Tugas Pendalaman Materi: SocMed Insights

1. Variabel Acak

Klasifikasi <- data.frame(
  No = 1:2,
  Variabel = c(
    "Jumlah komentar per unggahan",
    "Durasi video yang ditonton (detik)"
  ),
  Tipe = c("Diskrit", "Kontinu"),
  Alasan = c(
    "Jumlah komentar dapat dihitung dalam bilangan bulat",
    "Durasi waktu dapat memiliki nilai pecahan"
  )
)

knitr::kable(Klasifikasi)
No Variabel Tipe Alasan
1 Jumlah komentar per unggahan Diskrit Jumlah komentar dapat dihitung dalam bilangan bulat
2 Durasi video yang ditonton (detik) Kontinu Durasi waktu dapat memiliki nilai pecahan

2. Distribusi Binomial

Diketahui:

  • Peluang pengguna mengklik iklan: \(p = 0.25\)
  • Peluang pengguna tidak mengklik iklan: \(1-p = 0.75\)
  • Jumlah pengguna: \(n = 10\)
  • Jumlah pengguna yang mengklik: \(x = 2\)

(a) Menghitung peluang tepat 2 pengguna mengklik iklan

Perhitungan manual:

Rumus distribusi Binomial:

\[ P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Substitusi nilai yang diketahui:

\[ P(X=2)=\binom{10}{2}(0.25)^2(0.75)^8 \]

Menghitung kombinasi:

\[ \binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=45 \]

Sehingga:

\[ P(X=2)=45(0.0625)(0.100112915) \]

\[ P(X=2)\approx 0.2815676 \]

Jadi, peluang tepat 2 pengguna mengklik iklan adalah sekitar 0,2816 atau 28,16%.

(b) Menghitung rata-rata jumlah klik

Rumus rata-rata distribusi Binomial:

\[ E(X)=np \]

\[ E(X)=10(0.25)=2.5 \]

Jadi, rata-rata jumlah klik adalah 2,5 klik.

(c) Menghitung standar deviasi (SD)

Rumus standar deviasi distribusi Binomial:

\[ SD(X)=\sqrt{np(1-p)} \]

\[ SD(X)=\sqrt{10(0.25)(0.75)} \]

\[ SD(X)=\sqrt{1.875}\approx 1.3693 \]

Jadi, standar deviasi jumlah klik adalah sekitar 1,3693 klik.

Sintaks dan output RStudio

# Parameter distribusi Binomial
n <- 10
p <- 0.25
x <- 2

# Peluang tepat 2 pengguna mengklik iklan
peluang_tepat_2 <- dbinom(x, size = n, prob = p)

# Rata-rata jumlah klik
rata_rata <- n * p

# Standar deviasi jumlah klik
sd_klik <- sqrt(n * p * (1 - p))

# Menampilkan hasil perhitungan
cat("P(X = 2) =", peluang_tepat_2, "\n")
## P(X = 2) = 0.2815676
cat("Rata-rata jumlah klik =", rata_rata, "\n")
## Rata-rata jumlah klik = 2.5
cat("Standar deviasi =", sd_klik, "\n")
## Standar deviasi = 1.369306

3. Distribusi Poisson

Diketahui:

  • Rata-rata unggahan foto per menit: \(\lambda = 8\)
  • Jumlah unggahan yang ditanyakan: \(x = 5\)

(a) Menghitung peluang tepat 5 unggahan foto secara manual

Rumus distribusi Poisson:

\[ P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Substitusi nilai yang diketahui:

\[ P(X=5)=\frac{e^{-8}(8)^5}{5!} \]

Menghitung komponen:

\[ 8^5=32768 \]

\[ 5!=120 \]

Sehingga:

\[ P(X=5)=\frac{e^{-8}(32768)}{120} \]

Dengan \(e^{-8}\approx 0.0003354626\):

\[ P(X=5)\approx 0.0916037 \]

Jadi, peluang tepat 5 unggahan foto dalam satu menit adalah sekitar 0,0916 atau 9,16%.

(b) Menghitung peluang lebih dari 12 unggahan dengan RStudio

Kejadian yang dicari adalah \(P(X>12)\).

Dengan menggunakan aturan komplemen:

\[ P(X>12)=1-P(X\leq 12) \]

Fungsi ppois() digunakan untuk menghitung peluang kumulatif sampai 12 unggahan.

Sintaks dan output RStudio

# Parameter distribusi Poisson
lambda <- 8

# Peluang tepat 5 unggahan
peluang_tepat_5 <- dpois(5, lambda = lambda)

# Peluang lebih dari 12 unggahan
peluang_lebih_12 <- 1 - ppois(12, lambda = lambda)

# Menampilkan hasil perhitungan
cat("P(X = 5) =", peluang_tepat_5, "\n")
## P(X = 5) = 0.09160366
cat("P(X > 12) =", peluang_lebih_12, "\n")
## P(X > 12) = 0.0637972

Interpretasi

Nilai peluang_lebih_12 menunjukkan peluang server menerima lebih dari 12 unggahan foto dalam satu menit, ketika rata-rata unggahan adalah 8 per menit.

4. Distribusi Normal dan Standardisasi Z

Diketahui:

  • Rata-rata waktu muat halaman: \(\mu = 3\) detik
  • Standar deviasi: \(\sigma = 0.5\) detik

(a) Menghitung peluang waktu muat lebih dari 4 detik

Ditanyakan:

\[ P(X>4) \]

Perhitungan manual:

Rumus standardisasi Z:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Substitusi nilai yang diketahui:

\[ Z=\frac{4-3}{0.5}=2 \]

Dengan demikian:

\[ P(X>4)=P(Z>2) \]

Dari tabel distribusi normal standar:

\[ P(Z\leq 2)\approx 0.97725 \]

Menggunakan aturan komplemen:

\[ P(Z>2)=1-0.97725 \]

\[ P(X>4)\approx 0.02275 \]

Jadi, peluang waktu muat halaman lebih dari 4 detik adalah sekitar 0,02275 atau 2,275%.

(b) Menentukan batas waktu 5% loading terlama

Ditanyakan batas waktu \(x\) sehingga 5% waktu muat terlama berada di atas batas tersebut.

Artinya:

\[ P(X>x)=0.05 \]

Sehingga:

\[ P(X\leq x)=0.95 \]

Dari tabel Z, nilai yang memenuhi \(P(Z\leq z)=0.95\) adalah sekitar:

\[ z\approx 1.6449 \]

Menggunakan rumus transformasi Z:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Maka:

\[ X=\mu+Z\sigma \]

Substitusi nilai:

\[ X=3+(1.6449)(0.5) \]

\[ X\approx 3.82245 \]

Jadi, batas waktu 5% loading terlama adalah sekitar 3,8224 detik. Sekitar 5% waktu muat halaman diperkirakan melebihi batas tersebut.

Sintaks dan output RStudio

# Parameter distribusi Normal
mu <- 3
sigma <- 0.5

# (a) Peluang waktu muat lebih dari 4 detik
z <- (4 - mu) / sigma
peluang_loading_lebih_4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)

# (b) Batas waktu untuk 5% loading terlama
batas_loading <- qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)

# Menampilkan hasil perhitungan
cat("Nilai Z untuk X = 4 =", z, "\n")
## Nilai Z untuk X = 4 = 2
cat("P(X > 4) =", peluang_loading_lebih_4, "\n")
## P(X > 4) = 0.02275013
cat("Batas 5% loading terlama =", batas_loading, "detik\n")
## Batas 5% loading terlama = 3.822427 detik

Grafik Distribusi Normal

library(ggplot2)

mu <- 3
sigma <- 0.5

data_normal <- data.frame(
  x = seq(1, 5, length.out = 1000)
)

data_normal$densitas <- dnorm(
  data_normal$x,
  mean = mu,
  sd = sigma
)

batas_4 <- data_normal[data_normal$x >= 4, ]
batas_95 <- qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)
ekor_5 <- data_normal[data_normal$x >= batas_95, ]

# Grafik bagian (a): peluang durasi lebih dari 4 detik
ggplot(data_normal, aes(x = x, y = densitas)) +
  geom_area(data = batas_4, fill = "skyblue", alpha = 0.7) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = 4, linetype = "dashed") +
  labs(
    title = "Peluang Durasi Video Lebih dari 4 Detik",
    x = "Durasi video (detik)",
    y = "Kepadatan probabilitas"
  ) +
  theme_minimal()

# Grafik bagian (b): 5% video dengan durasi terlama
ggplot(data_normal, aes(x = x, y = densitas)) +
  geom_area(data = ekor_5, fill = "orange", alpha = 0.7) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = batas_95, linetype = "dashed") +
  labs(
    title = "5% Video dengan Durasi Terlama",
    x = "Durasi video (detik)",
    y = "Kepadatan probabilitas"
  ) +
  theme_minimal()

## Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan distribusi probabilitas pada kasus SocMed Insights:

  1. Jumlah komentar per unggahan merupakan variabel diskrit, sedangkan durasi video yang ditonton merupakan variabel kontinu.
  2. Peluang tepat 2 dari 10 pengguna mengklik iklan sekitar 28,16%, dengan rata-rata 2,5 klik dan standar deviasi 1,3693 klik.
  3. Peluang tepat 5 unggahan foto dalam satu menit sekitar 9,16%. Peluang lebih dari 12 unggahan dihitung menggunakan fungsi distribusi kumulatif Poisson di RStudio.
  4. Peluang waktu muat halaman lebih dari 4 detik sekitar 2,275%, sedangkan batas waktu untuk 5% loading terlama sekitar 3,8224 detik.

Perhitungan manual menggunakan rumus distribusi probabilitas, sedangkan sintaks RStudio digunakan untuk memverifikasi hasil perhitungan.