Diágnostico del modelo: Gatos MASS

Author

Ángel Colli & Beatriz Lavadores

Librerias

library(MASS) #Libreria que contiene la base de gatos cats
library(ggplot2)
library(mosaic) 
library(nortest)
library(modeest)
library(knitr)
library(e1071)
library(patchwork)
library(kableExtra)
library(lmtest)
#se puede visualizar los datos con: cats

1. Introducción y planteamiento del problema

En este reporte se utilizará la base de datos mass disponible en R, que contiene la información de 144 gatos adultos: su sexo, el peso de su corazón y su peso corporal; todos con más de 2 kilogramos.

El propósito es analizar de que forma se relaciona el peso de cada gato (\(X=Bwt\), en kilogramos) con el peso de su corazon (\(Y=Hwt\), en gramos).

2. Análisis exploratorio de datos (AED)

Podemos analizar las variables de interés obteniendo los estadísticos y observando su dispersión.

Para X

favstats(~ Bwt, data = cats)
 min  Q1 median    Q3 max     mean        sd   n missing
   2 2.3    2.7 3.025 3.9 2.723611 0.4853066 144       0

Para Y

favstats(~ Hwt, data = cats)
 min   Q1 median     Q3  max     mean       sd   n missing
 6.3 8.95   10.1 12.125 20.5 10.63056 2.434636 144       0

Gráfico de dispersión

Podemos observar una relación directa ya que, a medida que el peso de los gatitos aumenta, el peso de su corazón también lo hace, aparentemente, de forma lineal.

3. Ajuste de regresión de Regresión Lineal simple

Estimación de los coeficientes

Verificamos el modelo en R para estudiar sus parámetros con lm():

modelo <- lm(Hwt ~ Bwt, data = cats)
summary(modelo)

Call:
lm(formula = Hwt ~ Bwt, data = cats)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-3.5694 -0.9634 -0.0921  1.0426  5.1238 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.3567     0.6923  -0.515    0.607    
Bwt           4.0341     0.2503  16.119   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.452 on 142 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6466,    Adjusted R-squared:  0.6441 
F-statistic: 259.8 on 1 and 142 DF,  p-value: < 2.2e-16
R-squared: Nótese que \(0.6466<0.7\) , por lo que el modelo no es del todo adecuado.

Intercepto \(\hat{\beta}_0\): -0.3567, lo cual indica que si el peso del gato fuese de 0kg, el peso de su corazón sería -0.3567 g; a forma de interpretación matemática, fuera del rango observado.

Con un \(p\)-valor de 0.607 y considerando \(\alpha=0.05\), por la prueba del intercepto, No rechazo \(H_0:\beta_0=0\)

El modelo exige no tener el parametro \(\beta_0\).

Pendiente: \(\hat{\beta_1}\): 4.0341. Lo cual indica que por cada kilo que el gatito aumente, se estima que el peso de su corazón aumenta, en promedio, 4.0341 gramos.

(Sin embargo, dadas las observaciones anteriores, vemos que es necesario reajustar el modelo).

Reajuste del modelo

Dado que el modelo no pasó la pruea del intercepto, es necesario reajustarlo.

MISHO <- lm(Hwt ~ Bwt-1, data = cats)
summary(MISHO)

Call:
lm(formula = Hwt ~ Bwt - 1, data = cats)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-3.4563 -0.9980 -0.1003  1.0044  5.2623 

Coefficients:
    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
Bwt  3.90711    0.04364   89.53   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.449 on 143 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9825,    Adjusted R-squared:  0.9823 
F-statistic:  8015 on 1 and 143 DF,  p-value: < 2.2e-16
Intercepto \(\hat{\beta}_0\): 0, lo cual indica que si el peso del gato fuese de 0kg, el peso de su corazón sería 0 g; a forma de interpretación matemática, fuera del rango observado.
Pendiente: \(\hat{\beta_1}\): 3.90711. Lo cual indica que por cada kilo que el gatito aumente, se estima que el peso de su corazón aumenta, en promedio, 3.90711 gramos.
R-squared: 0.9825, que es mayor a 0.7

Gráfica de dispersión del modelo reajustado

4. Diágnostico del modelo

Ahora, se evaluará los supuestos de residuos \(\varepsilon_i\), para comprobar que las inferencias estdisticas del modelo sean confiables.

Gráficos de diagnóstico estándar

Análisis detallado de los supuestos

  1. Normalidad de los errores (Q-Q Normal): Se puede observar que los puntos, en su mayoría se alinean muy bien con la gráfica punteada a excepción del 135, 140 y 144.

    Esto indica que aunque el supuesto de normalidad se cumple razonablemente de manera gráfica, aun así hay que tener especial atención con los datos atípicos.

  2. Puntos influyentes (Residuales vs Leverage): En el gráfico de residuales estandarizados se observa que la mayoría de los datos estan apegados a la gráfica punteada del centro. Sin embargo, destacan algunos casos con residuales estandarizados elevados, particularmente las observaciones 135,140 y 144; las cuales se consideran posiblemente como datos atípicos respecto al modelo MISHO.

  3. Homocedasticidad (Scale-Location): Se observa una ligera tendencia ascendente en la línea de suavizado, sin embargo, la dispersión de los puntos parece relativamente similar a lo largo de los valores ajustados, lo cual sugiere que el supuesto de homocedasticidad podría cumplirse.

  4. Independencia (Residuales vs Valores Ajustados): Los puntos de distribuyen al rededor de 0, aparentemente sin una relación entre ellos y de manera aleatoria, por lo que el supuesto de independencia podría descartarse.

5. Análisis de la variable respuesta

A continuación se hará un análisis exploratorio de la variable \(Y\) (Peso del corazón en gramos).

Al analizar la información de los cuartiles, se puede decir que el 25% de los gatitos tiene un corazón que pesa 8.950 gramos o menos. El 50% de los gatos, tiene un corazón que pesa a lo mucho 10.1 gramos y finalmente; el 75% de los gatos tiene un corazón con peso menor o igual a 12.25 gramos.

Indicadores de posición
Cuartiles
25% 8.950
50% 10.100
75% 12.125

De manera gráfica (caja de bigotes) se puede confirmar lo anteriormente señalado y, especialmente observar dos valores atípicos marcados en color café.

Indicadores descriptivos

Indicadores Descriptivos de peso (Hwt)
Estadístico Valor
Moda 10.10
Varianza 5.93
Desviación Estándar 2.43
Coeficiente de Variación (%) 22.90
Curtosis 1.03

La desviación estándar muestra que los pesos del corazón tienen una dispersión de 2.43 gramos alrededor de su media de 10.63 gramos. Asimismo, el coeficiente de variación (CV) es de 22.9%, indicando que los pesos del corazón tienen una variabilidad relativamente moderada pero menor a una tercera parte del peso promedio.

Por otro lado, el coeficiente de curtosis obtenido fue de 1.03. Al ser positivo, indica que la distribución presenta un exceso de curtosis respecto a la distribución normal, por lo que se podría clasificar como ligeramente leptocúrtica, que se validará más adelante con la prueba de normalidad correspondiente.

Valores atípicos

Mediante el método del rango intercuartílico (\(1.5\times IQR\)) podemos detectar la presencia de valores atípicos.

  1. Cálculo de cuartiles y rango intercuartílico
 
Q1 <- quantile(cats$Hwt, 0.25) 

Q3 <- quantile(cats$Hwt, 0.75) 

IQR_val <- IQR(cats$Hwt)
  1. Definir límites para calcular atípicos
 
limite_inferior <- Q1 - 1.5 * IQR_val 

limite_superior <- Q3 + 1.5 * IQR_val
  1. Identificar valores fuera de los límites
 
atipicos <- cats$Hwt[cats$Hwt < limite_inferior | cats$Hwt > limite_superior] 

atipicos 
[1] 17.2 20.5

Se observan dos valores potencialmente atípicos del peso del corazón de los gatitos, mismos que se han identificado anteriormente. En este caso, ahora sabemos que corresponden a 17.2 y 20.5 gramos. Estas observaciones se encuentran fuera de los límites establecidos por el método.

6. Supuesto de normalidad de los residuales

Planteamiento de las hipótesis

Sean:

\(H_0:\) Los residuales del modelo siguen una distribución normal
\(H_1:\) Los residuales del modelo NO siguen una distribución normal

Considerando la Regla de decisión: \(\alpha=0.05\):

  • Si \(p-valor>0.05\): No se rechaza \(H_0\)​. Se concluye que existe evidencia suficiente de que se cumple el supuesto de normalidad en los residuales.

  • Si \(p-valor≤0.05\): Se rechaza $H_0$​. Existen evidencias de que los residuales no se distribuyen de forma normal.

Prueba de Lilliefors

Debido a que el número de observaciones es mayor a 50, utilizamos la prueba de normalidad de Lilliefors.


    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo$residuals
D = 0.08343, p-value = 0.01577

Conclusión

Como el \(p-valor=0.01577\) es menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\), se rechaza la hipótesis nula; por lo cual existe evidencia estadística para decir que los residuales no siguen una distribución normal.

7. Supuesto de homocedasticidad

Planteamiento de las hipótesis

Sean:

\(H_0:\) Los residuales son homocedásticos (errores con varianza constante)

\(H_1:\) Los residuales son heterocedásticos.

Considerando la Regla de decisión: \(\alpha=0.05\):

  • Si \(p-valor>0.05\): No se rechaza \(H_0\)​. Se concluye que existe evidencia suficiente de que se cumple el supuesto de homocedasticidad.

  • Si \(p-valor≤0.05\): Se rechaza $H_0$​. Existen evidencias de heterocedasticidad.

Prueba de Breusch-Pagan

La prueba de Breusch Pagan original, requiere de un modelo con intercepto, sin embargo, el modelo MISHO es de la forma \(Y=\beta_1x\). Por lo tanto, se optó por realizar una adaptación.

#Prueba adaptada de Breusch-Pagan  
bptest(
  MISHO,
  varformula = ~ Bwt,
  data = cats)

    studentized Breusch-Pagan test

data:  MISHO
BP = 9.7665, df = 1, p-value = 0.001777

Observamos que el \(P-valor\) obtenido es de 0.001777 < 0,05. Así, rechazamos la hipótesis nula y nos quedamos con la alternativa, es decir, existe evidencia suficiente para asumir que el modelo presenta heterocedasticidad (varianza no constante), con una confianza del 95%

8. Supuesto de independencia

Planteamiento de las hipótesis

Sean:

\(H_0:p=0\) (errores independientes/no hay correlación en residuales)

\(H_1:p\neq0\) (Existe correlación entre los residuales).

Considerando la Regla de decisión: \(\alpha=0.05\):

  • Si \(p-valor>0.05\): No se rechaza \(H_0\)​. Se cumple el supuesto de independencia.

  • Si \(p-valor≤0.05\): Se rechaza $H_0$​. Existe autocorrelación entre residuales.

Prueba de Durbin-Watson

prueba_dw <- dwtest(MISHO) 

print(prueba_dw)

    Durbin-Watson test

data:  MISHO
DW = 1.5725, p-value = 0.0049
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

El \(P-valor\) obtenido en este caso es de 0.0049 < 0.05, por lo que, rechazamos la hipótesis nula y nos quedamos con la alternativa, es decir, con una confianza del 95%, existe evidencia suficiente para asumir que existe autocorrelación entre los residuales.

Gráfico de residuales seguidos por orden de observación

Conclusiones

  • El modelo no satisface ninguno de los 3 supuesto: (Normalidad, homocedasticidad, independencia).
  • No se probó el modelo con intercepto, pues tiene una \(R-quared<0.7\), además de no cumplir con la prueba del intercepto, por lo que no tiene sentido diagnosticar un modelo que no es bueno. 
  • Se sugiere intentar ajustes diferentes al modelo, como una transformación o algún otro tipo de alternativa.