O cenário e o problema

No século XVI, a tecnologia de cálculo da humanidade resumia-se a lápis, papel e muita paciência.

O Desafio dos Grandes Números

O desenvolvimento do período exigia multiplicar e dividir números gigantescos (com dezenas de casas decimais) para impulsionar três áreas:

O Gargalo da Ciência

A grande virada de chave (1614)

John Napier of Merchiston (1550 - 1617)
Discoverer of logarithms.

O matemático, físico e astrônomo escocês John Napier mudou a história da matemática no início do século XVII.

Napier não inventou sua técnica da noite para o dia. Ele dedicou cerca de 20 anos de sua vida investigando metodicamente uma única coisa:

“Uma forma de simplificar definitivamente os cálculos gigantescos da época.”

Onde eles se escondem?

Hoje, os logaritmos estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano e da ciência:

🌌 O Ano é 1615…

Imagine que estamos no ano de 1615. Você é o principal astrônomo assistente de Johannes Kepler! 🔭

Para prever a rota dos planetas, você precisa calcular urgentemente o produto e o quociente de números gigantescos.

😰 Etapa 1: O Sofrimento do Cálculo Manual

Vocês têm exatamente 2 minutos para resolverem as duas operações abaixo sem usar calculadora (apenas lápis e papel):

💡 Etapa 2: A Sacada de John Napier

Aqueles números assustadores não foram escolhidos por acaso. Eles são potências exatas da base 2! O “disfarce” dos números:

• \(32.768 = 2^{15}\)
• \(65.536 = 2^{16}\)
• \(2.147.483.648 = 2^{31}\)

Vamos reescrever as contas usando as regras de potências:

🧠 O Logaritmo como “Tradutor”

O problema no século XVII é que nem todo número no céu tinha uma potência inteira e bonitinha como \(2^{15}\). Os números reais eram quebrados!

Foi aí que Napier percebeu:

“E se criarmos uma ferramenta matemática — o logaritmo — cuja única função seja isolar e extrair o expoente de qualquer número?”

📝 Etapa 3: Mão na Massa!

Vamos provar que isso funciona para qualquer número (base 10). Use a calculadora do celular, aperte a tecla log e preencha a tabela arredondando para 3 casas decimais!

🎯 O Gran Finale

Olhe para a tabela e faça este desafio:

1. Pegue o valor de \(\log(2)\) e \(\log(3)\).
2. Some esses dois valores:

Voltando aos números grandes de antes…

• \(32768 = 2^{15}\)
• \(65536 = 2^{16}\)
• \(2147483648 = 2^{31}\)

Outra propriedade de logarítmos também nos garante que:

\[\begin{align*} \log \ (32.768 \times 65.536) &= \log \ (2^{15} \times 2^{16})\\ &= \log \ (2^{15}) + \log \ (2^{16})\\ &= 15 \times \log \ (2) + 16 \times \log \ (2)\\ \end{align*}\]

De acordo com os valores tabelados \(\log \ (2) \approx 0,301\), então:

\[\begin{align*} \log \ (32.768 \times 65.536) & \approx 15 \times 0,301 + 16 \times 0,301\\ &\approx 4,515 + 4,816\\ &\approx 9,331 \end{align*}\]

Comparando os valores

Calcule, com a auxílio da calculadora, o valor de:

\(\log \ (2.147.483.648) =\) \(9,3319\)

\(\log \ (32.768 \times 65.536) =\) \(9,3319\)

\(15 \times \log \ (2) + 16 \times \log \ (2) =\) \(9,331\)

Observe que fazendo das três formas o resultado é sempre o mesmo. Ou seja, ao invez de multiplicar os números, podemos apenas somar seus logarítmos. Ou ainda, caso sejam possíveis de escrever em forma de potências, seus expoentes podem “descer” e multiplicar o \(\log\) de sua base!

🗝️ Fechando com Chave de Ouro

Lembram da tabela que construímos com a tecla log?

Os astrônomos do passado tinham livros inteiros chamados ‘Tábuas de Logaritmos’.

Em vez de gastarem dias multiplicando números gigantescos à mão, eles olhavam o logaritmo dos números na tabela, faziam uma simples adição e depois consultavam a tabela de volta.

Definição Formal

Sendo dados dois números reais e positivos \(a\) e \(b\), com \(a \neq 1\), define-se o logaritmo do número \(b\) na base \(a\) como sendo o expoente \(x\) ao qual se deve elevar a base \(a\) de modo que a potência resultante seja igual a \(b\).

Em notação matemática formal:

\[\log_a b = x \iff a^x = b\]

Onde:

• \(a\) é a base do logaritmo (com \(0 < a \neq 1\));
• \(b\) é o logaritmando (com \(b > 0\));
• \(x\) é o valor do logaritmo (o expoente buscado).

Condições de Existência

Para que o logaritmo seja válido e pertença ao conjunto dos números reais, as seguintes restrições impostas à base e ao logaritmando devem ser obrigatoriamente respeitadas:

• A base (\(a\)) deve ser um número real estritamente positivo e diferente de \(1\) (\(0 < a \neq 1\)).
  • Justificativa: Bases negativas geram potências com comportamentos oscilantes ou complexos para expoentes fracionários; a base \(1\) é inválida porque \(1^x = 1\) para qualquer \(x\), o que impediria a unicidade do logaritmo para diferentes valores de \(b\).

• O logaritmando (\(b\)) deve ser um número real estritamente positivo (\(b > 0\)).
• Justificativa: Como o logaritmo resulta de uma base real positiva elevada a um expoente real, o resultado de uma potência real nunca será zero ou negativo.

Exemplos e contra exemplos

Consequências da Definição de Logaritmo

Considerando sempre as condições de existência (\(0 < a \neq 1\) e \(b > 0\)), temos as seguintes consequências fundamentais:

• 1ª Consequência (\(\log_a 1 = 0\)): O logaritmo da unidade em qualquer base válida é sempre igual a zero, pois qualquer base estritamente positiva elevada a zero resulta em \(1\) (\(a^0 = 1\)).

• 2ª Consequência (\(\log_a a = 1\)): O logaritmo cuja base e o logaritmando são iguais resulta sempre em \(1\), pois qualquer base elevada a um é igual a ela mesma (\(a^1 = a\)).

• 3ª Consequência (\(\log_a a^n = n\)): O logaritmo de uma potência cujo logaritmando tem a mesma base do logaritmo é igual ao próprio expoente \(n\).

• 4ª Consequência (\(a^{\log_a b} = b\)): Uma potência cuja base é \(a\) e cujo expoente é o logaritmo de \(b\) na base \(a\) tem como resultado o próprio logaritmando \(b\).

• 5ª Consequência (\(\log_a x = \log_a y \iff x = y\)): Dois logaritmos em uma mesma base são perfeitamente equivalentes (iguais) se, e somente se, os seus logaritmandos também forem iguais.

Logaritmo de um Produto

• O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

\[\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\]

• Exemplos:

  • \(\log_5 (3 \cdot 4) = \log_5 3 + \log_5 4\)
  • \(\log_4 (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_4 2 + \log_4 3 + \log_4 5\)

Logaritmo de um Quociente

• O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

\[\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c\]

• Exemplo:

  • \(\log_5 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_5 2 - \log_5 3\)
  • \(\log_{10} \left(\frac{1}{5}\right) = \log_{10} 1 - \log_{10} 5\)

Logaritmo de uma Potência

• O logaritmo de uma potência de base real positiva é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base dessa potência.

\[\log_a b^\alpha = \alpha \cdot \log_a b\]

• Exemplos:

  • \(\log_3 2^5 = 5 \cdot \log_3 2\)
  • \(\log_5 \sqrt[3]{2} = \log_5 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 2\)

Expoente da Base

Quando a base do logaritmo está elevada a um expoente, esse expoente “sai para fora” multiplicando o logaritmo, mas na posição de denominador (ou seja, dividindo)

\[\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b \quad \text{ou} \quad \log_{a^\beta} b = \frac{\log_a b}{\beta}\]

• Exemplos

  • \(\log_{2^3} 5 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 5\)
  • \(\log_{0,04} 125 = \log_{5^{-2}} (5^3) = \dfrac{3}{-2} \cdot \log_5 5=-\dfrac{3}{2}\)

Exemplos

1. Calcule o valor de \(\log_8 4\)

2. Desenvolva a expressão a seguir aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos \(\log_3 \left(\dfrac{a^3b^2}{c^4}\right)\).

Sua Vez…

Mudança de Base de um Logaritmo

Em muitas situações, precisamos converter logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Isso ocorre, por exemplo, quando precisamos unificar bases para aplicar propriedades operatórias ou quando queremos calcular o valor de um logaritmo usando calculadoras ou planilhas que trabalham predominantemente na base \(10\).

Propriedade da Mudança de Base

Se \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais positivos, com \(a \neq 1\) e \(c \neq 1\), o logaritmo de \(b\) na base \(a\) pode ser expresso como o quociente entre o logaritmo de \(b\) e o logaritmo de \(a\), ambos em uma nova base \(c\):

\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Exemplos

1. Converter \(\log_3 5\) para a base \(2\):

\[\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}\]

2. Converter \(\log_2 7\) para a base \(10\):

\[\log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\]

3. Calcular \(\log_{100} 3\) convertendo para a base \(10\):

\[\log_{100} 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 100} = \frac{\log_{10} 3}{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_{10} 3\]

Consequência Direta da Mudança de Base

• Inversão de Base:

Se \(a\) e \(b\) são números reais positivos e diferentes de \(1\), o logaritmo de \(b\) na base \(a\) é igual ao inverso do logaritmo de \(a\) na base \(b\):

\[\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad \text{ou} \quad \log_a b \cdot \log_b a = 1\]

Exemplos

1. Escreva o logaritmo \(\log_2 8\) utilizando logaritmos na base \(10\).

3. Se \(\log_2 m = k\), determine o valor de \(\log_8 m\).

5. Determine o valor da expressão:

1. Utilizando a definição de logaritmo, calcule o valor de cada item:

2. Determine o valor de \(x\) em cada uma das igualdades a seguir:

3. Desenvolva as expressões abaixo utilizando as propriedades operatórias (com \(a, b, c > 0\)):

4. Calcule o valor das expressões a seguir, aplicando as propriedades operatórias e as consequências da definição de logaritmo:

1. \(5^{\log_5 7}\)
2. \(10^{\log_{10} 9}\)
3. \(3^{\log_3 4 \cdot \log_4 11}\) (Dica: utilize a propriedade de mudança de base no expoente)
4. \(2^{\log_3 5 \cdot \log_2 3}\)
5. \(3^{1 + \log_3 2}\)
6. \(5^{2 + 2\log_5 3}\)

5. Escreva os logaritmos a seguir utilizando a mudança de base para a base 10:

1. \(\log_3 7\)
2. \(\log_5 12\)
3. \(\log_2 50\)
4. \(\log_{0,5} 8\)

6. Sabendo que \(\log_{10} 2 = 0,30\) e \(\log_{10} 3 = 0,48\), calcule os valores aproximados de:

1. \(\log_{10} 6\)
2. \(\log_{10} 9\)
3. \(\log_{10} 18\)
4. \(\log_{10} 24\)
5. \(\log_{10} 1,5\)
6. \(\log_{10} 5\) (Dica: use \(5 = \frac{10}{2}\))

7. Determine o valor numérico das expressões envolvendo mudança de base:

1. \(\log_2 3 \cdot \log_3 4\)
2. \(\log_5 2 \cdot \log_2 25\)
3. \(\log_3 5 \cdot \log_5 9\)
4. \(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8\)

8. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente \(m_0\) gramas se decomponha segundo a equação matemática \(m(t) = m_0 \cdot 10^{\frac{-t}{70}}\) onde \(m(t)\) é a quantidade de massa radioativa no tempo \(t\) (em anos).

Usando a aproximação \(\log 2 = 0,30\), para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial passarão:

9. Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de 250 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela expressão:

\[B(t) = -30 \cdot \log_3(t + 21) + 150\]

em que \(t\) é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa. Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura?

10. Há diversas formas de analisar a intensidade de um terremoto. Uma delas é a Escala Richter, que utiliza a fórmula:

\[ R = \frac{2}{3} \cdot \log\left(\frac{E}{E_0}\right) \]

em que \(R\) é a magnitude do terremoto na escala Richter e \(E\) é a energia liberada pelo terremoto na unidade kWh, sendo \(E_0 = 7 \cdot 10^{-3} \text{ kWh}\).

Considerando \(\log 7 = 0,85\), se um terremoto atingir a magnitude 7,5 na Escala Richter, a energia liberada por ele, em kWh, será igual a

11. Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3.000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para \(\log_{10}(3)\) e 1,041 como aproximação para \(\log_{10}(11)\).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de