudo de Monte Carlo em (b),1 você teste a hipótese nula H0 : β2 = 0 contra a alternativa Ha : β2 ̸ = 0, utilizando um teste t. Em que proporção das amostras geradas você espera rejeitar a hipótese nula? Explique.

library(knitr)

set.seed(42) # Reprodutibilidade

# 1. Parâmetros da Simulação
n_obs <- 5000       # Número de observações por amostra (n)
n_reps <- 100       # Número de réplicas de Monte Carlo (R)

beta_0_true <- 2.0
beta_1_true <- 1.5
sigma_true <- 1.0
nivel_significancia <- 0.05

# Vetor para armazenar se a hipótese nula foi rejeitada em cada réplica
rejeitou_h0 <- logical(n_reps)

# 2. Loop de Monte Carlo
for (i in 1:n_reps) {
  # Geração das variáveis
  x1 <- rnorm(n_obs, mean = 5, sd = 2)
  x2 <- rnorm(n_obs, mean = 10, sd = 3) # Variável irrelevante (beta_2 = 0 no DGP)
  epsilon <- rnorm(n_obs, mean = 0, sd = sigma_true)
  
  # Processo Gerador de Dados (Y não depende de x2)
  y <- beta_0_true + beta_1_true * x1 + epsilon
  
  # Estimação do modelo com a variável irrelevante
  reg <- lm(y ~ x1 + x2)
  
  # Extração do p-valor associado ao teste t do coeficiente de x2
  p_valor_x2 <- summary(reg)$coefficients["x2", "Pr(>|t|)"]
  
  # Rejeita H0 se o p-valor for menor que o nível de significância (0.05)
  rejeitou_h0[i] <- (p_valor_x2 < nivel_significancia)
}

# 3. Análise dos Resultados
total_rejeicoes <- sum(rejeitou_h0)
taxa_rejeicao <- total_rejeicoes / n_reps

# 4. Construção da Tabela Final
tabela_teste <- data.frame(
  Metrica = c(
    "Numero de Replicas (R)",
    "Tamanho da Amostra por Base (n)",
    "Nivel de Significancia Teorico (alfa)",
    "Total de Rejeicoes de H0 (p < 0.05)",
    "Proporcao Empirica de Rejeicao (Taxa de Erro Tipo I)"
  ),
  Resultado = c(
    n_reps,
    n_obs,
    paste0(nivel_significancia * 100, "%"),
    total_rejeicoes,
    paste0(taxa_rejeicao * 100, "%")
  )
)

# 5. Exibição da Tabela com knitr::kable
kable(tabela_teste, 
      col.names = c("Metrica da Simulacao", "Valor Observado"), 
      caption = "Desempenho do Teste t para H0: beta2 = 0 (Variavel Irrelevante)")

Desempenho do Teste t para H0: beta2 = 0 (Variavel Irrelevante)

Metrica da Simulacao	Valor Observado
Numero de Replicas (R)	100
Tamanho da Amostra por Base (n)	5000
Nivel de Significancia Teorico (alfa)	5%
Total de Rejeicoes de H0 (p < 0.05)	4
Proporcao Empirica de Rejeicao (Taxa de Erro Tipo I)	4%

3 Exercício Prático:

O Impacto do Viés de Omissão de VariáveisContexto do Problema:Imagine que o verdadeiro Processo Gerador de Dados (DGP) da variável dependente \(y_i\) seja influenciado simultaneamente por quatro fatores na população: \[y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1,i} + \beta_2 x_{2,i} + \beta_3 x_{3,i} + \beta_4 x_{4,i} + \varepsilon_i\]

Onde as variáveis omitidas (\(x_2, x_3, x_4\)) possuem correlação com a nossa variável de interesse \(x_1\).Se o pesquisador ignorar a teoria e estimar o modelo contendo apenas \(x_1\) (omitindo as demais), o que acontece com a estimativa e o viés de \(\beta_1\)?

Vamos testar isso empiricamente na simulação abaixo.

library(knitr)

set.seed(42) # Reprodutibilidade

# 1. Parâmetros da Simulação
n_obs_por_base <- 5000  # Tamanho da amostra por base
n_reps <- 100           # Réplicas de Monte Carlo

# Coeficientes populacionais verdadeiros
beta_0 <- 1.0
beta_1 <- 1.5   # O parâmetro alvo que queremos rastrear
beta_2 <- 2.0
beta_3 <- -1.0
beta_4 <- 0.5
sigma <- 1.0

# Vetores para armazenar as estimativas de b1 em cada especificação
b1_full     <- numeric(n_reps)
b1_no_x2    <- numeric(n_reps)
b1_no_x3    <- numeric(n_reps)
b1_no_x4    <- numeric(n_reps)
b1_no_x2_x3 <- numeric(n_reps)
b1_no_all   <- numeric(n_reps)

# 2. Loop de Monte Carlo
for (i in 1:n_reps) {
  # Geração das variáveis exógenas com correlação
  x1 <- rnorm(n_obs_por_base, mean = 5, sd = 2)
  x2 <- 0.5 * x1 + rnorm(n_obs_por_base, mean = 0, sd = 1)
  x3 <- -0.4 * x1 + rnorm(n_obs_por_base, mean = 0, sd = 1.5)
  x4 <- 0.3 * x1 + rnorm(n_obs_por_base, mean = 0, sd = 1)
  epsilon <- rnorm(n_obs_por_base, mean = 0, sd = sigma)
  
  # DGP Real (Depende de x1, x2, x3 e x4)
  y <- beta_0 + beta_1 * x1 + beta_2 * x2 + beta_3 * x3 + beta_4 * x4 + epsilon
  
  # Estimações (todas contendo x1)
  b1_full[i]     <- coef(lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4))["x1"]
  b1_no_x2[i]    <- coef(lm(y ~ x1 + x3 + x4))["x1"]
  b1_no_x3[i]    <- coef(lm(y ~ x1 + x2 + x4))["x1"]
  b1_no_x4[i]    <- coef(lm(y ~ x1 + x2 + x3))["x1"]
  b1_no_x2_x3[i] <- coef(lm(y ~ x1 + x4))["x1"]
  b1_no_all[i]   <- coef(lm(y ~ x1))["x1"]
}

# 3. Função para calcular estatísticas resumo
calc_stats <- function(vetor, valor_verdadeiro) {
  media <- mean(vetor)
  dp <- sd(vetor)
  vies <- media - valor_verdadeiro
  c(Media = media, Vies = vies, DP = dp)
}

res_full     <- calc_stats(b1_full, beta_1)
res_no_x2    <- calc_stats(b1_no_x2, beta_1)
res_no_x3    <- calc_stats(b1_no_x3, beta_1)
res_no_x4    <- calc_stats(b1_no_x4, beta_1)
res_no_x2_x3 <- calc_stats(b1_no_x2_x3, beta_1)
res_no_all   <- calc_stats(b1_no_all, beta_1)

# 4. Construção da Tabela Consolidada
tabela_resultados <- data.frame(
  Especificacao = c(
    "Modelo Completo (x1, x2, x3, x4)",
    "Omitindo apenas x2 (x1, x3, x4)",
    "Omitindo apenas x3 (x1, x2, x4)",
    "Omitindo apenas x4 (x1, x2, x3)",
    "Omitindo x2 e x3 (x1, x4)",
    "Omitindo Todas (Apenas x1)"
  ),
  Parametro = rep("beta_1", 6),
  Valor_Real = rep(beta_1, 6),
  Media_Estimada = round(c(
    res_full["Media"], res_no_x2["Media"], res_no_x3["Media"], 
    res_no_x4["Media"], res_no_x2_x3["Media"], res_no_all["Media"]
  ), 4),
  Vies = round(c(
    res_full["Vies"], res_no_x2["Vies"], res_no_x3["Vies"], 
    res_no_x4["Vies"], res_no_x2_x3["Vies"], res_no_all["Vies"]
  ), 4),
  Desvio_Padrao = round(c(
    res_full["DP"], res_no_x2["DP"], res_no_x3["DP"], 
    res_no_x4["DP"], res_no_x2_x3["DP"], res_no_all["DP"]
  ), 4)
)

# 5. Exibição da Tabela Final com knitr::kable
kable(tabela_resultados, 
      col.names = c("Especificacao do Modelo", "Parametro", "Valor Real", "Media Estimada", "Vies", "Desvio Padrao"), 
      caption = "Resultados Completos de Monte Carlo: Omissao Parcial e Total de Variaveis Relevantes")

Resultados Completos de Monte Carlo: Omissao Parcial e Total de Variaveis Relevantes

Especificacao do Modelo	Parametro	Valor Real	Media Estimada	Vies	Desvio Padrao
Modelo Completo (x1, x2, x3, x4)	beta_1	1.5	1.4981	-0.0019	0.0102
Omitindo apenas x2 (x1, x3, x4)	beta_1	1.5	2.5013	1.0013	0.0192
Omitindo apenas x3 (x1, x2, x4)	beta_1	1.5	1.8989	0.3989	0.0189
Omitindo apenas x4 (x1, x2, x3)	beta_1	1.5	1.6485	0.1485	0.0095
Omitindo x2 e x3 (x1, x4)	beta_1	1.5	2.9010	1.4010	0.0226
Omitindo Todas (Apenas x1)	beta_1	1.5	3.0500	1.5500	0.0178

Analise da Questao 5: Equacao de Mincer (Quebec)

Especificacao do Modelo

O Ministerio da Educacao propoe a estimacao do seguinte modelo para os salarios da amostra do Quebec:

yᵢ = β₀ + β₁·educᵢ + β₂·experᵢ + β₃·expersqᵢ + εᵢ

Onde expersqᵢ = experᵢ² representa a experiencia ao quadrado para capturar a curvatura salarial.

Item (a) - Interpretacao do Coeficiente da Escolaridade (β₁)

O coeficiente β₁ mede o retorno marginal da escolaridade sobre os salarios. Mantendo a experiencia e os demais fatores constantes (ceteris paribus), ele indica o acrescimo medio no salario proporcionado por cada ano adicional de estudo do individuo no Quebec.

Item (b) - Efeito da Experiencia sobre os Salarios

Como o modelo inclui a experiencia de forma quadratica, o efeito marginal da experiencia sobre o salario nao e constante, sendo dado por:

Efeito Marginal = β₂ + 2·β₃·experᵢ

Esse efeito e positivo inicialmente (devido a β₂ > 0), mas decresce ao longo do tempo (devido a β₃ < 0), refletindo a concavidade tipica do perfil de rendimentos ao longo da vida profissional.

Item (c) - Valor-p da Escolaridade e Teste de Hipotese

O valor-p associado ao coeficiente da escolaridade (β₁) e igual a 0.036 .

Como o valor-p (0.036) e menor do que o nivel de significancia padrao de 5% (α = 0.05), devemos rejeitar a hipotese nula H₀: β₁ = 0 . Isso demonstra que ha forte evidencia estatistica de que a escolaridade afeta de forma significativa os salarios.

Simulado Interativo — Prova Completa de Econometria

10 Questões Integrais • Até 3 tentativas por questão

Abrange Mínimos Quadrados Ordinários, Variáveis Instrumentais, Variáveis Dummy, Estudo de Monte Carlo e Inferência.

0 de 10 questões concluídas

Questão 01

Pendente

[Questão 1a - 5 pontos] Um pesquisador estima o modelo y = Xβ + ε sob a hipótese de que ε ~ N(0, I_nσ²).

Se o termo de erro não seguir uma distribuição normal, o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) será viesado para β?

A) A hipótese de normalidade dos erros é indispensável para garantir a não viesosidade do estimador de MQO em qualquer amostra. B) O estimador de MQO permanece não viesado para β desde que E[ε|X] = 0, sem necessitar da hipótese de normalidade dos erros. C) O viés dependerá do tamanho da amostra n; em amostras pequenas há viés, mas assintoticamente ele desaparece. D) A normalidade só afeta a consistência, garantindo que a variância convirja para zero. E) Sem normalidade, a matriz de covariância (X'X)⁻¹ deixa de ser inversível.

Lembre-se das hipóteses de Gauss-Markov. A não-viesosidade exige E[ε|X] = 0.

A normalidade dos erros é utilizada para inferência em amostras finitas (testes t e F), não para demonstrar E[b] = β.

Gabarito: ALTERNATIVA B

A propriedade de não-viesosidade do estimador de MQO, E[b^MQO] = β, depende apenas da hipótese de exogeneidade estrita, E[ε|X] = 0, e da ausência de multicolinearidade perfeita. A normalidade é exigida apenas para testes de hipóteses exatos em amostra finita.

Questão 02

Pendente

[Questão 1b - 5 pontos] Após estimar por MQO o modelo y_i = β₁x₁_i + β₂x₂_i + ε_i, um pesquisador observa que:

Σ (x_j,i e_i) = 0, para j = 1, 2

onde e_i representa o resíduo estimado. O pesquisador apresenta esse resultado como evidência favorável à exogeneidade e independência entre os erros e as explicativas. Ele tem razão?

A) O resultado demonstra matematicamente que a hipótese E[x'ε] = 0 é atendida nos dados. B) O resultado prova a ortogonalidade amostral, mas não garante a independência estocástica populacional. C) A ortogonalidade entre resíduos e regressores, Σ(x_j,i e_i) = 0, é uma propriedade mecânica das Condições de Primeira Ordem (CPO) do MQO, válida para qualquer amostra por construção algébrica. D) A ortogonalidade só ocorre quando a amostra é suficientemente grande e não há viés de variável omitida. E) O somatório só seria zero se a regressão contivesse um termo constante (intercepto).

Pense em como os resíduos e_i são obtidos na minimização da Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR).

As condições de primeira ordem de MQO impõem X'e = 0 por construção algébrica, independentemente de o modelo ser correto.

Gabarito: ALTERNATIVA C

O resultado Σ (x_j,i e_i) = 0 decorre diretamente das Condições de Primeira Ordem (CPO) de minimização da soma dos quadrados dos resíduos: X'e = X'(y - Xb) = 0. É uma identidade mecânica, e não um teste de exogeneidade.

Questão 03

Pendente

[Questão 1c - 5 pontos] Considere os modelos:

(2) y = X₁β₁ + X₂β₂ + ε

(3) P_Xy = X₁β₁ + X₂β₂ + ε

onde X = (X₁ X₂) e P_X = X(X'X)⁻¹X'. Os coeficientes estimados por MQO serão idênticos nos dois modelos?

A) Como P_X é a matriz de projeção no espaço de colunas de X, a aplicação do MQO ao modelo (3) resulta em b = (X'X)⁻¹X'P_Xy = (X'X)⁻¹X'y, que é idêntico ao estimador do modelo (2). B) Multiplicar a variável dependente pela matriz de projeção P_X altera a escala dos regressores e modifica os coeficientes. C) Serão idênticos apenas se X₁ e X₂ forem ortogonais entre si (X₁'X₂ = 0). D) P_X elimina a variância aleatória de y, alterando o valor esperado dos estimadores. E) Apenas se o modelo contiver um termo constante (intercepto).

Substitua a variável dependente y por P_Xy na fórmula do estimador de MQO b = (X'X)⁻¹X'y*.

Lembre-se de que a matriz de projeção P_X é simétrica e idempotente, satisfazendo X'P_X = X'.

Gabarito: ALTERNATIVA A

Como X' P_X = X', os coeficientes de MQO estimados no modelo (3) reduzem-se exatamente a b₍₂₎.

Questão 04

Pendente

[Questão 1d - 5 pontos] Considere novamente os modelos (2) y = X₁β₁ + X₂β₂ + ε e (3) P_Xy = X₁β₁ + X₂β₂ + ε.

Os resíduos estimados por MQO serão idênticos nos modelos (2) e (3)?

A) Como os coeficientes b são idênticos, os resíduos e = y - Xb obrigatoriamente se igualam. B) Serão idênticos se e somente se o erro ε tiver variância constante σ². C) A projeção P_X conserva a soma dos quadrados dos resíduos amostrais. D) No modelo (2) o resíduo é e₂ = M_Xy, enquanto no modelo (3) o resíduo é e₃ = M_XP_Xy = 0, pois M_XP_X = 0. E) Os resíduos do modelo (3) serão maiores devido ao efeito de alisamento da matriz P_X.

Expressar os resíduos usando a matriz de aniquilação M_X = I - P_X.

Calcule o produto entre M_X e P_X lembrando que P_XP_X = P_X.

Gabarito: ALTERNATIVA D

No modelo (3), os resíduos são dados por M_X(P_Xy) = 0, pois M_XP_X = 0, diferindo dos resíduos do modelo (2).

Questão 05

Pendente

[Questão 2a - 10 pontos] Considere o modelo y = Xβ + ε e uma matriz Z tal que E[ε | X, Z] = 0 e a matriz Z'X é definida positiva (e inversível).

Qual é a demonstração formal para a não-viesosidade do estimador instrumental simplificado b̃ = (Z'X)⁻¹ Z'y?

A) Como Z ≠ X, o estimador gera um viés assintótico de magnitude (Z'Z)⁻¹Z'X. B) Exige a premissa adicional de que Z'Z = I_n para cancelar os termos do numerador. C) A demonstração requer que a variância dos erros seja identicamente distribuída. D) O estimador converge para zero a menos que Z seja exatamente igual a X. E) Substituindo y = Xβ + ε, temos b̃ = (Z'X)⁻¹Z'(Xβ + ε) = β + (Z'X)⁻¹Z'ε. Aplicando a esperança condicional E[ε|X,Z]=0, o segundo termo se anula.

Substitua a equação do modelo populacional y = Xβ + ε diretamente na fórmula de b̃.

Aplique a Lei das Expectativas Iteradas sobre a esperança condicional E[ε | X, Z] = 0.

Gabarito: ALTERNATIVA E

Aplicando a esperança condicional E[ε | X, Z] = 0, demonstra-se que E[b̃] = β.

Questão 06

Pendente

[Questão 2b - 10 pontos] Sob as hipóteses da Questão 5 e assumindo homocedasticidade E[εε' | X, Z] = σ²I_n, compare a variância de b̃ = (Z'X)⁻¹ Z'y com a do estimador de MQO b = (X'X)⁻¹ X'y.

Por que b̃ é ineficiente em relação ao estimador de MQO?

A) Porque Var(b̃|X,Z) - Var(b|X) = σ² [(Z'X)⁻¹ Z'Z (X'Z)⁻¹ - (X'X)⁻¹], que é uma matriz semi-definida positiva pelo Teorema de Gauss-Markov. B) Porque o estimador b̃ é viesado em relação ao estimador de MQO. C) Porque a variância de b̃ depende da dimensão das variáveis omitidas, enquanto MQO possui variância nula. D) Porque MQO minimiza a covariância entre Z e X. E) Porque b̃ só é eficiente quando a matriz Z é não correlacionada com y.

Lembre-se do Teorema de Gauss-Markov: sob exogeneidade de X e erros esféricos, MQO é o Estimador Linear Não Viesado de Mínima Variância (BLUE).

Calcule a matriz de variância-covariância de b̃.

Gabarito: ALTERNATIVA A

Pelo Teorema de Gauss-Markov, o MQO é BLUE, o que torna qualquer outro estimador linear não viesado (como b̃) ineficiente em termos de variância.

Questão 07

Pendente

[Questão 3a/3b - 10 pontos] Para analisar o prêmio salarial do setor privado no Québec em 2010 com dados de salário (y), escolaridade (educ), experiência (exper) e uma dummy de setor privado (priv = 1 se privado, 0 se público):

Qual especificação permite testar se os efeitos marginais do retorno da escolaridade e da experiência são diferentes entre o setor público e o privado?

A) ln(y) = β₀ + β₁ educ + β₂ exper + β₃ priv + ε, testando a hipótese H₀: β₃ = 0. B) ln(y) = β₀ + β₁ educ + β₂ exper + β₃ priv + β₄ (priv × educ) + β₅ (priv × exper) + ε, testando a hipótese conjunta H₀: β₄ = 0 e β₅ = 0 por um teste F. C) ln(y) = β₀ + β₁ (educ / exper) + β₂ priv + ε, testando H₀: β₁ = 0. D) ln(y) = β₀ + β₁ educ + β₂ exper + ε, estimando regressões separadas sem termo constante. E) ln(y) = β₀ + β₁ (priv × educ × exper) + ε, usando teste t para o termo de interação tripla.

Para permitir que os inclinações (retornos marginais) variem entre grupos, é necessário incluir termos de interação com a dummy.

Diferenças simultâneas em múltiplos coeficientes de inclinação requerem um teste de restrições múltiplas (Teste F).

Gabarito: ALTERNATIVA B

Usa-se o modelo com interações e realiza-se um Teste F conjunto para H₀: β₄ = β₅ = 0.

Questão 08

Pendente

[Questão 3c - 10 pontos] No modelo interativo ln(y) = β₀ + β₁educ + β₂exper + β₃priv + β₄(priv × educ) + β₅(priv × exper) + ε, deseja-se testar a hipótese de que a soma dos efeitos da escolaridade e experiência é a mesma nos setores público e privado (H₀: β₄ + β₅ = 0).

Какo realizar esse teste usando um teste t?

A) Calcula-se t = (b₄ + b₅) / [DP(b₄) + DP(b₅)] diretamente da tabela de regressão. B) A hipótese H₀: β₄ + β₅ = 0 não pode ser testada via teste t, exigindo obrigatoriamente um teste Qui-Quadrado. C) Calcula-se t = (b₄ + b₅) / DP(b₄ + b₅), onde DP(b₄ + b₅) = √[Var(b₄) + Var(b₅) + 2Cov(b₄, b₅)]. D) Estimam-se os modelos separadamente e subtraem-se as estatísticas t individuais. E) Calcula-se t = (b₁ + b₂) / (b₄ + b₅) e compara-se com a distribuição normal padrão.

Lembre-se da fórmula para a variância da soma de duas variáveis aleatórias: Var(A + B) = Var(A) + Var(B) + 2Cov(A, B).

A estatística t para uma combinação linear c'β é dada por (c'b - r) / √[c' Var(b) c].

Gabarito: ALTERNATIVA C

A estatística t considera a estimativa da soma dividida pelo desvio-padrão correto, que inclui a covariância entre os coeficientes.

Questão 09

Pendente

[Questão 4a/4b - 15 pontos] Os dados populacionais são gerados pelo modelo y_i = β₀ + β₁x₁_i + ε_i (modelo 4). Um pesquisador estima o modelo incorreto y_i = β₀ + β₁x₁_i + β₂x₂_i + ε_i (modelo 5) e testa H₀: β₂ = 0 a um nível de significância α = 5%.

O que acontece com o viés de b₁ e qual é a taxa esperada de rejeição da hipótese nula H₀: β₂ = 0 no teste t?

A) O estimador b₁ é viesado porque x₂ foi incluída indevidamente, e a taxa de rejeição de H₀ será de 0%. B) O estimador b₁ é não viesado, mas a taxa de rejeição de H₀: β₂ = 0 será de 100% devido à super-especificação. C) O estimador b₁ será não viesado apenas se x₁ e x₂ forem perfeitamente correlacionadas. D) O estimador b₁ é não viesado (E[b₁] = β₁) e a taxa de rejeição de H₀: β₂ = 0 será exatamente igual ao nível de significância α (5%). E) A taxa de rejeição de H₀ será de 50%, pois β₂ = 0 é um parâmetro irrelevante.

Incluir uma variável irrelevante (cujo coeficiente verdadeiro β₂ = 0) afeta a não-viesosidade?

Quando H₀: β₂ = 0 é verdadeira, qual a definição do erro tipo I num teste de hipóteses com α = 0,05?

Gabarito: ALTERNATIVA D

Incluir variáveis irrelevantes não gera viés. Como H₀ é verdadeira por construção, a taxa de rejeição sob o teste t corresponde exatamente ao nível de significância de 5% (Erro Tipo I).

Questão 10

Pendente

[Questão 5 - 15 pontos] Considere a regressão de salários (y):

y = -0.3877 + 0.0850 · educ + 0.0338 · exper - 0.000661 · exper²

Estatísticas obtidas: educ (p = 0.036), exper (p = 0.000), expersq (p = 0.000). Considere as três afirmações abaixo:

• I. Um ano adicional de escolaridade aumenta o salário em aproximadamente 8,5%, sendo significante a 5% (p = 0.036).
• II. O efeito da experiência sobre o salário é côncavo (positivo a taxas decrescentes), atingindo ponto de máximo em exper ≈ 25,5 anos.
• III. Devemos rejeitar a hipótese nula H₀: β₁ = 0 ao nível de significância de 5%.

Qual das opções a seguir é a correta?

A) Apenas as afirmações I e III estão corretas. B) Apenas as afirmações II e III estão corretas. C) Todas as afirmações I, II e III estão corretas. D) Apenas a afirmação I está correta. E) Nenhuma das afirmações está correta.

Para o ponto de máximo da experiência, derive em relação a exper e iguale a zero: 0.033764 - 2(0.000661)exper = 0.

Compare o valor-p do coeficiente de escolaridade (0.036) com o nível de significância padrão α = 0.05.

Gabarito: ALTERNATIVA C (Todas Corretas)

Item I: Retorno de 8,5% (p = 0,036 < 0,05).

Item II: Efeito côncavo com máximo em exper* = 0,033764 / (2 × 0,000661) ≈ 25,54 anos.

Item III: Rejeita-se H₀: β₁ = 0 pois p-valor (0,036) < 0,05.

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