Soal 1: Variabel Acak

komentar <- c(0, 3, 5, 2, 7)       # hasil menghitung
durasi   <- c(12.35, 45.8, 30.02)  # hasil mengukur

all(komentar == round(komentar))   # TRUE -> bilangan bulat (diskrit)
## [1] TRUE
all(durasi == round(durasi))       # FALSE -> ada pecahan (kontinu)
## [1] FALSE

Soal 2: Distribusi Binomial

Diketahui: \(n = 10\), \(p = 0{,}25\). Ditanya: \(P(X=2)\), rata-rata, dan SD.

Perhitungan manual:

\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8=45\times 0{,}0625\times 0{,}1001\approx 0{,}2816\]

Cek dengan tabel binomial (n = 10, p = 0,25):

\[P(X=2)=P(X\le 2)-P(X\le 1)=0{,}5256-0{,}2440=0{,}2816\]

\[\mu = np = 10(0{,}25) = 2{,}5 \text{ klik}\]

\[Var(X)=np(1-p)=10(0{,}25)(0{,}75)=1{,}875 \;\Rightarrow\; SD=\sqrt{1{,}875}\approx 1{,}369 \text{ klik}\]

Verifikasi RStudio:

n <- 10; p <- 0.25

dbinom(2, size = n, prob = p)    # P(X=2)
## [1] 0.2815676
n * p                            # rata-rata
## [1] 2.5
sqrt(n * p * (1 - p))            # SD
## [1] 1.369306

Kesimpulan: peluang tepat 2 pengguna mengklik adalah 0,2816, dengan rata-rata 2,5 klik dan SD sekitar 1,369 klik.

Soal 3: Distribusi Poisson

Diketahui: \(\lambda = 8\) unggahan per menit.

a) P(tepat 5 unggahan), manual:

\[P(X=5)=\frac{e^{-8}\,8^5}{5!}=\frac{(0{,}000335)(32.768)}{120}\approx 0{,}0916\]

Cek dengan tabel Poisson (λ = 8,0): \(P(X\le5)-P(X\le4)=0{,}1912-0{,}0996=0{,}0916\).

b) P(lebih dari 12 unggahan):

\[P(X>12)=1-P(X\le 12)\]

lambda <- 8

dpois(5, lambda)                          # a) P(X=5), pengecekan manual
## [1] 0.09160366
1 - ppois(12, lambda)                     # b) P(X>12)
## [1] 0.0637972
ppois(12, lambda, lower.tail = FALSE)     # cara lain untuk b)
## [1] 0.0637972

Cek dengan tabel Poisson: \(1-0{,}9362=0{,}0638\).

Kesimpulan: \(P(X=5)\approx 0{,}0916\) dan \(P(X>12)\approx 0{,}0638\) (sekitar 6,38%).

Soal 4: Distribusi Normal dan Standardisasi Z

Diketahui: \(\mu = 3\) detik, \(\sigma = 0{,}5\) detik.

a) P(loading > 4 detik), manual:

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]

\[P(X>4)=P(Z>2)=P(Z<-2)=0{,}0228\]

(Tabel Z versi 1, baris -2,0 kolom 0.)

b) Batas 5% loading terlama, manual:

Dicari \(x\) sehingga \(P(X>x)=0{,}05\), yaitu \(\Phi(z)=0{,}95\). Dari tabel Z (area 0 sampai z = 0,4500), diperoleh \(z\approx 1{,}645\).

\[x=\mu+z\sigma=3+(1{,}645)(0{,}5)=3{,}8225 \text{ detik}\]

mu <- 3; sigma <- 0.5

pnorm(4, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)   # a) P(X>4)
## [1] 0.02275013
qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)                    # b) batas 5% terlama
## [1] 3.822427

Kesimpulan: peluang loading lebih dari 4 detik sekitar 2,28%. Halaman yang loading-nya lebih dari sekitar 3,82 detik termasuk 5% terlama.