EXPONENCIAL

Modelo continuo: el tiempo de espera hasta el próximo evento

ESTUDIANTE

Jacobo Raffan Perez

1¿QUÉ ES?

Modela el tiempo de espera hasta que ocurre el próximo evento, cuando los eventos llegan al azar, de forma independiente y con una tasa promedio constante λ. Se escribe X ~ Exponencial(λ)

X es el tiempo (o distancia) hasta el siguiente evento: x ≥ 0
λ es la tasa: eventos por unidad de tiempo (λ > 0)
Si los eventos por hora son Poisson(λ), el tiempo entre eventos es Exponencial(λ)

2RESEÑA HISTÓRICA

En 1909 el matemático danés Agner Krarup Erlang, de la compañía telefónica de Copenhague, mostró que las llamadas que llegan al azar siguen una ley de Poisson y que el tiempo entre llamadas es exponencial. Su trabajo dio origen a la teoría de colas.

1878Nace A. K. Erlang

1909Teoría de llamadas telefónicas

1946El «erlang» es unidad internacional

3FUNCIÓN DE DENSIDAD E INDICADORES

f(x) = λ e^−λx, x ≥ 0 | F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^−λx

MEDIA

E[X] = 1λ

VARIANZA

V[X] = 1λ²

DESVIACIÓN

S = 1λ

MEDIANA

ln 2λ

Propiedad sin memoria: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Lo que ya esperaste no cambia lo que falta por esperar.

4GRÁFICA DE LA DENSIDAD f(x)

Siempre decrece: es más probable esperar poco que mucho.

5GRÁFICA DE LA ACUMULADA F(x)

P(evento antes del tiempo x). Siempre sube hacia 1.

6EJEMPLO RESUELTO

A una tienda llegan en promedio 8 clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 15 minutos sin que llegue ninguno? ¿Y el tiempo medio entre llegadas?

X = tiempo en horas entre llegadas: X ~ Exponencial(λ = 8), con 15 min = 0.25 h.

P(X > 0.25) = e^−8(0.25) = e⁻² = 0.1353

E[X] = 18 = 0.125 h = 7.5 minutos

7CÓDIGO EN R

# en R, rate = λ  |  P(X > 0.25)
pexp(0.25, rate = 8, lower.tail = FALSE)
# tiempo medio entre llegadas (horas)
1 / 8

Función	Qué calcula
dexp()	densidad f(x)
pexp()	F(x) = P(X ≤ x)
qexp()	cuantiles (percentiles)
rexp()	datos simulados

8RELACIONES CON OTROS MODELOS

Poisson: cuenta los eventos; la exponencial mide el tiempo entre ellos
Gamma: suma de k exponenciales = Gamma(k, λ)
Geométrica: su gemela discreta (también sin memoria)
Weibull: con forma 1 es exponencial

9APLICACIONES

ConfiabilidadVida útil de componentes sin desgaste

Servicios y colasTiempo entre llegadas de clientes o llamadas

FinanzasTiempo hasta el próximo incumplimiento

Fuentes: material del curso, Unidad 3 · Erlang (1909) · Elaboración propia con RModelo continuo asignado · 9038927