1. Distribusi Sampling Rata-rata

Populasi mahasiswa dibangkitkan dengan kode berikut.

  1. Tampilkan 6 baris pertama, ringkasan statistik (mean, sd, min, maks) exam_score, dan histogramnya.
  2. Dengan set.seed(123), ambil 1.000 sampel acak berukuran n = 30 (dengan pengembalian), hitung rata-rata exam_score tiap sampel, lalu buat histogramnya. Bandingkan sd empiris dari rata-rata sampel dengan standard error teoretis sd_pop/√n.
  3. Ulangi (b) untuk n = 5, 30, dan 100, dan tampilkan tiga histogram dalam satu baris. Jelaskan pengaruh ukuran sampel terhadap bentuk dan sebaran distribusi sampling.
set.seed(2025)

pop <- data.frame(
  exam_score = round(rnorm(5000, mean = 72, sd = 10)),
  pass = rbinom(5000, 1, 0.7)
)
# soal 1.A
# Menampilkan 6 baris pertama
head(pop, 6)
##   exam_score pass
## 1         78    0
## 2         72    1
## 3         80    0
## 4         85    0
## 5         76    1
## 6         70    0
# Statistik deskriptif exam_score
stat_pop <- c(
  Mean = mean(pop$exam_score),
  SD = sd(pop$exam_score),
  Minimum = min(pop$exam_score),
  Maksimum = max(pop$exam_score)
)

print(stat_pop)
##     Mean       SD  Minimum Maksimum 
##  71.8192  10.1005  40.0000 111.0000

Berdasarkan hasil statistik deskriptif, diperoleh rata-rata (mean) nilai ujian mahasiswa sebesar 71,8192, simpangan baku (SD) sebesar 10,1005, nilai minimum sebesar 40, dan nilai maksimum sebesar 111. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata nilai ujian dari 5.000 mahasiswa dalam populasi simulasi adalah sekitar 71,82, dengan penyebaran nilai sekitar 10,10 dari rata-ratanya. Nilai ujian terendah adalah 40, sedangkan nilai tertinggi adalah 111.

# Histogram exam_score
hist(
  pop$exam_score,
  main = "Histogram Nilai Ujian Mahasiswa",
  xlab = "Nilai Ujian",
  ylab = "Frekuensi",
  col = "maroon",
  border = "white"
)

Berdasarkan histogram, distribusi nilai ujian mahasiswa terlihat berbentuk menyerupai lonceng (bell-shaped) dengan puncak frekuensi pada rentang nilai sekitar 70–75. Sebagian besar mahasiswa memperoleh nilai antara 60–85, sedangkan jumlah mahasiswa dengan nilai yang sangat rendah maupun sangat tinggi relatif sedikit. Histogram juga menunjukkan bahwa frekuensi meningkat menuju bagian tengah, kemudian menurun pada kedua sisi, pola ini menunjukkan bahwa data nilai ujian mahasiswa cenderung berdistribusi normal.

# soal 1.b
set.seed(123)

n <- 30
B <- 1000

mean_sample <- replicate(
  B,
  mean(sample(pop$exam_score, size = n, replace = TRUE))
)

# Membuat tabel rata-rata setiap sampel
hasil_sampling <- data.frame(
  Sampel = 1:B,
  Rata_rata = mean_sample
)

# Menampilkan seluruh 1.000 rata-rata sampel
hasil_sampling
##      Sampel Rata_rata
## 1         1  71.93333
## 2         2  74.63333
## 3         3  70.43333
## 4         4  72.10000
## 5         5  72.26667
## 6         6  69.03333
## 7         7  73.66667
## 8         8  70.13333
## 9         9  69.50000
## 10       10  72.53333
## 11       11  69.13333
## 12       12  72.03333
## 13       13  73.16667
## 14       14  73.26667
## 15       15  70.00000
## 16       16  72.96667
## 17       17  70.26667
## 18       18  69.80000
## 19       19  73.46667
## 20       20  71.03333
## 21       21  66.50000
## 22       22  71.93333
## 23       23  73.10000
## 24       24  70.06667
## 25       25  75.43333
## 26       26  73.13333
## 27       27  72.23333
## 28       28  76.10000
## 29       29  73.00000
## 30       30  69.73333
## 31       31  73.43333
## 32       32  74.03333
## 33       33  73.90000
## 34       34  71.73333
## 35       35  71.83333
## 36       36  72.73333
## 37       37  74.00000
## 38       38  70.06667
## 39       39  71.50000
## 40       40  71.10000
## 41       41  73.46667
## 42       42  73.90000
## 43       43  68.90000
## 44       44  70.83333
## 45       45  69.40000
## 46       46  70.60000
## 47       47  75.26667
## 48       48  71.50000
## 49       49  71.06667
## 50       50  74.26667
## 51       51  72.00000
## 52       52  70.63333
## 53       53  71.10000
## 54       54  73.96667
## 55       55  69.60000
## 56       56  72.70000
## 57       57  71.80000
## 58       58  71.46667
## 59       59  69.20000
## 60       60  71.06667
## 61       61  73.76667
## 62       62  73.70000
## 63       63  70.23333
## 64       64  68.83333
## 65       65  73.30000
## 66       66  69.66667
## 67       67  65.33333
## 68       68  71.66667
## 69       69  72.60000
## 70       70  74.60000
## 71       71  71.50000
## 72       72  74.66667
## 73       73  69.23333
## 74       74  70.40000
## 75       75  70.93333
## 76       76  73.03333
## 77       77  74.36667
## 78       78  70.36667
## 79       79  70.70000
## 80       80  69.63333
## 81       81  74.23333
## 82       82  72.36667
## 83       83  69.76667
## 84       84  74.13333
## 85       85  74.06667
## 86       86  73.33333
## 87       87  71.53333
## 88       88  72.43333
## 89       89  70.83333
## 90       90  69.30000
## 91       91  73.56667
## 92       92  74.20000
## 93       93  71.33333
## 94       94  74.43333
## 95       95  72.43333
## 96       96  71.40000
## 97       97  73.73333
## 98       98  70.66667
## 99       99  72.36667
## 100     100  70.43333
## 101     101  74.40000
## 102     102  74.03333
## 103     103  72.56667
## 104     104  71.10000
## 105     105  71.46667
## 106     106  74.23333
## 107     107  73.40000
## 108     108  72.60000
## 109     109  72.26667
## 110     110  70.60000
## 111     111  72.53333
## 112     112  71.23333
## 113     113  71.40000
## 114     114  69.70000
## 115     115  68.76667
## 116     116  73.10000
## 117     117  73.60000
## 118     118  69.40000
## 119     119  70.10000
## 120     120  74.36667
## 121     121  76.93333
## 122     122  72.26667
## 123     123  70.56667
## 124     124  72.36667
## 125     125  70.83333
## 126     126  69.90000
## 127     127  71.70000
## 128     128  73.16667
## 129     129  75.13333
## 130     130  72.20000
## 131     131  72.13333
## 132     132  71.86667
## 133     133  73.30000
## 134     134  72.90000
## 135     135  71.06667
## 136     136  74.73333
## 137     137  70.90000
## 138     138  75.20000
## 139     139  71.66667
## 140     140  73.80000
## 141     141  71.50000
## 142     142  68.60000
## 143     143  71.63333
## 144     144  71.70000
## 145     145  74.06667
## 146     146  72.03333
## 147     147  73.53333
## 148     148  71.56667
## 149     149  70.43333
## 150     150  73.03333
## 151     151  73.16667
## 152     152  71.56667
## 153     153  71.50000
## 154     154  71.73333
## 155     155  71.70000
## 156     156  74.53333
## 157     157  72.00000
## 158     158  71.23333
## 159     159  69.20000
## 160     160  69.53333
## 161     161  71.90000
## 162     162  73.96667
## 163     163  72.16667
## 164     164  69.06667
## 165     165  72.80000
## 166     166  72.10000
## 167     167  74.10000
## 168     168  72.83333
## 169     169  74.36667
## 170     170  68.30000
## 171     171  71.70000
## 172     172  70.73333
## 173     173  73.50000
## 174     174  73.56667
## 175     175  72.33333
## 176     176  70.33333
## 177     177  67.93333
## 178     178  69.60000
## 179     179  71.33333
## 180     180  71.76667
## 181     181  73.53333
## 182     182  71.06667
## 183     183  72.73333
## 184     184  70.03333
## 185     185  70.26667
## 186     186  69.83333
## 187     187  67.26667
## 188     188  72.86667
## 189     189  71.03333
## 190     190  73.23333
## 191     191  73.56667
## 192     192  72.73333
## 193     193  72.03333
## 194     194  75.06667
## 195     195  68.40000
## 196     196  70.36667
## 197     197  69.56667
## 198     198  74.50000
## 199     199  72.33333
## 200     200  73.43333
## 201     201  72.26667
## 202     202  74.96667
## 203     203  72.20000
## 204     204  74.16667
## 205     205  69.60000
## 206     206  72.36667
## 207     207  73.06667
## 208     208  73.86667
## 209     209  70.96667
## 210     210  70.73333
## 211     211  68.86667
## 212     212  71.96667
## 213     213  68.60000
## 214     214  70.16667
## 215     215  74.66667
## 216     216  73.40000
## 217     217  71.46667
## 218     218  70.03333
## 219     219  74.66667
## 220     220  70.73333
## 221     221  72.73333
## 222     222  72.40000
## 223     223  72.53333
## 224     224  70.36667
## 225     225  72.36667
## 226     226  74.03333
## 227     227  71.96667
## 228     228  72.50000
## 229     229  71.10000
## 230     230  70.93333
## 231     231  75.23333
## 232     232  73.03333
## 233     233  70.00000
## 234     234  74.26667
## 235     235  69.73333
## 236     236  73.30000
## 237     237  72.33333
## 238     238  72.70000
## 239     239  73.16667
## 240     240  70.50000
## 241     241  74.20000
## 242     242  71.16667
## 243     243  71.50000
## 244     244  70.73333
## 245     245  72.13333
## 246     246  73.66667
## 247     247  71.16667
## 248     248  70.73333
## 249     249  73.20000
## 250     250  75.26667
## 251     251  68.80000
## 252     252  66.76667
## 253     253  73.10000
## 254     254  72.33333
## 255     255  74.13333
## 256     256  70.30000
## 257     257  73.00000
## 258     258  68.20000
## 259     259  71.06667
## 260     260  70.96667
## 261     261  69.93333
## 262     262  70.16667
## 263     263  74.23333
## 264     264  74.16667
## 265     265  71.60000
## 266     266  72.66667
## 267     267  73.60000
## 268     268  71.63333
## 269     269  71.03333
## 270     270  68.66667
## 271     271  71.96667
## 272     272  68.16667
## 273     273  69.23333
## 274     274  73.56667
## 275     275  71.90000
## 276     276  70.90000
## 277     277  69.66667
## 278     278  70.10000
## 279     279  70.20000
## 280     280  70.83333
## 281     281  71.80000
## 282     282  69.56667
## 283     283  71.46667
## 284     284  68.56667
## 285     285  68.73333
## 286     286  68.46667
## 287     287  68.20000
## 288     288  72.53333
## 289     289  69.73333
## 290     290  72.76667
## 291     291  74.13333
## 292     292  70.33333
## 293     293  68.76667
## 294     294  76.03333
## 295     295  73.73333
## 296     296  72.70000
## 297     297  70.00000
## 298     298  69.53333
## 299     299  69.90000
## 300     300  66.96667
## 301     301  69.73333
## 302     302  69.26667
## 303     303  74.36667
## 304     304  72.06667
## 305     305  71.00000
## 306     306  73.43333
## 307     307  74.53333
## 308     308  69.10000
## 309     309  72.20000
## 310     310  74.20000
## 311     311  71.40000
## 312     312  68.43333
## 313     313  69.60000
## 314     314  71.33333
## 315     315  72.46667
## 316     316  71.63333
## 317     317  72.13333
## 318     318  72.43333
## 319     319  72.10000
## 320     320  75.63333
## 321     321  70.13333
## 322     322  71.53333
## 323     323  70.50000
## 324     324  70.63333
## 325     325  70.43333
## 326     326  70.30000
## 327     327  70.63333
## 328     328  72.63333
## 329     329  70.46667
## 330     330  70.23333
## 331     331  71.40000
## 332     332  75.86667
## 333     333  72.63333
## 334     334  69.43333
## 335     335  74.63333
## 336     336  73.13333
## 337     337  72.60000
## 338     338  71.96667
## 339     339  72.43333
## 340     340  70.26667
## 341     341  72.83333
## 342     342  72.86667
## 343     343  72.06667
## 344     344  71.83333
## 345     345  71.56667
## 346     346  73.33333
## 347     347  76.13333
## 348     348  66.70000
## 349     349  72.46667
## 350     350  73.43333
## 351     351  74.56667
## 352     352  71.76667
## 353     353  72.93333
## 354     354  69.83333
## 355     355  72.73333
## 356     356  75.30000
## 357     357  71.33333
## 358     358  73.83333
## 359     359  75.30000
## 360     360  71.30000
## 361     361  71.30000
## 362     362  72.16667
## 363     363  72.93333
## 364     364  70.96667
## 365     365  71.66667
## 366     366  70.93333
## 367     367  72.50000
## 368     368  72.73333
## 369     369  70.80000
## 370     370  71.60000
## 371     371  72.86667
## 372     372  69.20000
## 373     373  70.96667
## 374     374  72.00000
## 375     375  70.90000
## 376     376  73.60000
## 377     377  73.20000
## 378     378  69.76667
## 379     379  70.50000
## 380     380  69.50000
## 381     381  72.73333
## 382     382  72.23333
## 383     383  71.63333
## 384     384  70.70000
## 385     385  69.40000
## 386     386  74.06667
## 387     387  70.36667
## 388     388  72.43333
## 389     389  68.60000
## 390     390  70.80000
## 391     391  72.70000
## 392     392  71.63333
## 393     393  74.26667
## 394     394  73.96667
## 395     395  70.13333
## 396     396  72.46667
## 397     397  72.73333
## 398     398  73.26667
## 399     399  73.23333
## 400     400  69.60000
## 401     401  70.80000
## 402     402  72.46667
## 403     403  69.70000
## 404     404  73.76667
## 405     405  75.43333
## 406     406  73.46667
## 407     407  68.53333
## 408     408  71.96667
## 409     409  74.00000
## 410     410  75.20000
## 411     411  71.86667
## 412     412  73.90000
## 413     413  70.43333
## 414     414  72.26667
## 415     415  73.23333
## 416     416  67.50000
## 417     417  67.16667
## 418     418  70.70000
## 419     419  70.70000
## 420     420  75.53333
## 421     421  72.66667
## 422     422  73.43333
## 423     423  71.23333
## 424     424  74.80000
## 425     425  71.16667
## 426     426  72.16667
## 427     427  70.13333
## 428     428  68.76667
## 429     429  72.26667
## 430     430  74.66667
## 431     431  69.83333
## 432     432  73.66667
## 433     433  72.33333
## 434     434  71.23333
## 435     435  74.90000
## 436     436  69.36667
## 437     437  73.20000
## 438     438  74.00000
## 439     439  70.93333
## 440     440  71.66667
## 441     441  71.70000
## 442     442  72.46667
## 443     443  70.00000
## 444     444  71.80000
## 445     445  69.33333
## 446     446  72.23333
## 447     447  74.90000
## 448     448  70.30000
## 449     449  70.86667
## 450     450  70.70000
## 451     451  74.46667
## 452     452  69.36667
## 453     453  72.56667
## 454     454  70.26667
## 455     455  68.56667
## 456     456  71.10000
## 457     457  72.93333
## 458     458  69.50000
## 459     459  72.73333
## 460     460  69.26667
## 461     461  71.56667
## 462     462  69.10000
## 463     463  75.06667
## 464     464  73.00000
## 465     465  71.73333
## 466     466  72.86667
## 467     467  72.66667
## 468     468  75.53333
## 469     469  75.86667
## 470     470  69.83333
## 471     471  72.73333
## 472     472  71.23333
## 473     473  72.66667
## 474     474  75.20000
## 475     475  69.80000
## 476     476  72.03333
## 477     477  73.60000
## 478     478  69.83333
## 479     479  70.53333
## 480     480  73.63333
## 481     481  71.86667
## 482     482  69.93333
## 483     483  72.73333
## 484     484  72.43333
## 485     485  70.53333
## 486     486  73.26667
## 487     487  72.70000
## 488     488  73.20000
## 489     489  70.96667
## 490     490  73.03333
## 491     491  76.26667
## 492     492  70.76667
## 493     493  70.03333
## 494     494  72.93333
## 495     495  72.60000
## 496     496  73.93333
## 497     497  72.36667
## 498     498  73.70000
## 499     499  71.73333
## 500     500  74.20000
## 501     501  72.20000
## 502     502  70.63333
## 503     503  73.83333
## 504     504  71.43333
## 505     505  68.73333
## 506     506  72.56667
## 507     507  73.93333
## 508     508  73.30000
## 509     509  72.70000
## 510     510  72.23333
## 511     511  70.06667
## 512     512  72.70000
## 513     513  70.70000
## 514     514  71.63333
## 515     515  70.56667
## 516     516  71.33333
## 517     517  69.53333
## 518     518  69.53333
## 519     519  74.56667
## 520     520  70.56667
## 521     521  69.00000
## 522     522  73.26667
## 523     523  73.76667
## 524     524  72.76667
## 525     525  70.40000
## 526     526  70.86667
## 527     527  71.66667
## 528     528  69.90000
## 529     529  70.20000
## 530     530  72.16667
## 531     531  72.13333
## 532     532  71.53333
## 533     533  72.60000
## 534     534  75.13333
## 535     535  71.76667
## 536     536  74.30000
## 537     537  72.40000
## 538     538  72.56667
## 539     539  71.80000
## 540     540  67.43333
## 541     541  73.20000
## 542     542  71.53333
## 543     543  70.96667
## 544     544  73.83333
## 545     545  71.93333
## 546     546  73.06667
## 547     547  71.10000
## 548     548  72.80000
## 549     549  72.03333
## 550     550  72.96667
## 551     551  75.63333
## 552     552  73.73333
## 553     553  70.83333
## 554     554  73.56667
## 555     555  70.73333
## 556     556  71.20000
## 557     557  71.70000
## 558     558  71.23333
## 559     559  71.86667
## 560     560  77.00000
## 561     561  75.56667
## 562     562  71.13333
## 563     563  71.43333
## 564     564  69.40000
## 565     565  73.46667
## 566     566  70.16667
## 567     567  70.86667
## 568     568  73.63333
## 569     569  71.06667
## 570     570  72.90000
## 571     571  69.96667
## 572     572  72.63333
## 573     573  70.83333
## 574     574  68.40000
## 575     575  73.46667
## 576     576  72.40000
## 577     577  71.83333
## 578     578  70.56667
## 579     579  71.06667
## 580     580  68.66667
## 581     581  70.70000
## 582     582  71.40000
## 583     583  72.20000
## 584     584  72.43333
## 585     585  70.03333
## 586     586  70.70000
## 587     587  73.90000
## 588     588  73.13333
## 589     589  70.16667
## 590     590  72.56667
## 591     591  71.86667
## 592     592  72.63333
## 593     593  71.60000
## 594     594  70.86667
## 595     595  72.10000
## 596     596  70.26667
## 597     597  70.70000
## 598     598  71.03333
## 599     599  72.30000
## 600     600  69.06667
## 601     601  68.90000
## 602     602  70.90000
## 603     603  71.03333
## 604     604  72.60000
## 605     605  76.03333
## 606     606  70.76667
## 607     607  74.70000
## 608     608  72.43333
## 609     609  70.46667
## 610     610  72.70000
## 611     611  67.26667
## 612     612  71.66667
## 613     613  72.06667
## 614     614  75.46667
## 615     615  71.76667
## 616     616  74.10000
## 617     617  72.56667
## 618     618  67.63333
## 619     619  68.36667
## 620     620  71.23333
## 621     621  73.63333
## 622     622  71.26667
## 623     623  67.93333
## 624     624  71.83333
## 625     625  74.13333
## 626     626  74.60000
## 627     627  73.26667
## 628     628  73.00000
## 629     629  73.70000
## 630     630  73.36667
## 631     631  69.93333
## 632     632  70.66667
## 633     633  74.00000
## 634     634  69.73333
## 635     635  74.76667
## 636     636  74.50000
## 637     637  75.86667
## 638     638  71.30000
## 639     639  69.90000
## 640     640  74.46667
## 641     641  71.70000
## 642     642  71.33333
## 643     643  74.83333
## 644     644  75.13333
## 645     645  74.10000
## 646     646  72.20000
## 647     647  73.03333
## 648     648  74.96667
## 649     649  71.76667
## 650     650  71.00000
## 651     651  71.76667
## 652     652  72.20000
## 653     653  73.53333
## 654     654  73.53333
## 655     655  74.56667
## 656     656  68.56667
## 657     657  72.13333
## 658     658  71.20000
## 659     659  72.06667
## 660     660  69.70000
## 661     661  71.10000
## 662     662  73.16667
## 663     663  70.83333
## 664     664  77.96667
## 665     665  68.90000
## 666     666  67.56667
## 667     667  73.03333
## 668     668  71.93333
## 669     669  75.73333
## 670     670  74.93333
## 671     671  73.30000
## 672     672  72.73333
## 673     673  71.00000
## 674     674  72.30000
## 675     675  71.56667
## 676     676  70.56667
## 677     677  69.80000
## 678     678  74.10000
## 679     679  70.90000
## 680     680  69.83333
## 681     681  72.93333
## 682     682  68.46667
## 683     683  71.73333
## 684     684  74.53333
## 685     685  70.66667
## 686     686  71.26667
## 687     687  73.53333
## 688     688  72.26667
## 689     689  72.86667
## 690     690  72.63333
## 691     691  73.53333
## 692     692  72.23333
## 693     693  71.26667
## 694     694  69.33333
## 695     695  70.63333
## 696     696  72.50000
## 697     697  71.96667
## 698     698  71.00000
## 699     699  71.36667
## 700     700  72.50000
## 701     701  71.26667
## 702     702  72.80000
## 703     703  74.36667
## 704     704  73.66667
## 705     705  69.53333
## 706     706  71.00000
## 707     707  70.60000
## 708     708  69.76667
## 709     709  72.00000
## 710     710  72.03333
## 711     711  71.83333
## 712     712  74.93333
## 713     713  74.53333
## 714     714  71.80000
## 715     715  73.40000
## 716     716  69.86667
## 717     717  75.43333
## 718     718  72.16667
## 719     719  70.00000
## 720     720  72.20000
## 721     721  71.10000
## 722     722  71.66667
## 723     723  69.23333
## 724     724  69.73333
## 725     725  72.36667
## 726     726  70.80000
## 727     727  69.33333
## 728     728  72.30000
## 729     729  74.36667
## 730     730  70.40000
## 731     731  72.03333
## 732     732  70.46667
## 733     733  73.70000
## 734     734  69.50000
## 735     735  73.76667
## 736     736  71.16667
## 737     737  72.13333
## 738     738  73.50000
## 739     739  70.80000
## 740     740  72.50000
## 741     741  71.43333
## 742     742  72.50000
## 743     743  71.00000
## 744     744  68.36667
## 745     745  75.03333
## 746     746  71.70000
## 747     747  72.86667
## 748     748  73.30000
## 749     749  70.96667
## 750     750  74.20000
## 751     751  71.53333
## 752     752  71.90000
## 753     753  72.63333
## 754     754  69.00000
## 755     755  71.76667
## 756     756  71.03333
## 757     757  69.53333
## 758     758  72.56667
## 759     759  72.83333
## 760     760  72.16667
## 761     761  75.26667
## 762     762  70.40000
## 763     763  70.60000
## 764     764  73.06667
## 765     765  75.10000
## 766     766  72.36667
## 767     767  67.56667
## 768     768  73.43333
## 769     769  70.80000
## 770     770  70.86667
## 771     771  75.00000
## 772     772  71.66667
## 773     773  71.20000
## 774     774  72.26667
## 775     775  72.53333
## 776     776  72.66667
## 777     777  70.23333
## 778     778  69.93333
## 779     779  71.00000
## 780     780  74.23333
## 781     781  70.70000
## 782     782  73.76667
## 783     783  72.16667
## 784     784  68.60000
## 785     785  71.50000
## 786     786  73.70000
## 787     787  70.26667
## 788     788  69.16667
## 789     789  69.80000
## 790     790  70.46667
## 791     791  71.50000
## 792     792  69.90000
## 793     793  69.93333
## 794     794  72.23333
## 795     795  69.40000
## 796     796  70.40000
## 797     797  67.36667
## 798     798  74.30000
## 799     799  70.73333
## 800     800  72.86667
## 801     801  74.10000
## 802     802  73.56667
## 803     803  71.73333
## 804     804  70.50000
## 805     805  70.43333
## 806     806  71.20000
## 807     807  73.23333
## 808     808  69.80000
## 809     809  70.03333
## 810     810  74.86667
## 811     811  73.30000
## 812     812  72.93333
## 813     813  75.46667
## 814     814  72.30000
## 815     815  74.33333
## 816     816  70.83333
## 817     817  71.60000
## 818     818  70.26667
## 819     819  70.76667
## 820     820  70.70000
## 821     821  72.66667
## 822     822  73.53333
## 823     823  69.26667
## 824     824  72.63333
## 825     825  76.66667
## 826     826  69.40000
## 827     827  70.90000
## 828     828  75.10000
## 829     829  70.50000
## 830     830  70.33333
## 831     831  71.76667
## 832     832  72.56667
## 833     833  72.73333
## 834     834  71.90000
## 835     835  74.13333
## 836     836  70.10000
## 837     837  73.43333
## 838     838  73.33333
## 839     839  72.06667
## 840     840  69.00000
## 841     841  73.36667
## 842     842  73.70000
## 843     843  71.76667
## 844     844  70.23333
## 845     845  71.66667
## 846     846  69.13333
## 847     847  71.16667
## 848     848  71.46667
## 849     849  73.80000
## 850     850  72.10000
## 851     851  70.06667
## 852     852  70.66667
## 853     853  70.00000
## 854     854  72.00000
## 855     855  68.33333
## 856     856  72.96667
## 857     857  72.03333
## 858     858  70.10000
## 859     859  72.56667
## 860     860  68.96667
## 861     861  70.63333
## 862     862  67.30000
## 863     863  71.60000
## 864     864  74.36667
## 865     865  73.43333
## 866     866  72.70000
## 867     867  74.06667
## 868     868  73.03333
## 869     869  68.43333
## 870     870  70.46667
## 871     871  69.76667
## 872     872  72.30000
## 873     873  72.06667
## 874     874  72.40000
## 875     875  68.56667
## 876     876  73.50000
## 877     877  71.16667
## 878     878  73.03333
## 879     879  73.80000
## 880     880  69.63333
## 881     881  72.53333
## 882     882  71.76667
## 883     883  73.33333
## 884     884  71.56667
## 885     885  73.20000
## 886     886  71.96667
## 887     887  68.06667
## 888     888  73.06667
## 889     889  72.73333
## 890     890  69.76667
## 891     891  67.56667
## 892     892  71.36667
## 893     893  66.73333
## 894     894  72.20000
## 895     895  73.36667
## 896     896  69.36667
## 897     897  73.66667
## 898     898  73.56667
## 899     899  70.06667
## 900     900  71.36667
## 901     901  71.66667
## 902     902  73.23333
## 903     903  69.83333
## 904     904  74.86667
## 905     905  71.33333
## 906     906  69.40000
## 907     907  69.66667
## 908     908  71.66667
## 909     909  71.43333
## 910     910  68.80000
## 911     911  71.66667
## 912     912  70.63333
## 913     913  69.53333
## 914     914  72.26667
## 915     915  73.50000
## 916     916  70.56667
## 917     917  73.10000
## 918     918  73.36667
## 919     919  72.16667
## 920     920  70.63333
## 921     921  71.36667
## 922     922  70.96667
## 923     923  72.60000
## 924     924  70.66667
## 925     925  71.70000
## 926     926  72.03333
## 927     927  70.40000
## 928     928  69.43333
## 929     929  73.06667
## 930     930  69.33333
## 931     931  70.73333
## 932     932  72.73333
## 933     933  71.40000
## 934     934  70.50000
## 935     935  73.86667
## 936     936  70.70000
## 937     937  67.93333
## 938     938  71.06667
## 939     939  71.00000
## 940     940  74.40000
## 941     941  70.06667
## 942     942  72.43333
## 943     943  70.03333
## 944     944  71.36667
## 945     945  75.46667
## 946     946  72.76667
## 947     947  72.73333
## 948     948  69.93333
## 949     949  72.53333
## 950     950  70.56667
## 951     951  71.20000
## 952     952  71.16667
## 953     953  73.23333
## 954     954  70.30000
## 955     955  71.50000
## 956     956  73.30000
## 957     957  68.70000
## 958     958  73.43333
## 959     959  74.83333
## 960     960  72.33333
## 961     961  70.30000
## 962     962  72.43333
## 963     963  71.93333
## 964     964  73.50000
## 965     965  71.63333
## 966     966  71.43333
## 967     967  67.33333
## 968     968  74.06667
## 969     969  71.93333
## 970     970  72.96667
## 971     971  71.46667
## 972     972  72.66667
## 973     973  72.33333
## 974     974  71.40000
## 975     975  70.30000
## 976     976  73.16667
## 977     977  75.23333
## 978     978  72.50000
## 979     979  70.40000
## 980     980  71.13333
## 981     981  71.93333
## 982     982  72.83333
## 983     983  71.60000
## 984     984  69.33333
## 985     985  70.96667
## 986     986  73.13333
## 987     987  73.63333
## 988     988  75.83333
## 989     989  70.86667
## 990     990  71.40000
## 991     991  72.40000
## 992     992  74.46667
## 993     993  71.66667
## 994     994  71.06667
## 995     995  72.16667
## 996     996  73.36667
## 997     997  73.63333
## 998     998  71.46667
## 999     999  71.56667
## 1000   1000  71.50000
# Histogram rata-rata sampel
hist(
  mean_sample,
  main = "Distribusi Sampling Rata-rata (n = 30)",
  xlab = "Rata-rata Sampel",
  ylab = "Frekuensi",
  col = "gold",
  border = "white"
)

Berdasarkan histogram distribusi sampling rata-rata dengan ukuran sampel \(n = 30\), distribusi rata-rata sampel terlihat menyerupai bentuk lonceng dan relatif simetris, dengan frekuensi tertinggi berada di sekitar rata-rata 72. Sebagian besar rata-rata sampel berada pada rentang 70–74, sedangkan frekuensi pada bagian ujung distribusi relatif rendah.

# Simpangan baku empiris
sd_empiris <- sd(mean_sample)

# Standard error teoretis
sd_pop <- sd(pop$exam_score)
se_teoretis <- sd_pop / sqrt(n)

# Membandingkan hasil
hasil_n30 <- c(
  Mean_Rata_rata_Sampel = mean(mean_sample),
  SD_Empiris = sd_empiris,
  SE_Teoretis = se_teoretis
)

print(hasil_n30)
## Mean_Rata_rata_Sampel            SD_Empiris           SE_Teoretis 
##             71.833300              1.849776              1.844091

Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh mean rata-rata sampel sebesar 71,8333, standar deviasi empiris sebesar 1,849776, dan standard error teoretis sebesar 1,844091. Nilai standar deviasi empiris yang mendekati standard error teoretis menunjukkan bahwa variasi rata-rata sampel sesuai dengan perkiraan teoretis. Dengan demikian, distribusi sampling rata-rata secara visual cenderung mendekati distribusi normal, dan hasil perhitungan menunjukkan bahwa standar deviasi empiris hampir sama dengan standard error teoretis.

set.seed(123)

B <- 1000
ukuran_sampel <- c(5, 30, 100)

# Simulasi rata-rata sampel untuk setiap ukuran
sampling_means <- lapply(ukuran_sampel, function(n) {
  replicate(
    B,
    mean(sample(pop$exam_score, size = n, replace = TRUE))
  )
})

par(mfrow = c(1, 1))
# Histogram dalam satu baris
par(mfrow = c(1, 3))

for (i in seq_along(ukuran_sampel)) {
  hist(
    sampling_means[[i]],
    main = paste("Ukuran Sampel n =", ukuran_sampel[i]),
    xlab = "Rata-rata Sampel",
    ylab = "Frekuensi",
    col = "maroon",
    border = "white"
  )
}

# Ringkasan perbandingan
perbandingan <- data.frame(
  n = ukuran_sampel,
  Mean_Rata_rata = sapply(sampling_means, mean),
  SD_Empiris = sapply(sampling_means, sd),
  SE_Teoretis = sd(pop$exam_score) / sqrt(ukuran_sampel)
)

print(perbandingan)
##     n Mean_Rata_rata SD_Empiris SE_Teoretis
## 1   5       71.97200   4.521750    4.517081
## 2  30       71.79777   1.892637    1.844091
## 3 100       71.82888   1.029191    1.010050

berdasarkan ketiga histogram, peningkatan ukuran sampel dari 5 menjadi 30 dan 100 menyebabkan distribusi sampling rata-rata semakin menyempit dan terpusat di sekitar rata-rata populasi, yaitu sekitar 72. Hal ini terlihat dari penurunan SD empiris dari 4,521750 menjadi 1,892637 dan 1,029191. Selain itu, SD empiris pada setiap ukuran sampel mendekati standard error teoretis. Hasil ini sesuai dengan Teorema Limit Pusat, yang menyatakan bahwa distribusi sampling rata-rata cenderung mendekati distribusi normal ketika ukuran sampel meningkat, dengan asumsi yang sesuai.

2. Uji normalitas data tunggal dan dua variabel

  1. Untuk data penjualan, buat histogram dan Q-Q plot, lalu lakukan uji ShapiroWilk dan Kolmogorov-Smirnov (pada data terstandarisasi). Tuliskan hipotesis, p-value, dan kesimpulan.
  2. Gunakan lapply() atau sapply() untuk menguji normalitas berat dan tinggi sekaligus, lalu buat Q-Q plot keduanya.
  3. Variabel mana yang lebih mendekati distribusi normal? Jelaskan
# soal 2.a
penjualan <- c(
  45, 52, 47, 50, 49, 53, 54, 48, 51, 50,
  55, 46, 49, 47, 52, 50, 48, 53, 54, 49
)

# Histogram
hist(
  penjualan,
  main = "Histogram Data Penjualan",
  xlab = "Penjualan",
  ylab = "Frekuensi",
  col = "navy",
  border = "white"
)

Berdasarkan histogram, data penjualan paling banyak berada pada interval 48–50 dengan frekuensi 6. Distribusi data cenderung terpusat di sekitar nilai 48–50, dengan rentang penjualan antara 44 hingga 56. Secara umum, distribusi terlihat cukup seimbang meskipun terdapat sedikit variasi frekuensi antarinterval.

# Q-Q plot
qqnorm(
  penjualan,
  main = "Q-Q Plot Data Penjualan"
)
qqline(penjualan, col = "red", lwd = 2)

Berdasarkan Q-Q plot, sebagian besar titik data berada di sekitar garis merah, meskipun terdapat sedikit penyimpangan pada beberapa titik. Hal ini menunjukkan bahwa data penjualan cenderung berdistribusi normal.

Hipotesis pengujian

H_0 : Data penjualan berdistribusi normal.

H_1 : Data penjualan tidak berdistribusi normal.

Taraf signifikansi yang digunakan adalah α=0,05.

# Uji Shapiro-Wilk
shapiro.test(penjualan)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  penjualan
## W = 0.96996, p-value = 0.754

Berdasarkan hasil uji Shapiro-Wilk diperoleh nilai W = 0,96996 dengan p-value = 0,754. Karena p-value > 0,05, maka H0 diterima dan H1 ditolak. Artinya, tidak terdapat bukti yang cukup bahwa data penjualan harian tidak berdistribusi normal. Dengan demikian, data penjualan harian berdistribusi normal.

# Standarisasi data
penjualan_std <- as.numeric(scale(penjualan))

# Uji Kolmogorov-Smirnov pada data terstandarisasi
ks.test(penjualan_std, "pnorm")
## Warning in ks.test.default(penjualan_std, "pnorm"): ties should not be present
## for the one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  penjualan_std
## D = 0.11402, p-value = 0.9573
## alternative hypothesis: two-sided

Berdasarkan hasil uji Kolmogorov-Smirnov diperoleh nilai D = 0,11402 dengan p-value = 0,9573. Karena p-value > 0,05, maka H0 diterima dan H1 ditolak. Artinya, tidak terdapat bukti yang cukup bahwa data penjualan harian tidak berdistribusi normal. Dengan demikian, data penjualan harian berdistribusi normal.

Berdasarkan kedua uji tersebut, yaitu Shapiro-Wilk dan Kolmogorov-Smirnov, diperoleh p-value > 0,05. Oleh karena itu, maka H0 diterima dan H1 ditolak, sehingga data penjualan harian dapat dianggap berdistribusi normal.

# soal 2.b
berat <- c(
  55, 60, 62, 58, 64, 70, 68, 72, 59, 61,
  63, 65, 66, 67, 71, 69, 60, 58, 62, 64,
  73, 75, 77, 68, 70, 72, 74, 69, 63, 65
)

tinggi <- c(
  160, 162, 164, 158, 166, 172, 170, 175, 161, 163,
  165, 167, 169, 171, 173, 174, 160, 159, 164, 166,
  176, 178, 180, 172, 174, 176, 177, 171, 165, 167
)

Hipotesis pengujian

A. Variabel Berat Badan H_0 : Variabel berat badan berdistribusi normal.

H_1 : Variabel berat badan tidak berdistribusi normal.

Taraf signifikansi yang digunakan adalah α=0,05.

B. Variabel Tinggi Badan H_0 : Variabel tinggi badan berdistribusi normal.

H_1 : Variabel tinggi badan tidak berdistribusi normal.

Taraf signifikansi yang digunakan adalah α=0,05.

# Menggabungkan kedua variabel
data_dua <- list(
  Berat = berat,
  Tinggi = tinggi
)

# Uji Shapiro-Wilk sekaligus menggunakan lapply
hasil_normalitas <- lapply(data_dua, shapiro.test)

# Menampilkan hasil setiap variabel
hasil_normalitas
## $Berat
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  X[[i]]
## W = 0.98257, p-value = 0.8889
## 
## 
## $Tinggi
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  X[[i]]
## W = 0.96475, p-value = 0.4071
# Membuat ringkasan statistik uji dan p-value
ringkasan_normalitas <- data.frame(
  Variabel = names(hasil_normalitas),
  W = sapply(hasil_normalitas, function(x) unname(x$statistic)),
  P_Value = sapply(hasil_normalitas, function(x) x$p.value)
)

ringkasan_normalitas
##        Variabel         W   P_Value
## Berat     Berat 0.9825681 0.8889398
## Tinggi   Tinggi 0.9647532 0.4071377

Berat Badan Berdasarkan hasil uji Shapiro-Wilk, diperoleh nilai W = 0,98257 dengan p-value = 0,8889. Karena p-value > 0,05, maka H0 diterima dan H1 ditolak. Artinya, tidak terdapat bukti yang cukup bahwa data berat badan tidak berdistribusi normal. Dengan demikian, data berat badan dapat dianggap berdistribusi normal.

Tinggi Badan Berdasarkan hasil uji Shapiro-Wilk, diperoleh nilai W = 0,96475 dengan p-value = 0,4071. Karena p-value > 0,05, maka H0 diterima dan H1 ditolak. Artinya, tidak terdapat bukti yang cukup bahwa data tinggi badan tidak berdistribusi normal. Dengan demikian, data tinggi badan dapat dianggap berdistribusi normal.

# Q-Q plot berat dan tinggi dalam satu baris
par(mfrow = c(1, 2))

qqnorm(berat, main = "Q-Q Plot Berat")
qqline(berat, col = "red", lwd = 2)

qqnorm(tinggi, main = "Q-Q Plot Tinggi")
qqline(tinggi, col = "red", lwd = 2)

par(mfrow = c(1, 1))

Berdasarkan QQ-Plot tinggi badan, sebagian besar titik pengamatan berada di sekitar garis diagonal. Meskipun terdapat sedikit penyimpangan pada bagian ujung, secara umum titik-titik masih mengikuti pola garis diagonal. Hal ini menunjukkan bahwa data tinggi badan cenderung berdistribusi normal.

soal 2.c

Berdasarkan hasil uji Shapiro-Wilk dan QQ-plot, berat badan dan tinggi badan sama-sama dapat dianggap berdistribusi normal. Namun, jika dibandingkan, berat badan lebih mendekati distribusi normal karena memiliki nilai statistik Shapiro-Wilk yang lebih besar (W = 0,98257) dan p-value yang lebih besar (0,8889) dibandingkan tinggi badan (W = 0,96475; p-value = 0,4071). Hasil QQ-plot juga menunjukkan bahwa titik-titik pada kedua variabel secara umum mengikuti garis diagonal.

3. Uji kesamaan rata-rata data berpasangan

Tekanan darah sistolik (mmHg) 30 pasien sebelum dan sesudah intervensi edukasi gaya hidup selama 6 minggu. a) Hitung selisih (before − after), lalu tampilkan rata-rata dan simpangan baku before, after, dan selisih. b) Buat boxplot before dan after, serta histogram selisih. c) Periksa normalitas selisih dengan uji Shapiro-Wilk. Tuliskan kesimpulan dan tentukan uji yang paling sesuai. d) Lakukan uji t berpasangan dan uji Wilcoxon signed-rank. Tuliskan hipotesis, statistik uji, p-value, selang kepercayaan 95% (untuk uji t), dan kesimpulan. e) Hitung Cohen’s d berpasangan dan interpretasikan. f) Tulis kesimpulan akhir dalam satu paragraf

bp <- data.frame(
  id = 1:30,
  before = c(
    140,150,135,142,128,155,138,147,131,144,
    129,152,141,137,148,133,149,136,130,145,
    139,143,134,151,127,146,132,140,138,135
  ),
  after = c(
    132,145,130,138,125,148,135,140,128,136,
    125,146,135,132,142,130,144,133,127,140,
    134,138,130,145,124,139,128,137,134,131
  )
)
# soal 3.a
# Menghitung selisih sebelum - sesudah
bp$selisih <- bp$before - bp$after
bp$selisih
##  [1] 8 5 5 4 3 7 3 7 3 8 4 6 6 5 6 3 5 3 3 5 5 5 4 6 3 7 4 3 4 4
# Statistik deskriptif
statistik_bp <- data.frame(
  Variabel = c("Before", "After", "Selisih"),
  Mean = c(
    mean(bp$before),
    mean(bp$after),
    mean(bp$selisih)
  ),
  SD = c(
    sd(bp$before),
    sd(bp$after),
    sd(bp$selisih)
  )
)

statistik_bp
##   Variabel     Mean       SD
## 1   Before 139.8333 7.706170
## 2    After 135.0333 6.713257
## 3  Selisih   4.8000 1.562491
# soal 3.b
# Boxplot before dan after
boxplot(
  bp$before, bp$after,
  names = c("Sebelum", "Sesudah"),
  main = "Tekanan Darah Sebelum dan Sesudah",
  xlab = "Waktu Pengukuran",
  ylab = "Tekanan Darah Sistolik (mmHg)",
  col = c("navy", "maroon")
)

Berdasarkan boxplot, tekanan darah sistolik sebelum memiliki median sekitar 139 mmHg, sedangkan sesudah memiliki median sekitar 134–135 mmHg. Hal ini menunjukkan bahwa tekanan darah sistolik cenderung menurun setelah pengukuran. Selain itu, sebaran data setelah pengukuran lebih sempit dibandingkan sebelumnya, yang menunjukkan bahwa data tekanan darah sesudah cenderung lebih homogen. Tidak terlihat adanya pencilan (outlier) pada kedua kelompok.

# Histogram selisih
hist(
  bp$selisih,
  main = "Histogram Selisih Tekanan Darah",
  xlab = "Selisih (Before - After)",
  ylab = "Frekuensi",
  col = "gold",
  border = "white"
)

Berdasarkan histogram selisih tekanan darah (sebelum − sesudah), sebagian besar data berada pada interval 3–4 mmHg dengan frekuensi 14. Frekuensi semakin menurun pada interval yang lebih tinggi, sehingga distribusi data cenderung menceng ke kanan (skewness positif). Seluruh selisih bernilai positif, yang menunjukkan bahwa tekanan darah sistolik setelah pengukuran cenderung lebih rendah daripada sebelum pengukuran.

Hipotesis pengujian

H_0 : Data berdistribusi normal.

H_1 : Data tidak berdistribusi normal.

Taraf Signifikansi

Taraf signifikansi yang digunakan adalah α=0,05, dengan selang kepercayaan 95%.

Statistik Uji

Statistik uji yang digunakan adalah uji Wilcoxon signed-rank.

# soal 3.c
# UJI NORMALITAS SELISIH
shapiro.test(bp$selisih)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  bp$selisih
## W = 0.89942, p-value = 0.008129

Berdasarkan hasil uji normalitas Shapiro-Wilk pada data selisih tekanan darah sebelum dan setelah intervensi, diperoleh nilai p-value = 0,0081. Karena nilai p-value 0,0081 < 0,05, maka H0 ditolak dan terima H1. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa data selisih tekanan darah sistolik sebelum dan setelah intervensi tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu, untuk pengujian hipotesis selanjutnya digunakan uji non-parametrik Wilcoxon signed-rank.

Hipotesis pengujian

H_0: Tidak terdapat perbedaan rata-rata tekanan darah sistolik sebelum dan setelah intervensi.

H_1: Terdapat perbedaan rata-rata tekanan darah sistolik sebelum dan setelah intervensi.

Taraf signifikansi yang digunakan adalah α=0,05.

# soal 3.d
uji_t <- t.test(
  bp$before,
  bp$after,
  paired = TRUE,
  conf.level = 0.95
)

print(uji_t)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  bp$before and bp$after
## t = 16.826, df = 29, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  4.216556 5.383444
## sample estimates:
## mean difference 
##             4.8
uji_wilcoxon <- wilcox.test(
  bp$before,
  bp$after,
  paired = TRUE,
  alternative = "two.sided",
  exact = TRUE
)
## Warning in wilcox.test.default(bp$before, bp$after, paired = TRUE, alternative
## = "two.sided", : cannot compute exact p-value with ties
print(uji_wilcoxon)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  bp$before and bp$after
## V = 465, p-value = 1.619e-06
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Karena data tidak berdistribuis normal maka gunakan Wilcoxon signed-rank test (alternatif non-parametric).

Berdasarkan uji Wilcoxon signed-rank diperoleh nilai V = 465 dan p-value = 1,619 × 10⁻⁶. Karena p-value < 0,05, maka H0 ditolak dan terima H1. Dengan demikian, terdapat perbedaan yang signifikan antara tekanan darah sistolik sebelum dan setelah intervensi edukasi gaya hidup selama 6 minggu. Rata-rata tekanan darah sistolik setelah dilakukan intervensi menjadi menurun.

# soal 3.e
# Menghitung COHEN'S D BERPASANGAN
cohens_d <- mean(bp$selisih) / sd(bp$selisih)

cohens_d
## [1] 3.072017

Berdasarkan hasil perhitungan ukuran efek, diperoleh nilai Cohen’s d = 3,072017. Nilai tersebut menunjukkan bahwa intervensi memiliki efek yang sangat besar terhadap perubahan tekanan darah sistolik. Dengan demikian, selain terdapat perbedaan yang signifikan secara statistik, perubahan tekanan darah setelah intervensi juga memiliki besaran efek yang besar.

Soal 3.F kesimpulan akhir

Berdasarkan hasil analisis terhadap 30 pasien, rata-rata tekanan darah sistolik sebelum intervensi sebesar 139,83 mmHg dan setelah intervensi sebesar 135,03 mmHg, dengan rata-rata selisih sebesar 4,80 mmHg. Hasil uji Shapiro-Wilk menunjukkan bahwa selisih tekanan darah tidak berdistribusi normal karena p-value sebesar 0,0081 lebih kecil dari 0,05. Oleh karena itu, uji Wilcoxon signed-rank digunakan sebagai alternatif nonparametrik. Hasil uji t berpasangan dan uji Wilcoxon sama-sama menunjukkan p-value lebih kecil dari 0,05, sehingga terdapat perbedaan tekanan darah sistolik yang signifikan sebelum dan sesudah intervensi. Selain itu, Cohen’s d berpasangan sebesar 3,072 menunjukkan ukuran efek yang sangat besar. Dengan demikian, pada data yang dianalisis, tekanan darah sistolik setelah intervensi cenderung lebih rendah dibandingkan sebelum intervensi.