Distribución Binomial & Distribución Logística
📜 Reseña Histórica
La distribución binomial está estrechamente ligada a los trabajos de Jakob Bernoulli (1655–1705), quien estudió la repetición de ensayos con dos resultados posibles en Ars Conjectandi, obra publicada póstumamente en 1713. Sus investigaciones, motivadas en parte por problemas relacionados con los juegos de azar, permitieron formalizar el estudio del número de éxitos obtenidos al repetir varias veces un mismo experimento. La distribución binomial puede entenderse como una extensión natural del modelo Bernoulli de un ensayo a \(n\) ensayos.
📐 Definición y Características
Una variable con distribución binomial procede de un experimento binomial con las siguientes propiedades:
- El experimento consta de \(n\) ensayos.
- Cada ensayo tiene solo dos resultados: éxito (\(E\)) o fracaso (\(F\)).
- La probabilidad de éxito \(p\) es constante; la de fracaso es \(q = 1-p\).
- Los ensayos son independientes.
- \(X\) = número de éxitos en los \(n\) ensayos.
Función de probabilidad:
\[f(x) = P(X=x) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n\]
Función de distribución acumulada:
\[F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}\]
Esperanza y Varianza:
\[E[X] = np \qquad\qquad V[X] = np(1-p)\]
🌍 Aplicaciones Prácticas
- Ingeniería: número de componentes defectuosos en un lote, equipos que superan una prueba o procesos que cumplen una especificación.
- Finanzas: créditos que entran en mora, operaciones rentables dentro de un conjunto de transacciones o clientes que aceptan un producto financiero.
- General: encuestas, ensayos clínicos, mercadeo y cualquier conteo de éxitos entre \(n\) oportunidades.
💻 Funciones en R
| \(f(x)\) | \(F(x)\) | Cuantil \(X_p\) | Aleatorio |
|---|---|---|---|
| dbinom | pbinom | qbinom | rbinom |
📝 Ejemplo Desarrollado
Un sistema de seguridad para casas está diseñado para tener una confiabilidad del 90 %. Suponga que diez casas equipadas con este dispositivo sufrieron tentativa de robo. Calcular la probabilidad de que en exactamente 7 de las 10, la alarma se active.
Solución: \(X \sim \text{Binomial}(n=10,\; p=0.90)\)
\[P(X=7) = \binom{10}{7}\,(0.90)^7\,(0.10)^3 = 0.05740\]
# Código R dbinom(7, size = 10, prob = 0.90)
📊 Tabla de Probabilidades
| \(x\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|---|
| 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 1 | 0.000000 | 0.000000 |
| 2 | 0.000000 | 0.000000 |
| 3 | 0.000009 | 0.000009 |
| 4 | 0.000138 | 0.000147 |
| 5 | 0.001488 | 0.001635 |
| 6 | 0.011160 | 0.012795 |
| 7 | 0.057396 | 0.070191 |
| 8 | 0.193710 | 0.263901 |
| 9 | 0.387420 | 0.651322 |
| 10 | 0.348678 | 1.000000 |
# Generar la tabla en R x <- 0:10 fx <- dbinom(x, size = 10, prob = 0.90) Fx <- pbinom(x, size = 10, prob = 0.90) data.frame(x = x, fx = round(fx, 6), Fx = round(Fx, 6))
📜 Reseña Histórica
La distribución logística tiene sus raíces en los trabajos de Pierre-François Verhulst (1804–1849), matemático belga que en 1838 introdujo la ecuación logística para modelar el crecimiento de poblaciones. La función de distribución acumulada de la distribución logística es precisamente la curva sigmoide de Verhulst. Con el tiempo, la distribución se consolidó como modelo en áreas como fiabilidad, regresión logística y análisis de datos censurados, siendo una alternativa a la distribución normal con colas más pesadas.
📐 Definición y Características
Una variable aleatoria \(X\) tiene distribución logística con parámetro de localización \(\mu\) y parámetro de escala \(s > 0\) si su función de densidad y distribución acumulada están dadas por:
Función de densidad de probabilidad:
\[f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s\left(1 + e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}, \quad -\infty < x < \infty\]
Función de distribución acumulada (sigmoide):
\[F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(x-\mu)/s}}\]
Esperanza y Varianza:
\[E[X] = \mu \qquad\qquad V[X] = \frac{s^2\,\pi^2}{3}\]
La distribución logística estándar corresponde a \(\mu=0\), \(s=1\).
🌍 Aplicaciones Prácticas
- Regresión logística: modelar la probabilidad de un evento binario (compra/no compra, aprobado/reprobado) en función de variables predictoras.
- Crecimiento poblacional: la curva logística modela poblaciones que crecen con un límite de capacidad de carga.
- Ingeniería de fiabilidad: modelar tiempos de falla cuando se requiere mayor peso en las colas que la distribución normal.
- Ciencias sociales: modelos de elección discreta (logit), difusión de innovaciones y escalamiento psicométrico.
- Redes neuronales: la función sigmoide logística se utiliza como función de activación.
💻 Funciones en R
| \(f(x)\) | \(F(x)\) | Cuantil \(X_p\) | Aleatorio |
|---|---|---|---|
| dlogis | plogis | qlogis | rlogis |
📝 Ejemplo Desarrollado
El tiempo de respuesta (en segundos) de un servidor web se modela con una distribución logística con parámetros \(\mu = 5\) y \(s = 1.2\). Calcular la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea menor o igual a 4 segundos.
Solución: \(X \sim \text{Logística}(\mu=5,\; s=1.2)\)
\[P(X \le 4) = F(4) = \frac{1}{1 + e^{-(4-5)/1.2}} = \frac{1}{1 + e^{0.8333}} = 0.30298\]
# Código R plogis(4, location = 5, scale = 1.2)
📈 Comparación: Logística vs Normal
📉 Función de Distribución Acumulada (Sigmoide)
# Generar la CDF en R x <- seq(-1, 11, length.out = 500) Fx <- plogis(x, location = 5, scale = 1.2) plot(x, Fx, type = “l”, main = “CDF Logística”)