Soal 1. Klasifikasi Variabel Acak

Variabel Jenis Alasan
(a) Jumlah komentar per unggahan Diskrit Diperoleh dengan menghitung, berupa bilangan bulat (0, 1, 2, …). Tidak mungkin ada 2,5 komentar.
(b) Durasi video yang ditonton (detik) Kontinu Diperoleh dengan mengukur, dapat bernilai bilangan real pada suatu interval (mis. 12,47 detik).

Sintaks RStudio (ilustrasi)

komentar <- c(0, 3, 5, 2, 8)              # hasil menghitung -> diskrit
durasi   <- c(12.47, 30.2, 5.83, 61.09)   # hasil mengukur  -> kontinu

data.frame(
  variabel = c("Jumlah komentar", "Durasi video (detik)"),
  contoh   = c(paste(komentar, collapse = ", "),
               paste(durasi, collapse = ", ")),
  jenis    = c("Diskrit", "Kontinu")
)

Soal 2. Distribusi Binomial

Diketahui: \(n = 10\), \(p = 0{,}25\), \(q = 0{,}75\), dan \(X\) = banyaknya pengguna yang mengklik iklan.

Perhitungan Manual

Peluang tepat 2 klik:

\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8\]

  • \(\binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2!\,8!} = 45\)
  • \((0{,}25)^2 = 0{,}0625\)
  • \((0{,}75)^8 = 0{,}100113\)

\[P(X=2) = 45 \times 0{,}0625 \times 0{,}100113 = 0{,}2816\]

Rata-rata:

\[\mu = n\,p = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5 \text{ klik}\]

Simpangan baku:

\[\sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{10 \times 0{,}25 \times 0{,}75} = \sqrt{1{,}875} = 1{,}369 \text{ klik}\]

Sintaks RStudio

n <- 10
p <- 0.25

p_2klik <- dbinom(2, size = n, prob = p)   # P(X = 2)
mu2     <- n * p                           # rata-rata
sigma2  <- sqrt(n * p * (1 - p))           # simpangan baku

data.frame(
  ukuran = c("P(X = 2)", "Rata-rata", "Simpangan baku"),
  nilai  = round(c(p_2klik, mu2, sigma2), 4)
)
x <- 0:n
barplot(dbinom(x, n, p), names.arg = x,
        col = ifelse(x == 2, "firebrick", "grey70"),
        xlab = "Jumlah klik (X)", ylab = "P(X = x)",
        main = "Distribusi Binomial (n = 10, p = 0,25)")

Kesimpulan: Peluang tepat 2 dari 10 pengguna mengklik iklan adalah 0.2816, dengan rata-rata 2.5 klik dan simpangan baku 1.369 klik.

Soal 3. Distribusi Poisson

Diketahui: rata-rata \(\mu = 8\) unggahan foto per menit.

Perhitungan Manual: \(P(X=5)\)

\[P(X=5)=\frac{e^{-\mu}\,\mu^{5}}{5!}=\frac{e^{-8}\,8^{5}}{5!}\]

  • \(e^{-8} = 0{,}00033546\)
  • \(8^5 = 32.768\)
  • \(5! = 120\)

\[P(X=5)=\frac{0{,}00033546 \times 32.768}{120}=\frac{10{,}9922}{120}=0{,}0916\]

Sintaks RStudio

a. \(P(X=5)\) (verifikasi hasil manual)

mu3 <- 8
p5  <- dpois(5, lambda = mu3)
p5
## [1] 0.09160366

b. \(P(X>12)\)

\[P(X>12) = 1 - P(X \le 12)\]

p_lebih12 <- 1 - ppois(12, lambda = mu3)
p_lebih12
## [1] 0.0637972
# cara alternatif (hasil sama)
ppois(12, lambda = mu3, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0637972
x <- 0:20
barplot(dpois(x, mu3), names.arg = x,
        col = ifelse(x > 12, "firebrick", "grey70"),
        xlab = "Jumlah unggahan per menit (X)", ylab = "P(X = x)",
        main = "Distribusi Poisson (mu = 8); merah: X > 12")

Kesimpulan: \(P(X=5) =\) 0.0916 dan \(P(X>12) =\) 0.0638 (sekitar 6.38%).

Soal 4. Distribusi Normal dan Nilai Z

Diketahui: \(X \sim N(\mu = 3,\ \sigma = 0{,}5)\) detik.

Perhitungan Manual

a. \(P(\text{loading} > 4)\)

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]

\[P(X>4)=P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228\]

b. Batas 5% loading terlama

Dicari \(x\) sehingga \(P(X>x)=0{,}05\), yaitu \(P(X\le x)=0{,}95\). Dari tabel Z diperoleh \(z_{0{,}95}=1{,}645\).

\[x=\mu+z\,\sigma=3+(1{,}645)(0{,}5)=3+0{,}8225=3{,}82 \text{ detik}\]

Sintaks RStudio

mu4    <- 3
sigma4 <- 0.5

# a. P(loading > 4 detik)
z_4   <- (4 - mu4) / sigma4
p_gt4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu4, sd = sigma4)
# alternatif: pnorm(4, mu4, sigma4, lower.tail = FALSE)

# b. batas 5% loading terlama (persentil ke-95)
batas95 <- qnorm(0.95, mean = mu4, sd = sigma4)

data.frame(
  ukuran = c("Nilai Z untuk x = 4", "P(loading > 4 detik)",
             "Batas 5% terlama (detik)"),
  nilai  = round(c(z_4, p_gt4, batas95), 4)
)
x <- seq(1, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x, mu4, sigma4)
plot(x, y, type = "l", lwd = 2,
     xlab = "Waktu loading (detik)", ylab = "Kepadatan",
     main = "Distribusi Normal (mu = 3, sigma = 0,5)")
# area P(X > 4)
xs <- seq(4, 5, length.out = 100)
polygon(c(4, xs, 5), c(0, dnorm(xs, mu4, sigma4), 0),
        col = rgb(0.8, 0.1, 0.1, 0.5), border = NA)
# garis batas 5% terlama
abline(v = batas95, lty = 2, col = "blue")
legend("topright", legend = c("P(X > 4)", "Batas 5% terlama"),
       fill = c(rgb(0.8, 0.1, 0.1, 0.5), NA), border = NA,
       lty = c(NA, 2), col = c(NA, "blue"), bty = "n")

Kesimpulan: \(P(\text{loading} > 4) =\) 0.0228 (sekitar 2.28%). Sebanyak 5% loading terlama adalah yang melebihi 3.82 detik.

Rangkuman Hasil

No Hasil
1 (a) Diskrit; (b) Kontinu
2 \(P(X=2) = 0{,}2816\); \(\mu = 2{,}5\); \(\sigma = 1{,}369\)
3 \(P(X=5) = 0{,}0916\); \(P(X>12) = 0{,}0638\)
4 \(P(\text{loading}>4) = 0{,}0228\); batas 5% terlama \(= 3{,}82\) detik