Taller 331
Natalia Salas
PROBLEMA 1
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},\qquad x=0,1,\dots,n\]
\[F(x)=P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)\]
Datos
\[n=10,\qquad p=0.5,\qquad q=1-p=0.5\]
Como p = q = 0.5, en todos los casos: \((0.5)^x(0.5)^{10-x}=(0.5)^{10}=0.0009766\)
Tabla de f(x) y F(x)
| x | \(\binom{10}{x}\) | f(x) = \(\binom{10}{x}(0.5)^{10}\) | F(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.0010 | 0.0010 |
| 1 | 10 | 0.0098 | 0.0107 |
| 2 | 45 | 0.0439 | 0.0547 |
| 3 | 120 | 0.1172 | 0.1719 |
| 4 | 210 | 0.2051 | 0.3770 |
| 5 | 252 | 0.2461 | 0.6230 |
| 6 | 210 | 0.2051 | 0.8281 |
| 7 | 120 | 0.1172 | 0.9453 |
| 8 | 45 | 0.0439 | 0.9893 |
| 9 | 10 | 0.0098 | 0.9990 |
| 10 | 1 | 0.0010 | 1.0000 |
1. Función de distribución
\[F(x)=\begin{cases}0 & x<0\\ \displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}\binom{10}{k}(0.5)^{10} & 0\le x<10\\ 1 & x\ge 10\end{cases}\]
2. P(X = 5)
\[P(X=5)=\binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5=252(0.0009766)=\mathbf{0.2461}\]
3. P(X ≤ 2)
\[P(X\le2)=f(0)+f(1)+f(2)=0.0010+0.0098+0.0439=\mathbf{0.0547}\]
4. P(3 ≤ X < 5)
Incluye x = 3 y x = 4 (el 5 no entra):
\[P(3\le X<5)=f(3)+f(4)=0.1172+0.2051=\mathbf{0.3223}\]
5. P(X ≥ 8)
\[P(X\ge8)=f(8)+f(9)+f(10)=0.0439+0.0098+0.0010=\mathbf{0.0547}\]
6. Gráfica de f_X(x)
PROBLEMA 2
Fórmula
\[f(x)=q^{\,x-1}\,p,\qquad x=1,2,3,\dots\]
Datos
\[p=0.05,\qquad q=1-0.05=0.95\]
Tabla de f(x)
| x | \((0.95)^{x-1}\) | f(x) = \((0.95)^{x-1}(0.05)\) |
|---|---|---|
| 1 | \((0.95)^0 = 1\) | \(1(0.05) = 0.0500\) |
| 2 | \((0.95)^1 = 0.95\) | \(0.95(0.05) = 0.0475\) |
| 3 | \((0.95)^2 = 0.9025\) | \(0.9025(0.05) = 0.0451\) |
| 4 | \((0.95)^3 = 0.8574\) | \(0.8574(0.05) = 0.0429\) |
| 5 | \((0.95)^4 = 0.8145\) | \(0.8145(0.05) = 0.0407\) |
| 6 | \((0.95)^5 = 0.7738\) | \(0.7738(0.05) = 0.0387\) |
| 7 | \((0.95)^6 = 0.7351\) | \(0.7351(0.05) = 0.0368\) |
| 8 | \((0.95)^7 = 0.6983\) | \(0.6983(0.05) = 0.0349\) |
| 9 | \((0.95)^8 = 0.6634\) | \(0.6634(0.05) = 0.0332\) |
| 10 | \((0.95)^9 = 0.6302\) | \(0.6302(0.05) = 0.0315\) |
1. P(X = 1)
\[P(X=1)=(0.95)^{0}(0.05)=\mathbf{0.05}\]
2. P(X ≤ 2)
\[P(X\le2)=f(1)+f(2)=0.0500+0.0475=\mathbf{0.0975}\]
3. P(X = 8)
\[P(X=8)=(0.95)^{7}(0.05)=0.6983(0.05)=\mathbf{0.0349}\]
4. P(X ≥ 2)
\[P(X\ge2)=1-P(X=1)=1-0.05=\mathbf{0.95}\]
5. Gráfica de f_X(x)
Barras con x en el eje horizontal y f(x) como altura.
PROBLEMA 3
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}},\qquad x=0,1,\dots,\min(n,K)\]
Datos
\[N=100,\qquad n=4,\qquad K=20,\qquad N-K=80\]
\[\binom{N}{n}=\binom{100}{4}=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97}{4!}=\frac{94\,109\,400}{24}=3\,921\,225\]
Como n = 4, x solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4.
Tabla de f(x)
| x | \(\binom{20}{x}\) | \(\binom{80}{4-x}\) | f(x) = \(\dfrac{\binom{20}{x}\binom{80}{4-x}}{3\,921\,225}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(\binom{80}{4}=1\,581\,580\) | \(\dfrac{1(1\,581\,580)}{3\,921\,225}=0.4033\) |
| 1 | 20 | \(\binom{80}{3}=82\,160\) | \(\dfrac{20(82\,160)}{3\,921\,225}=0.4191\) |
| 2 | 190 | \(\binom{80}{2}=3\,160\) | \(\dfrac{190(3\,160)}{3\,921\,225}=0.1531\) |
| 3 | 1 140 | \(\binom{80}{1}=80\) | \(\dfrac{1\,140(80)}{3\,921\,225}=0.0233\) |
| 4 | 4 845 | \(\binom{80}{0}=1\) | \(\dfrac{4\,845(1)}{3\,921\,225}=0.0012\) |
1. P(X = 1)
\[P(X=1)=\frac{\binom{20}{1}\binom{80}{3}}{\binom{100}{4}}=\frac{20(82\,160)}{3\,921\,225}=\frac{1\,643\,200}{3\,921\,225}=\mathbf{0.4191}\]
2. P(X = 6)
X no puede valer 6 porque solo se extraen n = 4 elementos (x ≤ 4).
\[P(X=6)=\mathbf{0}\]
3. P(X ≥ 1)
\[P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0.4033=\mathbf{0.5967}\]
4. P(X = 4)
\[P(X=4)=\frac{\binom{20}{4}\binom{80}{0}}{\binom{100}{4}}=\frac{4\,845(1)}{3\,921\,225}=\mathbf{0.0012}\]
5. Gráfica de f_X(x)
Barras con x = 0, 1, 2, 3, 4 en el eje horizontal y f(x) como altura.
PROBLEMA 4
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{x}}{x!},\qquad x=0,1,2,\dots\]
Datos
\[\lambda=4,\qquad e^{-\lambda}=e^{-4}=0.018316\]
Tabla de f(x)
| x | \(4^x\) | \(x!\) | f(x) = \(\dfrac{0.018316\,(4^x)}{x!}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | \(\dfrac{0.018316(1)}{1}=0.0183\) |
| 1 | 4 | 1 | \(\dfrac{0.018316(4)}{1}=0.0733\) |
| 2 | 16 | 2 | \(\dfrac{0.018316(16)}{2}=0.1465\) |
| 3 | 64 | 6 | \(\dfrac{0.018316(64)}{6}=0.1954\) |
| 4 | 256 | 24 | \(\dfrac{0.018316(256)}{24}=0.1954\) |
| 5 | 1024 | 120 | \(\dfrac{0.018316(1024)}{120}=0.1563\) |
| 6 | 4096 | 720 | \(\dfrac{0.018316(4096)}{720}=0.1042\) |
| 7 | 16384 | 5040 | \(\dfrac{0.018316(16384)}{5040}=0.0595\) |
| 8 | 65536 | 40320 | \(\dfrac{0.018316(65536)}{40320}=0.0298\) |
| 9 | 262144 | 362880 | \(\dfrac{0.018316(262144)}{362880}=0.0132\) |
| 10 | 1048576 | 3628800 | \(\dfrac{0.018316(1048576)}{3628800}=0.0053\) |
1. P(X = 0)
\[P(X=0)=\frac{0.018316(4^0)}{0!}=\frac{0.018316(1)}{1}=\mathbf{0.0183}\]
2. P(X = 4)
\[P(X=4)=\frac{0.018316(4^4)}{4!}=\frac{0.018316(256)}{24}=\frac{4.6889}{24}=\mathbf{0.1954}\]
3. P(X ≥ 2)
\[P(X\ge2)=1-P(X\le1)=1-[f(0)+f(1)]=1-(0.0183+0.0733)=1-0.0916=\mathbf{0.9084}\]
4. P(X ≤ 2)
\[P(X\le2)=f(0)+f(1)+f(2)=0.0183+0.0733+0.1465=\mathbf{0.2381}\]
5. Gráfica de f_X(x)
Barras con x en el eje horizontal y f(x) como altura (la distribución sigue indefinidamente; se grafica hasta x = 10).
PROBLEMA 5
Fórmula
\[f(x)=\binom{x-1}{r-1}\,p^{r}\,q^{\,x-r},\qquad x=r,\,r+1,\,r+2,\dots\]
\[E[X]=\frac{r}{p},\qquad V[X]=\frac{r(1-p)}{p^{2}}\]
Datos
\[r=n=5,\qquad p=\frac{K}{N}=\frac{20}{100}=0.2,\qquad q=1-0.2=0.8\]
\[p^{r}=(0.2)^5=0.00032\]
X solo toma valores desde x = 5 (se necesitan mínimo 5 ensayos para lograr 5 éxitos).
Tabla de f(x)
| x | \(\binom{x-1}{4}\) | \((0.8)^{x-5}\) | f(x) = \(\binom{x-1}{4}(0.00032)(0.8)^{x-5}\) |
|---|---|---|---|
| 5 | \(\binom{4}{4}=1\) | \((0.8)^0=1\) | \(1(0.00032)(1)=0.00032\) |
| 6 | \(\binom{5}{4}=5\) | \((0.8)^1=0.8\) | \(5(0.00032)(0.8)=0.00128\) |
| 7 | \(\binom{6}{4}=15\) | \((0.8)^2=0.64\) | \(15(0.00032)(0.64)=0.00307\) |
| 8 | \(\binom{7}{4}=35\) | \((0.8)^3=0.512\) | \(35(0.00032)(0.512)=0.00573\) |
| 9 | \(\binom{8}{4}=70\) | \((0.8)^4=0.4096\) | \(70(0.00032)(0.4096)=0.00918\) |
| 10 | \(\binom{9}{4}=126\) | \((0.8)^5=0.32768\) | \(126(0.00032)(0.32768)=0.01321\) |
| 11 | \(\binom{10}{4}=210\) | \((0.8)^6=0.26214\) | \(210(0.00032)(0.26214)=0.01762\) |
| 12 | \(\binom{11}{4}=330\) | \((0.8)^7=0.20972\) | \(330(0.00032)(0.20972)=0.02215\) |
1. P(X = 0)
X no puede valer 0 porque x ≥ r = 5.
\[P(X=0)=\mathbf{0}\]
2. P(X = 6)
\[P(X=6)=\binom{5}{4}(0.00032)(0.8)^{1}=5(0.00032)(0.8)=\mathbf{0.00128}\]
3. P(X ≥ 10)
\[P(X\ge10)=1-P(X\le9)\]
\[P(X\le9)=0.00032+0.00128+0.00307+0.00573+0.00918=0.01958\]
\[P(X\ge10)=1-0.01958=\mathbf{0.9804}\]
4. P(X ≤ 12)
\[P(X\le12)=P(X\le9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.01958+0.01321+0.01762+0.02215=\mathbf{0.0726}\]
5. E\[X\] y V\[X\]
\[E[X]=\frac{r}{p}=\frac{5}{0.2}=\mathbf{25}\]
\[V[X]=\frac{r(1-p)}{p^2}=\frac{5(0.8)}{(0.2)^2}=\frac{4}{0.04}=\mathbf{100}\]
6. Gráfica de f_X(x)
Barras con x en el eje horizontal (desde 5) y f(x) como altura.
f = {0.00032,0.00128,0.00307,0.00573,0.00918,0.01321,0.01762,0.02215}
BarChart(4.5, 12.5, f)
PROBLEMA 6
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x},\qquad x=0,1,\dots,n\]
Datos
\[n=4,\qquad p=0.05,\qquad q=1-0.05=0.95\]
Tabla de f(x)
| x | \(\binom{4}{x}\) | \((0.05)^x\) | \((0.95)^{4-x}\) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \((0.05)^0=1\) | \((0.95)^4=0.8145\) | \(1(1)(0.8145)=0.8145\) |
| 1 | 4 | \((0.05)^1=0.05\) | \((0.95)^3=0.8574\) | \(4(0.05)(0.8574)=0.1715\) |
1. Ninguna llanta con imperfecciones: P(X = 0)
\[P(X=0)=\binom{4}{0}(0.05)^0(0.95)^4=1(1)(0.8145)=\mathbf{0.8145}\]
La probabilidad de que ninguna de las 4 llantas tenga imperfecciones es de 0.8145
2. Solo una llanta con imperfecciones: P(X = 1)
\[P(X=1)=\binom{4}{1}(0.05)^1(0.95)^3=4(0.05)(0.8574)=\mathbf{0.1715}\]
La probabilidad de que solo una de las 4 llantas tenga imperfecciones es de 0.1715.
3. Una o más llantas con imperfecciones: P(X ≥ 1)
\[P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0.8145=\mathbf{0.1855}\]
La probabilidad de que una o más de las 4 llantas tengan imperfecciones es de 0.1855
PROBLEMA 7
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!},\qquad x=0,1,2,\dots\]
Datos
\[\text{Frecuencia}=8 \text{ clientes/hora},\qquad e^{-8}=0.00033546\]
1. Exactamente 5 clientes entre 8 AM y 9 AM
Intervalo de 1 hora: \(\lambda=8(1)=8\), x = 5.
\[P(X=5)=\frac{e^{-8}(8)^5}{5!}=\frac{0.00033546(32768)}{120}=\frac{10.9924}{120}=\mathbf{0.0916}\]
La probabilidad de que lleguen exactamente 5 clientes entre las 8 AM y las 9 AM es de 0.0916.
2. No más de 3 clientes entre 2:30 PM y 3:30 PM
Intervalo de 1 hora: \(\lambda=8\), se pide \(P(X\le3)\).
| x | \(8^x\) | \(x!\) | f(x) = \(\dfrac{0.00033546\,(8^x)}{x!}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | \(\dfrac{0.00033546(1)}{1}=0.00034\) |
| 1 | 8 | 1 | \(\dfrac{0.00033546(8)}{1}=0.00268\) |
| 2 | 64 | 2 | \(\dfrac{0.00033546(64)}{2}=0.01073\) |
| 3 | 512 | 6 | \(\dfrac{0.00033546(512)}{6}=0.02863\) |
\[P(X\le3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.00034+0.00268+0.01073+0.02863=\mathbf{0.0424}\]
La probabilidad de que no lleguen más de 3 clientes entre las 2:30 y 3:30 PM es 0.0424.
3. Exactamente 2 clientes en 2 horas (10 AM a 12 M)
Intervalo de 2 horas: \(\lambda=8(2)=16\), x = 2, \(e^{-16}=0.00000011254\).
\[P(X=2)=\frac{e^{-16}(16)^2}{2!}=\frac{0.00000011254(256)}{2}=\frac{0.0000288}{2}=\mathbf{0.0000144}\]
La probabilidad de que lleguen exactamente 2 clientes en el intervalo de 10 AM a 12 M es 0.0000144, es decir, es muy imporbable .
4. Valor esperado entre 2 PM y 4:30 PM
Intervalo de 2.5 horas: \(\lambda=8(2.5)=20\).
\[E[X]=\lambda=\mathbf{20}\]
Entre las 2 PM y las 4:30 PM se espera que lleguen en 20 clientes en promedio a la tienda.
PROBLEMA 8
Fórmula
\[f(x)=\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x},\qquad E[X]=np\]
Datos
\[n=20,\qquad p=0.90,\qquad q=0.10\]
X = número de semillas que germinan, \(X\sim \text{binom}(n=20,\ p=0.90)\)
1. Semillas que se espera que germinen
\[E[X]=np=20(0.90)=\mathbf{18}\]
la cifra del 90% es correcta y se espera que germinen 18 de las 20 semillas.
2. ¿Hay razón para sospechar si germinan 15 o menos?
Se calcula P(X ≤ 15). Como tiene muchos términos, se usa el complemento:
\[P(X\le15)=1-P(X\ge16)=1-[f(16)+f(17)+f(18)+f(19)+f(20)]\]
| x | \(\binom{20}{x}\) | \((0.9)^x\) | \((0.1)^{20-x}\) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 16 | 4845 | 0.185302 | \((0.1)^4=0.0001\) | \(4845(0.185302)(0.0001)=0.08978\) |
| 17 | 1140 | 0.166772 | \((0.1)^3=0.001\) | \(1140(0.166772)(0.001)=0.19012\) |
| 18 | 190 | 0.150095 | \((0.1)^2=0.01\) | \(190(0.150095)(0.01)=0.28518\) |
| 19 | 20 | 0.135085 | \((0.1)^1=0.1\) | \(20(0.135085)(0.1)=0.27017\) |
| 20 | 1 | 0.121577 | \((0.1)^0=1\) | \(1(0.121577)(1)=0.12158\) |
\[P(X\ge16)=0.08978+0.19012+0.28518+0.27017+0.12158=0.95683\]
\[P(X\le15)=1-0.95683=\mathbf{0.0432}\]
Análisis: si la tasa de germinación realmente fuera 90%, obtener 15 o menos semillas germinadas solo ocurriría con probabilidad 0.0432, que es muy bajo. Por eso, la cifra del 90% no es correcta y la tasa real es menor.
PROBLEMA 9
1. María aprueba (60 o más correctas)
Fórmula
\[P(X\ge60)=\sum_{x=60}^{100}\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x},\qquad \mu=np,\qquad \sigma=\sqrt{npq}\]
\[P(X\ge60)\approx P\left(Z\ge\frac{59.5-\mu}{\sigma}\right)\]
Datos
\[X\sim\text{binom}(n=100,\ p=\tfrac14=0.25),\qquad q=0.75\]
Reemplazo
\[\mu=100(0.25)=25\]
\[\sigma=\sqrt{100(0.25)(0.75)}=\sqrt{18.75}=4.3301\]
\[P(X\ge60)\approx P\left(Z\ge\frac{59.5-25}{4.3301}\right)=P(Z\ge7.97)\approx\mathbf{0}\]
2. Primera correcta en la pregunta 10
Fórmula
\[f(x)=p\,q^{\,x-1},\qquad x=1,2,3,\dots\]
Datos
\[p=0.25,\qquad q=0.75,\qquad x=10\]
Reemplazo
\[P(X=10)=(0.25)(0.75)^{9}=(0.25)(0.0751)=\mathbf{0.0188}\]
La probabilidad de que María responda correctamente por primera vez en la pregunta 10 es 0.0188.
3. Erróneas esperadas hasta tener 5 correctas
Fórmula
Binomial negativa (X = ensayos hasta r éxitos):
\[E[X]=\frac{r}{p}\]
Las erróneas son los ensayos que no fueron éxito:
\[\text{erróneas}=X-r\ \Rightarrow\ E[X-r]=E[X]-r\]
Datos
\[r=5,\qquad p=0.25\]
Reemplazo
\[E[X]=\frac{5}{0.25}=20\]
\[E[X-5]=20-5=\mathbf{15}\]
Se espera que María responda 15 preguntas incorrectas antes de lograr 5 respuestas correctas.
PROBLEMA 10
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!},\qquad x=0,1,2,\dots\]
Datos
\[\lambda=15,\qquad e^{-15}=0.0000003059\]
Tabla de f(x)
| x | \(15^x\) | \(x!\) | f(x) = \(\dfrac{0.0000003059\,(15^x)}{x!}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | \(\dfrac{0.0000003059(1)}{1}=0.000000\) |
| 1 | 15 | 1 | \(\dfrac{0.0000003059(15)}{1}=0.000005\) |
| 2 | 225 | 2 | \(\dfrac{0.0000003059(225)}{2}=0.000034\) |
| 3 | 3 375 | 6 | \(\dfrac{0.0000003059(3375)}{6}=0.000172\) |
| 4 | 50 625 | 24 | \(\dfrac{0.0000003059(50625)}{24}=0.000645\) |
| 5 | 759 375 | 120 | \(\dfrac{0.0000003059(759375)}{120}=0.001936\) |
| 6 | 11 390 625 | 720 | \(\dfrac{0.0000003059(11390625)}{720}=0.004839\) |
| 7 | 170 859 375 | 5 040 | \(\dfrac{0.0000003059(170859375)}{5040}=0.010370\) |
| 8 | 2 562 890 625 | 40 320 | \(\dfrac{0.0000003059(2562890625)}{40320}=0.019444\) |
| 9 | \(3.8443\times10^{10}\) | 362 880 | \(\dfrac{0.0000003059(3.8443\times10^{10})}{362880}=0.032407\) |
| 10 | \(5.7665\times10^{11}\) | 3 628 800 | \(\dfrac{0.0000003059(5.7665\times10^{11})}{3628800}=0.048611\) |
| 11 | \(8.6498\times10^{12}\) | 39 916 800 | \(\dfrac{0.0000003059(8.6498\times10^{12})}{39916800}=0.066287\) |
| 12 | \(1.2975\times10^{14}\) | 479 001 600 | \(\dfrac{0.0000003059(1.2975\times10^{14})}{479001600}=0.082859\) |
| 13 | \(1.9462\times10^{15}\) | \(6.2270\times10^{9}\) | \(\dfrac{0.0000003059(1.9462\times10^{15})}{6.2270\times10^{9}}=0.095607\) |
| 14 | \(2.9193\times10^{16}\) | \(8.7178\times10^{10}\) | \(\dfrac{0.0000003059(2.9193\times10^{16})}{8.7178\times10^{10}}=0.102436\) |
| 15 | \(4.3789\times10^{17}\) | \(1.3077\times10^{12}\) | \(\dfrac{0.0000003059(4.3789\times10^{17})}{1.3077\times10^{12}}=0.102436\) |
| 16 | \(6.5684\times10^{18}\) | \(2.0923\times10^{13}\) | \(\dfrac{0.0000003059(6.5684\times10^{18})}{2.0923\times10^{13}}=0.096034\) |
| 17 | \(9.8526\times10^{19}\) | \(3.5569\times10^{14}\) | \(\dfrac{0.0000003059(9.8526\times10^{19})}{3.5569\times10^{14}}=0.084736\) |
| 18 | \(1.4779\times10^{21}\) | \(6.4024\times10^{15}\) | \(\dfrac{0.0000003059(1.4779\times10^{21})}{6.4024\times10^{15}}=0.070613\) |
1. Al menos 17 microorganismos: P(X ≥ 17)
\[P(X\ge17)=1-P(X\le16)\]
\[P(X\le16)=f(0)+f(1)+\dots+f(16)\]
\[P(X\ge17)=1-0.664122=\mathbf{0.3359}\]
La probabilidad de que la siguiente muestra contenga al menos 17 microorganismos es de 0.3359.
2. 18 o menos microorganismos: P(X ≤ 18)
\[P(X\le18)=P(X\le16)+f(17)+f(18)=0.664122+0.084736+0.070613=\mathbf{0.8195}\] La probabilidad de que la siguiente muestra contenga 18 o menos microorganismos es 0.8195.
3. Exactamente 2 microorganismos: P(X = 2)
\[P(X=2)=\frac{e^{-15}(15)^2}{2!}=\frac{0.0000003059(225)}{2}=\frac{0.0000688}{2}=\mathbf{0.000034}\]
La probabilidad de que la siguiente muestra contenga exactamente 2 microorganismos es 0.000034, es decir, no es nada probable de que tenga organismos.
PROBLEMA 11
Fórmula
\[f(x)=\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x},\qquad x=0,1,\dots,n\]
Datos
X = número de personas que llegan al vuelo de los 105 tiquetes vendidos.
\[X\sim\text{binom}(n=105,\ p=0.90),\qquad q=0.10\]
los que llegan tienen asiento si se cumple que X ≤ 100:
\[P(X\le100)=1-P(X\ge101)=1-[f(101)+f(102)+f(103)+f(104)+f(105)]\]
Tabla de f(x)
| x | \(\binom{105}{x}\) | \((0.9)^x\) | \((0.1)^{105-x}\) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 101 | \(\binom{105}{4}=4\,780\,230\) | \(2.3905\times10^{-5}\) | \((0.1)^4=0.0001\) | \(4780230(2.3905\times10^{-5})(0.0001)=0.011427\) |
| 102 | \(\binom{105}{3}=187\,460\) | \(2.1515\times10^{-5}\) | \((0.1)^3=0.001\) | \(187460(2.1515\times10^{-5})(0.001)=0.004033\) |
| 103 | \(\binom{105}{2}=5\,460\) | \(1.9363\times10^{-5}\) | \((0.1)^2=0.01\) | \(5460(1.9363\times10^{-5})(0.01)=0.001057\) |
| 104 | \(\binom{105}{1}=105\) | \(1.7427\times10^{-5}\) | \((0.1)^1=0.1\) | \(105(1.7427\times10^{-5})(0.1)=0.000183\) |
| 105 | \(\binom{105}{0}=1\) | \(1.5684\times10^{-5}\) | \((0.1)^0=1\) | \(1(1.5684\times10^{-5})(1)=0.000016\) |
Reemplazo
\[P(X\ge101)=0.011427+0.004033+0.001057+0.000183+0.000016=0.016716\]
\[P(X\le100)=1-0.016716=\mathbf{0.9833}\]
La probabilidad de que todas las personas que lleguen a abordar el avión tengan asiento es 0.9833.
PROBLEMA 12
Fórmula
\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!},\qquad x=0,1,2,\dots\]
El promedio se ajusta al tamaño del intervalo: λ = (grietas por cada 100 m)(longitud ÷ 100).
Datos
\[\text{Frecuencia}=1\text{ grieta por cada 100 m}\]
1. Exactamente 8 grietas en 500 m
Intervalo de 500 m: \(\lambda=1(5)=5\), x = 8, \(e^{-5}=0.006738\).
\[P(X=8)=\frac{e^{-5}(5)^8}{8!}=\frac{0.006738(390625)}{40320}=\frac{2.6320}{40320}\]
\[P(X=8)=\mathbf{0.0653}\]
La probabilidad de que haya exactamente 8 grietas en 500 m es 0.0653.
2. Ninguna grieta en 100 m
Intervalo de 100 m: \(\lambda=1(1)=1\), x = 0, \(e^{-1}=0.3679\).
\[P(X=0)=\frac{e^{-1}(1)^0}{0!}=\frac{0.3679(1)}{1}=\mathbf{0.3679}\]
La probabilidad de que no se presente ninguna grieta en 100 m es 0.3679.
3. Menos de 2 grietas en 500 m
Intervalo de 500 m: \(\lambda=5\), \(e^{-5}=0.006738\). Menos de 2 significa x = 0 y x = 1.
| x | \(5^x\) | \(x!\) | f(x) = \(\dfrac{0.006738\,(5^x)}{x!}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | \(\dfrac{0.006738(1)}{1}=0.006738\) |
| 1 | 5 | 1 | \(\dfrac{0.006738(5)}{1}=0.033690\) |
\[P(X<2)=f(0)+f(1)=0.006738+0.033690=\mathbf{0.0404}\]
La probabilidad de que se presenten menos de 2 grietas en 500 m es 0.0404.
PROBLEMA 13
Modelo Se cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos, por lo tanto es una binomial.
\[f(x)=\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x},\qquad x=0,1,\dots,n\]
Datos
X = número de sensores que superan la prueba.
\[X\sim\text{binom}(n=12,\ p=0.92),\qquad q=1-0.92=0.08\]
Tabla de f(x)
| x | \(\binom{12}{x}\) | \((0.92)^x\) | \((0.08)^{12-x}\) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | \(\binom{12}{10}=66\) | 0.43439 | \((0.08)^2=0.0064\) | \(66(0.43439)(0.0064)=0.18349\) |
| 11 | \(\binom{12}{11}=12\) | 0.39964 | \((0.08)^1=0.08\) | \(12(0.39964)(0.08)=0.38365\) |
| 12 | \(\binom{12}{12}=1\) | 0.36767 | \((0.08)^0=1\) | \(1(0.36767)(1)=0.36767\) |
Directriz 1: los 12 sensores superan la prueba (¿> 35%?)
\[P(X=12)=\binom{12}{12}(0.92)^{12}(0.08)^0=\mathbf{0.3677}\]
0.3677 > 0.35, si se cumple.
Directriz 2: al menos 11 sensores aprobados (¿> 70%?)
\[P(X\ge11)=f(11)+f(12)=0.38365+0.36767=\mathbf{0.7513}\]
0.7513 > 0.70, la condición se cumple.
Directriz 3: dos o más sensores que no superan la prueba (¿> 20%?)
Dos o más que no superan equivale a 10 o menos que sí superan (12 − 2 = 10):
\[P(X\le10)=1-P(X\ge11)=1-0.7513=\mathbf{0.2487}\]
0.2487 > 0.20, si se cumple la condición.
Directriz 4: menos de 10 sensores superan la prueba (¿< 10%?)
\[P(X<10)=P(X\le9)=1-[f(10)+f(11)+f(12)]=\mathbf{0.0652}\]
Decisiones de la empresa
La probabilidad de que los 12 sensores superen la prueba es 0.3677 , que es mayor al 35% establecido, por lo que la empresa puede reducir el número de las inspecciones.
La probabilidad de obtener al menos 11 sensores aprobados es 0.7513 , que es mayor a 70% , por lo tanto la empresa clasificará el proceso como de alta confiabilidad.
La probabilidad de encontrar dos o más sensores que no superen la prueba es 0.2487 y es mayor al 20% establecido, por lo que es conveniente que la empresa realize revisiones preventivas en los qquipos
La probabilidad de que menos de 10 sensores superen la prueba es 0.0652, menor al 10% establecido.Como el resultado no es tan probable la empresa considere que si en algun caso hay menos de 10 sensores aprobados se debe investigar las condiciones del proceso