1. Variabel Acak

(a) Jumlah komentar per unggahan

Jumlah komentar per unggahan merupakan variabel acak diskrit karena nilainya berupa bilangan cacah seperti 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Tidak mungkin terdapat 2,5 komentar.

(b) Durasi video yang ditonton

Durasi video merupakan variabel acak kontinu karena perlu titik yang presisi seperti 10,63 detik, 10 detik, 10,5 detik, atau 10,57 detik.

Kesimpulan:

Variabel Jenis
Jumlah komentar per unggahan Diskrit
Durasi video yang ditonton Kontinu

2. Distribusi Binomial

Diketahui:

  • Jumlah pengguna: \(n = 10\)
  • Peluang pengguna mengklik iklan: \(p = 0,25\)
  • Peluang tidak mengklik: \(1-p = 0,75\)

Ditanyakan peluang tepat 2 pengguna mengklik, rata-rata, dan standar deviasi.

Perhitungan manual

Rumus distribusi binomial:

\[ P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Untuk tepat 2 klik:

\[ P(X=2)=\binom{10}{2}(0,25)^2(0,75)^8 \]

\[ =45(0,0625)(0,1001129) \]

\[ =0,2815676 \]

Jadi:

\[ \boxed{P(X=2)=0,2815676=28,16\%} \]

Rata-rata:

\[ \mu=np=10(0,25)=2,5 \]

Standar deviasi:

\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]

\[ =\sqrt{10(0,25)(0,75)} =\sqrt{1,875} =1,369306 \]

Sintaks RStudio

n <- 10
p <- 0.25

# Peluang tepat 2 pengguna mengklik
dbinom(2, size = n, prob = p)
## [1] 0.2815676
# Rata-rata
mean_binomial <- n * p
mean_binomial
## [1] 2.5
# Standar deviasi
sd_binomial <- sqrt(n * p * (1 - p))
sd_binomial
## [1] 1.369306

Hasil

  • P(tepat 2 klik) = 0,2815676
  • Rata-rata = 2,5
  • Standar deviasi = 1,369306

3. Distribusi Poisson

Diketahui rata-rata server menerima:

\[ \lambda=8 \]

unggahan foto per menit.

(a) P(tepat 5 unggahan)

Rumus distribusi Poisson:

\[ P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Untuk \(X=5\):

\[ P(X=5)=\frac{e^{-8}(8)^5}{5!} \]

\[ =0,09160366 \]

Jadi:

\[ \boxed{P(X=5)=0,09160366=9,16\%} \]

Sintaks RStudio

lambda <- 8

dpois(5, lambda = lambda)
## [1] 0.09160366

Hasil:

0,09160366

(b) P(lebih dari 12 unggahan)

Yang dicari adalah:

\[ P(X>12) \]

Di RStudio:

ppois(12, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0637972

Hasil:

\[ \boxed{P(X>12)=0,063798} \]

atau sekitar 6,38%.

4. Distribusi Normal dan Z

Diketahui waktu muat halaman berdistribusi normal dengan:

\[ \mu=3 \text{ detik} \]

\[ \sigma=0,5 \text{ detik} \]

(a) P(loading > 4 detik)

Rumus Z:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

\[ Z=\frac{4-3}{0,5}=2 \]

Sehingga:

\[ P(X>4)=P(Z>2) \]

Dari tabel Z:

\[ P(Z>2)=1-0,9772=0,0228 \]

Jadi:

\[ \boxed{P(X>4)=0,0228=2,28\%} \]

Sintaks RStudio

mu <- 3
sigma <- 0.5

pnorm(4, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013

Hasil R:

0,02275013

(b) Batas waktu 5% loading terlama

5% loading terlama berarti mencari persentil ke-95.

\[ P(X<x)=0,95 \]

Nilai Z pada 95% adalah sekitar:

\[ Z=1,645 \]

Maka:

\[ X=\mu+Z\sigma \]

\[ X=3+(1,645)(0,5) \]

\[ X=3,8225 \]

Jadi batas waktu 5% loading terlama adalah sekitar:

\[ \boxed{3,82\text{ detik}} \]

Sintaks RStudio

qnorm(0.95, mean = 3, sd = 0.5)
## [1] 3.822427

Hasil R:

3,822427 detik

Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan, diperoleh bahwa jumlah komentar merupakan variabel acak diskrit sedangkan durasi video merupakan variabel acak kontinu.

Pada distribusi binomial, peluang tepat 2 dari 10 pengguna mengklik iklan adalah 28,16%, dengan rata-rata 2,5 klik dan standar deviasi 1,3693.

Pada distribusi Poisson, peluang server menerima tepat 5 unggahan per menit adalah 9,16%, sedangkan peluang menerima lebih dari 12 unggahan adalah sekitar 6,38%.

Pada distribusi normal, peluang waktu loading lebih dari 4 detik adalah sekitar 2,28%. Batas waktu untuk 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik.