Integrantes:

  • “Maldonado Miguel Ángel
    ”
  • “Mejía Calle Andrés Eduardo
    ”
  • “Peña Soriano Luis Alberto
    ”
  • “Terán Sánchez Jorge”

Fase 1: Definición de Variables y Ley de Probabilidad

1. Variable Discreta: Distribución Binomial y el Acceso al Crédito en Ecuador

Contexto Ecuatoriano

En el sistema financiero del Ecuador, la inclusión financiera de las micro, pequeñas y medianas empresas (MIPYMES) representa un desafío estructural profundo. Tomando como referencia las métricas de la Superintendencia de Bancos y las cooperativas de ahorro y crédito, la tasa de aprobación de microcréditos para emprendimientos locales ronda el 65% (p = 0.65). Planteamos el análisis sobre una muestra de n = 20 solicitudes presentadas de forma independiente por microempresarios en una agencia bancaria en Guayaquil, evaluando el número total de créditos aprobados.

  • Parámetros: Ensayos independientes (n = 20), Probabilidad de éxito de aprobación (p = 0.65).
  • Espacio Muestral: Omega = {0, 1, 2, …, 20}.
  • Valor Esperado Teórico: E[X] = n * p = 20 * 0.65 = 13 solicitudes aprobadas.

Panel Doble: FMP y FDA Teóricas

A continuación se presenta el comportamiento teórico de la distribución en formato de doble columna utilizando la función de partición de pantalla clásica:

n_bin <- 20
p_bin <- 0.65
x_bin <- 0:n_bin
px_bin <- dbinom(x_bin, size = n_bin, prob = p_bin)

# Configuración del panel de doble columna (1 fila, 2 columnas)
par(mfrow = c(1, 2))

# Gráfico 1: Función de Masa de Probabilidad (FMP)
plot(x_bin, px_bin, type = "h", lwd = 6, col = "mediumseagreen",
     main = "FMP: Binomial B(20, 0.65)", xlab = "Créditos Aprobados", ylab = "p(x)")
points(x_bin, px_bin, pch = 16, col = "darkgreen")

# Gráfico 2: Función de Distribución Acumulada (FDA)
plot(stepfun(x_bin, c(0, pbinom(x_bin, n_bin, p_bin))), 
     main = "FDA Acumulada de Aprobaciones",
     xlab = "x (Créditos)", ylab = "F(x)", col = "darkgreen", lwd = 2, pch = 16)

2. Variable Continua: Distribución Exponencial y el Riesgo Crediticio en Ecuador

Contexto Ecuatoriano

Bajo el entorno económico nacional, el riesgo de crédito y la severidad de las pérdidas financieras representan variables críticas para la estabilidad bancaria. Modelamos la pérdida económica individual (medida en miles de dólares) que experimenta una institución financiera ecuatoriana cuando un cliente entra en situación de impago (Default) dentro de la cartera de consumo. De acuerdo con el comportamiento histórico de las provisiones por incobrables, se utiliza una tasa de riesgo exponencial lambda = 0.02.

  • Parámetro: Tasa de riesgo (lambda = 0.02).
  • Espacio Muestral: Omega = [0, Infinito).
  • Valor Esperado Teórico: E[Y] = 1 / lambda = 1 / 0.02 = 50 (Pérdida media estimada de 50 mil dólares por obligación incumplida).

Panel Doble: FDP y FDA Teóricas

lambda_risk <- 0.02

# Configuración del panel de doble columna
par(mfrow = c(1, 2))

# Gráfico 1: Función de Densidad de Probabilidad (FDP)
curve(dexp(x, rate = lambda_risk), from = 0, to = 250, col = "blue", lwd = 2,
      main = "FDP Exponencial (lambda = 0.02)", xlab = "Pérdida (Miles de USD)", ylab = "f(y)")

# Gráfico 2: Función de Distribución Acumulada (FDA)
curve(pexp(x, rate = lambda_risk), from = 0, to = 250, col = "red", lwd = 2,
      main = "FDA Exponencial", xlab = "Pérdida (Miles de USD)", ylab = "F(y)")

Fase 2: Simulación y Visualización (Aumento de Muestra Progresivo)

1. Simulaciones para la Variable Discreta (Inclusión Financiera)

Evaluamos la fluctuación del promedio muestral frente al tamaño de la simulación utilizando los cortes solicitados (B = 10, 50, 100, 1000, 10000). Organizamos los histogramas en pares sucesivos para mantener el formato a doble columna.

# Fijación de semilla obligatoria para replicabilidad exacta del equipo
set.seed(1234) 
cortes <- c(10, 50, 100, 1000, 10000)

# Configuración del panel de doble columna para las simulaciones secuenciales
par(mfrow = c(3, 2))

for(B in cortes) {
  muestras_b <- rbinom(B, size = n_bin, prob = p_bin)
  promedio_actual <- mean(muestras_b)
  
  hist(muestras_b, breaks = seq(-0.5, n_bin + 0.5, by = 1), prob = TRUE, 
       col = "lightgray", border = "white",
       main = paste("Binomial: B =", B, "| Promedio =", round(promedio_actual, 4)),
       xlab = "Créditos Aprobados", ylab = "Densidad Empírica")
  abline(v = 13, col = "red", lty = 2, lwd = 2)   # E[X] Teórico
  abline(v = promedio_actual, col = "blue", lty = 3, lwd = 2) # Promedio Muestral
}
# Celda vacía de control para mantener simétrica la cuadrícula par(mfrow)
plot.new()
text(0.5, 0.5, "Fin de Histogramas\nBinomial", cex = 1.2, font = 2)

Gráfico de Convergencia Dinámica (LGN) - Binomial

set.seed(1234)
grandes_sim_b <- rbinom(10000, size = n_bin, prob = p_bin)
prom_acum_b <- cumsum(grandes_sim_b) / (1:10000)

plot(prom_acum_b, type = "l", col = "darkgreen", lwd = 2, log = "x",
     main = "Trayectoria de Convergencia: Promedio de Créditos (LGN)", 
     xlab = "Número de Escenarios Simulados (Escala Log)", ylab = "Promedio Acumulado")
abline(h = 13, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

2. Simulaciones para la Variable Continua (Riesgo de Default)

set.seed(1234) # Semilla consistente

par(mfrow = c(3, 2))

for(B in cortes) {
  muestras_c <- rexp(B, rate = lambda_risk)
  promedio_actual_c <- mean(muestras_c)
  
  hist(muestras_c, breaks = 30, prob = TRUE, 
       col = "darkgray", border = "white",
       main = paste("Exponencial: B =", B, "| Promedio =", round(promedio_actual_c, 4)),
       xlab = "Monto de Pérdida (Miles de USD)", ylab = "Densidad Empírica")
  abline(v = 50, col = "red", lty = 2, lwd = 2)   # E[Y] Teórico
  abline(v = promedio_actual_c, col = "blue", lty = 3, lwd = 2) # Promedio Muestral
}
plot.new()
text(0.5, 0.5, "Fin de Histogramas\nExponencial", cex = 1.2, font = 2)

Gráfico de Convergencia Dinámica (LGN) - Exponencial

set.seed(1234)
grandes_sim_c <- rexp(10000, rate = lambda_risk)
prom_acum_c <- cumsum(grandes_sim_c) / (1:10000)

plot(prom_acum_c, type = "l", col = "darkblue", lwd = 2, log = "x",
     main = "Trayectoria de Convergencia: Pérdida Media (LGN)", 
     xlab = "Número de Escenarios Simulados (Escala Log)", ylab = "Pérdida Media Acumulada")
abline(h = 50, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

Análisis Macroeconómico Estadístico

Razones de Simulación y Restricciones de Muestreo Real

En la práctica económica ecuatoriana, la captura de datos empíricos de riesgo sufre limitaciones severas de confidencialidad institucional (secreto bancario) y altos costos operativos. Muestras pequeñas (B = 10 o B = 50) no consiguen representar adecuadamente la estructura poblacional, subestimando las pérdidas por el peso de la volatilidad del azar.

Punto de Estabilización Visual Clara

Al analizar los paneles generados mediante set.seed(1234), la estabilización visual se consolida nítidamente a partir de B = 1000. En los cortes previos, el promedio muestral (línea azul) oscila con holgura lejos de la esperanza (línea roja). Al alcanzar las 1,000 y 10,000 réplicas, las fluctuaciones aleatorias decrecen a niveles marginales y el histograma empírico se ajusta perfectamente al modelo continuo y discreto planteado.

Rol de la LGN y del TLC

  • Ley de los Grandes Números (LGN): Conforme el volumen de datos aumenta, el promedio acumulado converge en probabilidad de manera exacta hacia el parámetro teórico esperado (13 solicitudes y 50 mil dólares respectivamente).
  • Teorema del Límite Central (TLC): Asegura que, a pesar del sesgo original hacia la derecha que mantiene la distribución exponencial individual, la distribución de los promedios muestrales de estas observaciones operará bajo la simetría de una curva Normal al trabajar con muestras grandes, permitiendo realizar inferencia válida y construir intervalos de riesgo estables.