DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR

Sergio Andres Amaya Soto

Teoría de Probabilidades
Origen y Fundamento Teórico

La distribución normal surge de la búsqueda de regularidades matemáticas en los errores de medición y procesos aleatorios colectivos:

  • 1733 - Abraham de Moivre: Deduce su formulación funcional al aproximar la probabilidad binomial para un gran número de lanzamientos (\(n \to \infty\)).
  • 1809 - Carl Friedrich Gauss: Demuestra que es la distribución óptima para minimizar la varianza de los errores en astronomía (de ahí el término Campana de Gauss).
  • 1812 - Pierre-Simon Laplace: Generaliza los hallazgos demostrando el teorema del límite para variables continuas, sentando las bases de la inferencia.
  • Teorema del Límite Central (TLC): Justifica su ubicuidad natural: la suma o promedio de un número grande de variables aleatorias independientes tiende siempre a una normal, cualquiera sea su distribución original.
Modelo Normal General \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

Variable aleatoria continua definida sobre toda la recta real \(X \in (-\infty, \infty)\). Caracterizada por dos parámetros:

μ ∈ \(\mathbb{R}\) Media / Centro

σ > 0 Desv. Estándar

σ² Varianza

Función de Densidad de Probabilidad:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

Función Acumulada:

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\]

  • Simetría axial: Perfectamente simétrica respecto a \(x = \mu\) (\(\text{Media} = \text{Mediana} = \text{Moda}\)). Asimetría \(\gamma_1 = 0\).
  • Puntos de inflexión: La curva pasa de cóncava a convexa exactamente en \(x = \mu \pm \sigma\).
  • Momentos principales: Valor Esperado \(E[X] = \mu\), Varianza \(\text{Var}(X) = \sigma^2\), Curtosis mesocúrtica (\(\beta_2 = 3\)).
  • Propiedad reproductiva: Si \(X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\) son independientes, cualquier combinación \(\sum c_i X_i\) es exactamente normal.
Regla Empírica (68.3% - 95.4% - 99.7%)

Toda distribución normal concentra su masa probabilística en proporciones universales alrededor de la media:

68.27% Intervalo [μ ± 1σ]

95.45% Intervalo [μ ± 2σ]

99.73% Intervalo [μ ± 3σ]

Distribución Normal Estándar \(Z \sim N(0, 1)\)

Caso canónico universal con media cero y desviación estándar unitaria (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)).

Transformación de Estandarización (Puntaje Z):

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad \Longleftrightarrow \quad X = \mu + Z\sigma\]

Mide cuántas desviaciones estándar dista una observación \(X\) del valor promedio \(\mu\), permitiendo comparar magnitudes en escalas heterogéneas.

  • Densidad Estándar sobre todo \(z \in \mathbb{R}\):

    • \[\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}\]

  • Función Acumulada:

    • \[\Phi(z) = P(Z \le z)\]

  • Simetría:

    • \[\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\]

  • Cálculo general:

    • \[P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)\]

  • Percentiles universales: En general, \(x=\mu + z\sigma\). \(z_{0.90} \approx 1.282\) | \(z_{0.95} \approx 1.645\) | \(z_{0.975} \approx 1.960\).
Estandarización en Acción

Mapea cualquier normal general \(X \sim N(\mu, \sigma)\) a la campana \(N(0, 1)\) preservando las probabilidades acumuladas bajo la curva:

Campos de Aplicación

Finanzas y Riesgo

Modelación de retornos de activos, carteras de Markowitz, cálculo de VaR y modelo Black-Scholes.

Control de Calidad

Metodología Six Sigma (\(6\sigma = 3.4\) DPMO), cartas Shewhart y tolerancia de procesos.

Medicina y Biometría

Rangos clínicos de referencia (tensión arterial, glucosa) y curvas antropométricas de crecimiento.

Evaluación y Psicometría

Estandarización de pruebas educativas (ICFES, Saber Pro), baremos de CI y puntajes \(Z\).

Caso Práctico: Rendimiento de Portafolio

Se modela el retorno anual \(X\) de un portafolio de inversión diversificado mediante una distribución normal:

μ = 8% Rendimiento Medio

σ = 12% Volatilidad Anual

25.3% Prob. de Pérdida

Claves:

  • Riesgo de pérdida anual:

    • \[Z = \frac{0 - 8}{12} = -0.67 \Rightarrow P(X < 0) = \Phi(-0.67) \approx 25.14\%\]

    Pese al retorno medio positivo (8%), aproximadamente 1 de cada 4 años el portafolio cerrará en negativo.

  • Valor en Riesgo (VaR al 95%):

    • \[x_{0.05} = 8 + (-1.645)(12) \approx -11.74\%\]

    En el 95% de los años, el retorno sería mejor que \(−11.74\%\); en 1 de cada 20 años sería peor.
Limitación: Colas Pesadas y Cisnes Negros

La ilusión de normalidad: En 2008 el S&P 500 se desplomó -37%. Bajo este modelo normal, \[Z = \frac{-37 - 8}{12} = -3.75\] cuya probabilidad teórica es \(P \approx 0.00009\) (un evento esperado apenas una vez cada 11.000 años).

En finanzas, los retornos presentan leptocurtosis (colas pesadas): las crisis y caídas extremas ocurren con muchísima mayor frecuencia de lo que anticipa la campana de Gauss. Se requiere complementar con modelos de valor extremo.

Referencias Bibliográficas
  1. de Moivre, A. (1738). The Doctrine of Chances (2.ª ed.). Woodfall.
  2. Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium. Perthes & Besser.
  3. Laplace, P. S. (1812). Théorie analytique des probabilités. Courcier.
  4. Walpole, R. et al. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson.
  5. Jorion, P. (2007). Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk (3.ª ed.). McGraw-Hill.
  6. S&P Dow Jones Indices. Retorno anual del S&P 500, 2008.
  7. Recurso docente 013: Modelos Continuos de Probabilidad.