Logarítmos

Prof. Gabriel Edson

Contexto Histórico

O cenário e o problema


Imagine viver em uma época em que as seguintes tecnologias simplesmente não existiam:

  • Computadores
  • Calculadoras eletrônicas
  • Celulares

No século XVI, a tecnologia de cálculo da humanidade resumia-se a lápis, papel e muita paciência.

O Desafio dos Grandes Números

O desenvolvimento do período exigia multiplicar e dividir números gigantescos (com dezenas de casas decimais) para impulsionar três áreas:

🔭 Astronomia

Prever a posição dos astros e estudar o cosmos.

Planejar com precisão as rotas marítimas pelo mundo.

⚖️ Comércio

Dar suporte às complexas transações do mercado global.

O Gargalo da Ciência

Longo

Processos extremamente demorados.

Cansativo

Esgotamento físico e mental.

Sujeito a erros

Um erro arruinava tudo.

A Grande Necessidade

Transformar operações complexas em um método simples.

A grande virada de chave (1614)

John Napier of Merchiston (1550 - 1617)
Discoverer of logarithms.

O matemático, físico e astrônomo escocês John Napier mudou a história da matemática no início do século XVII.

Napier não inventou sua técnica da noite para o dia. Ele dedicou cerca de 20 anos de sua vida investigando metodicamente uma única coisa:

“Uma forma de simplificar definitivamente os cálculos gigantescos da época.”

O Impacto na Ciência

A Celebração de Kepler

O célebre astrônomo alemão Johann Kepler comemorou efusivamente a chegada dessa nova ferramenta matemática.

O Motivo: A descoberta revolucionou e acelerou drasticamente a capacidade de computação e análise de dados dos astrônomos da época.

Onde eles se escondem?

Hoje, os logaritmos estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano e da ciência:

Química

Cálculo exato do pH.

Geologia

Escala Richter para terremotos.

Biologia

Análise de modelos biológicos.

Definição

Definição Formal

Sendo dados dois números reais e positivos \(a\) e \(b\), com \(a \neq 1\), define-se o logaritmo do número \(b\) na base \(a\) como sendo o expoente \(x\) ao qual se deve elevar a base \(a\) de modo que a potência resultante seja igual a \(b\).

Em notação matemática formal:

\[\log_a b = x \iff a^x = b\]

Onde:

  • \(a\) é a base do logaritmo (com \(0 < a \neq 1\));
  • \(b\) é o logaritmando (com \(b > 0\));
  • \(x\) é o valor do logaritmo (o expoente buscado).

Condições de Existência

Para que o logaritmo seja válido e pertença ao conjunto dos números reais, as seguintes restrições impostas à base e ao logaritmando devem ser obrigatoriamente respeitadas:

  • A base (\(a\)) deve ser um número real estritamente positivo e diferente de \(1\) (\(0 < a \neq 1\)).
    • Justificativa: Bases negativas geram potências com comportamentos oscilantes ou complexos para expoentes fracionários; a base \(1\) é inválida porque \(1^x = 1\) para qualquer \(x\), o que impediria a unicidade do logaritmo para diferentes valores de \(b\).

  • O logaritmando (\(b\)) deve ser um número real estritamente positivo (\(b > 0\)).
  • Justificativa: Como o logaritmo resulta de uma base real positiva elevada a um expoente real, o resultado de uma potência real nunca será zero ou negativo.

Exemplos e contra exemplos

Exemplos

  • \(\log_3 81 = 4\), pois \(3^4 = 81\).
  • \(\log_{10} 1000 = 3\), pois \(10^3 = 1000\).
  • \(\log_2 8 = 3\), pois \(2^3 = 8\).
  • \(\log_7 1 = 0\), pois \(7^0 = 1\).
  • \(\log_{0,2} 25 = -2\), pois \((0,2)^{-2} = 25\).

Contraexemplos

  • \(\log_3 (-81)\) não é definido, pois não existe x tal que \(3^x = -81\);
  • \(\log_{10} 0\), não é definido, pois não existe x tal que \(10^x = 0\);
  • \(\log_0 3\), pois \(a=0\);
  • \(\log_{-2} 8\), pois \(a<0\);
  • \(\log_1 6\), pois \(a=1\).

Consequências da Definição de Logaritmo

Considerando sempre as condições de existência (\(0 < a \neq 1\) e \(b > 0\)), temos as seguintes consequências fundamentais:

  • 1ª Consequência (\(\log_a 1 = 0\)): O logaritmo da unidade em qualquer base válida é sempre igual a zero, pois qualquer base estritamente positiva elevada a zero resulta em \(1\) (\(a^0 = 1\)).

  • 2ª Consequência (\(\log_a a = 1\)): O logaritmo cuja base e o logaritmando são iguais resulta sempre em \(1\), pois qualquer base elevada a um é igual a ela mesma (\(a^1 = a\)).

  • 3ª Consequência (\(\log_a a^n = n\)): O logaritmo de uma potência cujo logaritmando tem a mesma base do logaritmo é igual ao próprio expoente \(n\).

  • 4ª Consequência (\(a^{\log_a b} = b\)): Uma potência cuja base é \(a\) e cujo expoente é o logaritmo de \(b\) na base \(a\) tem como resultado o próprio logaritmando \(b\).

  • 5ª Consequência (\(\log_a x = \log_a y \iff x = y\)): Dois logaritmos em uma mesma base são perfeitamente equivalentes (iguais) se, e somente se, os seus logaritmandos também forem iguais.

Propriedades dos Logaritmos

Logaritmo de um Produto

  • O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

\[\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\]

  • Exemplos:

    • \(\log_5 (3 \cdot 4) = \log_5 3 + \log_5 4\)
    • \(\log_4 (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_4 2 + \log_4 3 + \log_4 5\)

Logaritmo de um Quociente

  • O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

\[\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c\]

  • Exemplo:

    • \(\log_5 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_5 2 - \log_5 3\)
    • \(\log_{10} \left(\frac{1}{5}\right) = \log_{10} 1 - \log_{10} 5\)

Logaritmo de uma Potência

  • O logaritmo de uma potência de base real positiva é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base dessa potência.

\[\log_a b^\alpha = \alpha \cdot \log_a b\]

  • Exemplos:

    • \(\log_3 2^5 = 5 \cdot \log_3 2\)
    • \(\log_5 \sqrt[3]{2} = \log_5 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 2\)

Expoente da Base

Quando a base do logaritmo está elevada a um expoente, esse expoente “sai para fora” multiplicando o logaritmo, mas na posição de denominador (ou seja, dividindo)

\[\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b \quad \text{ou} \quad \log_{a^\beta} b = \frac{\log_a b}{\beta}\]

  • Exemplos

    • \(\log_{2^3} 5 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 5\)
    • \(\log_{0,04} 125 = \log_{5^{-2}} (5^3) = \dfrac{3}{-2} \cdot \log_5 5=-\dfrac{3}{2}\)

Exemplos

  1. Calcule o valor de \(\log_8 4\)

\(\log_8 4 = x \implies 8^x = 4 \implies (2^3)^x = 2^2 \\ \implies 2^{3x} = 2^2 \implies 3x=2 \implies x = \dfrac{2}{3}\)

  1. Desenvolva a expressão a seguir aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos \(\log_3 \left(\dfrac{a^3b^2}{c^4}\right)\).

\(\log_3 \left(\frac{a^3 b^2}{c^4}\right) \implies \log_3 (a^3 b^2) - \log_3 (c^4) \\ \implies (\log_3 a^3 + \log_3 b^2) - \log_3 (c^4) \\ \implies 3 \cdot \log_3 a + 2 \cdot \log_3 b - 4 \cdot \log_3 c\)

Sua Vez…

  1. Calcule o valor de \(\log_3 \left(\frac{1}{9}\right)\).
  2. Calcule o valor de \(\log_{0,25} 32\).
  3. Desenvolva a expressão abaixo aplicando as propriedades operatórias (com \(a, b, c > 0\)):

\[\log_5 \left(\frac{5a}{bc}\right)\]

  1. Desenvolva a expressão aplicando as propriedades operatórias (com \(a, b > 0\)):

\[\log_2 (a^2 \sqrt{b})\]

Mudança de Base

Mudança de Base de um Logaritmo

Em muitas situações, precisamos converter logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Isso ocorre, por exemplo, quando precisamos unificar bases para aplicar propriedades operatórias ou quando queremos calcular o valor de um logaritmo usando calculadoras ou planilhas que trabalham predominantemente na base \(10\).

Propriedade da Mudança de Base

Se \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais positivos, com \(a \neq 1\) e \(c \neq 1\), o logaritmo de \(b\) na base \(a\) pode ser expresso como o quociente entre o logaritmo de \(b\) e o logaritmo de \(a\), ambos em uma nova base \(c\):

\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Exemplos

  1. Converter \(\log_3 5\) para a base \(2\):

\[\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}\]

  1. Converter \(\log_2 7\) para a base \(10\):

\[\log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\]

  1. Calcular \(\log_{100} 3\) convertendo para a base \(10\):

\[\log_{100} 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 100} = \frac{\log_{10} 3}{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_{10} 3\]

Consequência Direta da Mudança de Base

  • Inversão de Base:

Se \(a\) e \(b\) são números reais positivos e diferentes de \(1\), o logaritmo de \(b\) na base \(a\) é igual ao inverso do logaritmo de \(a\) na base \(b\):

\[\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad \text{ou} \quad \log_a b \cdot \log_b a = 1\]

Exemplos

  1. Escreva o logaritmo \(\log_2 8\) utilizando logaritmos na base \(10\).

\[\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}\]

  1. Calcule o valor de \(\log_{0,25} 128\).

\[0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 2^{-2} \text{ e } 128 = 2^7\]

\[\log_{2^{-2}} (2^7) = \frac{7}{-2} \cdot \log_2 2 = -\frac{7}{2}\]

  1. Se \(\log_2 m = k\), determine o valor de \(\log_8 m\).

\[\log_8 m = \dfrac{\log_2 m}{\log_2 8}=\dfrac{k}{3}\]

  1. Dados \(\log_{10} 2 = a\) e \(\log_{10} 3 = b\), calcule \(\log_9 20\).

\[\log_9 20 = \dfrac{\log_{10} 20}{\log_{10} 9} = \dfrac{\log_{10}(2 \cdot 10)}{\log_{10}(3^2)}=\frac{\log_{10} 2 + \log_{10} 10}{2 \cdot \log_{10} 3} = \frac{a + 1}{2b}\]

  1. Determine o valor da expressão:

\[\frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 5} \cdot \dots \cdot \frac{\log 9}{\log 10}=\frac{\log 2}{\log 10} = \log_{10} 2\]

Atividades

  1. Utilizando a definição de logaritmo, calcule o valor de cada item:
  1. \(\log_2 32\)
  2. \(\log_3 81\)
  3. \(\log_{10} 100000\)
  4. \(\log_{\frac{1}{3}} 27\)
  5. \(\log_{0,1} 100\)
  1. \(\log_3 \left(\dfrac{1}{9}\right)\)
  2. \(\log_5 \sqrt{25}\)
  3. \(\log_2 \sqrt[3]{32}\)
  4. \(\log_{\frac{1}{2}} 8\)

  1. Determine o valor de \(x\) em cada uma das igualdades a seguir:
  1. \(\log_3 243 = x\)
  2. \(\log_2 x = 5\)
  3. \(\log_x 64 = 3\)
  4. \(\log_x 16 = 4\)
  1. \(\log_x 125 = 3\)
  2. \(\log_x \left(\dfrac{1}{8}\right) = -3\)
  3. \(3 = \log_x 8\)

Desenvolva as expressões abaixo utilizando as propriedades operatórias (com \(a, b, c > 0\)):

  1. \(\log_2 (a \cdot b \cdot c)\)
  2. \(\log_3 \left(\dfrac{a^2}{b}\right)\)
  3. \(\log_5 (a^3 \cdot b^2)\)
  1. \(\log_2 \left(\dfrac{a \cdot b^3}{c^2}\right)\)
  2. \(\log_3 \sqrt{a \cdot b}\)
  3. \(\log_4 \left(\dfrac{a^4}{\sqrt{b}}\right)\)

  1. Calcule o valor das expressões a seguir, aplicando as propriedades operatórias e as consequências da definição de logaritmo:
  1. \(5^{\log_5 7}\)
  2. \(10^{\log_{10} 9}\)
  3. \(3^{\log_3 4 \cdot \log_4 11}\) (Dica: utilize a propriedade de mudança de base no expoente)
  4. \(2^{\log_3 5 \cdot \log_2 3}\)
  5. \(3^{1 + \log_3 2}\)
  6. \(5^{2 + 2\log_5 3}\)