Origen

Normal: Abraham de Moivre la encontró en 1733 al aproximar la binomial con muchos intentos. Pierre-Simon Laplace la generalizó (1812) y Carl Friedrich Gauss la usó en 1809 para errores de medición en astronomía (“campana de Gauss”). El teorema del límite central explica su omnipresencia: la suma de muchos efectos pequeños tiende a ser normal.

Normal estándar: nació de una necesidad práctica. Calcular áreas bajo la curva requería tablas; estandarizar permite usar una sola tabla para cualquier normal.

Características: Normal

• Variable: continua, \(X \in (-\infty, \infty)\). Parámetros: \(\mu\) (media) y \(\sigma > 0\) (desviación).
• Densidad: \[f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
• Acumulada: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\) (sin fórmula cerrada; se usa tabla o software).
• Esperanza: \(E(X) = \mu\) | Varianza: \(V(X) = \sigma^2\)
• Forma: campana simétrica; media = mediana = moda; puntos de inflexión en \(\mu \pm \sigma\).
• Regla empírica: 68% en \(\pm 1\sigma\), 95% en \(\pm 2\sigma\), 99.7% en \(\pm 3\sigma\).
• Propiedad: combinación lineal de normales independientes es normal.

Gráfico: regla 68-95-99.7

x <- seq(-3.5, 3.5, length.out = 400)
df <- data.frame(x = x, y = dnorm(x))

ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_area(data = subset(df, x >= -3 & x <= 3),
    aes(fill = "99.7% (±3σ)"), alpha = 0.35) +
  geom_area(data = subset(df, x >= -2 & x <= 2),
    aes(fill = "95% (±2σ)"), alpha = 0.55) +
  geom_area(data = subset(df, x >= -1 & x <= 1),
    aes(fill = "68% (±1σ)"), alpha = 0.85) +
  geom_line(color = "#1B5E20", linewidth = 0.8) +
  scale_fill_manual(values = c(
    "68% (±1σ)" = "#4CAF50",
    "95% (±2σ)" = "#81C784",
    "99.7% (±3σ)" = "#C8E6C9"),
    name = NULL) +
  scale_x_continuous(breaks = -3:3,
    labels = c("μ-3σ","μ-2σ","μ-1σ","μ",
               "μ+1σ","μ+2σ","μ+3σ")) +
  labs(x = "Desviaciones estándar", y = "f(x)") +
  theme_minimal(base_size = 8) +
  theme(legend.position = "bottom",
    legend.text = element_text(size = 7),
    legend.key.size = unit(0.25, "cm"))

Características: Normal estándar

• Definición: \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Se obtiene con \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\) (mide cuántas desviaciones del promedio).
• Densidad: \(\varphi(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}\) | Acumulada: \(\Phi(z) = P(Z \le z)\)
• \(E(Z) = 0\), \(V(Z) = 1\).
• Simetría: \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
• Uso: \(P(X \le x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\). Percentil: \(x = \mu + z\sigma\). Valores clave: \(z_{0.95} \approx 1.645\), \(z_{0.975} \approx 1.96\).

Gráfico comparativo

df_g <- data.frame(
  x = seq(-4, 20, length.out = 200),
  tipo = "X ~ N(8, 4)")
df_g$y <- dnorm(df_g$x, 8, 4)

df_s <- data.frame(
  x = seq(-3.5, 3.5, length.out = 200),
  tipo = "Z ~ N(0, 1)")
df_s$y <- dnorm(df_s$x, 0, 1)

df_c <- rbind(df_g, df_s)

ggplot(df_c, aes(x, y)) +
  geom_area(fill = "#81C784", alpha = 0.45) +
  geom_line(color = "#1B5E20", linewidth = 0.7) +
  facet_wrap(~tipo, scales = "free") +
  labs(title = "Z = (X − μ) / σ",
       x = "Valor", y = "Densidad") +
  theme_minimal(base_size = 8) +
  theme(strip.background = element_rect(
    fill = "#E8F5E9", color = "#1B5E20"),
    strip.text = element_text(
      face = "bold", size = 8, color = "#1B5E20"),
    plot.title = element_text(
      size = 9, face = "bold",
      hjust = 0.5, color = "#1B5E20"))

Aplicaciones

Normal: finanzas (retornos, riesgo), control de calidad (medidas), educación (notas), biología/medicina (estatura, presión arterial), ingeniería (errores), logística (demanda).

Normal estándar: tabla universal de probabilidades, puntajes \(z\) para comparar escalas, intervalos de confianza, pruebas de hipótesis, VaR.

Ejemplo: retorno de portafolio

Modelo: \(X \sim N(\mu = 8,\ \sigma = 12)\). (Valores ilustrativos).

Tres preguntas:

1. \(P(X<0)\): \(z = \frac{0-8}{12} = -0.667 \Rightarrow \Phi(-0.667) \approx 0.2525\) (~1 de cada 4 años).
2. \(P(X>15)\): \(z = \frac{15-8}{12} = 0.583 \Rightarrow 1 - \Phi(0.583) \approx 0.2798\).
3. VaR 95%: \(x_{0.05} = 8 + (-1.645)(12) \approx -11.74\%\).

mu <- 8; sigma <- 12
# Pregunta 1: P(X < 0)
z_0 <- (0 - mu) / sigma
cat("1. P(pérdida): z =", round(z_0, 3),
    "| P =", round(pnorm(z_0), 4), "\n")

#> 1. P(pérdida): z = -0.667 | P = 0.2525

# Pregunta 2: P(X > 15)
z_15 <- (15 - mu) / sigma
cat("2. P(X>15): z =", round(z_15, 3),
    "| P =", round(1 - pnorm(z_15), 4), "\n")

#> 2. P(X>15): z = 0.583 | P = 0.2798

# Pregunta 3: VaR 95%
var95 <- qnorm(0.05, mu, sigma)
cat("3. VaR 95%:", round(var95, 2), "%\n")

#> 3. VaR 95%: -11.74 %

# Crisis 2008
z_08 <- (-37 - mu) / sigma
cat("2008: z =", round(z_08, 2),
    "| P =", format(pnorm(z_08), digits=2),
    "\n")

#> 2008: z = -3.75 | P = 8.8e-05

# Gráfico con zona de pérdida sombreada
xr <- seq(mu-3.5*sigma, mu+3.5*sigma, len=300)
dfr <- data.frame(x = xr, y = dnorm(xr, mu, sigma))

ggplot(dfr, aes(x, y)) +
  geom_area(data = subset(dfr, x <= 0),
    fill = "#E57373", alpha = 0.6) +
  geom_area(data = subset(dfr, x > 0),
    fill = "#C8E6C9", alpha = 0.3) +
  geom_line(color = "#1B5E20", linewidth = 0.7) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "#C62828",
    linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  annotate("text", x = -12, y = 0.015,
    label = "P(X<0) ≈ 25.3%",
    color = "#C62828", fontface = "bold", size = 2.5) +
  annotate("text", x = 22, y = 0.028,
    label = "μ = 8%",
    color = "#1B5E20", fontface = "bold", size = 2.5) +
  labs(x = "Retorno anual (%)", y = "Densidad") +
  theme_minimal(base_size = 8) +
  theme(legend.position = "none")

Limitación

Referencias