Fecha de entrega: 11 de octubre del 2026.

Integrantes:

Contexto:

El riesgo operacional en una institución financiera se entiende como la posibilidad de incurrir en pérdidas derivadas de deficiencias en los procesos internos, errores humanos, fallas tecnológicas o eventos externos. Dentro de esta categoría se inscriben los incidentes de ciberseguridad, cuya materialización puede comprometer el funcionamiento de los sistemas de información y, con ello, la continuidad de los servicios financieros.

Desde un enfoque estadístico, el estudio de este riesgo puede abordarse mediante el análisis de la frecuencia con que se producen los incidentes y del tiempo que transcurre entre un evento y otro. Para ello, resulta pertinente recurrir a modelos probabilísticos capaces de representar el carácter aleatorio de dichos sucesos.

En este marco, se propone emplear las distribuciones de Poisson y Exponencial, las cuales permiten examinar dos dimensiones complementarias de la ocurrencia de incidentes operacionales: el número de eventos registrados en un intervalo determinado y el tiempo de espera entre ellos.

Modelación mediante la distribución de Poisson

La distribución de Poisson resulta adecuada para modelar el número de incidentes que se producen en un intervalo de tiempo determinado, siempre que se asuma que los eventos ocurren de manera independiente y con una tasa promedio constante.

A modo de ilustración, si una institución financiera registra en promedio seis incidentes de ciberseguridad por trimestre, esta distribución permite calcular la probabilidad de que en un trimestre específico se presenten tres, cinco, ocho o más incidentes. En este caso, la variable aleatoria representa el número de incidentes observados durante el trimestre, mientras que el parámetro de la distribución corresponde a la frecuencia media de ocurrencia.

Este modelo posibilita estimar las probabilidades asociadas a distintos niveles de frecuencia, lo que aporta información útil para la planificación de medidas preventivas y para la asignación de recursos en la gestión del riesgo operacional.

Fase 1: Definición de Variables y Ley de Probabilidad

Sea X la variable aleatoria que representa el número de incidentes de ciberseguridad resgitrados en un trimestre. Si la institución observa, en promedio, seis incidentes por trimestre entonces: \[ X \sim Poisson( \lambda = 6)\] Parámetro: tasa media de ocurrencia de incidentes de ciberseguridad por trimestre \(\lambda = 6\)

Espacio Muestral: \(\Omega = \{0,1,2,....\}\)

Función de Probabilidad: \(P(X=x)= \frac{e^{-\lambda}\lambda ^x}{x !}\)

Esperanza y Varianza: \(E(X)= Var(X)= \lambda = 6\)

# Parametro de la distribucion
lambda <- 6

# Valores de la variable aleatoria
x <- 0:20

# Calcular FMP y FDA
fmp <- dpois(x, lambda = lambda)
fda <- ppois(x, lambda = lambda)

# Colocar dos graficos en una fila
par(mfrow = c(1, 2))

# Grafico 1: FMP
plot(x, fmp,
     type = "h",
     lwd = 3,
     col = "steelblue",
     main = "FMP - Poisson",
     xlab = "Numero de incidentes",
     ylab = "Probabilidad",
     ylim = c(0, 0.20))

points(x, fmp, pch = 19, col = "steelblue")

# Grafico 2: FDA
plot(x, fda,
     type = "s",
     lwd = 3,
     col = "darkgreen",
     main = "FDA - Poisson",
     xlab = "Numero de incidentes",
     ylab = "Probabilidad acumulada",
     ylim = c(0, 1))

points(x, fda, pch = 19, col = "darkgreen")

# Restaurar configuracion
par(mfrow = c(1, 1))

Fase 2: Simulación y Visualización

# Inicialización de la semilla para replicar los valores
set.seed(2026)

# Parametros
lambda <- 6
B <- c(10, 50, 100, 1000, 10000)

# Generar una muestra de 10000 observaciones
X <- rpois(10000, lambda = lambda)

# Generar los 5 graficos
for (n in B) {

  muestra <- X[1:n]

  # Promedio acumulado
  promedio <- cumsum(muestra) / seq_len(n)

  # Dos graficos en una fila
  par(mfrow = c(1, 2),
      mar = c(4, 4, 3, 1))

  # Grafico 1: Histograma y FMP
  limites <- seq(-0.5, max(muestra) + 0.5, by = 1)

  hist(muestra,
       breaks = limites,
       probability = TRUE,
       col = "lightblue",
       border = "white",
       main = paste("Poisson - B =", n),
       xlab = "Incidentes por trimestre",
       ylab = "Probabilidad")

  # FMP teorica
  x <- 0:max(muestra)

  points(x, dpois(x, lambda),
         col = "red",
         pch = 19,
         cex = 0.8)

  # Linea vertical de la esperanza
  abline(v = lambda,
         col = "darkgreen",
         lwd = 2,
         lty = 2)

  # Grafico 2: Promedio acumulado
  plot(seq_len(n), promedio,
       type = "l",
       col = "steelblue",
       lwd = 2,
       main = paste("Promedio acumulado - B =", n),
       xlab = "Numero de observaciones",
       ylab = "Promedio muestral",
       ylim = range(c(promedio, lambda)))

  # Esperanza matematica
  abline(h = lambda,
         col = "red",
         lwd = 2,
         lty = 2)

  legend("topright",
         legend = c("Promedio acumulado", "E(X) = 6"),
         col = c("steelblue", "red"),
         lty = c(1, 2),
         bty = "n",
         cex = 0.7)
}

# Restaurar configuracion
par(mfrow = c(1, 1))

Modelación mediante la distribución Exponencial

La distribución Exponencial permite modelar el tiempo que transcurre entre dos incidentes consecutivos, bajo el supuesto de que estos se generan según un proceso de Poisson con tasa constante.

Sea T la variable aleatoria que representa el tiempo, en días, entre dos incidentes sucesivos. Dado que la institución registra en promedio seis incidentes por trimestre y que cada trimestre comprende 90 días, la tasa de ocurrencia se expresa como \(\lambda = \frac{6}{90} = 0,0667\) incidentes por día, de modo que \(T \sim Exp( \lambda = 0.0667)\).

Fase 1: Definición de Variable y Ley de Probabilidad.

Sea \(T \sim Exp(\lambda= \frac{1}{15})\), donde \(T\) representa el tiempo en días entre dos incidentes consecutivos de ciberseguridad.

Parámetro: tasa media de ocurrencia de incidentes de ciberseguridad por día \(\lambda = \frac{1}{15}=0.0667\)

Espacio Muestral: \(\Omega = [0,+\infty)\)

Función de Densidad: \(f(t)=\lambda e^{\lambda t} \quad \text{ para } \quad t \geq 0\)

Esperanza y Varianza: la esperanza matemática corresponde a \(E(T)=\frac{1}{\lambda}=15\) y su varianza es \(Var(T)= \frac{1}{\lambda^2} =225\)

# Parametro de la distribucion
lambda <- 6/90

# Valores de la variable aleatoria (dias)
t <- seq(0, 90, by = 0.1)

# Funcion de Densidad de Probabilidad
fdp <- dexp(t, rate = lambda)

# Funcion de Distribucion Acumulada
fda <- pexp(t, rate = lambda)

# Dos graficos en una fila
par(mfrow = c(1, 2))

# Grafico 1: FDP
plot(t, fdp,
     type = "l",
     lwd = 3,
     col = "steelblue",
     main = "FDP - Exponencial",
     xlab = "Tiempo entre incidentes (dias)",
     ylab = "Densidad de probabilidad")

# Grafico 2: FDA
plot(t, fda,
     type = "l",
     lwd = 3,
     col = "darkgreen",
     main = "FDA - Exponencial",
     xlab = "Tiempo entre incidentes (dias)",
     ylab = "Probabilidad acumulada",
     ylim = c(0, 1))

# Restaurar configuracion
par(mfrow = c(1, 1))

Fase 2: Simulación y Visualización

# Inicialización de semilla para replicar valores
set.seed(2026)

# Parametros
lambda <- 6/90
B <- c(10, 50, 100, 1000, 10000)

# Generar una muestra de 10000 observaciones
T <- rexp(10000, rate = lambda)

# Generar los 5 graficos
for (n in B) {

  muestra <- T[1:n]

  # Promedio acumulado
  promedio <- cumsum(muestra) / seq_len(n)

  # Dos graficos en una fila
  par(mfrow = c(1, 2),
      mar = c(4, 4, 3, 1))

  # Grafico 1: Histograma y FDP
  hist(muestra,
       probability = TRUE,
       breaks = "FD",
       col = "lightblue",
       border = "white",
       main = paste("Exponencial - B =", n),
       xlab = "Tiempo entre incidentes (dias)",
       ylab = "Densidad")

  # FDP teorica
  curve(dexp(x, rate = lambda),
        from = 0,
        to = max(muestra),
        add = TRUE,
        col = "red",
        lwd = 2)

  # Linea vertical de la esperanza
  abline(v = 1/lambda,
         col = "darkgreen",
         lwd = 2,
         lty = 2)

  # Grafico 2: Promedio acumulado
  plot(seq_len(n), promedio,
       type = "l",
       col = "steelblue",
       lwd = 2,
       main = paste("Promedio acumulado - B =", n),
       xlab = "Numero de observaciones",
       ylab = "Promedio muestral (dias)",
       ylim = range(c(promedio, 1/lambda)))

  # Esperanza matematica
  abline(h = 1/lambda,
         col = "red",
         lwd = 2,
         lty = 2)

  legend("topright",
         legend = c("Promedio acumulado", "E(T) = 15"),
         col = c("steelblue", "red"),
         lty = c(1, 2),
         bty = "n",
         cex = 0.7)
}

# Restaurar configuracion
par(mfrow = c(1, 1))

Resultado simulaciones

Estabilidad de los promedios muestrales
B Media_Poisson Error_Poisson Media_Exponencial Error_Exponencial
10 5.4000 0.6000 20.7348 5.7348
50 4.9200 1.0800 19.8114 4.8114
100 5.8400 0.1600 16.9477 1.9477
1000 5.9560 0.0440 15.6099 0.6099
10000 5.9977 0.0023 15.4481 0.4481

¿Por qué usar simulaciones?

La simulación estadística constituye una herramienta importante para analizar el riesgo operacional asociado a incidentes de ciberseguridad en una institución financiera, debido a que permite representar escenarios hipotéticos de ocurrencia de estos eventos sin necesidad de disponer de un registro histórico extenso o esperar a que se produzcan nuevos incidentes.

En el caso de la distribución de Poisson, la simulación permite generar diferentes cantidades de incidentes de ciberseguridad por trimestre, considerando una frecuencia media de 6 incidentes. Esto facilita el estudio de las fluctuaciones aleatorias en el número de eventos y permite analizar cómo se comporta el promedio muestral a medida que aumenta el número de trimestres simulados.

Por su parte, la distribución Exponencial permite simular los tiempos transcurridos entre incidentes consecutivos, considerando un tiempo esperado de 15 días. Mediante estas simulaciones es posible estudiar la variabilidad de los intervalos de espera e identificar cómo el promedio muestral se aproxima progresivamente a su esperanza matemática.

Adicionalmente, la simulación permite evaluar el efecto del tamaño muestral sobre la estabilidad de las estimaciones, mediante la generación de muestras de 10, 50, 100, 1000 y 10000 observaciones.

De esta manera, las simulaciones permiten ilustrar la Ley de los Grandes Números y analizar cómo la variabilidad aleatoria influye en la estimación de los parámetros poblacionales.

En el contexto financiero, estos modelos proporcionan información útil para comprender el comportamiento probabilístico de los incidentes de ciberseguridad y apoyar la planificación de estrategias de prevención y gestión del riesgo operacional.

Restricciones al tomar muestras

La generación de muestras aleatorias mediante las distribuciones de Poisson y Exponencial requiere considerar determinados supuestos y restricciones que pueden influir en la interpretación de los resultados.

En primer lugar, se supone que los incidentes de ciberseguridad ocurren de manera independiente y con una tasa promedio constante. En la distribución de Poisson, esto implica considerar una frecuencia media de 6 incidentes por trimestre, mientras que, en la distribución Exponencial, se establece una tasa de 1/15 incidentes por día. Estos supuestos permiten representar ambos fenómenos mediante un proceso de Poisson homogéneo.

En segundo lugar, debe considerarse el tamaño de la muestra. Cuando se utilizan muestras pequeñas, los promedios muestrales pueden presentar fluctuaciones importantes respecto a sus valores esperados, debido a la influencia de la variabilidad aleatoria. Por el contrario, las muestras de mayor tamaño generalmente permiten obtener estimaciones más estables.

Análisis Distribución de Poisson

En la simulación de la distribución de Poisson, con una esperanza matemática de seis incidentes de ciberseguridad por trimestre, se observa que el promedio muestral presenta fluctuaciones a medida que varía el tamaño de la muestra.

Para \(B = 10\), el promedio obtenido fue de 5,40 incidentes, con un error absoluto de 0,60 respecto al valor esperado. Al aumentar el tamaño muestral a \(B = 50\), el promedio descendió a 4,92 incidentes y el error se incrementó a 1,08. Este comportamiento muestra que un mayor tamaño muestral no asegura, en todos los casos, una aproximación progresiva al valor teórico, debido a la variabilidad aleatoria inherente al proceso de simulación.

No obstante, a partir de \(B = 100\) se aprecia una aproximación más clara a la esperanza matemática, con un promedio de 5,84 incidentes y un error de 0,16. Para \(B = 1000\), el promedio fue de 5,9560, con un error de 0,0440, mientras que para \(B = 10000\) se obtuvo un promedio de 5,9977, con un error de apenas 0,0023.

Estos resultados evidencian una estabilización numérica relevante desde \(B = 1000\), la cual se acentúa de manera considerable con \(B = 10000\). Dicho comportamiento es consistente con lo que predice la Ley de los Grandes Números: a medida que aumenta el número de observaciones, el promedio muestral tiende a converger hacia la esperanza matemática de seis incidentes por trimestre.

Análisis Distribución Exponencial

Para la distribución Exponencial, cuya esperanza matemática es de 15 días entre incidentes consecutivos de ciberseguridad, se observa una mayor variabilidad en los promedios muestrales que la registrada en la distribución de Poisson, sobre todo con tamaños de muestra pequeños.

Con \(B = 10\) se obtuvo un promedio de 20,7348 días, con un error absoluto de 5,7348 días respecto al valor esperado. Al ampliar la muestra a \(B = 50\), el promedio descendió a 19,8114 días y el error se redujo a 4,8114 días.

Para \(B = 100\), el promedio fue de 16,9477 días, con un error de 1,9477 días. Con \(B = 1000\), el promedio alcanzó 15,6099 días y el error disminuyó a 0,6099 días. Finalmente, con \(B = 10000\) se obtuvo un promedio de 15,4481 días, con un error de 0,4481 días.

Estos resultados muestran que el promedio muestral se aproxima de manera progresiva al valor esperado de 15 días. Si bien a partir de \(B = 1000\) se aprecia una estabilización numérica relevante, persisten diferencias respecto al parámetro teórico, incluso con 10000 observaciones.

Este comportamiento es coherente con la Ley de los Grandes Números, que garantiza la convergencia del promedio muestral hacia la esperanza matemática, aunque no de forma exacta ni uniforme para un tamaño de muestra finito. Además, la mayor dispersión de los tiempos simulados puede explicarse por la asimetría positiva de la distribución Exponencial y por su desviación estándar teórica, que en este caso es igual a la media (15 días), lo que implica una variabilidad considerable en las observaciones individuales.

Comparación de Simulaciones

Comparacion de errores relativos de ambas distribuciones
B Error relativo Poisson Error relativo Exponencial
10 10.00 % 38.23 %
50 18.00 % 32.08 %
100 2.67 % 12.98 %
1000 0.73 % 4.07 %
10000 0.04 % 2.99 % 
# Tamanos de muestra
B <- c(10, 50, 100, 1000, 10000)

# Errores relativos porcentuales
error_poisson <- c(10, 18, 2.67, 0.73, 0.04)
error_exponencial <- c(38.23, 32.08, 12.98, 4.07, 2.99)

# Grafico comparativo
plot(B, error_poisson,
     type = "o",
     col = "steelblue",
     pch = 19,
     lwd = 2,
     log = "x",
     ylim = c(0, 40),
     xaxt = "n",
     main = "Comparacion de errores relativos",
     xlab = "Tamano de muestra (B)",
     ylab = "Error relativo (%)")

# Etiquetas del eje X
axis(1, at = B, labels = B)

# Distribucion Exponencial
lines(B, error_exponencial,
      type = "o",
      col = "red",
      pch = 17,
      lwd = 2)

# Lineas de referencia
abline(h = 0, col = "gray50", lty = 2)

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("Poisson", "Exponencial"),
       col = c("steelblue", "red"),
       pch = c(19, 17),
       lty = 1,
       lwd = 2,
       bty = "n")

Los resultados muestran que, en esta simulación particular, la distribución de Poisson presenta errores relativos menores que la Exponencial para casi todos los tamaños muestrales. Esto es coherente con sus coeficientes de variación teóricos: aproximadamente 40,82 % para Poisson y 100 % para Exponencial.

En consecuencia, para un mismo tamaño muestral, los promedios obtenidos de la distribución Exponencial presentan una mayor dispersión relativa alrededor de su esperanza matemática. Esta característica ayuda a explicar por qué, en las simulaciones realizadas, los errores relativos porcentuales de la distribución Exponencial fueron superiores a los de Poisson.

No obstante, en ambas distribuciones se observa una tendencia a la reducción del error relativo conforme aumenta el tamaño de la muestra, comportamiento consistente con la Ley de los Grandes Números.

Ley de los Grandes Números

# Utilizar las muestras X y T previamente simuladas
n <- 1:10000

# Calcular promedios acumulados
media_poisson <- cumsum(X) / n
media_exponencial <- cumsum(T) / n

# Dos graficos
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

# Poisson
plot(n, media_poisson,
     type = "l",
     col = "steelblue",
     lwd = 2,
     main = "LGN - Poisson",
     xlab = "Numero de trimestres simulados",
     ylab = "Promedio de incidentes")

abline(h = 6, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

legend("topright",
       legend = c("Promedio acumulado", "E(X) = 6"),
       col = c("steelblue", "red"),
       lty = c(1, 2),
       bty = "n", cex = 0.8)

# Exponencial
plot(n, media_exponencial,
     type = "l",
     col = "steelblue",
     lwd = 2,
     main = "LGN - Exponencial",
     xlab = "Numero de intervalos simulados",
     ylab = "Promedio de dias")

abline(h = 15, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

legend("topright",
       legend = c("Promedio acumulado", "E(T) = 15"),
       col = c("steelblue", "red"),
       lty = c(1, 2),
       bty = "n", cex = 0.8)

A partir de los gráficos de la Ley de los Grandes Números, se observa que los promedios acumulados de ambas distribuciones presentan fluctuaciones considerables durante las primeras observaciones. Sin embargo, conforme aumenta el tamaño muestral, estas fluctuaciones disminuyen progresivamente.

En la distribución de Poisson, se identifica una estabilización visual clara aproximadamente a partir de 1000 observaciones, cuando el promedio acumulado se mantiene cercano a la esperanza matemática de 6 incidentes por trimestre.

De manera similar, en la distribución Exponencial se aprecia una mayor estabilidad del promedio acumulado aproximadamente desde las 1000 observaciones, aunque persiste una diferencia ligeramente mayor respecto al valor esperado de 15 días.

Estos resultados ilustran la Ley de los Grandes Números, puesto que los promedios muestrales tienden a aproximarse a sus respectivas esperanzas matemáticas a medida que aumenta el número de observaciones. No obstante, la estabilización visual no implica la desaparición completa de las fluctuaciones aleatorias.

Teorema del Límite Central

El Teorema del Límite Central establece que, bajo determinadas condiciones, la distribución de los promedios muestrales tiende a aproximarse a una distribución Normal conforme aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma original de la distribución poblacional, siempre que se cumplan los supuestos correspondientes.

Para ilustrar este comportamiento, se realizaron 5000 repeticiones independientes para diferentes tamaños muestrales, calculando en cada repetición el promedio del número de incidentes trimestrales y del tiempo transcurrido entre incidentes consecutivos.

En el caso de la distribución de Poisson, los promedios muestrales se concentran alrededor de 6 incidentes trimestrales, mientras que, para la distribución Exponencial, se concentran alrededor de 15 días.

A medida que aumenta el tamaño muestral, se espera que los histogramas de los promedios se aproximen a la curva Normal teórica. Asimismo, se observa una reducción de la dispersión de los promedios, debido a que sus errores estándar disminuyen proporcionalmente a la raíz cuadrada del tamaño muestral.

En el contexto del riesgo operacional, este resultado permite comprender cómo se comportan las estimaciones promedio de la frecuencia de incidentes y de los tiempos entre ellos, proporcionando fundamentos estadísticos para realizar inferencias sobre estas características del fenómeno estudiado.

set.seed(2026)

# Numero de repeticiones
R <- 5000

# Tamanos muestrales
B <- c(10, 50, 100, 1000,10000)

for (n in B) {

  # Simular promedios de Poisson
  medias_p <- replicate(R, {
    mean(rpois(n, lambda = 6))
  })

  # Simular promedios de Exponencial
  medias_e <- replicate(R, {
    mean(rexp(n, rate = 1/15))
  })

  # Dos graficos por figura
  par(mfrow = c(1, 2),
      mar = c(4, 4, 3, 1))

  # TLC - Poisson
  hist(medias_p,
       probability = TRUE,
       breaks = 30,
       col = "lightblue",
       border = "white",
       main = paste("TLC - Poisson, n =", n),
       xlab = "Promedio de incidentes",
       ylab = "Densidad")

  curve(dnorm(x,
              mean = 6,
              sd = sqrt(6/n)),
        add = TRUE,
        col = "red",
        lwd = 2)

  abline(v = 6,
         col = "darkgreen",
         lty = 2,
         lwd = 2)

  # TLC - Exponencial
  hist(medias_e,
       probability = TRUE,
       breaks = 30,
       col = "lightblue",
       border = "white",
       main = paste("TLC - Exponencial, n =", n),
       xlab = "Promedio de dias",
       ylab = "Densidad")

  curve(dnorm(x,
              mean = 15,
              sd = 15/sqrt(n)),
        add = TRUE,
        col = "red",
        lwd = 2)

  abline(v = 15,
         col = "darkgreen",
         lty = 2,
         lwd = 2)

  # Cerrar la figura y preparar la siguiente
  par(mfrow = c(1, 1))
}