Todas las respuestas usan funciones de R base (dbinom, pbinom, dgeom, dhyper, dpois, dnbinom, etc.).

Problema 1

\(X \sim \text{binom}(n = 10,\ p = 0.5)\)

n <- 10; p <- 0.5

# Función de distribución F(x) = P(X <= x)
x1 <- 0:10
tabla1 <- data.frame(x = x1,
                     f_x = round(dbinom(x1, n, p), 6),
                     F_x = round(pbinom(x1, n, p), 6))
knitr::kable(tabla1, caption = "Función de masa f(x) y función de distribución F(x)")
Función de masa f(x) y función de distribución F(x)
x f_x F_x
0 0.000977 0.000977
1 0.009766 0.010742
2 0.043945 0.054687
3 0.117188 0.171875
4 0.205078 0.376953
5 0.246094 0.623047
6 0.205078 0.828125
7 0.117188 0.945312
8 0.043945 0.989258
9 0.009766 0.999023
10 0.000977 1.000000 
mostrar("P(X = 5)", dbinom(5, n, p))
## P(X = 5)                                                   0.246094
mostrar("P(X <= 2)", pbinom(2, n, p))
## P(X <= 2)                                                  0.054687
mostrar("P(3 <= X < 5) = P(3 <= X <= 4)", sum(dbinom(3:4, n, p)))
## P(3 <= X < 5) = P(3 <= X <= 4)                             0.322266
mostrar("P(X >= 8)", 1 - pbinom(7, n, p))
## P(X >= 8)                                                  0.054688
grafica_fmp(x1, dbinom(x1, n, p), "Problema 1: f(x) Binomial(n = 10, p = 0.5)")

plot(stepfun(x1[-1], pbinom(x1, n, p)),
     main = "Problema 1: F(x) Binomial(n = 10, p = 0.5)",
     xlab = "x", ylab = "F(x)", verticals = FALSE, pch = 16)

Problema 2

\(X \sim \text{geom}(p = 0.05)\). Se usa la convención de R: \(X\) es el número de fracasos antes del primer éxito (\(x = 0, 1, 2, \dots\)).

p <- 0.05

mostrar("P(X = 1)", dgeom(1, p))
## P(X = 1)                                                   0.047500
mostrar("P(X <= 2)", pgeom(2, p))
## P(X <= 2)                                                  0.142625
mostrar("P(X = 8)", dgeom(8, p))
## P(X = 8)                                                   0.033171
mostrar("P(X >= 2)", 1 - pgeom(1, p))
## P(X >= 2)                                                  0.902500
x2 <- 0:60
grafica_fmp(x2, dgeom(x2, p), "Problema 2: f(x) Geométrica(p = 0.05)")

Problema 3

\(X \sim \text{hyper}(N = 100,\ n = 4,\ K = 20)\). En R: dhyper(x, m = K, n = N - K, k = tamaño de la muestra).

N <- 100; K <- 20; ntam <- 4
m <- K; nf <- N - K

mostrar("P(X = 1)", dhyper(1, m, nf, ntam))
## P(X = 1)                                                   0.419053
mostrar("P(X = 6)  (imposible: la muestra es de 4)", dhyper(6, m, nf, ntam))
## P(X = 6)  (imposible: la muestra es de 4)                  0.000000
mostrar("P(X >= 1)", 1 - phyper(0, m, nf, ntam))
## P(X >= 1)                                                  0.596662
mostrar("P(X = 4)", dhyper(4, m, nf, ntam))
## P(X = 4)                                                   0.001236
x3 <- 0:4
grafica_fmp(x3, dhyper(x3, m, nf, ntam),
            "Problema 3: f(x) Hipergeométrica(N = 100, n = 4, K = 20)")

Problema 4

\(X \sim \text{pois}(\lambda = 4)\)

lambda <- 4

mostrar("P(X = 0)", dpois(0, lambda))
## P(X = 0)                                                   0.018316
mostrar("P(X = 4)", dpois(4, lambda))
## P(X = 4)                                                   0.195367
mostrar("P(X >= 2)", 1 - ppois(1, lambda))
## P(X >= 2)                                                  0.908422
mostrar("P(X <= 2)", ppois(2, lambda))
## P(X <= 2)                                                  0.238103
x4 <- 0:15
grafica_fmp(x4, dpois(x4, lambda), "Problema 4: f(x) Poisson(lambda = 4)")

Problema 5

Binomial negativa con \(N = 100\), \(K = 20\), \(n = 5\). Se toma \(p = K/N = 0.2\) y size \(= 5\) éxitos. En R, \(X\) es el número de fracasos antes del éxito número size:

\[E[X] = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}\]

N <- 100; K <- 20; r <- 5
p <- K / N
mu <- r * (1 - p) / p

mostrar("P(X = 0)", dnbinom(0, size = r, prob = p))
## P(X = 0)                                                   0.000320
mostrar("P(X = 6)", dnbinom(6, size = r, prob = p))
## P(X = 6)                                                   0.017616
mostrar("P(X >= 10)", 1 - pnbinom(9, size = r, prob = p))
## P(X >= 10)                                                 0.870160
mostrar("P(X <= 12)", pnbinom(12, size = r, prob = p))
## P(X <= 12)                                                 0.241777
EX <- r * (1 - p) / p
VX <- r * (1 - p) / p^2
cat(sprintf("E[X] = %.4f\nV[X] = %.4f\n", EX, VX))
## E[X] = 20.0000
## V[X] = 100.0000
# Verificación: la parametrización con mu da el mismo resultado
all.equal(dnbinom(6, size = r, mu = mu), dnbinom(6, size = r, prob = p))
## [1] TRUE
x5 <- 0:80
grafica_fmp(x5, dnbinom(x5, size = r, prob = p),
            "Problema 5: f(x) Binomial negativa(size = 5, p = 0.2)")

Problema 6

\(X \sim \text{binom}(n = 4,\ p = 0.05)\)

n <- 4; p <- 0.05

mostrar("Ninguna con imperfecciones: P(X = 0)", dbinom(0, n, p))
## Ninguna con imperfecciones: P(X = 0)                       0.814506
mostrar("Solo una con imperfecciones: P(X = 1)", dbinom(1, n, p))
## Solo una con imperfecciones: P(X = 1)                      0.171475
mostrar("Una o más con imperfecciones: P(X >= 1)", 1 - pbinom(0, n, p))
## Una o más con imperfecciones: P(X >= 1)                   0.185494

Problema 7

Llegadas de clientes: Poisson con 8 clientes por hora. Para un intervalo de \(t\) horas, \(\lambda = 8t\).

tasa <- 8

mostrar("a) P(X = 5) en 1 hora", dpois(5, tasa * 1))
## a) P(X = 5) en 1 hora                                      0.091604
mostrar("b) P(X <= 3) en 1 hora", ppois(3, tasa * 1))
## b) P(X <= 3) en 1 hora                                     0.042380
mostrar("c) P(X = 2) en 2 horas (lambda = 16)", dpois(2, tasa * 2))
## c) P(X = 2) en 2 horas (lambda = 16)                       0.000014
cat(sprintf("%-58s %.4f\n", "d) E[X] de 2:00 PM a 4:30 PM (2.5 h)", tasa * 2.5))
## d) E[X] de 2:00 PM a 4:30 PM (2.5 h)                       20.0000

Problema 8

\(X \sim \text{binom}(n = 20,\ p = 0.9)\)

n <- 20; p <- 0.9

cat(sprintf("%-58s %.4f\n", "Semillas esperadas que germinen: E[X] = n*p", n * p))
## Semillas esperadas que germinen: E[X] = n*p                18.0000
mostrar("P(X <= 15)", pbinom(15, n, p))
## P(X <= 15)                                                 0.043174

Conclusión: si la tasa de germinación fuera realmente 90%, observar 15 o menos semillas germinadas tiene una probabilidad menor a 0.05. Por eso sí hay razón para sospechar de la cifra del 90%.

Problema 9

Cada pregunta se responde al azar con cuatro opciones, así que \(p = 0.25\).

p <- 0.25

mostrar("a) P(aprobar) = P(X >= 60), X ~ binom(100, 0.25)",
        1 - pbinom(59, 100, p))
## a) P(aprobar) = P(X >= 60), X ~ binom(100, 0.25)           0.000000
# 10 preguntas hasta la primera correcta = 9 fracasos y luego un éxito
mostrar("b) P(10 preguntas hasta la primera correcta) = dgeom(9, p)",
        dgeom(9, p))
## b) P(10 preguntas hasta la primera correcta) = dgeom(9, p) 0.018771
cat(sprintf("%-58s %.4f\n", "c) E[erróneas hasta 5 correctas] = 5(1-p)/p",
            5 * (1 - p) / p))
## c) E[erróneas hasta 5 correctas] = 5(1-p)/p               15.0000

Nota: la primera viñeta del enunciado menciona a “Juan”, pero se interpreta como María.

Problema 10

Número de microorganismos: Poisson con \(\lambda = 15\).

lambda <- 15

mostrar("a) P(X >= 17)", 1 - ppois(16, lambda))
## a) P(X >= 17)                                              0.335877
mostrar("b) P(X <= 18)", ppois(18, lambda))
## b) P(X <= 18)                                              0.819472
mostrar("c) P(X = 2)", dpois(2, lambda))
## c) P(X = 2)                                                0.000034

Problema 11

Se venden 105 tiquetes y cada persona llega con probabilidad 0.90, así que \(X \sim \text{binom}(105,\ 0.90)\). Todos los que lleguen tienen asiento si \(X \le 100\).

mostrar("P(X <= 100)", pbinom(100, size = 105, prob = 0.90))
## P(X <= 100)                                                0.983284

Problema 12

Una grieta por cada 100 m en promedio, es decir, \(\lambda = 1\) por cada 100 m y \(\lambda = 5\) por cada 500 m.

mostrar("a) P(X = 8) en 500 m (lambda = 5)", dpois(8, 5))
## a) P(X = 8) en 500 m (lambda = 5)                          0.065278
mostrar("b) P(X = 0) en 100 m (lambda = 1)", dpois(0, 1))
## b) P(X = 0) en 100 m (lambda = 1)                          0.367879
mostrar("c) P(X < 2) = P(X <= 1) en 500 m (lambda = 5)", ppois(1, 5))
## c) P(X < 2) = P(X <= 1) en 500 m (lambda = 5)              0.040428

Problema 13

\(X\) = número de sensores que aprueban entre los 12 seleccionados. Con ensayos independientes y probabilidad constante de éxito, el modelo es \(X \sim \text{binom}(n = 12,\ p = 0.92)\).

n <- 12; p <- 0.92

p_todos          <- dbinom(12, n, p)   # P(X = 12)
p_al_menos11     <- 1 - pbinom(10, n, p) # P(X >= 11)
p_2_o_mas_fallan <- pbinom(10, n, p)   # P(fallos >= 2) = P(X <= 10)
p_menos_de_10    <- pbinom(9, n, p)    # P(X < 10) = P(X <= 9)

resumen <- data.frame(
  Directriz = c("Los 12 aprueban: P(X = 12) > 0.35",
                "Al menos 11 aprueban: P(X >= 11) > 0.70",
                "2 o más no aprueban: P(X <= 10) > 0.20",
                "Menos de 10 aprueban: P(X <= 9) < 0.10"),
  Probabilidad = round(c(p_todos, p_al_menos11, p_2_o_mas_fallan, p_menos_de_10), 4),
  Se_cumple = c(p_todos > 0.35, p_al_menos11 > 0.70,
                p_2_o_mas_fallan > 0.20, p_menos_de_10 < 0.10),
  Decision = c("Reducir la frecuencia de inspecciones",
               "Clasificar el proceso como de alta confiabilidad",
               "Realizar revisión preventiva de los equipos",
               "Un resultado así sería señal de alerta: investigar el proceso")
)
knitr::kable(resumen, caption = "Evaluación de las directrices de la empresa")
Evaluación de las directrices de la empresa
Directriz Probabilidad Se_cumple Decision
Los 12 aprueban: P(X = 12) > 0.35 0.3677 TRUE Reducir la frecuencia de inspecciones
Al menos 11 aprueban: P(X >= 11) > 0.70 0.7513 TRUE Clasificar el proceso como de alta confiabilidad
2 o más no aprueban: P(X <= 10) > 0.20 0.2487 TRUE Realizar revisión preventiva de los equipos
Menos de 10 aprueban: P(X <= 9) < 0.10 0.0652 TRUE Un resultado así sería señal de alerta: investigar el proceso

Conclusión: las cuatro directrices se cumplen. La empresa debe reducir la frecuencia de inspecciones, clasificar el proceso como de alta confiabilidad y realizar la revisión preventiva de los equipos. Además, obtener menos de 10 sensores aprobados (probabilidad 0.0652) sería un evento raro que justificaría investigar las condiciones del proceso.