Soal. Klasifikasikan: (a) jumlah komentar per unggahan, (b) durasi video yang ditonton (detik). Termasuk variabel acak diskrit atau kontinu?
Jumlah komentar per unggahan diperoleh dengan mencacah: 0, 1, 2, … (tidak mungkin ada 2,5 komentar), jadi diskrit.
Durasi video yang ditonton diperoleh dengan mengukur dan bisa desimal (misal 12,374 detik), jadi kontinu.
klasifikasi <- data.frame(
Variabel = c("Jumlah komentar per unggahan", "Durasi video yang ditonton (detik)"),
Contoh_Nilai = c("0, 3, 12, 5, 27", "12.374, 45.8, 3.912, 60.25"),
Diperoleh_Dengan = c("Mencacah", "Mengukur"),
Tipe = c("Diskrit", "Kontinu")
)
knitr::kable(klasifikasi,
col.names = c("Variabel", "Contoh Nilai", "Diperoleh Dengan", "Tipe"))| Variabel | Contoh Nilai | Diperoleh Dengan | Tipe |
|---|---|---|---|
| Jumlah komentar per unggahan | 0, 3, 12, 5, 27 | Mencacah | Diskrit |
| Durasi video yang ditonton (detik) | 12.374, 45.8, 3.912, 60.25 | Mengukur | Kontinu |
Soal. 25% pengguna yang melihat iklan akan mengkliknya. Jika iklan ditampilkan ke 10 pengguna, hitung P(tepat 2 mengklik), rata-rata, dan simpangan baku (SD) jumlah klik.
Diketahui: \(n = 10\) dan \(p = 0{,}25\)
Setiap pengguna hanya punya 2 hasil (klik atau tidak) dan saling bebas, jadi \(X \sim \text{Binomial}(10;\ 0{,}25)\):
\[P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\]
a) P(X = 2)
\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8=45\times 0{,}0625\times 0{,}100113\approx \mathbf{0{,}2816}\]
b) Rata-rata dan simpangan baku
\[E(X)=np=10\times 0{,}25=\mathbf{2{,}5}\]
\[SD(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}\approx \mathbf{1{,}3693}\]
n <- 10 # jumlah pengguna
p <- 0.25 # peluang klik
hasil2 <- data.frame(
Yang_Dihitung = c("P(X = 2)", "Rata-rata E(X)", "Simpangan baku SD(X)"),
Hasil = c(round(dbinom(2, n, p), 4), n * p, round(sqrt(n * p * (1 - p)), 4))
)
knitr::kable(hasil2, col.names = c("Yang Dihitung", "Hasil"), align = c("l", "c"))| Yang Dihitung | Hasil |
|---|---|
| P(X = 2) | 0.2816 |
| Rata-rata E(X) | 2.5000 |
| Simpangan baku SD(X) | 1.3693 |
Soal. Rata-rata server menerima 8 unggahan foto per menit. Hitung P(tepat 5 unggahan) secara manual, dan P(lebih dari 12 unggahan) dengan RStudio.
Diketahui: \(\lambda = 8\) unggahan per menit, sehingga \(X \sim \text{Poisson}(8)\):
\[P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\]
a) P(X = 5)
\[P(X=5)=\frac{e^{-8}\times 8^5}{5!}=\frac{0{,}000335463\times 32768}{120}\approx \mathbf{0{,}0916}\]
b) P(X > 12) dikerjakan dengan RStudio (sesuai ketentuan soal), memakai komplemen:
\[P(X>12)=1-P(X\le 12)\]
lambda <- 8 # rata-rata unggahan per menit
hasil3 <- data.frame(
Yang_Dihitung = c("P(X = 5), pengecekan hasil manual", "P(X > 12)"),
Hasil = c(round(dpois(5, lambda), 4), round(1 - ppois(12, lambda), 4))
)
knitr::kable(hasil3, col.names = c("Yang Dihitung", "Hasil"), align = c("l", "c"))| Yang Dihitung | Hasil |
|---|---|
| P(X = 5), pengecekan hasil manual | 0.0916 |
| P(X > 12) | 0.0638 |
Soal. Waktu muat halaman berdistribusi normal dengan \(\mu=3\) detik dan \(\sigma=0{,}5\) detik. Hitung P(loading > 4 detik), dan tentukan batas waktu 5% loading terlama.
Diketahui: \(\mu = 3\) dan \(\sigma = 0{,}5\). Rumus standardisasi:
\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
a) P(X > 4)
\[Z=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]
\[P(X>4)=P(Z>2)=1-0{,}9772=\mathbf{0{,}0228}\]
b) Batas 5% loading terlama
Dicari \(x_0\) dengan \(P(X\le x_0)=0{,}95\). Dari tabel Z, \(z\approx 1{,}645\), maka
\[x_0=\mu+z\sigma=3+1{,}645\times 0{,}5\approx \mathbf{3{,}82 \text{ detik}}\]
mu <- 3 # rata-rata (detik)
sigma <- 0.5 # simpangan baku (detik)
z <- (4 - mu) / sigma
hasil4 <- data.frame(
Yang_Dihitung = c("Nilai Z untuk X = 4", "P(X > 4)",
"Nilai z persentil ke-95", "Batas 5% loading terlama (detik)"),
Hasil = c(z, round(1 - pnorm(z), 4),
round(qnorm(0.95), 3), round(qnorm(0.95, mu, sigma), 4))
)
knitr::kable(hasil4, col.names = c("Yang Dihitung", "Hasil"), align = c("l", "c"))| Yang Dihitung | Hasil |
|---|---|
| Nilai Z untuk X = 4 | 2.0000 |
| P(X > 4) | 0.0228 |
| Nilai z persentil ke-95 | 1.6450 |
| Batas 5% loading terlama (detik) | 3.8224 |