DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Sergio Andres Amaya Soto

Teoría de Probabilidades
Origen y Fundamento Teórico

La distribución de Poisson modela el número de veces que ocurre un evento discreto dentro de un intervalo continuo delimitado:

  • 1837 - Siméon Denis Poisson: La formula en su obra judicial al analizar la probabilidad binomial con número muy grande de intentos y probabilidad de éxito ínfima (\(n \to \infty, p \to 0\) con producto constante \(np = \lambda\)).
  • 1898 - Ladislaus von Bortkiewicz: La populariza mundialmente como la “Ley de los pequeños números” con su estudio empírico de las muertes accidentales por coces de caballo en 10 cuerpos de caballería del ejército prusiano.
  • Proceso de Poisson: Mecanismo estocástico continuo donde los sucesos acontecen de forma puntual, aleatoria e independiente a una tasa de intensidad media constante.
Modelo Poisson \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\)

Variable aleatoria discreta sobre el conjunto infinito numerable de conteo \(X \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}\). Regida por un único parámetro:

λ > 0 Tasa Media

E[X] = λ Esperanza

Var(X) = λ Varianza

Función de Probabilidad de Masa (FPM):

\[P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x \in \{0, 1, 2, \dots\}\]

Función de Distribución Acumulada (FDA):

\[F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]

  • Desviación estándar: \(\sigma = \sqrt{\lambda}\).
  • Equidispersión teórica: Coincidencia exacta entre media y varianza (\(E[X] = \text{Var}(X) = \lambda\)).
  • Moda: Si \(\lambda\) no es entero, ocurre en \(\lfloor\lambda\rfloor\); si es entero, existen dos modas en \(\lambda - 1\) y \(\lambda\).
Propiedades y Supuestos Clave

Condiciones necesarias para que un proceso aleatorio cumpla la distribución:

  • Independencia de incrementos: El número de eventos en intervalos disjuntos es estrictamente independiente (propiedad sin memoria).
  • Estacionariedad: La probabilidad de ocurrencia depende únicamente de la amplitud del intervalo y no de su ubicación temporal o espacial.
  • No simultaneidad (orden): Los sucesos acontecen de uno en uno; la probabilidad de ocurrencias simultáneas en un subintervalo infinitesimal es nula.
  • Propiedad reproductiva (aditividad): Si \(X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)\) y \(X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2)\) son independientes, entonces \(X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)\).
  • Límite de la Binomial: Si \(n \ge 20\) y \(p \le 0.05\), \(\text{Bin}(n, p) \approx \text{Poisson}(\lambda = np)\).
Evolución de la Forma según \(\lambda\)

La distribución experimenta una marcada transición estructural a medida que la tasa promedio \(\lambda\) se incrementa:

  • Valores bajos (\(\lambda = 1\)): Fuerte asimetría positiva a la derecha, con máxima masa concentrada en \(x = 0\) y \(x = 1\).
  • Valores medios (\(\lambda = 3\)): La moda se desplaza al centro y la campana se ensancha con sesgo moderado.
  • Valores altos (\(\lambda \ge 8\)): Por el Teorema del Límite Central, la distribución converge a una campana simétrica normal continua \(N(\mu = \lambda, \sigma^2 = \lambda)\).
Masa de Probabilidad para Distintos \(\lambda\)

Comparativa del comportamiento probabilístico con diferentes intensidades de llegada:

Campos de Aplicación

Modelo universal para el análisis de flujos y procesos de llegada en diversas ciencias:

Seguros y Actuaría

Modelado del número de siniestros o reclamos por póliza en un periodo para el cálculo de primas.

Banca y Ciberseguridad

Detección de fraudes con tarjetas por hora, solicitudes concurrentes y ciberataques a servidores.

Teoría de Colas

Llegada de llamadas a un call center o clientes a taquillas para optimizar el personal de servicio.

Salud e Industria

Casos epidemiológicos raros por semana, defectos de manufactura por lote y tráfico vehicular.

Caso Práctico: Reclamos Diarios en Aseguradora

Una empresa de seguros modela la cantidad de siniestros vehiculares recibidos al día para planear su capacidad de atención:

λ = 3 Reclamos Medios

σ ≈ 1.73 Desv. Estándar

8.39% Prob. Saturación

Claves:

  • Capacidad operativa: En el 91.6% de los días se reciben 5 o menos reclamos.

    • \[P(X \le 5) = \sum_{k=0}^5 \frac{e^{-3}3^k}{k!} \approx 0.9161\]

  • Riesgo de sobrecarga: En aproximadamente 1 de cada 12 días los reclamos superan la dotación estándar, justificando un equipo de contingencia.

    • \[P(X \ge 6) = 1 - F(5) \approx 8.39\%\]

  • Días sin siniestros: Apenas en un 5% de las jornadas no se registran reclamos.

    • \[P(X = 0) = e^{-3} \approx 0.0498\]

Limitación: Sobredispersión y Choques Colectivos

La ruptura de la independencia: Con \(\lambda = 3\), un día con 10 o más reclamos tiene probabilidad teórica \(P \approx 0.0011\) (1 día cada 900). Pero una tormenta de granizo o inundación genera docenas de reclamos de golpe.

En eventos de siniestralidad colectiva se viola el supuesto de independencia y tasa constante, generando sobredispersión (\(\text{Varianza} > \text{Media}\)). En esos casos, la Poisson subestima el riesgo extremo y se debe acudir a la distribución Binomial Negativa.

Referencias Bibliográficas
  1. Poisson, S. D. (1837). Recherches sur la probabilité des jugements. Bachelier.
  2. von Bortkiewicz, L. (1898). Das Gesetz der kleinen Zahlen. Teubner.
  3. Walpole, R. et al. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson.
  4. Klugman, S. A. et al. (2019). Loss Models: From Data to Decisions (5.ª ed.). Wiley.
  5. Recurso docente 013: Modelos Discretos de Probabilidad.