1 Ejercicio

Un comprador está negociando la adquisición de una materia prima con un nuevo proveedor. El comprador sabe que un nivel de calidad límite de 7.5% es bastante perjudicial para el proceso productivo, para lo cual le ha pedido al director de calidad que diseñe un plan que evite con una alta probabilidad que se acepten lotes con estas características. El director le informa que dicho plan es el siguiente:

Se toma una muestra de tamaño n=50 y se acepta hasta con 1 unidades y se rechaza con 2 o más.

según el enunciado tenemos: n=50 y c=1 El nivel de calidad límite indicado es: LTPD=0.075

1.1 Datos

# datos
n <- 50
c <- 1

# se supone un lote suficientemente grande para cuando se requiera un tamaño de lote
N <- 100000

# Nivel de calidad límite
LTPD <- 0.075

1.2 Ejercicio A

Presente un tablero grafico con la curva característica (OC), la curva AOQ y ATI correspondientes del plan.

1.2.1 Curva característica de operación OC

R// Para un plan binomial con n=50 y c=1 se evalúa la probabilidad de aceptación para valores de p entre 0 y 0.14.

# Artículos defectuosos
P <- seq(0.000, 0.140, 0.001)

# Probabilidad de aceptación
Pa <- pbinom(c, n, P, lower.tail = TRUE)

# Gráfica OC
plot(P, Pa,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Calidad de entrada",
     ylab = "Probabilidad de aceptación",
     main = "Curva característica de operación OC")
grid()

Se observa que la curva disminuye a medida que aumenta la cantidad de unidades defectuosas, con esto concluimos que un lote de peor calidad tiene menos probabilidad de ser aceptado.

1.2.2 Curva de calidad promedio de salida AOQ

R// Como se trabaja con un lote supuesto de N=100000 unidades y una muestra de n=50, se cumple: N−n/N ≈1, Por esto en el código se usa la aproximación.

# Calidad promedio de salida
AOQ <- Pa * P

# Máxima calidad promedio de salida
AOQL <- max(AOQ)

AOQL
## [1] 0.01669696
AOQL * 100
## [1] 1.669696
# Proporción de entrada del AOQL
P_AOQL <- P[which.max(AOQ)]

P_AOQL
## [1] 0.032

El máximo valor de la curva AOQ se denomina AOQL (Límite de calidad media de salida) y esta corresponde a la peor calidad promedio de salida que podría producir el plan.

plot(P, AOQ,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos (calidad de entrada)",
     ylab = "AOQ (calidad de salida)",
     main = "Curva AOQ")

# Línea AOQL
abline(h = AOQL,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 2)

# Línea sin inspección
lines(P, P,
      col = 3,
      lwd = 2,
      lty = 3)

legend("topright",
       legend = c("AOQ", "AOQL", "Sin inspección"),
       lty = c(1, 2, 3),
       col = c(1, 2, 3),
       lwd = 2,
       bty = "n")

grid()

Observamos que la AOQ aumenta a medida que empeora la calidad de entrada. Pero cuando la proporción de defectos es mayor, disminuye la probabilidad de aceptar los lotes, por lo que aumenta la cantidad de lotes sometidos a inspección rectificadora y la AOQ comienza a disminuir.

1.2.3 Curva de inspección total promedio ATI

R// Si el lote es aceptado, solamente se inspeccionan las n unidades de la muestra. Si el lote es rechazado, se supone inspección total del lote.

ATI <- n * Pa + N * (1 - Pa)

plot(P, ATI,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos (calidad de entrada)",
     ylab = "ATI (número esperado de unidades a inspeccionar)",
     main = "Curva ATI",
     ylim = c(0, N))

grid()

Observamos que cuando la calidad de entrada es buena, la mayoría de los lotes son aceptados y el ATI se aproxima al tamaño de la muestra. Pero a medida que aumenta la proporción defectuosa aumenta la probabilidad de rechazo y por lo tanto el ATI se acerca al tamaño total del lote.

1.3 Tablero gráfico

par(mfrow = c(1, 3))

# 1. Grafica OC
plot(P, Pa,
     type = "l",
     main = "OC",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "Pa"
)

# 2. Grafica AOQ
plot(P, AOQ,
     type = "l",
     main = "AOQ",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "AOQ (Calidad de Salida)",
     ylim = c(0, 0.018)
)

# AOQL: punto de peor calidad de salida.
abline(h = AOQL, col = 2, lwd = 2, lty = 2)

# Caso sin inspección (y = x)
lines(P, P, col = 3, lwd = 2, lty = 3)

legend(0.08, 0.010,
       legend = c("AOQ", "AOQL", "Sin inspección"),
       bty = "n",
       lty = c(1, 2, 3),
       col = c(1, 2, 3),
       lwd = 2,
       cex = 0.6
)

# 3. Grafica ATI
plot(P, ATI,
     type = "l",
     main = "ATI",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "ATI (Numero esperado de unidades a inspeccionar)",
     ylim = c(0, N)
)

par(mfrow = c(1, 1))

1.4 Ejercicio B

¿Cuál es la máxima proporción de unidades defectuosas que se espera obtener después de implementar el plan de muestreo?

R//

AOQL
## [1] 0.01669696
AOQL * 100
## [1] 1.669696
P_AOQL
## [1] 0.032

Tras aplicar el plan de muestreo, el peor promedio de calidad de salida esperado (AOQL) es de aproximadamente 1.67 %. Es decir, en el punto más desfavorable, se espera que esa sea la proporción máxima promedio de unidades defectuosas que salga del proceso.

1.5 Ejercicio C

Si la proporción de unidades defectuosas fuera del 7%, ¿Cuál sería el número de unidades que se espera inspeccionar?

R// Para una proporción defectuosa de p=0.07 primero se calcula la probabilidad de aceptación.

Pa_0.07 <- pbinom(c,
                  n,
                  0.07,
                  lower.tail = TRUE)

Pa_0.07
## [1] 0.1264935
Pa_0.07 * 100
## [1] 12.64935
ATI_0.07 <- n * Pa_0.07 +
  N * (1 - Pa_0.07)

ATI_0.07
## [1] 87356.97
plot(P, ATI,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "ATI",
     main = "ATI para p = 7%",
     ylim = c(0, N))

abline(v = 0.07,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 3)

abline(h = ATI_0.07,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 3)

grid()

Para un lote de 100 000 unidades, cuando la proporción de defectuosos llega al 7 %, el ATI esperado es de aproximadamente 87 357 unidades. La razón es que, con ese nivel de defectos, la probabilidad de aceptación es muy reducida, de modo que la mayoría de los lotes se rechazan y se someten a inspección total.

1.6 Ejercicio D

Encuentre el riesgo del comprador que se tendría con el plan propuesto por el director de calidad. ¿Es apropiado?

R// El riesgo del consumidor es β=P(aceptar∣LTPD): la probabilidad de aceptar un lote que tiene el nivel de calidad límite (7.5 %).

beta <- pbinom(c,
               n,
               LTPD,
               lower.tail = TRUE)

beta
## [1] 0.1025006
beta * 100
## [1] 10.25006
# Probabilidad rechazo
1 - beta
## [1] 0.8974994
(1 - beta) * 100
## [1] 89.74994

El riesgo del consumidor es de aproximadamente 10.25 %: esa es la probabilidad de aceptar un lote con 7.5 % de defectuosos. El plan rechaza el 89.75 % de esos lotes, lo que da buena protección al comprador, aunque todavía existe una chance de aproximadamente 1 en 10 de aceptar un lote malo.

1.7 Ejercicio E

Entre aumentar el tamaño de la muestra a 60 conservando el número de aceptación y conservar la muestra de 50 pero aceptando 0 defectos; ¿Cuál le recomendaría usted al director?

Se comparan los siguientes planes:

El primer plan es n=50,c=1. El segundo plan es aumentar la muestra a n=60 manteniendo c=1. El tercero es mantener n=50 pero aceptar únicamente cuando es c=0.

# Primer plan 
n1 <- 50
c1 <- 1

# Segundo plan: aumentar muestra a 60
n2 <- 60
c2 <- 1

# tercer plan: mantener n = 50 y aceptar 0 defectos
n3 <- 50
c3 <- 0

# Riesgo del consumidor para cada plan
beta_1 <- pbinom(c1,
                 n1,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_2 <- pbinom(c2,
                 n2,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_3 <- pbinom(c3,
                 n3,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_1
## [1] 0.1025006

Se evaluaron tres alternativas de plan de muestreo simple con el objetivo de reducir el riesgo del consumidor, manteniendo como referencia el plan inicial. Los resultados se resumen a continuación:

tabla_planes <- data.frame(
  Plan = c("Original",
           "Aumentar muestra",
           "Aceptar 0 defectos"),
  n = c(n1, n2, n3),
  c = c(c1, c2, c3),
  Beta = c(beta_1, beta_2, beta_3)
)

tabla_planes$Beta_porcentaje <-
  round(tabla_planes$Beta * 100, 2)

knitr::kable(
  tabla_planes,
  digits = 4,
  caption = "Comparación del riesgo del consumidor para los tres planes"
)
Comparación del riesgo del consumidor para los tres planes
Plan n c Beta Beta_porcentaje
Original 50 1 0.1025 10.25
Aumentar muestra 60 1 0.0545 5.45
Aceptar 0 defectos 50 0 0.0203 2.03

Al aumentar el tamaño de la muestra a 60 unidades manteniendo c=1, el riesgo del consumidor se reduce a aproximadamente 5.45 %. Por otra parte, conservando la muestra de 50 unidades pero aceptando únicamente cuando no se detecta ningún defectuoso (c=0), el riesgo disminuye a cerca de 2.03 %. Se recomienda adoptar el plan n=50,c=0, ya que ofrece la mayor protección al comprador (riesgo del consumidor de 2.03 %) sin necesidad de incrementar el tamaño de la muestra.

No obstante, es importante señalar que esta mejora en la protección al comprador conlleva un aumento del riesgo del productor: al ser más estricta la condición de aceptación, se incrementa la probabilidad de rechazar lotes que en realidad cumplen con el nivel de calidad aceptable.

2 Ejercicio

Una empresa ha encargado a cierto suministrador la fabricación de un elevado número de cierto componente electrónico. Para la adquisición del producto, la empresa realiza un muestreo para la aceptación. Los componentes vienen en lotes de tamaño 40.000. Se aceptarán aquellos lotes que contengan como máximo un 1% de artículos defectuosos. Para controlar que se verifica dicho nivel de calidad se toma una muestra de tamaño 1.500 y se acepta el lote si hay menos de 15 artículos defectuosos (con 15 o más se rechaza, con 14 o menos se acepta). Se pide: a. Calcular el riesgo del productor y el riesgo del consumidor si el nivel de calidad rechazable es 4 veces el nivel de calidad aceptable. ¿Qué opinión te merece el plan?

R// ### Datos

# Tamaño del lote
N <- 40000

# Tamaño de muestra
n <- 1500

# Se acepta con 14 o menos defectuosos
c <- 14

# Nivel de calidad aceptable
AQL <- 0.01

# Nivel de calidad rechazable
LTPD <- 4 * AQL

LTPD
## [1] 0.04

2.1 Riesgo del productor

El riesgo del productor (α) es la probabilidad de rechazar un lote que en realidad cumple con el nivel de calidad aceptable. Es decir, mide rechazar un lote bueno.

En este caso, el lote se acepta cuando aparecen 14 defectuosos o menos, por lo que se rechaza cuando hay 15 o más. Así, el riesgo del productor equivale a la probabilidad de que aparezcan 15 defectuosos o más, evaluada en el nivel de calidad aceptable (p=0.01).

Con un tamaño de muestra de 1500 unidades, el número esperado de defectuosos en ese punto es de 15.

lambda_AQL <- n * AQL

lambda_AQL
## [1] 15
# alpha = P(rechazar | AQL)
alpha <- 1 - ppois(c, lambda_AQL)

alpha
## [1] 0.5343463
alpha * 100
## [1] 53.43463

2.2 Riesgo del consumidor

El riesgo del consumidor (β) es la probabilidad de aceptar un lote cuando este presenta el nivel de calidad rechazable (LTPD). Mide la probabilidad de que el plan deje pasar un lote que debería rechazarse. En este caso, el lote se acepta cuando aparecen 14 defectuosos o menos, por lo que el riesgo del consumidor equivale a la probabilidad de que el número de defectuosos sea menor o igual a 14, evaluada en el nivel de calidad rechazable (p=0.04).

Con tamaño de muestra de 1500 unidades el número esperado de defectuosos es 60.

lambda_LTPD <- n * LTPD

lambda_LTPD
## [1] 60
# beta = P(aceptar | LTPD)
beta <- ppois(c, lambda_LTPD)

beta
## [1] 1.020276e-12
beta * 100
## [1] 1.020276e-10

2.3 Conclusión

El plan proteger al consumidor, pero es demasiado estricto con el productor. según los porcentajes, la probabilidad de que un lote sea rechazado, aun cuando cumple con el nivel de calidad aceptable del 1 %, es de aproximadamente 53.43 % lo cual muy alto para quien produce, En cambio, el riesgo del consumidor es prácticamente nulo porque si el lote presenta el nivel de calidad rechazable del 4 %, la probabilidad de aceptarlo es casi cero.

En conclusión, el consumidor está protegido, pero es un riesgo considerable para un productor que sí esté operando dentro del nivel de calidad aceptable.

3 Ejercicio

En una negociación entre proveedor y consumidor, se ha planteado la recepción de lotes de 500 unidades, sobre los cuales se aplica un plan de muestreo doble con los siguientes parámetros: (n1= 10; Ac1=0; Re1=2; n1= 20 Ac2=1; Re2=2). Se ha pactado como nivel de calidad aceptable el 5%. Se establece un periodo de prueba, para hacer definitivo el contrato, este periodo de prueba corresponde a los primeros 10 lotes recibidos. Si durante el periodo de prueba se rechazan al menos 2 lotes se cancela el contrato.

  1. Cuál es la probabilidad de que el contrato sea cancelado, aun cuando el productor está cumpliendo con los niveles de calidad pactados.

R//

3.1 Datos

N <- 500

# muestra 1
n1 <- 10
c1 <- 0
r1 <- 2

# muestra 2
n2 <- 20
c2 <- 1
r2 <- 2

# Nivel de calidad aceptable
AQL <- 0.05

3.2 Probabilidad de aceptación en la muestra 1

La aceptación inmediata del lote ocurre cuando en la primera muestra no se encuentra ningúno defectuoso, es decir, cuando d1=0. La probabilidad de que esto suceda se calcula considerando que el número de defectuosos en esa primera muestra sigue una distribución binomial con 10 unidades y una proporción de defectuosos del 5 %.

Pa1 <- dbinom(0, n1, AQL)

Pa1
## [1] 0.5987369
Pa1 * 100
## [1] 59.87369

3.3 Probabilidad de que pase a muestra 2

Se pasa a la segunda muestra únicamente cuando en la primera aparece exactamente un defectuoso (d1=1). En ese caso, la probabilidad de continuar con el muestreo coincide con la probabilidad de que la primera muestra arroje solo un defectuoso.

P_continuar <- dbinom(1, n1, AQL)

P_continuar
## [1] 0.3151247
P_continuar * 100
## [1] 31.51247

3.4 Probabilidad de que se acepte en la muestra 2

Si en la primera muestra ya apareció un defectuoso, el total acumulado permitido para aceptar sigue siendo uno. Para aceptar el lote, la segunda debe ser exactamente cero defectuosos. Se calcula considerando que el número de defectuosos en la segunda muestra sigue una distribución binomial con 20 unidades y una proporción de defectuosos del 5 %.

P_aceptar_segunda <- dbinom(0, n2, AQL)

P_aceptar_segunda
## [1] 0.3584859
P_aceptar_segunda * 100
## [1] 35.84859

Probabilidad de llegar y que sea aceptado

Pa2 <- P_continuar * P_aceptar_segunda

Pa2
## [1] 0.1129678
Pa2 * 100
## [1] 11.29678

R// Aproximadamente el 11.3 % de los lotes pasa a la segunda muestra y resulta aceptado en ella.

3.5 Probabilidad total de aceptación

Pa <- Pa1 + Pa2

Pa
## [1] 0.7117047
Pa * 100
## [1] 71.17047

3.6 Probabilidad de que se rechace un lote

Pr <- 1 - Pa

Pr
## [1] 0.2882953
Pr * 100
## [1] 28.82953

3.7 Probabilidad de que se cancele el contrato

Durante el periodo de prueba se reciben 10 lotes, y el contrato se cancela si se rechazan al menos 2 de ellos. Se define Y como el número de lotes rechazados en esos 10 lotes de prueba, que sigue una distribución binomial. Se quiere saber la probabilidad de que se rechacen 2 o más lotes.

P_cancelar <- 1 - pbinom(1, 10, Pr)

P_cancelar
## [1] 0.8315946
P_cancelar * 100
## [1] 83.15946

3.8 Conclusión

Cuando el productor cumple con el nivel de calidad acordado del 5 % de unidades defectuosas, el plan de muestreo doble acepta el lote en aproximadamente el 71.17 % de los casos y lo rechaza en el 28.83 %. Como durante el periodo de prueba se reciben 10 lotes y el contrato se cancela si se rechazan al menos 2, la probabilidad de que el contrato se cancele resulta de aproximadamente 83.16 %.

Significa que existe una probabilidad muy alta de cancelar el contrato incluso cuando el productor está cumpliendo con la calidad acordada. Por tanto, la condición del periodo de prueba es demasiado estricta para el productor porque el rechazo de lotes puede deberse a la variabilidad del muestreo y no a que el proveedor no estélo acordado.