Poin 1 — Variabel Acak (Diskrit vs Kontinu)

Perhitungan / Penjelasan Manual

Variabel Nilai yang mungkin Cara diperoleh Klasifikasi
(a) Jumlah komentar per unggahan 0, 1, 2, 3, … (bilangan bulat) dihitung (counting) DISKRIT
(b) Durasi video yang ditonton (detik) semua nilai real pada suatu interval, mis. 12,37 detik diukur (measuring) KONTINU

Alasan:

    1. Komentar bisa dihitung satu per satu dan tidak mungkin ada 2,5 komentar. Himpunan nilainya countable → diskrit.
    1. Durasi tontonan dapat bernilai pecahan berapa pun (mis. 45,2 s; 45,23 s; …). Himpunan nilainya tak terhitung dalam suatu interval → kontinu.

Sintaks RStudio

Contoh data sampel untuk mengecek tipe datanya:

set.seed(123)
komentar <- rpois(10, lambda = 4)                 # hasil menghitung -> bilangan bulat
durasi   <- round(runif(10, 5, 120), 2)           # hasil mengukur  -> bilangan desimal

komentar
##  [1] 3 6 3 6 7 1 4 7 4 4
durasi
##  [1] 115.04  57.13  82.92  70.85  16.84 108.48  33.30   9.84  42.71 114.77
# Cek: apakah semua nilai bilangan bulat?
all(komentar == round(komentar))   # TRUE  -> diskrit
## [1] TRUE
all(durasi   == round(durasi))     # FALSE -> kontinu
## [1] FALSE
data.frame(
  Variabel    = c("Jumlah komentar per unggahan", "Durasi video ditonton (detik)"),
  Klasifikasi = c("Diskrit", "Kontinu")
)
##                        Variabel Klasifikasi
## 1  Jumlah komentar per unggahan     Diskrit
## 2 Durasi video ditonton (detik)     Kontinu

Kesimpulan Poin 1: (a) jumlah komentar per unggahan = diskrit; (b) durasi video yang ditonton = kontinu.

Poin 2 — Distribusi Binomial

Diketahui: \(n = 10\), \(p = 0{,}25\), \(q = 1-p = 0{,}75\). Misal \(X\) = banyak pengguna yang mengklik iklan, \(X \sim Bin(10;\,0{,}25)\).

Ditanya: \(P(X = 2)\), rata-rata \(E(X)\), dan simpangan baku \(SD(X)\).

Perhitungan Manual

a. \(P(X = 2)\)

Cara rumus:

\[P(X=x)=\binom{n}{x}p^{x}q^{\,n-x}\]

\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^{2}(0{,}75)^{8}\]

\[\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45\]

\[(0{,}25)^2 = 0{,}0625 \qquad (0{,}75)^8 = 0{,}100113\]

\[P(X=2)=45\times 0{,}0625\times 0{,}100113 = 0{,}2816\]

Cara Tabel Binomial Kumulatif (\(n=10\), \(p=0{,}25\)):

\[P(X=2)=P(X\le 2)-P(X\le 1)=0{,}5256-0{,}2440=0{,}2816\]

b. Rata-rata

\[\mu = E(X) = n\,p = 10\times 0{,}25 = 2{,}5 \text{ klik}\]

c. Simpangan baku

\[\sigma = \sqrt{n\,p\,q}=\sqrt{10\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}=1{,}3693 \text{ klik}\]

Sintaks RStudio

n <- 10
p <- 0.25

# a. P(X = 2)
p_x2 <- dbinom(x = 2, size = n, prob = p)
p_x2
## [1] 0.2815676
# cek dengan selisih kumulatif (seperti tabel)
pbinom(2, n, p) - pbinom(1, n, p)
## [1] 0.2815676
# b. rata-rata
rata2 <- n * p
rata2
## [1] 2.5
# c. simpangan baku
sd_bin <- sqrt(n * p * (1 - p))
sd_bin
## [1] 1.369306
# Ringkasan
data.frame(
  `P(X=2)`   = round(p_x2, 4),
  `Rata-rata` = rata2,
  `SD`        = round(sd_bin, 4),
  check.names = FALSE
)
##   P(X=2) Rata-rata     SD
## 1 0.2816       2.5 1.3693
# Visualisasi distribusi
barplot(dbinom(0:n, n, p), names.arg = 0:n, col = "steelblue",
        xlab = "Jumlah klik (X)", ylab = "P(X = x)",
        main = "Distribusi Binomial n = 10, p = 0.25")

Kesimpulan Poin 2: \(P(X=2)=0{,}2816\) (≈ 28,16%); rata-rata = 2,5 klik; SD = 1,3693 klik.

Poin 3 — Distribusi Poisson

Diketahui: \(\lambda = 8\) unggahan foto per menit. \(X \sim Poisson(8)\).

Ditanya: \(P(X = 5)\) secara manual dan \(P(X > 12)\) dengan RStudio.

Perhitungan Manual

a. \(P(X = 5)\)

Cara rumus:

\[P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}\]

\[P(X=5)=\frac{e^{-8}\,8^{5}}{5!}=\frac{(0{,}000335)(32768)}{120}=0{,}0916\]

Cara Tabel Poisson Kumulatif (\(\lambda = 8{,}0\)):

\[P(X=5)=P(X\le 5)-P(X\le 4)=0{,}1912-0{,}0996=0{,}0916\]

b. \(P(X > 12)\) (cek manual dengan tabel)

\[P(X>12)=1-P(X\le 12)=1-0{,}9362=0{,}0638\]

Sintaks RStudio

lambda <- 8

# a. P(X = 5)
p5 <- dpois(5, lambda)
p5
## [1] 0.09160366
# cek dengan selisih kumulatif (seperti tabel)
ppois(5, lambda) - ppois(4, lambda)
## [1] 0.09160366
# b. P(X > 12) = 1 - P(X <= 12)
p_lebih12 <- 1 - ppois(12, lambda)
p_lebih12
## [1] 0.0637972
# cara lain (hasil sama)
ppois(12, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0637972
data.frame(
  Peluang = c("P(X = 5)", "P(X > 12)"),
  Nilai   = round(c(p5, p_lebih12), 4)
)
##     Peluang  Nilai
## 1  P(X = 5) 0.0916
## 2 P(X > 12) 0.0638
# Visualisasi
x <- 0:20
barplot(dpois(x, lambda), names.arg = x, col = ifelse(x > 12, "tomato", "grey70"),
        xlab = "Jumlah unggahan per menit (X)", ylab = "P(X = x)",
        main = "Distribusi Poisson (lambda = 8); merah = X > 12")

Kesimpulan Poin 3: \(P(X=5)=0{,}0916\) (≈ 9,16%) dan \(P(X>12)=0{,}0638\) (≈ 6,38%).

Poin 4 — Distribusi Normal & Nilai Z

Diketahui: \(X \sim N(\mu = 3;\ \sigma = 0{,}5)\) (waktu muat halaman dalam detik).

Ditanya: \(P(X > 4)\) dan batas waktu 5% loading terlama.

Perhitungan Manual

a. \(P(X > 4)\)

Standarisasi:

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2{,}00\]

\[P(X>4)=P(Z>2{,}00)=1-P(Z\le 2{,}00)\]

Dengan tabel Z (luas dari −∞ s.d. z): \(P(Z\le 2{,}00)=0{,}9772\) (dari tabel \(P(Z \le -2{,}00)=0{,}0228\), sehingga \(P(Z\le 2{,}00)=1-0{,}0228\))

Dengan tabel Z (luas dari 0 s.d. z): \(P(0<Z<2{,}00)=0{,}4772\)

\[P(Z>2{,}00)=0{,}5-0{,}4772=0{,}0228\]

b. Batas waktu 5% loading terlama

5% terlama berarti 5% di ekor kanan, sehingga 95% di sebelah kiri batas (persentil ke-95):

\[P(X>x_0)=0{,}05 \;\Rightarrow\; P(Z< z_0)=0{,}95 \;\Rightarrow\; P(0<Z<z_0)=0{,}95-0{,}50=0{,}45\]

Cari 0,4500 pada tabel (0 s.d. z): \(z=1{,}64 \to 0{,}4495\) dan \(z=1{,}65 \to 0{,}4505\). Nilai 0,4500 berada di tengah-tengahnya, sehingga \(z_0 \approx 1{,}645\).

Ubah kembali ke satuan detik:

\[x_0=\mu+z_0\,\sigma = 3 + (1{,}645)(0{,}5)=3{,}8225 \approx 3{,}82 \text{ detik}\]

Artinya, halaman yang waktu mutanya lebih dari ±3,82 detik termasuk 5% loading terlama.

Sintaks RStudio

mu    <- 3
sigma <- 0.5

# a. P(X > 4)
z <- (4 - mu) / sigma
z
## [1] 2
p_lebih4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)
p_lebih4
## [1] 0.02275013
# cara lain (hasil sama)
pnorm(4, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013
1 - pnorm(z)     # lewat nilai Z baku
## [1] 0.02275013
# b. Batas 5% loading terlama = persentil ke-95
z_batas <- qnorm(0.95)                 # nilai Z
z_batas
## [1] 1.644854
x_batas <- qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)
x_batas
## [1] 3.822427
# cek: mu + z * sigma
mu + z_batas * sigma
## [1] 3.822427
data.frame(
  Keterangan = c("P(X > 4 detik)", "Batas 5% terlama (detik)"),
  Hasil      = round(c(p_lebih4, x_batas), 4)
)
##                 Keterangan  Hasil
## 1           P(X > 4 detik) 0.0228
## 2 Batas 5% terlama (detik) 3.8224
# Visualisasi
curve(dnorm(x, mu, sigma), from = 1, to = 5, lwd = 2,
      xlab = "Waktu muat (detik)", ylab = "Density",
      main = "Waktu Muat Halaman ~ N(3; 0,5)")
xx <- seq(4, 5, length.out = 100)
polygon(c(4, xx, 5), c(0, dnorm(xx, mu, sigma), 0), col = "tomato", border = NA)
abline(v = x_batas, lty = 2, col = "blue")
legend("topright", c("P(X > 4)", "Batas 5% terlama"),
       fill = c("tomato", NA), border = NA, lty = c(NA, 2), col = c(NA, "blue"), bty = "n")

Kesimpulan Poin 4: \(P(\text{loading} > 4 \text{ detik}) = 0{,}0228\) (≈ 2,28%); batas waktu 5% loading terlama ≈ 3,82 detik.

Rekapitulasi Hasil

Poin Pertanyaan Hasil
1 (a) Jumlah komentar; (b) Durasi video (a) Diskrit; (b) Kontinu
2 \(P(X=2)\); rata-rata; SD 0,2816; 2,5; 1,3693
3 \(P(X=5)\); \(P(X>12)\) 0,0916; 0,0638
4 \(P(X>4)\); batas 5% terlama 0,0228; 3,82 detik