Premise - Pertemuan 5

Aplikasi analitik media sosial ‘SocMed Insights’ mengumpulkan berbagai data untuk keperluan berikut. Kerjakan tiap poin dengan perhitungan manual DAN sintaks RStudio.

==================================================================================

1 (Variabel Acak) Klasifikasikan: (a) jumlah komentar per unggahan, (b) durasi video yang ditonton (detik) — diskrit atau kontinu?

2 (Binomial) 25% pengguna yang melihat iklan akan mengkliknya. Jika iklan ditampilkan ke 10 pengguna, hitung P(TEPAT 2 mengklik), rata-rata, dan SD jumlah klik.

3 (Poisson) Rata-rata server menerima 8 unggahan foto per menit. Hitung P(TEPAT 5 unggahan) secara manual, dan P(LEBIH DARI 12 unggahan) dengan RStudio.

4 (Normal & Z) Waktu muat halaman berdistribusi normal dengan μ=3 detik, σ=0,5 detik. Hitung P(loading > 4 detik), dan tentukan batas waktu 5% loading TERLAMA.

1. Variabel Acak

Perhitungan Manual

a. Jumlah komentar per unggahan

Jumlah komentar termasuk variabel acak diskrit, karena nilainya berupa bilangan bulat yang dapat dihitung, seperti 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.

b. Durasi video yang ditonton (detik)

Durasi menonton termasuk variabel acak kontinu, karena waktu dapat memiliki nilai pecahan, seperti 2,5 detik atau 3,75 detik.

Sintaks RStudio

jenis_variabel <- c("Diskrit", "Kontinu")
contoh <- c("Jumlah komentar per unggahan", "Durasi video yang ditonton")
data.frame(Variabel = contoh, Jenis = jenis_variabel)
##                       Variabel   Jenis
## 1 Jumlah komentar per unggahan Diskrit
## 2   Durasi video yang ditonton Kontinu

2. Distribusi Binomial

Diketahui:

  • Probabilitas pengguna mengklik iklan: \(p = 0.25\)
  • Probabilitas pengguna tidak mengklik iklan: \(q = 1 - p = 0.75\)
  • Jumlah pengguna: \(n = 10\)
  • Jumlah klik yang dicari: \(x = 2\)

a. Probabilitas tepat 2 pengguna mengklik iklan

Rumus distribusi binomial:

\[ P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Perhitungan manual:

\[ P(X=2)=\binom{10}{2}(0.25)^2(0.75)^8 \]

\[ =\frac{10!}{2!(10-2)!}(0.25)^2(0.75)^8 \]

\[ =45(0.0625)(0.100113) \]

\[ P(X=2)\approx 0.2816 \]

Jadi, probabilitas tepat 2 pengguna mengklik iklan adalah sekitar 28,16%.

Sintaks RStudio:

dbinom(x = 2, size = 10, prob = 0.25)
## [1] 0.2815676

b. Rata-rata jumlah klik

Rumus:

\[ \mu=np \]

Perhitungan manual:

\[ \mu=10(0.25)=2.5 \]

Jadi, rata-rata jumlah klik adalah 2,5 klik.

Sintaks RStudio:

10 * 0.25
## [1] 2.5

c. Standar deviasi jumlah klik

Rumus:

\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]

Perhitungan manual:

\[ \sigma=\sqrt{10(0.25)(0.75)} \]

\[ \sigma=\sqrt{1.875}\approx1.3693 \]

Jadi, standar deviasi jumlah klik adalah sekitar 1,37 klik.

Sintaks RStudio:

sqrt(10 * 0.25 * (1 - 0.25))
## [1] 1.369306

3. Distribusi Poisson

Diketahui rata-rata server menerima 8 unggahan foto per menit.

\[ \lambda=8 \]

a. Probabilitas tepat 5 unggahan foto

Rumus distribusi Poisson:

\[ P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Perhitungan manual:

\[ P(X=5)=\frac{e^{-8}8^5}{5!} \]

\[ =\frac{(0.00033546)(32768)}{120} \]

\[ P(X=5)\approx0.0916 \]

Jadi, probabilitas server menerima tepat 5 unggahan foto dalam satu menit adalah sekitar 9,16%.

Sintaks RStudio:

dpois(x = 5, lambda = 8)
## [1] 0.09160366

b. Probabilitas lebih dari 12 unggahan foto

Yang dicari adalah:

\[ P(X>12)=1-P(X\leq12) \]

Perhitungan menggunakan RStudio:

1 - ppois(q = 12, lambda = 8)
## [1] 0.0637972

Hasilnya menunjukkan probabilitas server menerima lebih dari 12 unggahan foto dalam satu menit, yaitu sekitar 6,3%.

4. Distribusi Normal dan Z-Score

Diketahui:

  • Rata-rata waktu muat halaman: \(\mu=3\) detik
  • Standar deviasi: \(\sigma=0.5\) detik

a. Probabilitas waktu muat lebih dari 4 detik

Rumus Z-score:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Perhitungan manual:

\[ Z=\frac{4-3}{0.5}=2 \]

Dengan tabel distribusi normal standar:

\[ P(X>4)=P(Z>2) \]

\[ P(Z>2)=1-P(Z\leq2) \]

\[ =1-0.97725=0.02275 \]

Jadi, probabilitas waktu muat halaman lebih dari 4 detik adalah sekitar 2,275%.

Sintaks RStudio:

1 - pnorm(q = 4, mean = 3, sd = 0.5)
## [1] 0.02275013

b. Batas waktu 5% loading terlama

Lima persen loading terlama berarti mencari persentil ke-95, karena 95% waktu muat berada di bawah batas tersebut.

Dengan demikian:

\[ P(X\leq x)=0.95 \]

Nilai Z untuk persentil ke-95 adalah sekitar:

\[ Z_{0.95}=1.645 \]

Menggunakan rumus:

\[ X=\mu+Z\sigma \]

Perhitungan manual:

\[ X=3+(1.645)(0.5) \]

\[ X=3+0.8225=3.8225 \]

Jadi, batas waktu untuk 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik.

Sintaks RStudio:

qnorm(p = 0.95, mean = 3, sd = 0.5)
## [1] 3.822427

Kesimpulan

  1. Jumlah komentar merupakan variabel acak diskrit, sedangkan durasi menonton merupakan variabel acak kontinu.
  2. Distribusi binomial menghasilkan probabilitas tepat 2 klik sebesar 28,16%, rata-rata 2,5 klik, dan standar deviasi 1,37 klik.
  3. Distribusi Poisson menghasilkan probabilitas tepat 5 unggahan sebesar 9,16%, sedangkan probabilitas lebih dari 12 unggahan dapat dihitung menggunakan fungsi ppois() di RStudio.
  4. Distribusi normal menghasilkan probabilitas loading lebih dari 4 detik sebesar 2,275%. Batas waktu untuk 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik.