Distribución F de Fisher-Snedecor

Distribución Fde Fisher-Snedecor

El modelo que aparece cuando se divide una medida de variabilidad entre otra. Es la base para comparar varianzas y para el análisis de varianza.

Manuel Alejandro Vargas Imuez
Teoría de Probabilidades, Pontificia Universidad Javeriana Cali, 2026-2
Modelo continuo asignado

F
=
U / mU ~ χ² con m grados de libertad
V / nV ~ χ² con n grados de libertad

Dos chi-cuadrado independientes, cada una dividida por sus grados de libertad. Si las dos variabilidades son parecidas, el cociente queda cerca de 1.

Origen

En 1924 Ronald A. Fisher, trabajando en la estación agrícola de Rothamsted (Inglaterra), estudió la distribución de \(z=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(s_1^2/s_2^2\right)\) para comparar la variabilidad entre tratamientos de cultivo. De ahí nació el análisis de varianza.

En 1934 George W. Snedecor tabuló directamente el cociente de varianzas, que era más fácil de usar, y lo llamó F en honor a Fisher.

Cómo se construye

  • \(U\sim\chi^2_m\) y \(V\sim\chi^2_n\) son independientes.
  • Se divide cada una por sus grados de libertad.
  • El cociente \(X=\dfrac{U/m}{V/n}\) sigue una distribución \(F(m,n)\).
  • Caso más usado: si dos muestras normales de tamaños \(n_1\) y \(n_2\) vienen de poblaciones con igual varianza, \[\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,\;n_2-1)\]

Variable y parámetros

\(X\): cociente de dos varianzas (o de dos chi-cuadrado escaladas).

Rango: x > 0m: g. l. del numeradorn: g. l. del denominadorNotación: X ~ F(m, n)

El orden importa: \(F(m,n)\) y \(F(n,m)\) son distribuciones distintas. Es asimétrica a la derecha y se vuelve más concentrada alrededor de 1 cuando \(m\) y \(n\) crecen.

Función de densidad de probabilidad f(x)

\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{\Gamma\!\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\dfrac{m}{n}\right)^{m/2} \dfrac{x^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{\frac{m+n}{2}}}, & x>0\\[10pt] 0, & x\le 0 \end{cases} \]

La forma depende de los dos grados de libertad. Con \(m\) y \(n\) pequeños la cola derecha es larga; con valores grandes la curva se cierra alrededor de 1.

Función de distribución acumulada F(x)

\[ F(x)=P(X\le x)=I_{\frac{mx}{mx+n}}\!\left(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}\right),\quad x>0 \]

\(I\) es la función beta incompleta regularizada. No tiene forma cerrada, por eso se calcula con tablas o con pf() en R.

Valor esperado y varianza

\[E[X]=\frac{n}{n-2},\quad n>2\]

\[V[X]=\frac{2n^{2}(m+n-2)}{m\,(n-2)^{2}(n-4)},\quad n>4\]

La media solo depende del denominador y es un poco mayor que 1. La moda, \(\frac{m-2}{m}\cdot\frac{n}{n+2}\) (para \(m>2\)), es menor que 1: la distribución es asimétrica.

Propiedades clave

  • Recíproco: si \(X\sim F(m,n)\), entonces \(1/X\sim F(n,m)\).
  • Por eso, si \(f_{\alpha}(m,n)\) deja un área \(\alpha\) a su izquierda: \[f_{\alpha}(m,n)=\frac{1}{f_{1-\alpha}(n,m)}\]
  • Relación con la t: si \(T\sim t_n\), entonces \(T^2\sim F(1,n)\).
  • Límite: si \(n\to\infty\), \(mX\) se aproxima a \(\chi^2_m\).

Las tablas solo traen la cola derecha. La propiedad del recíproco es la que permite obtener la cola izquierda.

Aplicaciones

  • Control de calidad: comparar la precisión de dos máquinas, instrumentos o métodos de medición.
  • Análisis de varianza (ANOVA): probar si las medias de varios grupos o tratamientos son iguales.
  • Diseño de experimentos: evaluar qué factores afectan una variable de respuesta en un proceso.
  • Regresión: prueba de significancia global del modelo.
  • Finanzas: comparar la volatilidad de dos activos o portafolios.

Ejemplo: precisión de dos máquinas llenadoras

Una planta tiene dos máquinas que llenan botellas. Se toman 11 botellas de la máquina A y 16 de la máquina B. El volumen llenado sigue una distribución normal. Si las dos máquinas tuvieran la misma varianza, el cociente de varianzas muestrales cumpliría \[X=\frac{S_A^2}{S_B^2}\sim F(10,\,15)\]

Desarrollo

  • Valor esperado: \(\;E[X]=\dfrac{15}{13}=1.1538\)
  • Varianza: \(\;V[X]=\dfrac{2(15)^2(23)}{10\,(13)^2(11)}=0.5568\)
  • Valor que solo se supera el 5 % de las veces: \(\;f_{0.95}(10,15)=2.5437\)
  • Valor con 5 % a su izquierda, usando el recíproco: \(\;f_{0.05}(10,15)=\dfrac{1}{f_{0.95}(15,10)}=0.3515\)
  • En la muestra se obtuvo \(s_A^2=0.30\) ml² y \(s_B^2=0.10\) ml², o sea un cociente de \(3.00\): \[P(X\ge 3)=1-F(3)=0.0270\]

Código en R

m <- 10; n <- 15                 # g. l.: 11 - 1 y 16 - 1
n / (n - 2)                      # E[X]
#> [1] 1.153846
2*n^2*(m + n - 2) / (m*(n - 2)^2*(n - 4))   # V[X]
#> [1] 0.5567509
qf(0.95, m, n)                   # f_0.95(10, 15)
#> [1] 2.543719
qf(0.05, m, n)                   # f_0.05(10, 15)
#> [1] 0.3514918
1 / qf(0.95, n, m)               # mismo valor por el recíproco
#> [1] 0.3514918
cociente <- 0.30 / 0.10
pf(cociente, m, n, lower.tail = FALSE)   # P(X >= 3)
#> [1] 0.02703595

Lo que muestra el ejemplo

Si las máquinas fueran igual de precisas, un cociente de 3 o más solo aparecería en el 2.7 % de las muestras. Además, 3 supera el valor de 2.54.

Conclusión: la máquina A es más variable que la B y conviene revisarla o calibrarla.

Referencias

  1. Fisher, R. A. (1924). On a distribution yielding the error functions of several well-known statistics. Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto, 2, 805–813.
  2. Snedecor, G. W. (1934). Calculation and Interpretation of Analysis of Variance and Covariance. Ames: Collegiate Press.
  3. Johnson, N. L., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions (Vol. 2, 2.ª ed.). Wiley.
  4. Montgomery, D. C. y Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7.ª ed.). Wiley.
  5. Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L. y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson.
  6. R Core Team (2024). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing.