BINOMIAL

1¿QUÉ ES?

Cuenta cuántos éxitos se obtienen al repetir n veces el mismo experimento de dos resultados posibles: éxito o fracaso. Se escribe X ~ Binomial(n, p)

• Hay un número fijo de ensayos (n)
• Cada ensayo solo tiene dos resultados: éxito o fracaso
• La probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos
• Los ensayos son independientes

2RESEÑA HISTÓRICA

Lleva el nombre del matemático suizo Jakob Bernoulli. En su obra Ars Conjectandi, publicada después de su muerte, estudió la repetición de ensayos con dos resultados, motivado en parte por los juegos de azar. La binomial es la extensión natural del modelo Bernoulli (un ensayo) a n ensayos.

4GRÁFICA DE f(x)

Con n = 10: si p es pequeña la forma se carga a la izquierda; con p = 0.5 es simétrica; si p es grande se carga a la derecha.

5RELACIONES CON OTROS MODELOS

• Bernoulli: es la binomial con n = 1
• Suma: la suma de n Bernoulli(p) independientes es Binomial(n, p)
• Poisson: con n grande y p pequeña se aproxima con λ = np
• Hipergeométrica: es la binomial pero sin reemplazo; se parecen si la población es muy grande
• Normal: con n grande se aproxima con media np y varianza np(1 − p)

6EJEMPLO RESUELTO

El 92 % de los sensores fabricados supera la prueba final. Si se revisan 12 sensores, ¿cuál es la probabilidad de que los 12 la superen? ¿Y de que al menos 11 la superen? (f(11) = 0.38365 y f(12) = 0.36767)

Sea X el número de sensores que superan la prueba: X ~ Binomial(n = 12, p = 0.92)

7CÓDIGO EN R

# P(X = 12)
dbinom(12, size = 12, prob = 0.92)
# P(X >= 11)
1 - pbinom(10, size = 12, prob = 0.92)