Variables aleatorias y distribuciones discretas para la toma de decisiones

De las reglas de probabilidad a los modelos binomial, Poisson e hipergeométrico

Pregunta orientadora. Si conocemos las reglas mediante las cuales ocurre un fenómeno aleatorio, ¿cómo podemos anticipar sus resultados para tomar mejores decisiones empresariales?

Propósitos de aprendizaje

Al terminar este material podrás:

1. Definir variables aleatorias discretas y construir distribuciones válidas de probabilidad.
2. Derivar e interpretar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.
3. Deducir el modelo binomial usando la multiplicación de eventos independientes y las combinaciones.
4. Entender Poisson como un modelo de conteos por intervalo y como límite de la binomial.
5. Deducir la hipergeométrica a partir de las combinaciones en muestras sin reemplazo.
6. Reconocer los supuestos del modelo y formular conclusiones útiles para la gestión.

Ruta de trabajo en cada problema: (1) Defina \(X\) y su unidad; (2) identifique los datos y supuestos; (3) justifique el modelo; (4) plantee el evento con símbolos; (5) calcule manualmente; (6) compruebe en R; (7) interprete el resultado y diga qué decisión informaría.

1. De los eventos a las variables aleatorias

1.1. ¿Por qué una variable aleatoria?

En probabilidad ya hemos analizado eventos como un cliente compra (\(C\)) o un cliente no compra (\(N\)). Supongamos tres visitas: los posibles resultados ordenados son

\[\Omega=\{CCC,CCN,CNC,NCC,CNN,NCN,NNC,NNN\}.\]

Pero para la administración es más útil preguntar: ¿cuántas compras hubo? Definimos

\[X=\text{número de clientes que compran entre tres visitas}.\]

Resultado	\(X\)
NNN	0
CNN, NCN, NNC	1
CCN, CNC, NCC	2
CCC	3

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado del experimento. Una variable aleatoria discreta tiene un conjunto de valores posibles finito o numerable: \(0,1,2,\ldots\); no debe confundirse con una variable categórica codificada mediante números.

En el entorno empresarial pueden ser variables discretas el número de devoluciones, documentos faltantes, facturas vencidas, clientes que compran o llamadas atendidas.

1.2. Distribución de probabilidad

La función de probabilidad de \(X\) es \(f(x)=P(X=x)\). Para ser válida necesita:

\[0\leq f(x)\leq1\qquad\text{y}\qquad\sum_x f(x)=1.\]

Para eventos como \(X\geq2\), se suman las probabilidades de todos los valores compatibles (eventos mutuamente excluyentes). Para por lo menos uno, el complemento suele facilitar el cálculo: \(P(X\geq1)=1-P(X=0)\).

Ejemplo guiado 1. Productos adicionales en comercio electrónico

Una tienda registra cuántos productos adicionales compra un cliente:

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X=x)\)	0.40	0.35	0.20	0.05

Verificación: \(0.40+0.35+0.20+0.05=1\).

Pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que compre dos o más productos adicionales?

\[P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.05=0.25.\]

Interpretación: en este modelo, uno de cada cuatro clientes aproximadamente compraría dos o más productos adicionales, al considerar un número grande de casos semejantes.

valores <- 0:3
probabilidades <- c(0.40, 0.35, 0.20, 0.05)
sum(probabilidades)                    # Verificar distribución

## [1] 1

sum(probabilidades[valores >= 2])    # P(X >= 2)

## [1] 0.25

barplot(probabilidades, names.arg = valores,
        col = "#990000", border = NA,
        main = "Probabilidad de productos adicionales",
        xlab = "Número de productos", ylab = "Probabilidad",
        ylim = c(0, 0.50))

Ejercicios 1–5. Variables y funciones de probabilidad

Instrucción común: identifique \(X\) y sus valores, verifique la distribución, calcule a mano y con R, e interprete.

1. Administración — quejas. El número de quejas por jornada toma valores \(0,1,2,3,4\) con probabilidades \(0.18,0.32,0.27,0.15,0.08\). Calcule \(P(X=2)\), \(P(X\leq1)\) y \(P(X\geq3)\).

2. Contaduría — facturas. Una factura presenta \(0,1,2\) o \(3\) inconsistencias con probabilidades \(0.72,0.18,0.08,0.02\). Determine \(P(X>1)\) y \(P(X\geq1)\).

3. Economía — ajustes de precios. Durante un trimestre el número de ajustes en el precio de un producto puede ser \(0,1,2,3\). Las primeras probabilidades son \(0.30,0.40,0.20\). Halle \(P(X=3)\) y justifique que la distribución es válida.

4. Negocios internacionales — documentos. En una operación el número de documentos faltantes toma valores \(0,1,2,3,4\) con probabilidades \(0.55,0.25,0.12,0.06,0.02\). Calcule \(P(X\leq1)\) y \(P(X\geq2)\).

5. Administración — solicitudes de servicio. El número de solicitudes adicionales por cliente toma los valores \(0,1,2,3,4\) con probabilidades \(0.30,0.28,0.22,0.15,0.05\). Construya una tabla y un gráfico de barras en R; calcule \(P(X\geq3)\) y \(P(1\leq X\leq3)\).

2. Valor esperado y varianza: ¿cuánto esperamos y cuánto varía?

2.1. Del promedio ponderado al valor esperado

En una tabla de frecuencias, la media pondera cada valor por su frecuencia relativa. En una distribución de probabilidad hacemos exactamente lo mismo, usando las probabilidades como ponderadores:

\[\boxed{E(X)=\mu=\sum_x xP(X=x).}\]

Esta cantidad es el promedio teórico a largo plazo, no una promesa para la próxima observación. Se puede calcular sobre ingresos, costos, utilidades o conteos. Si \(X\) es cantidad de ventas, su valor esperado puede ser decimal, aunque ninguna venta individual sea fraccionaria.

2.2. Ejemplo guiado 2. Evaluación de una estrategia comercial

La utilidad por periodo (en millones de pesos) tiene cuatro escenarios:

Escenario	Utilidad \(x\)	Probabilidad
Pérdida	-2	0.10
Baja	1	0.35
Buena	4	0.40
Excelente	8	0.15

A mano:

\[E(X)=(-2)(0.10)+(1)(0.35)+(4)(0.40)+(8)(0.15)\] \[=-0.20+0.35+1.60+1.20=\boxed{2.95}.\]

La utilidad esperada es de 2,95 millones por periodo. No es necesariamente uno de los resultados que la empresa puede observar en un periodo particular.

2.3. ¿Por qué medir la varianza?

El promedio no nos dice cómo se dispersan los resultados. La varianza pondera las distancias cuadradas respecto de la media:

\[\boxed{Var(X)=\sum_x(x-\mu)^2P(X=x).}\]

Expandiendo el cuadrado y usando que \(\sum_xP(X=x)=1\):

\[\begin{aligned} Var(X)&=\sum_x(x^2-2\mu x+\mu^2)P(X=x)\\ &=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2\\ &=\boxed{E(X^2)-[E(X)]^2}. \end{aligned}\]

La desviación estándar \(\sigma=\sqrt{Var(X)}\) vuelve a la unidad original de \(X\). Si \(X\) se expresa en millones de pesos, la varianza se expresa en millones de pesos al cuadrado y la desviación estándar en millones de pesos.

Cálculo manual del ejemplo:

\[E(X^2)=4(0.10)+1(0.35)+16(0.40)+64(0.15)=16.75.\]

\[Var(X)=16.75-(2.95)^2=\boxed{8.0475}.\]

\[\sigma=\sqrt{8.0475}\approx\boxed{2.837}.\]

Comprobación en R

utilidad <- c(-2, 1, 4, 8)
p <- c(0.10, 0.35, 0.40, 0.15)
mu <- sum(utilidad * p)
var_teorica <- sum((utilidad - mu)^2 * p)
var_alternativa <- sum(utilidad^2 * p) - mu^2
sigma <- sqrt(var_teorica)
c(media = mu, varianza = var_teorica,
  varianza_alternativa = var_alternativa,
  desviacion = sigma)

##                media             varianza varianza_alternativa 
##               2.9500               8.0475               8.0475 
##           desviacion 
##               2.8368

Cuidado importante. var(utilidad) en R no calcula la varianza de esta distribución teórica: calcula la varianza muestral de los cuatro números del vector, sin ponderarlos por las probabilidades. Para obtener \(Var(X)\) desde una tabla teórica use sum((utilidad - mu)^2 * p).

Discusión: un mayor rendimiento esperado no siempre implica una mejor decisión: puede coexistir con un riesgo elevado. Los responsables financieros deben discutir tanto el promedio como la variabilidad, además de los posibles escenarios extremos.

Ejercicios 6–10. Media, varianza y decisión

6. Economía — demanda semanal. La demanda toma valores \(100,150,200,250\) unidades, con probabilidades \(0.15,0.35,0.30,0.20\). Calcule \(E(X)\), \(Var(X)\), \(\sigma\) y sugiera una implicación para inventarios.

7. Administración — promoción. Las utilidades (millones) son \(-3,2,5,9\), con probabilidades \(0.10,0.30,0.40,0.20\). Halle utilidad esperada, varianza y desviación estándar.

8. Contaduría — conciliación. El número de errores \(0,1,2,3\) tiene probabilidades \(0.50,0.30,0.15,0.05\). Determine media y variabilidad e interprete ambas cifras.

9. Negocios internacionales — costos por retraso. Una operación puede generar sobrecostos de \(0,2,5,10\) millones, con probabilidades \(0.55,0.25,0.15,0.05\). Calcule el costo esperado por operación. ¿Cuál sería el costo esperado agregado para 100 operaciones similares (por linealidad de la esperanza)?

10. Finanzas — riesgo de proyectos. Dos proyectos presentan utilidad esperada de \(6\) millones y desviaciones estándar \(\sigma_A=1.2\) y \(\sigma_B=4.8\) millones. ¿Qué proyecto presenta mayor dispersión? ¿Basta esa información para recomendar uno? Argumente qué información adicional pediría.

3. Distribución binomial: de multiplicar eventos a contar resultados

3.1. ¿Qué problema resuelve?

En una campaña de ventas observamos un número fijo de clientes. Cada uno compra (éxito) o no compra (fracaso). Queremos conocer la cantidad de compras.

Para usar una binomial se requieren cuatro condiciones:

1. \(n\) ensayos de la misma naturaleza, fijados de antemano.
2. Dos posibles resultados en cada ensayo (éxito y fracaso).
3. Una probabilidad de éxito constante \(p\) (y de fracaso \(q=1-p\)).
4. Independencia entre los ensayos.

El término éxito no implica que el resultado sea deseable: también podemos definir éxito como una factura con error, un incumplimiento o un producto defectuoso.

3.2. Una oportunidad: Bernoulli

Sea \(B=1\) si un cliente compra y \(B=0\) si no. Si \(P(B=1)=p\), entonces \(P(B=0)=1-p\). Para un único ensayo:

\[P(B=b)=p^b(1-p)^{1-b},\qquad b\in\{0,1\}.\]

3.3. Multiplicación de eventos independientes

Consideremos tres clientes, con \(P(C)=0.4\) y \(P(N)=0.6\). La probabilidad de la secuencia concreta \(CCN\) es:

\[P(CCN)=0.4\times0.4\times0.6=0.096.\]

La multiplicación se justifica por independencia. Pero exactamente dos compras puede ocurrir de tres maneras incompatibles: \(CCN\), \(CNC\) y \(NCC\). Por la regla de adición:

\[P(X=2)=P(CCN)+P(CNC)+P(NCC)\] \[=3(0.4)^2(0.6)=0.288.\]

¿De dónde sale el factor \(3\)? De elegir las dos posiciones de compra entre tres:

\[{3\choose2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3.\]

3.4. Derivación general

Si de \(n\) clientes compran exactamente \(x\):

• Una secuencia particular tiene probabilidad \(p^x(1-p)^{n-x}\) por multiplicación.
• Hay \({n\choose x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\) secuencias distintas con \(x\) éxitos.
• Las secuencias son mutuamente excluyentes, así que sumamos su probabilidad (equivale a multiplicar por el número de secuencias).

Por tanto:

\[\boxed{P(X=x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x},\qquad x=0,1,\ldots,n.}\]

Notación: \(X\sim Bin(n,p)\). No se trata de una fórmula arbitraria: es multiplicación de probabilidades + combinaciones + adición de casos excluyentes.

3.5. Valor esperado y varianza de la binomial

Una variable binomial es la suma de \(n\) indicadores de Bernoulli independientes: \(X=B_1+\cdots+B_n\). Como \(E(B_i)=p\) y \(Var(B_i)=p(1-p)\):

\[\boxed{E(X)=np,\qquad Var(X)=np(1-p).}\]

La independencia es necesaria para sumar las varianzas sin términos de covarianza; la esperanza es lineal aun sin independencia.

3.6. Ejemplo guiado 3. Conversión digital

Cada cliente tiene probabilidad \(p=0.35\) de comprar y se observan \(n=8\) clientes independientes. Sea \(X\) el número que compran, \(X\sim Bin(8,0.35)\).

Exactamente 3 compras:

\[P(X=3)={8\choose3}(0.35)^3(0.65)^5\] \[=56(0.35)^3(0.65)^5\approx\boxed{0.2786}.\]

Como máximo 2 compras:

\[P(X\leq2)=\sum_{x=0}^2{8\choose x}(0.35)^x(0.65)^{8-x}.\]

Al menos 3 compras:

\[P(X\geq3)=1-P(X\leq2).\]

Promedio y varianza: \(E(X)=8(0.35)=2.8\) compras; \(Var(X)=8(0.35)(0.65)=1.82\) compras\(^2\).

n_bin <- 8
p_bin <- 0.35
c(exactamente_3 = dbinom(3, n_bin, p_bin),
  como_maximo_2 = pbinom(2, n_bin, p_bin),
  al_menos_3 = 1 - pbinom(2, n_bin, p_bin),
  media = n_bin * p_bin,
  varianza = n_bin * p_bin * (1 - p_bin))

## exactamente_3 como_maximo_2    al_menos_3         media      varianza 
##       0.27859       0.42781       0.57219       2.80000       1.82000

# Verificación manual usando la función de combinaciones:
choose(8, 3) * 0.35^3 * 0.65^5

## [1] 0.27859

x_bin <- 0:n_bin
puntos_bin <- dbinom(x_bin, n_bin, p_bin)
barplot(puntos_bin, names.arg = x_bin, col = "#9b1414", border = NA,
        main = "Distribución binomial: 8 clientes, p = 0.35",
        xlab = "Número de compras", ylab = "P(X = x)")

R: puntual vs. acumulada. dbinom(k,n,p) calcula \(P(X=k)\); pbinom(k,n,p) calcula \(P(X\leq k)\). Para \(P(X\geq k)\) use 1-pbinom(k-1,n,p), no 1-pbinom(k,n,p).

Ejercicios 11–15. Modelo binomial

11. Administración — ventas telefónicas. La tasa de éxito de cada llamada es 0.25. Un asesor realiza 12 llamadas independientes. Halle \(P(X=4)\), \(E(X)\) y \(Var(X)\).

12. Contaduría — pago oportuno. Cada una de 10 facturas tiene probabilidad 0.82 de pagarse oportunamente, con pagos independientes y misma probabilidad. Determine \(P(X=8)\) y \(P(X\geq8)\).

13. Economía — apoyo a una medida. Cada consumidor, elegido independientemente de una población grande, tiene probabilidad 0.60 de apoyar una medida. Entre 15 consumidores, encuentre \(P(X\geq10)\) y explique la importancia de los supuestos.

14. Negocios internacionales — cumplimiento. La probabilidad de llegar puntualmente es 0.88 por envío. En 20 envíos independientes determine: (a) la probabilidad de que todos lleguen a tiempo; (b) la probabilidad de que al menos uno llegue tarde.

15. Auditoría — inconsistencias. La probabilidad de inconsistencia por operación es 0.08 y se revisan 25 operaciones independientes. Calcule \(P(X=0)\), \(P(X\leq2)\), \(P(X\geq1)\), \(E(X)\) y \(Var(X)\).

4. Poisson: contar acontecimientos por intervalo

4.1. Cambia la clase de pregunta

En binomial partimos de oportunidades fijadas (\(n\) clientes). En Poisson nos interesa cuántos sucesos ocurren durante un intervalo de tiempo, área, distancia o volumen: llamadas por hora, errores por 500 registros o inspecciones por 80 operaciones.

El modelo usual presupone una tasa media estable, incrementos independientes y sucesos que no se acumulan simultáneamente en intervalos infinitesimales (supuestos de un proceso de Poisson homogéneo). Los datos deben permitir juzgar si el modelo es razonable.

4.2. Una derivación desde la binomial

Sea \(\lambda\) el número promedio de acontecimientos de un intervalo. Dividámoslo en \(n\) subintervalos muy pequeños, con probabilidad aproximada \(p_n=\lambda/n\) de una ocurrencia en cada uno. Para \(n\) grande, un conteo binomial aproximado es:

\[P_n(X=x)={n\choose x}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}.\]

Para \(x\) fijo y \(n\to\infty\):

\[\begin{aligned} P_n(X=x)&=\frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{x!} \frac{\lambda^x}{n^x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\ &\longrightarrow\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}. \end{aligned}\]

De aquí aparece la función de probabilidad de Poisson:

\[\boxed{P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots}\]

El parámetro \(\lambda>0\) es la cantidad media de eventos en el intervalo de interés. En este modelo:

\[\boxed{E(X)=\lambda,\qquad Var(X)=\lambda.}\]

Precaución: media y varianza iguales son propiedades teóricas; si los datos tienen mucha más variabilidad, debemos revisar si Poisson es adecuado.

4.3. Ejemplo guiado 4. Llamadas recibidas

Un centro recibe en promedio 6 llamadas por hora y se supone un proceso de Poisson. Sea \(X\) el número de llamadas en una hora:

\[X\sim Pois(6).\]

Exactamente cuatro llamadas:

\[P(X=4)=\frac{e^{-6}6^4}{4!}\approx\boxed{0.1339}.\]

Como máximo tres:

\[P(X\leq3)=\sum_{x=0}^{3}\frac{e^{-6}6^x}{x!}.\]

Cuidado con el cambio de intervalo

Si la tasa es 6 por hora, el número medio en 30 minutos es

\[\lambda_{30\text{ min}}=6\left(\frac{30}{60}\right)=3,\]

y en 10 minutos:

\[\lambda_{10\text{ min}}=6\left(\frac{10}{60}\right)=1.\]

No se debe utilizar \(\lambda=6\) para una pregunta de diez minutos.

lambda_hora <- 6
c(exactamente_4_en_una_hora = dpois(4, lambda_hora),
  como_maximo_3_en_una_hora = ppois(3, lambda_hora),
  ninguna_en_10_min = dpois(0, lambda_hora * 10/60))

## exactamente_4_en_una_hora como_maximo_3_en_una_hora         ninguna_en_10_min 
##                   0.13385                   0.15120                   0.36788

x_pois <- 0:16
p_pois <- dpois(x_pois, lambda = 6)
barplot(p_pois, names.arg = x_pois, col = "#22657c", border = NA,
        main = "Poisson: llamadas por hora (lambda = 6)",
        xlab = "Cantidad de llamadas", ylab = "P(X = x)")

4.4. Ver de dónde surge: comparación numérica con una binomial

Para un mismo promedio \(\lambda=3\), una binomial con muchos ensayos y probabilidad pequeña se acerca a Poisson. Esta es una aproximación, no una licencia para ignorar los supuestos.

x <- 0:10
lambda <- 3
comparacion <- data.frame(
  x = x,
  Bin_n30 = dbinom(x, 30, 3/30),
  Bin_n300 = dbinom(x, 300, 3/300),
  Poisson = dpois(x, 3)
)
knitr::kable(round(comparacion, 5),
             caption = "Convergencia binomial hacia Poisson para lambda = 3")

Convergencia binomial hacia Poisson para lambda = 3

x	Bin_n30	Bin_n300	Poisson
0	0.04239	0.04904	0.04979
1	0.14130	0.14861	0.14936
2	0.22766	0.22441	0.22404
3	0.23609	0.22517	0.22404
4	0.17707	0.16888	0.16803
5	0.10230	0.10099	0.10082
6	0.04736	0.05015	0.05041
7	0.01804	0.02128	0.02160
8	0.00576	0.00787	0.00810
9	0.00157	0.00258	0.00270
10	0.00037	0.00076	0.00081

matplot(x, comparacion[, -1], type = "b", pch = c(15, 17, 19),
        lty = c(2, 3, 1), col = c("#b87051", "#235a71", "#990000"),
        xlab = "Eventos", ylab = "Probabilidad",
        main = "Aproximación: Binomial hacia Poisson")
legend("topright", legend = colnames(comparacion)[-1],
       col = c("#b87051", "#235a71", "#990000"),
       pch = c(15, 17, 19), lty = c(2, 3, 1), bty = "n")

Ejercicios 16–20. Poisson

16. Administración — llegadas. Una oficina recibe en promedio 8 clientes por hora. Suponga condiciones de Poisson y determine la probabilidad de exactamente 5 llegadas en una hora.

17. Contaduría — digitación. Un sistema presenta en promedio 2 errores por cada 500 registros procesados, bajo supuestos de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de cero errores en otros 500 registros?

18. Economía — subsidios. Una oficina recibe en promedio 12 solicitudes por día. Halle la probabilidad de más de 15 solicitudes mañana, usando el modelo Poisson.

19. Negocios internacionales — inspecciones. Ocurren en promedio 3 inspecciones adicionales por cada 40 operaciones. Bajo una tasa estable, calcule la probabilidad de exactamente 4 inspecciones en 80 operaciones.

20. Servicio al cliente — llamadas. Una línea recibe 18 llamadas por hora. En los próximos 10 minutos, calcule (a) ninguna llamada; (b) exactamente una; (c) al menos dos. Muestre cómo convirtió la tasa al nuevo intervalo.

5. Hipergeométrica: muestreo sin reemplazo

5.1. ¿Por qué no sirve siempre la binomial?

Un auditor tiene 20 facturas, de las cuales 6 presentan inconsistencias, y selecciona 5 sin reemplazo. La probabilidad de seleccionar una factura inconsistente al inicio es \(6/20\). Si la primera seleccionada es inconsistente, la probabilidad de una segunda inconsistente pasa a \(5/19\). La probabilidad cambia: los ensayos no son independientes.

Este es el contexto típico de una distribución hipergeométrica.

5.2. Construcción desde combinaciones

Definamos:

• \(N\): tamaño total de la población.
• \(K\): número de elementos clasificados como éxitos.
• \(N-K\): número de fracasos.
• \(n\): tamaño de la muestra sin reemplazo.
• \(x\): cantidad de éxitos que queremos encontrar en la muestra.

Si todas las muestras de tamaño \(n\) tienen igual probabilidad, el total de muestras posibles es \({N\choose n}\). Para obtener exactamente \(x\) éxitos hay que elegir:

\[{K\choose x}\quad\text{éxitos}\qquad\text{y}\qquad {N-K\choose n-x}\quad\text{fracasos}.\]

Por la regla de multiplicación del conteo, el número de muestras favorables es el producto. Así:

\[\boxed{P(X=x)=\frac{{K\choose x}{N-K\choose n-x}}{{N\choose n}}.}\]

Los valores posibles son \(\max(0,n-(N-K))\leq x\leq\min(n,K)\).

La media y la varianza son:

\[\boxed{E(X)=n\frac{K}{N}}\]

\[\boxed{Var(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.}\]

El factor \(\frac{N-n}{N-1}\) refleja la corrección por muestreo sin reemplazo. Esta fórmula supone \(N>1\).

5.3. Ejemplo guiado 5. Auditoría de facturas

De 20 facturas, 6 tienen inconsistencias y 14 no. Se eligen 5 sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 inconsistencias?

\[N=20,\quad K=6,\quad n=5,\quad x=2.\]

\[P(X=2)=\frac{{6\choose2}{14\choose3}}{{20\choose5}}\] \[=\frac{15\times364}{15504}=\boxed{0.3522\ \text{(aprox.)}}.\]

Interpretación: la probabilidad de que la muestra contenga exactamente dos facturas con inconsistencias es cercana al 35,22 %.

¿Por lo menos una inconsistencia? El complemento permite hacerlo en una sola operación:

\[P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\frac{{6\choose0}{14\choose5}}{{20\choose5}}.\]

En R: atención a la sintaxis

En R, dhyper(x, m, n, k) usa m = éxitos poblacionales, n = fracasos poblacionales, k = tamaño muestral. ¡Ese parámetro n de R no es el \(n\) matemático que usamos para tamaño de muestra!

N <- 20
K <- 6
n_muestra <- 5
x_deseado <- 2

# Forma manual basada en combinaciones:
manual <- choose(K, x_deseado) * choose(N - K, n_muestra - x_deseado) /
          choose(N, n_muestra)

# Función R (x, éxitos poblacionales, fracasos poblacionales, tamaño de muestra):
r_exacta <- dhyper(x_deseado, m = K, n = N - K, k = n_muestra)
al_menos_uno <- 1 - dhyper(0, m = K, n = N - K, k = n_muestra)

c(manual = manual, R = r_exacta, al_menos_uno = al_menos_uno,
  media = n_muestra * K / N,
  varianza = n_muestra * (K/N) * (1-K/N) * (N-n_muestra)/(N-1))

##       manual            R al_menos_uno        media     varianza 
##      0.35217      0.35217      0.87087      1.50000      0.82895

xs_hiper <- 0:5
p_hiper <- dhyper(xs_hiper, m = 6, n = 14, k = 5)
barplot(p_hiper, names.arg = xs_hiper,
        col = "#6b5993", border = NA,
        main = "Hipergeométrica: 5 facturas de un lote de 20",
        xlab = "Facturas con inconsistencias", ylab = "P(X = x)")

5.4. Comparación justa: con y sin reemplazo

Si una población es finita y muestreamos sin reemplazo, hipergeométrica es el modelo exacto. Una binomial con \(p=K/N\) equivale a ensayos independientes con probabilidad fija; para una fracción de muestreo pequeña puede servir como aproximación. Las distribuciones no son exactamente iguales en general.

N <- 20; K <- 6; n_muestra <- 5
x <- 0:n_muestra
comparacion_muestreo <- data.frame(
  x = x,
  sin_reemplazo = dhyper(x, m = K, n = N-K, k = n_muestra),
  binomial_independiente = dbinom(x, size = n_muestra, prob = K/N)
)
knitr::kable(round(comparacion_muestreo, 4),
             caption = "Con y sin reemplazo: mismas proporciones iniciales, distintos modelos")

Con y sin reemplazo: mismas proporciones iniciales, distintos modelos

x	sin_reemplazo	binomial_independiente
0	0.1291	0.1681
1	0.3874	0.3601
2	0.3522	0.3087
3	0.1174	0.1323
4	0.0135	0.0284
5	0.0004	0.0024

Ejercicios 21–25. Hipergeométrica

21. Contaduría — auditoría. De 30 comprobantes, 8 tienen errores. Un auditor elige 6 sin reemplazo. Calcule la probabilidad de encontrar exactamente 2 con error, y la media del número de errores detectados.

22. Administración — inventario. Un lote tiene 25 productos y 5 están deteriorados. Se seleccionan 4 sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté deteriorado?

23. Negocios internacionales — documentos. Entre 18 operaciones de importación, 4 contienen documentos incompletos. Se seleccionan 5 sin reemplazo. Halle \(P(X\geq1)\).

24. Economía — contracción de ventas. En una base de 40 empresas, 12 reportaron caída de ventas. Se eligen 8 sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar exactamente 3 empresas de ese grupo?

25. Contaduría — conciliaciones. De 50 cuentas, 7 presentan diferencias. Se examinan 10 sin reemplazo. Calcule \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) y \(P(X\geq2)\), además de \(E(X)\) y \(Var(X)\).

6. ¿Cómo seleccionar el modelo correcto?

Pregunta de diagnóstico	Binomial	Poisson	Hipergeométrica
¿Qué se cuenta?	Éxitos en \(n\) ensayos	Eventos por intervalo	Éxitos en una muestra
¿Número fijo de ensayos?	Sí	No es la idea central	Sí
¿Qué tipo de información se conoce?	\(n\) y \(p\)	Tasa \(\lambda\)	\(N\), \(K\) y \(n\)
¿Qué condición es clave?	Ensayos independientes, \(p\) constante	Tasa homogénea e incrementos independientes	Muestra aleatoria sin reemplazo
¿El resultado de una extracción cambia la siguiente?	No	No aplica	Sí
Función puntual en R	dbinom()	dpois()	dhyper()
Función acumulada en R	pbinom()	ppois()	phyper()

Regla práctica: si se conocen oportunidades fijas e independientes, considere binomial; si se observan sucesos por intervalo, considere Poisson; si se extraen unidades sin reemplazo de una población finita, considere hipergeométrica. Nunca seleccione el modelo únicamente porque el ejercicio menciona una tasa, un porcentaje o un lote: revise primero los supuestos.

Ejercicio integrador para discusión

Una compañía tiene tres problemas:

Caso A. Llama a 12 clientes. Cada uno, de forma independiente, acepta una oferta con probabilidad 0.20.

Caso B. En un punto de atención se reciben 5 solicitudes por hora en promedio, con llegadas tipo Poisson.

Caso C. En una carpeta de 12 contratos, 4 tienen errores. Se revisan 3 seleccionados aleatoriamente sin reemplazo.

Para cada caso:

1. Identifique y defina una variable aleatoria.
2. Elija y justifique el modelo probabilístico.
3. Calcule \(P(X=2)\) manualmente y con R.
4. Halle el valor esperado y la varianza.
5. Proponga una decisión empresarial concreta que el resultado pueda ayudar a evaluar.

7. R: funciones que debemos comprender, no memorizar a ciegas

# Combinaciones: número de maneras de seleccionar x de n
choose(n, x)

# BINOMIAL: éxitos en ensayos independientes
# P(X = x)
dbinom(x, size = n, prob = p)
# P(X <= x)
pbinom(x, size = n, prob = p)
# P(X >= x)
1 - pbinom(x - 1, size = n, prob = p)

# POISSON: número de sucesos por intervalo
# P(X = x)
dpois(x, lambda = tasa_en_el_intervalo)
# P(X <= x)
ppois(x, lambda = tasa_en_el_intervalo)
# P(X >= x)
1 - ppois(x - 1, lambda = tasa_en_el_intervalo)

# HIPERGEOMÉTRICA: SIN reemplazo
# m = éxitos poblacionales; n = fracasos poblacionales; k = muestra
# P(X = x)
dhyper(x, m = K, n = N - K, k = tamano_muestra)
# P(X <= x)
phyper(x, m = K, n = N - K, k = tamano_muestra)
# P(X >= x)
1 - phyper(x - 1, m = K, n = N - K, k = tamano_muestra)

Una misma pregunta, tres contextos

¿Probabilidad de al menos dos eventos? Obsérvese que el evento \(X\geq2\) siempre puede expresarse como \(1-P(X\leq1)\), aunque el modelo que calcula la acumulada sea diferente.

c(
  binomial = 1 - pbinom(1, size = 10, prob = 0.30),
  poisson = 1 - ppois(1, lambda = 3),
  hipergeometrica = 1 - phyper(1, m = 6, n = 14, k = 5)
)

##        binomial         poisson hipergeometrica 
##         0.85069         0.80085         0.48349

Errores habituales a evitar:

• Usar d* cuando se pregunta como máximo o al menos, sin acumular resultados.
• Confundir \(P(X\geq k)\) con \(P(X>k)\) (hay una diferencia de una unidad en la frontera).
• No ajustar \(\lambda\) a la duración, distancia o unidad solicitada.
• Aplicar binomial a extracciones sin reemplazo de un lote pequeño.
• Interpretar \(E(X)=2.8\) como si tuvieran que existir 2.8 clientes en un experimento individual.
• Calcular la varianza de una distribución teórica con var() de un vector de resultados sin sus probabilidades.

8. Orientaciones para el desarrollo de los 25 ejercicios

Para cada ejercicio, documente las siguientes evidencias:

1. Modelo: escriba el nombre de la variable aleatoria y sus unidades; indique su distribución y los supuestos necesarios.
2. Solución manual: defina el evento, escriba la fórmula, sustituya los parámetros y presente el resultado numérico.
3. Solución con R: ejecute código que reproduzca el cálculo manual; no basta con copiar un comando sin explicar qué devuelve.
4. Interpretación: explique el resultado como probabilidad, cantidad esperada o medida de variabilidad, según corresponda.
5. Decisión o comentario: identifique una utilidad concreta del resultado para contabilidad, economía, administración o comercio exterior. Si la pregunta no conduce a una decisión inmediata, explique la limitación de la información disponible.

Para aprender: use R como instrumento de verificación y visualización. Si el resultado manual y el obtenido con R difieren, revise primero el evento (\(=\), \(\leq\), \(<\), \(\geq\), \(>\)), la parametrización, las unidades y los supuestos. La interpretación es parte de la respuesta, no un adorno después del cálculo.

9. Cierre: de la probabilidad a la decisión

\[\text{Problema de negocio}\rightarrow\text{Experimento}\rightarrow \text{Variable aleatoria}\rightarrow\text{Modelo}\]

\[\text{Probabilidad y riesgo}\rightarrow\text{Interpretación}\rightarrow\boxed{\text{Decisión}}.\]

La pregunta nunca debe terminar en ¿cuánto dio?. También hay que preguntar: ¿qué significa?, ¿bajo qué supuestos es válido? y ¿qué haría una empresa con esa información?

Referencias y lecturas recomendadas

• Anderson, D. R., Sweeney, D. J. y Williams, T. A. Estadística para administración y economía, 10.ª edición. Capítulo 4, reglas de probabilidad y conteo, y capítulo 5, variables aleatorias, valor esperado, varianza, binomial, Poisson e hipergeométrica (páginas impresas 186–224).
• Levin, R. I. y Rubin, D. S. Estadística para administración y economía, 7.ª edición. Capítulo 4, probabilidad y reglas, y capítulo 5, distribuciones de probabilidad, valor esperado y modelos binomial y Poisson.
• Universidad Libre. Microcurrículo de Estadística Descriptiva, actualización julio de 2026, Unidad 3: variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discreta.

Los casos y ejercicios de esta guía fueron elaborados para fines pedagógicos, inspirados en el enfoque de aplicación empresarial de los textos señalados. Sus tasas y datos son supuestos didácticos, no cifras oficiales de organizaciones reales.