Distribución geométrica

Distribución geométrica

El modelo para contar cuántos intentos hay que hacer hasta conseguir el primer éxito.

Manuel Alejandro Vargas Imuez
Teoría de Probabilidades, Pontificia Universidad Javeriana Cali, 2026-2
Modelo discreto asignado

F1
F2
F3
F4
E5
X = 5

Cada círculo es un ensayo independiente. X es el número del ensayo donde aparece el primer éxito. Aquí: cuatro fracasos y un éxito.

Origen

La geométrica aparece con los primeros estudios de ensayos repetidos en los siglos XVII y XVIII. Blaise Pascal trabajó estos problemas a partir de los juegos de azar, y Jakob Bernoulli los formalizó en Ars Conjectandi (publicado en 1713), donde estudia sucesiones de ensayos con dos resultados posibles.

El nombre viene de que sus probabilidades forman una progresión geométrica: cada valor se obtiene multiplicando el anterior por \((1-p)\).

Cuándo aplica

La variable sale de una sucesión de ensayos Bernoulli que cumple:

  • Cada ensayo tiene solo dos resultados: éxito (E) o fracaso (F).
  • La probabilidad de éxito \(p\) es la misma en todos los ensayos.
  • Los ensayos son independientes.
  • Se repite hasta obtener el primer éxito.

Variable y parámetro

\(X\): número del ensayo en el que ocurre el primer éxito.

Rango: x = 1, 2, 3, …Parámetro: p ∈ (0, 1]Notación: X ~ Geo(p)
\(x\) Secuencia \(f(x)\)
1 E \(p\)
2 FE \(p(1-p)\)
3 FFE \(p(1-p)^2\)
\(x\) F…FE \(p(1-p)^{x-1}\)

Función de distribución de probabilidad f(x)

\[ f(x)=P(X=x)=\begin{cases} p\,(1-p)^{x-1}, & x=1,2,3,\ldots\\[4pt] 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

Para que \(X=x\), los primeros \(x-1\) ensayos deben ser fracasos y el ensayo \(x\) un éxito. Como los ensayos son independientes, las probabilidades se multiplican. La función siempre decrece: el valor más probable es \(x=1\).

Con \(p\) grande la probabilidad se concentra en los primeros ensayos; con \(p\) pequeño la cola es más larga.

Función de distribución acumulada F(x)

\[ F(x)=P(X\le x)=1-(1-p)^{x},\quad x=1,2,\ldots \]

Se deduce del complemento: \(P(X>x)=(1-p)^x\), es decir, que los primeros \(x\) ensayos sean fracasos.

Valor esperado y varianza

\[E[X]=\frac{1}{p}\qquad V[X]=\frac{1-p}{p^{2}}\]

Si el éxito ocurre con probabilidad \(p=0.2\), en promedio se necesitan \(1/0.2=5\) ensayos. Entre más pequeño es \(p\), más crece la varianza: la espera se vuelve más incierta.

Propiedad clave: falta de memoria

\[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\]

Haber fallado \(s\) veces no cambia la probabilidad de lo que falta esperar. El proceso “vuelve a empezar” en cada ensayo.

Es la única distribución discreta sin memoria. Su análoga continua es la exponencial.

Aplicaciones

  • Ingeniería y control de calidad: unidades inspeccionadas hasta encontrar la primera defectuosa.
  • Telecomunicaciones: número de transmisiones hasta que un paquete llega sin error.
  • Confiabilidad: ciclos de operación hasta la primera falla de un equipo.
  • Mercadeo y finanzas: contactos hasta la primera venta, operaciones hasta la primera ganancia.
  • Base de otros modelos: la suma de \(r\) geométricas independientes es una binomial negativa.

Ejemplo: inspección en una línea de producción

En una línea de producción cada unidad sale defectuosa con probabilidad \(p=0.05\), de manera independiente. El inspector revisa las unidades una por una. Sea \(X\) el número de la unidad en que aparece el primer defecto, entonces \(X\sim \text{Geo}(0.05)\).

Desarrollo

  • Primer defecto exactamente en la unidad 10: \(\;P(X=10)=0.05\,(0.95)^{9}=0.0315\)
  • Primer defecto a más tardar en la unidad 10: \(\;P(X\le 10)=1-0.95^{10}=0.4013\)
  • Unidades esperadas hasta el primer defecto: \(\;E[X]=\dfrac{1}{0.05}=20\)
  • Varianza: \(\;V[X]=\dfrac{0.95}{0.05^{2}}=380\), con desviación \(\sigma\approx 19.49\)
  • Si ya se revisaron 15 sin defecto, la probabilidad de que se necesiten más de 5 adicionales: \(\;P(X>20\mid X>15)=P(X>5)=0.95^{5}=0.7738\)

Código en R

p <- 0.05
dgeom(10 - 1, p)          # P(X = 10)
#> [1] 0.03151247
pgeom(10 - 1, p)          # P(X <= 10)
#> [1] 0.4012631
1 / p                     # E[X]
#> [1] 20
(1 - p) / p^2             # V[X]
#> [1] 380
sqrt((1 - p) / p^2)       # desviación estándar
#> [1] 19.49359
1 - pgeom(5 - 1, p)       # P(X > 5) = P(X > 20 | X > 15)
#> [1] 0.7737809
En R, dgeom y pgeom cuentan los fracasos antes del primer éxito (empiezan en 0). Por eso, para el número del ensayo, se usa x - 1.

Lo que muestra el ejemplo

Aunque en promedio se esperan 20 unidades, hay un 40 % de probabilidad de encontrar el defecto en las primeras 10. La distribución es muy asimétrica: los valores pequeños son los más probables.

\(P(X\le 20)=1-0.95^{20}=\) 0.6415: en casi dos de cada tres casos el defecto aparece antes de la media.

Referencias

  1. Bernoulli, J. (1713). Ars Conjectandi. Basilea: Thurneysen Brothers.
  2. Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Vol. 1, 3.ª ed.). Wiley.
  3. Montgomery, D. C. y Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7.ª ed.). Wiley.
  4. Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10.ª ed.). Pearson.
  5. Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L. y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson.
  6. R Core Team (2024). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing.