Problema 1

Sea \(X \sim \text{Binomial}(n = 10,\ p = 0.5)\). Determine la función de distribución, \(P(X=5)\), \(P(X\le 2)\), \(P(3\le X<5)\), \(P(X\ge 8)\) y grafique \(f_X(x)\).

n <- 10; p <- 0.5
x <- 0:n

# Funcion de distribucion F(x) = P(X <= x)
knitr::kable(data.frame(x = x, `f(x)` = round(dbinom(x, n, p), 6),
                        `F(x)` = round(pbinom(x, n, p), 6), check.names = FALSE))
x f(x) F(x)
0 0.000977 0.000977
1 0.009766 0.010742
2 0.043945 0.054687
3 0.117188 0.171875
4 0.205078 0.376953
5 0.246094 0.623047
6 0.205078 0.828125
7 0.117188 0.945312
8 0.043945 0.989258
9 0.009766 0.999023
10 0.000977 1.000000 
tab(c("P(X = 5)", "P(X ≤ 2)", "P(3 ≤ X < 5)", "P(X ≥ 8)"),
    c(dbinom(5, n, p),
      pbinom(2, n, p),
      pbinom(4, n, p) - pbinom(2, n, p),
      1 - pbinom(7, n, p)))
Pregunta Resultado
P(X = 5) 0.246094
P(X ≤ 2) 0.054687
P(3 ≤ X < 5) 0.322266
P(X ≥ 8) 0.054688 
graficar_pmf(x, dbinom(x, n, p), "Problema 1: f(x) Binomial(10, 0.5)")

plot(x, pbinom(x, n, p), type = "s", lwd = 2, col = "firebrick",
     xlab = "x", ylab = expression(F[X](x)),
     main = "Problema 1: Función de distribución F(x)")
grid()

Problema 2

Sea \(X \sim \text{Geométrica}(p = 0.05)\), donde \(X\) es el número de ensayos hasta el primer éxito (\(x = 1, 2, \dots\)). En R, dgeom(k, p) cuenta los fallos antes del éxito, por eso se usa \(k = x - 1\).

p <- 0.05
tab(c("P(X = 1)", "P(X ≤ 2)", "P(X = 8)", "P(X ≥ 2)"),
    c(dgeom(0, p), pgeom(1, p), dgeom(7, p), 1 - pgeom(0, p)))
Pregunta Resultado
P(X = 1) 0.050000
P(X ≤ 2) 0.097500
P(X = 8) 0.034917
P(X ≥ 2) 0.950000 
x <- 1:60
graficar_pmf(x, dgeom(x - 1, p), "Problema 2: f(x) Geométrica(p = 0.05)")

Problema 3

Sea \(X \sim \text{Hipergeométrica}(N = 100,\ n = 4,\ K = 20)\).

N <- 100; n <- 4; K <- 20
tab(c("P(X = 1)", "P(X = 6)", "P(X ≥ 1)", "P(X = 4)"),
    c(dhyper(1, K, N - K, n),
      dhyper(6, K, N - K, n),
      1 - phyper(0, K, N - K, n),
      dhyper(4, K, N - K, n)))
Pregunta Resultado
P(X = 1) 0.419053
P(X = 6) 0.000000
P(X ≥ 1) 0.596662
P(X = 4) 0.001236 
x <- 0:n
graficar_pmf(x, dhyper(x, K, N - K, n), "Problema 3: f(x) Hipergeométrica(100, 4, 20)")

\(P(X=6)=0\) porque la muestra es de solo \(n=4\) elementos.

Problema 4

Sea \(X \sim \text{Poisson}(\lambda = 4)\).

lambda <- 4
tab(c("P(X = 0)", "P(X = 4)", "P(X ≥ 2)", "P(X ≤ 2)"),
    c(dpois(0, lambda), dpois(4, lambda),
      1 - ppois(1, lambda), ppois(2, lambda)))
Pregunta Resultado
P(X = 0) 0.018316
P(X = 4) 0.195367
P(X ≥ 2) 0.908422
P(X ≤ 2) 0.238103 
x <- 0:15
graficar_pmf(x, dpois(x, lambda), "Problema 4: f(x) Poisson(λ = 4)")

Problema 5

Sea \(X\) con distribución Binomial Negativa, con \(p = K/N = 20/100 = 0.2\) y \(r = 5\) éxitos. En R, \(X\) es el número de fallos antes del \(r\)-ésimo éxito.

\[E(X) = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad V(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}\]

N <- 100; K <- 20; r <- 5
p <- K / N

tab(c("P(X = 0)", "P(X = 6)", "P(X ≥ 10)", "P(X ≤ 12)", "E(X)", "V(X)"),
    c(dnbinom(0, r, p), dnbinom(6, r, p),
      1 - pnbinom(9, r, p), pnbinom(12, r, p),
      r * (1 - p) / p, r * (1 - p) / p^2))
Pregunta Resultado
P(X = 0) 0.000320
P(X = 6) 0.017616
P(X ≥ 10) 0.870160
P(X ≤ 12) 0.241777
E(X) 20.000000
V(X) 100.000000 
x <- 0:80
graficar_pmf(x, dnbinom(x, size = r, prob = p),
             "Problema 5: f(x) Binomial Negativa (r = 5, p = 0.2)")

Problema 6

Sea \(X\) el número de llantas con imperfecciones, \(X \sim \text{Binomial}(n = 4,\ p = 0.05)\).

n <- 4; p <- 0.05
tab(c("Ninguna con imperfecciones, P(X = 0)",
      "Solo una con imperfecciones, P(X = 1)",
      "Una o más con imperfecciones, P(X ≥ 1)"),
    c(dbinom(0, n, p), dbinom(1, n, p), 1 - dbinom(0, n, p)))
Pregunta Resultado
Ninguna con imperfecciones, P(X = 0) 0.814506
Solo una con imperfecciones, P(X = 1) 0.171475
Una o más con imperfecciones, P(X ≥ 1) 0.185494

Problema 7

Los clientes llegan según un proceso de Poisson con tasa de 8 clientes por hora.

tasa <- 8
tab(c("a) Exactamente 5 clientes en 1 hora (λ = 8)",
      "b) No más de 3 clientes en 1 hora (λ = 8)",
      "c) Exactamente 2 clientes en 2 horas (λ = 16)",
      "d) Valor esperado en 2.5 horas (2:00 a 4:30 PM)"),
    c(dpois(5, tasa), ppois(3, tasa), dpois(2, tasa * 2), tasa * 2.5))
Pregunta Resultado
a) Exactamente 5 clientes en 1 hora (λ = 8) 0.091604
b) No más de 3 clientes en 1 hora (λ = 8) 0.042380
c) Exactamente 2 clientes en 2 horas (λ = 16) 0.000014
d) Valor esperado en 2.5 horas (2:00 a 4:30 PM) 20.000000

Problema 8

Sea \(X\) el número de semillas que germinan, \(X \sim \text{Binomial}(n = 20,\ p = 0.90)\).

n <- 20; p <- 0.90
prob8 <- pbinom(15, n, p)
tab(c("Semillas esperadas, E(X) = np", "P(X ≤ 15)"), c(n * p, prob8))
Pregunta Resultado
Semillas esperadas, E(X) = np 18.000000
P(X ≤ 15) 0.043174

Conclusión: como \(P(X \le 15) = 0.0432 < 0.05\), es un resultado poco probable si la tasa fuera realmente del 90%. Sí hay razón para sospechar de la cifra del 90%.

Problema 9

Maria responde al azar, así que la probabilidad de acertar cada pregunta es \(p = 1/4 = 0.25\).

p <- 0.25
tab(c("a) P(aprobar), X ~ Bin(100, 0.25), P(X ≥ 60)",
      "b) P(primera correcta en la pregunta 10), Geométrica",
      "c) Respuestas erróneas esperadas hasta 5 correctas, r(1-p)/p"),
    c(1 - pbinom(59, 100, p), dgeom(9, p), 5 * (1 - p) / p),
    digitos = 15)
Pregunta Resultado
a) P(aprobar), X ~ Bin(100, 0.25), P(X ≥ 60) 0.000000000000133
b) P(primera correcta en la pregunta 10), Geométrica 0.018771171569824
c) Respuestas erróneas esperadas hasta 5 correctas, r(1-p)/p 15.000000000000000

Problema 10

Sea \(X \sim \text{Poisson}(\lambda = 15)\) el número de microorganismos por muestra.

lambda <- 15
tab(c("a) P(X ≥ 17)", "b) P(X ≤ 18)", "c) P(X = 2)"),
    c(1 - ppois(16, lambda), ppois(18, lambda), dpois(2, lambda)))
Pregunta Resultado
a) P(X ≥ 17) 0.335877
b) P(X ≤ 18) 0.819472
c) P(X = 2) 0.000034

Problema 11

Se venden 105 tiquetes y cada persona llega con probabilidad 0.90, así que \(X \sim \text{Binomial}(105,\ 0.90)\). Todos tienen asiento si \(X \le 100\).

tab(c("P(X ≤ 100), todos tienen asiento", "P(X > 100), alguien se queda sin silla"),
    c(pbinom(100, 105, 0.90), 1 - pbinom(100, 105, 0.90)))
Pregunta Resultado
P(X ≤ 100), todos tienen asiento 0.983284
P(X > 100), alguien se queda sin silla 0.016716

Problema 12

Las grietas siguen un proceso de Poisson con 1 grieta por cada 100 m.

tab(c("a) Exactamente 8 grietas en 500 m (λ = 5)",
      "b) Ninguna grieta en 100 m (λ = 1)",
      "c) Menos de 2 grietas en 500 m (λ = 5)"),
    c(dpois(8, 5), dpois(0, 1), ppois(1, 5)))
Pregunta Resultado
a) Exactamente 8 grietas en 500 m (λ = 5) 0.065278
b) Ninguna grieta en 100 m (λ = 1) 0.367879
c) Menos de 2 grietas en 500 m (λ = 5) 0.040428

Problema 13

Modelo: \(X\) = número de sensores que superan la prueba entre 12 seleccionados, con ensayos independientes y probabilidad constante de éxito, por lo que \(X \sim \text{Binomial}(n = 12,\ p = 0.92)\).

n <- 12; p <- 0.92
p1 <- dbinom(12, n, p)      # P(X = 12)
p2 <- 1 - pbinom(10, n, p)  # P(X >= 11)
p3 <- pbinom(10, n, p)      # P(al menos 2 fallan) = P(X <= 10)
p4 <- pbinom(9, n, p)       # P(X < 10)

decision <- data.frame(
  Directriz = c("P(los 12 aprueben) > 0.35",
                "P(al menos 11 aprueben) > 0.70",
                "P(2 o más fallen) > 0.20",
                "P(menos de 10 aprueben) < 0.10"),
  Probabilidad = round(c(p1, p2, p3, p4), 4),
  `¿Se cumple?` = ifelse(c(p1 > 0.35, p2 > 0.70, p3 > 0.20, p4 < 0.10), "Sí", "No"),
  Decisión = c("Reducir la frecuencia de inspecciones",
               "Clasificar el proceso como de alta confiabilidad",
               "Realizar revisión preventiva de los equipos",
               "Señal de alerta: investigar las condiciones del proceso"),
  check.names = FALSE
)
knitr::kable(decision, align = c("l", "r", "c", "l"))
Directriz Probabilidad ¿Se cumple? Decisión
P(los 12 aprueben) > 0.35 0.3677 Sí Reducir la frecuencia de inspecciones
P(al menos 11 aprueben) > 0.70 0.7513 Sí Clasificar el proceso como de alta confiabilidad
P(2 o más fallen) > 0.20 0.2487 Sí Realizar revisión preventiva de los equipos
P(menos de 10 aprueben) < 0.10 0.0652 Sí Señal de alerta: investigar las condiciones del proceso 
x <- 0:n
graficar_pmf(x, dbinom(x, n, p), "Problema 13: f(x) Binomial(12, 0.92)")

Conclusión: las cuatro directrices se cumplen, por lo que la empresa debería reducir la frecuencia de inspecciones, clasificar el proceso como de alta confiabilidad, realizar la revisión preventiva de los equipos y tratar un resultado de menos de 10 sensores aprobados como señal de alerta.