Taller de distribuciones de probabilidad discretas

Problema 1

Sea X ~ Binomial(n = 10, p = 0.5). Determine la función de distribución, P(X = 5), P(X ≤ 2), P(3 ≤ X < 5), P(X ≥ 8) y construya la gráfica de f_X(x).

La función de probabilidad es f(x) = C(10, x)(0.5)^x(0.5)^10−x = C(10, x)/1024, para x = 0, 1, …, 10. La función de distribución es F(x) = Σ f(k), con k desde 0 hasta ⌊x⌋.

P(X = 5) = C(10, 5)(0.5)¹⁰ = 252/1024 = 0.2461

P(X ≤ 2) = F(2) = (1 + 10 + 45)/1024 = 56/1024 = 0.0547

P(3 ≤ X < 5) = P(X = 3) + P(X = 4) = (120 + 210)/1024 = 330/1024 = 0.3223

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = (45 + 10 + 1)/1024 = 56/1024 = 0.0547

Figura 1. Función de probabilidad de X ~ Binomial(10, 0.5)

Problema 2

Sea X ~ Geométrica(p = 0.05). Determine P(X = 1), P(X ≤ 2), P(X = 8), P(X ≥ 2) y construya la gráfica de f_X(x).

La definición de la variable cambia según el texto. Si X cuenta los fracasos antes del primer éxito (convención de R), f(x) = (0.95)^x(0.05), con x = 0, 1, 2, … Si X cuenta el ensayo en que ocurre el primer éxito, f(x) = (0.95)^x−1(0.05), con x = 1, 2, … Se presentan ambos resultados.

Figura 2. Función de probabilidad de X ~ Geométrica(0.05), con X = número de fracasos

Problema 3

Sea X ~ Hipergeométrica con N = 100, K = 20 y n = 4. Determine P(X = 1), P(X = 6), P(X ≥ 1), P(X = 4) y construya la gráfica de f_X(x).

La función de probabilidad es f(x) = C(20, x)·C(80, 4 − x)/C(100, 4), con C(100, 4) = 3 921 225.

P(X = 1) = C(20, 1)·C(80, 3)/C(100, 4) = 20(82 160)/3 921 225 = 0.4191

P(X = 6) = 0, porque la muestra tiene solo 4 elementos y no pueden salir 6 éxitos.

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C(80, 4)/C(100, 4) = 1 − 1 581 580/3 921 225 = 0.5967

P(X = 4) = C(20, 4)/C(100, 4) = 4 845/3 921 225 = 0.0012

Figura 3. Función de probabilidad de X ~ Hipergeométrica (N = 100, K = 20, n = 4)

Problema 4

Sea X ~ Poisson(λ = 4). Determine P(X = 0), P(X = 4), P(X ≥ 2), P(X ≤ 2) y construya la gráfica de f_X(x).

La función de probabilidad es f(x) = e⁻⁴4^x/x!

P(X = 0) = e⁻⁴ = 0.0183

P(X = 4) = e⁻⁴(256/24) = 0.1954

P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − e⁻⁴(1 + 4) = 1 − 5e⁻⁴ = 0.9084

P(X ≤ 2) = e⁻⁴(1 + 4 + 16/2) = 13e⁻⁴ = 0.2381

Figura 4. Función de probabilidad de X ~ Poisson(4)

Problema 5

Sea X ~ Binomial negativa con N = 100, K = 20 y n = 5. Determine P(X = 0), P(X = 6), P(X ≥ 10), P(X ≤ 12), E[X], V[X] y construya la gráfica de f_X(x).

Se toma r = n = 5 éxitos y probabilidad de éxito p = K/N = 20/100 = 0.2. X es el número de fracasos antes del quinto éxito, con f(x) = C(x + 4, x)(0.2)⁵(0.8)^x.

P(X = 0) = (0.2)⁵ = 0.00032

P(X = 6) = C(10, 6)(0.2)⁵(0.8)⁶ = 210(0.00032)(0.262144) = 0.0176

P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0.1298 = 0.8702

P(X ≤ 12) = Σ f(x), con x = 0, …, 12 = 0.2418

E[X] = r(1 − p)/p = 5(0.8)/0.2 = 20

V[X] = r(1 − p)/p² = 5(0.8)/0.04 = 100

Figura 5. Función de probabilidad de X ~ Binomial negativa (r = 5, p = 0.2)

Problema 6

En un cargamento grande de llantas, el 5% tiene imperfecciones. Se eligen al azar 4 llantas. Sea X el número de llantas con imperfecciones, X ~ Binomial(n = 4, p = 0.05). Calcule la probabilidad de que ninguna, solo una y una o más tengan imperfecciones.

P(X = 0) = C(4, 0)(0.05)⁰(0.95)⁴ = 0.8145

P(X = 1) = C(4, 1)(0.05)(0.95)³ = 4(0.05)(0.857375) = 0.1715

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.8145 = 0.1855

Problema 7

Los clientes llegan a una tienda según un proceso de Poisson con un promedio de ocho clientes por hora. Calcule la probabilidad de que entre las 8 AM y las 9 AM lleguen exactamente cinco clientes; de que entre las 2:30 PM y las 3:30 PM no lleguen más de tres; de que lleguen exactamente dos clientes en un intervalo de dos horas continuas; y el valor esperado de personas que llegan entre las 2 PM y las 4:30 PM.

La tasa es de 8 clientes por hora, así que para un intervalo de t horas, λ = 8t.

1. En una hora, λ = 8: P(X = 5) = e⁻⁸8⁵/5! = e⁻⁸(32 768/120) = 0.0916

2. En una hora, λ = 8: P(X ≤ 3) = e⁻⁸(1 + 8 + 32 + 85.333) = 126.333e⁻⁸ = 0.0424

3. En dos horas, λ = 16: P(X = 2) = e⁻¹⁶16²/2! = 128e⁻¹⁶ = 0.0000144

4. De 2:00 PM a 4:30 PM hay 2.5 horas, así que E[X] = 8(2.5) = 20 clientes.

Problema 8

Se espera una tasa de germinación del 90% en una variedad de maíz. Se plantan 20 semillas en condiciones idénticas. Si la cifra del 90% es correcta, ¿cuántas semillas se espera que germinen? Si solo germinan 15 o menos, ¿hay razón para sospechar de la cifra del 90%?

Sea X el número de semillas que germinan, X ~ Binomial(n = 20, p = 0.9).

E[X] = np = 20(0.9) = 18 semillas.

P(X ≤ 15) = Σ C(20, k)(0.9)^k(0.1)^20−k, con k = 0, …, 15 = 0.0432

Si la tasa fuera realmente del 90%, observar 15 semillas o menos tendría una probabilidad de apenas 4.32%, menor al 5%. Por eso sí hay razón para sospechar que la tasa de germinación es menor a la esperada.

Problema 9

Un examen de Probabilidad tiene 100 preguntas de selección múltiple con cuatro opciones cada una. María responde al azar y sus respuestas son independientes. Calcule la probabilidad de que apruebe si necesita al menos 60 correctas; la probabilidad de que deba responder 10 preguntas hasta acertar la primera; y el número esperado de preguntas erróneas hasta lograr 5 correctas.

En cada pregunta la probabilidad de acertar al azar es p = 1/4 = 0.25.

1. X = número de aciertos, X ~ Binomial(n = 100, p = 0.25). P(X ≥ 60) = 1 − P(X ≤ 59) = 1.33e-13, es decir, prácticamente cero.

2. Si Y es el número de la pregunta en que ocurre el primer acierto, P(Y = 10) = (0.75)⁹(0.25) = 0.0188

3. Si W es el número de errores antes del quinto acierto, W ~ Binomial negativa (r = 5, p = 0.25), con E[W] = r(1 − p)/p = 5(0.75)/0.25 = 15 preguntas erróneas.

Problema 10

El número medio de microorganismos por muestra de agua fue de 15. Suponiendo una distribución de Poisson, calcule la probabilidad de que la siguiente muestra contenga al menos 17 microorganismos, 18 o menos, y exactamente dos.

X ~ Poisson(λ = 15), con f(x) = e⁻¹⁵15^x/x!

P(X ≥ 17) = 1 − P(X ≤ 16) = 1 − 0.6641 = 0.3359

P(X ≤ 18) = Σ f(x), con x = 0, …, 18 = 0.8195

P(X = 2) = e⁻¹⁵15²/2! = 112.5e⁻¹⁵ = 0.0000344

Problema 11

Una aerolínea tiene aviones de 100 asientos y vende 105 tiquetes. La probabilidad de que una persona llegue al vuelo es 0.90. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas que lleguen tengan asiento?

Sea X el número de personas que llegan, X ~ Binomial(n = 105, p = 0.90). Todas tienen asiento si X ≤ 100.

P(X ≤ 100) = 1 − P(X ≥ 101) = 1 − Σ C(105, k)(0.9)^k(0.1)^105−k, con k = 101, …, 105

P(X ≤ 100) = 1 − 0.0167 = 0.9833

Problema 12

En un pavimento hay en promedio una grieta por cada 100 m. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 8 grietas en 500 m, ninguna grieta en 100 m, y menos de 2 grietas en 500 m.

La tasa es de 1 grieta por 100 m, así que λ = 1 para 100 m y λ = 5 para 500 m.

1. P(X = 8) = e⁻⁵5⁸/8! = 0.0653

2. P(X = 0) = e⁻¹ = 0.3679

3. P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = e⁻⁵(1 + 5) = 6e⁻⁵ = 0.0404

Problema 13

El 92% de los sensores supera la prueba final de calidad. Un ingeniero selecciona al azar 12 sensores por turno; los resultados son independientes. Identifique el modelo probabilístico, evalúe las directrices de la empresa y determine las decisiones que debería tomar.

Cada sensor aprueba o no aprueba, con probabilidad constante e independiente. Por tanto, si X es el número de sensores aprobados entre los 12 seleccionados, X ~ Binomial(n = 12, p = 0.92).

P(X = 12) = (0.92)¹² = 0.3677. P(X ≥ 11) = P(X = 11) + P(X = 12) = 0.7513. Que dos o más sensores no superen la prueba equivale a X ≤ 10, con probabilidad 0.2487. Finalmente, P(X < 10) = P(X ≤ 9) = 0.0652.

Se cumplen las cuatro condiciones de la empresa, así que debe aplicar las cuatro decisiones de la tabla.