Bastão de Asclépio & Distribuição Normal

1 Gabarito

1.1 ANOVA Unifatorial

2.1 APEx 3505: F
2.2 APEx 7974: B
2.3 APEx 7978: B
2.4 APEx 7986: A
2.5 APEx 8041: C
2.6 APEx 8042: F
2.7 APEx 9571: C
2.8 APEx 13471: D
2.9 APEx 10117: B
2.10 APEx 10773: D
2.11 APEx 11422: C
2.12 APEx 11423: B
2.13 APEx 16105: D
2.14 APEx 12318: B
2.15 APEx 12319: F
2.16 APEx 12377: E
2.17 APEx 16087: A
2.18 APEx 16091: A
2.19 APEx 16093: B
2.20 APEx 16095: A
2.21 APEx 16096: B
2.22 APEx 16097: B
2.23 APEx 16099: E
2.24 APEx 16100: D
2.25 APEx 16101: C
2.26 APEx 16102: C
2.27 APEx 16103: A
2.28 APEx 16104: A

2 ANOVA Unifatorial

2.1 APEx 3505: ANOVA unifatorial independente

A ANOVA unifatorial independente é apropriada para:

A. Variável dependente com distribuição normal em cada grupo.
B. Variável independente com duas ou mais categorias.
C. Delineamento entre participantes.
D. Delineamento quase-experimental.
E. Delineamento experimental.
F. Todas as outras alternativas são verdadeiras.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: F.

A ANOVA unifatorial independente pressupõe uma variável dependente quantitativa (intervalar), aproximadamente normal dentro de cada grupo, e uma variável independente categórica com duas ou mais categorias. O delineamento é entre participantes, pois cada unidade experimental pertence a apenas um nível do fator. O método é aplicável tanto a delineamentos experimentais quanto quase-experimentais, desde que os pressupostos do modelo sejam atendidos (normalidade, homocedasticidade e independência das observações).

2.2 APEx 7974: F – I

Os valores da estatística de teste F são:

A. Apenas negativos
B. Apenas positivos
C. Positivos ou negativos
D. Próximos de zero
E. Próximos de um
F. Próximo do número de condições

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

A estatística F é definida como a razão entre duas estimativas de variância:

\[ F = \frac{\text{variância entre grupos}}{\text{variância dentro dos grupos}} \]

Como variâncias são sempre não negativas e, sob H₀, estritamente positivas, a estatística F assume apenas valores positivos. Não pode ser negativa nem próxima de zero em condições regulares de teste. Em situações específicas (por exemplo, ausência completa de efeito), F pode assumir valores próximos de 1, mas isso não é uma propriedade geral, e sim um comportamento esperado sob a hipótese nula.

2.3 APEx 7978: GL do numerador – II

No que se refere à ANOVA unifatorial relacionada com 3 condições experimentais e 30 participantes no estudo, o número de graus de liberdade para o numerador da estatística de teste F é:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 27
E. 28
F. 29

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Na ANOVA unifatorial relacionada, o grau de liberdade do numerador da estatística F corresponde ao número de níveis do fator menos um. Com 3 condições experimentais, tem-se:

\[ \text{gl}_{\text{numerador}} = k - 1 = 3 - 1 = 2 \]

2.4 APEx 7985: Hipótese alternativa (ANOVA unifatorial independente)

A hipótese alternativa da ANOVA unifatorial independente é:

A. As médias amostrais dos grupos são todas diferentes.
B. As médias populacionais dos grupos são todas diferentes.
C. As médias populacionais dos grupos são aproximadamente diferentes.
D. Pelo menos duas médias populacionais dos grupos são diferentes.
E. Pelo menos duas médias populacionais dos grupos são iguais.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

Na ANOVA unifatorial independente, a hipótese nula é

\[ H_0:\ \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k \]

e a hipótese alternativa é

\[ H_1:\ \exists\ i \neq j \mid \mu_i \neq \mu_j \]

Ou seja, a ANOVA não testa se todas as médias são diferentes entre si, mas apenas se existe pelo menos um par de médias populacionais que difere.

2.5 APEx 7986: Significância (ANOVA unifatorial independente)

Se a ANOVA unifatorial independente com três grupos é estatisticamente significante, então:

A. Pelo menos dois grupos têm médias populacionais diferentes.
B. Todos os grupos têm médias populacionais diferentes.
C. Todos os grupos têm médias populacionais iguais.
D. Todos os grupos têm variâncias populacionais iguais.
E. Pelo menos dois grupos têm médias populacionais iguais.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Uma ANOVA unifatorial independente significativa indica a rejeição da hipótese nula

\[ H_0:\ \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 \]

A rejeição de H₀ implica apenas que existe pelo menos um par de médias populacionais distintas. A ANOVA não permite concluir que todas as médias sejam diferentes, nem identifica quais grupos diferem; para isso, são necessários testes post hoc.

2.6 APEx 8041: ANOVA unifatorial independente – I

A ANOVA unifatorial independente NÃO é apropriada para:

A. Variável dependente com distribuição normal em cada grupo.
B. Variável independente com três ou mais categorias.
C. Variável dependente ordinal.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

A ANOVA unifatorial independente requer que a variável dependente seja quantitativa em escala pelo menos intervalar (ou razão) e aproximadamente normal dentro de cada grupo. Uma variável dependente ordinal não satisfaz esse requisito. A variável independente pode ter três ou mais categorias, e a normalidade condicional por grupo é um pressuposto do modelo.

2.7 APEx 8042: ANOVA unifatorial independente – II

A ANOVA unifatorial independente NÃO é apropriada para delineamento:

A. Observacional
B. Correlacional
C. Quase-experimental
D. Experimental
E. Entre participantes
F. Intraparticipantes

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: F.

A ANOVA unifatorial independente pressupõe delineamento entre participantes, no qual cada unidade experimental pertence a apenas um nível do fator. Em delineamentos intraparticipantes (medidas repetidas), as observações são dependentes e o modelo adequado é a ANOVA unifatorial relacionada. Delineamentos observacionais (correlacionais), quase-experimentais e experimentais podem ser analisados por ANOVA independente, desde que respeitados os pressupostos do modelo.

2.8 APEx 9571: ANOVA unifatorial independente

A saída do R abaixo foi obtida pela ANOVA unifatorial independente com três grupos.
Adotar o nível de significância de 5%.

Fonte	Df	Sum	Mean Sq	F value	Pr(>F)r
Grupo	2	145.2	72.58	9.915	0.000425
Residuals	33	241.6	7.32

Pode-se afirmar que:

A. A hipótese de igualdade das três médias populacionais não é rejeitada.
B. As hipóteses de igualdade das médias de pares de grupos são rejeitadas. C. A hipótese de igualdade das três médias populacionais é rejeitada.
D. As hipóteses de igualdade das médias de pares de grupos não são rejeitadas.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

A ANOVA testa

\[ H_0:\ \mu_1=\mu_2=\mu_3 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \exists\, i\neq j \mid \mu_i\neq \mu_j \]

Na saída apresentada, o valor-p é \(0.000425\). Como \(0.000425 < 0.05\), rejeita-se \(H_0\) ao nível de 5%. Logo, rejeita-se a hipótese conjunta de igualdade das três médias populacionais.

A alternativa B não pode ser afirmada com base apenas na ANOVA: a identificação de quais pares diferem requer testes post hoc (por exemplo, Tukey, Bonferroni, Holm).

2.9 APEx 13471: ANOVA unifatorial independente de Welch

Uma escola avaliou três metodologias de ensino (leitura de livro, exercícios práticos e provas em grupo) utilizando as notas de dez estudantes em três turmas distintas, cada uma submetida a apenas uma metodologia. O objetivo é verificar se há diferença global entre as três metodologias.

Metodologia	Notas dos estudantes
Leitura de livro	7.0, 4.4, 6.0, 5.5, 8.2, 7.0, 6.4, 9.1, 3.2, 4.0
Exercícios práticos	10.0, 7.2, 6.5, 6.6, 8.9, 9.0, 6.1, 5.0, 9.9, 5.5
Provas em grupo	1.5, 8.9, 9.8, 7.8, 8.7, 6.9, 10.0, 8.0, 9.3, 8.8

Usando a ANOVA unifatorial independente de Welch e adotando \(\alpha = 0.05\), pode-se afirmar que:

A. Rejeita-se H₀, pois as médias das metodologias são, respectivamente, 6.08, 7.47 e 7.97.
B. Não se rejeita H₀, pois a diferença entre as médias não é maior do que 2.5.
C. O valor p do teste, 0.1362, é menor do que \(\alpha\) e, portanto, aceita-se a hipótese nula.
D. O valor p do teste, 0.1362, é maior do que \(\alpha\) e, portanto, não se rejeita a hipótese nula.
E. O valor p do teste, 0.1362, é menor do que \(\alpha\) e, portanto, rejeita-se a hipótese nula.
F. O valor p do teste, 0.1362, é maior do que \(\alpha\) e, portanto, rejeita-se a hipótese nula.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

A ANOVA unifatorial independente de Welch testa

\[ H_0:\ \mu_{\text{leitura}} = \mu_{\text{exercicios}} = \mu_{\text{grupo}} \]

contra

\[ H_1:\ \exists\, i \neq j \mid \mu_i \neq \mu_j \]

O teste de Welch é apropriado quando não se pode assumir homogeneidade das variâncias entre os grupos. A saída do R forneceu valor-p igual a 0.1362. Como \(0.1362 > 0.05\), não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Isso indica que não há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias populacionais das três metodologias diferem.

Não rejeitar H₀ não implica aceitar H₀; apenas indica insuficiência de evidência contra a hipótese de igualdade das médias.

metodologia <- factor(c(rep("leitura",10),
                        rep("exercicio",10),
                        rep("grupo",10)))

nota <- c(7,4.4,6,5.5,8.2,7,6.4,9.1,3.2,4,
          10,7.2,6.5,6.6,8.9,9,6.1,5,9.9,5.5,
          1.5,8.9,9.8,7.8,8.7,6.9,10,8,9.3,8.8)

Dados <- data.frame(metodologia, nota)

oneway.test(nota ~ metodologia, data = Dados)


    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  nota and metodologia
F = 2.2356, num df = 2.000, denom df = 17.745, p-value = 0.1362

2.10 APEx 10117: Hipótese nula (ANOVA unifatorial)

A hipótese nula da ANOVA unifatorial aplicada para três ou mais grupos independentes é:

A. As médias amostrais dos grupos são iguais.
B. As médias populacionais dos grupos são iguais.
C. As médias amostrais dos grupos são aproximadamente iguais.
D. As médias populacionais dos grupos são aproximadamente iguais.
E. Pelo menos duas médias amostrais dos grupos são iguais.
F. Pelo menos duas médias populacionais dos grupos são iguais.
G. Todas as médias amostrais dos grupos são diferentes.
H. Todas as médias populacionais dos grupos são diferentes.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Na ANOVA unifatorial, a hipótese nula é formulada em termos de parâmetros populacionais:

\[ H_0:\ \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k \]

Embora o teste utilize dados amostrais para o cálculo da estatística F, as hipóteses estatísticas dizem respeito às médias populacionais. As demais alternativas confundem parâmetros populacionais com estatísticas amostrais ou descrevem incorretamente a forma da hipótese nula.

2.11 APEx 10773: GL do denominador (ANOVA unifatorial independente de Fisher)

No que se refere à ANOVA unifatorial independente de Fisher com 3 grupos e 30 participantes no estudo, o número de graus de liberdade para o denominador da estatística de teste F é:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 27
E. 28
F. 29

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

Na ANOVA unifatorial independente de Fisher, os graus de liberdade do denominador (erro ou resíduos) correspondem ao total de observações menos o número de grupos. Assim, com \(n = 30\) participantes e \(k = 3\) grupos, tem-se:

\[ \text{gl}_{\text{denominador}} = n - k = 30 - 3 = 27 \]

Esse grau de liberdade está associado à estimativa da variância dentro dos grupos (variância residual).

2.12 APEx 11422: ANOVA unifatorial de Welch sem dados brutos

Um pesquisador, ao ler um artigo científico, encontrou apenas os tamanhos de amostra, médias e desvios-padrão amostrais de quatro condições independentes. Os dados brutos não estão disponíveis. A variável dependente é a resistência da pele. O pesquisador precisa usar a ANOVA unifatorial de Welch para recalcular o valor-p do estudo.

Resumo por grupo:

Condição	n	média	dp
NoSchiz	10	0.2760	0.4095
Schizotypical	10	0.1956	0.1808
SchizNeg	10	0.1495	0.2451
SchizPos	10	0.3997	0.2382

O valor-p é:

A. Impossível de calcular sem os dados brutos
B. 0.22
C. 0.14
D. 0.022
E. 0.014

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

A ANOVA de Welch pode ser calculada com estatísticas-resumo (\(n\), média e dp) porque o teste depende de médias ponderadas e variâncias estimadas por grupo.

Aplicando a ANOVA unifatorial de Welch, obtém-se aproximadamente

\[ F(3,\ 19.474) = 2.039,\quad p \approx 0.1417 \]

Como \(p \approx 0.14\), a alternativa correta é C.

n <- c(10, 10, 10, 10)
media <- c(0.2760, 0.1956, 0.1495, 0.3997)
dp <- c(0.4095, 0.1808, 0.2451, 0.2382)
J <- length(n)
var <- dp^2
w <- n/var
U <- sum(w)
X_til <- as.numeric(w %*% media / U)
gl_num <- J - 1
A <- as.numeric(w %*% ((media - X_til)^2) / (J - 1))
B <- as.numeric((2 * (J - 2) / (J^2 - 1)) *
                  (((1 - w/U)/(n - 1)) %*% (1 - w/U)))
gl_denom <- 1 / (((3/2)/(J - 2)) * B)
F <- A / (1 + B)
p <- pf(F, gl_num, gl_denom, lower.tail = FALSE)
eta2 <- as.numeric(gl_num * F / (gl_num * F + gl_denom))
mag_eta2 <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2)
cat("max(dp)/min(dp) = ", max(dp)/min(dp), "\n", sep = "")

max(dp)/min(dp) = 2.264934

cat("F(", gl_num, ", ", gl_denom, ") = ", F, ", p = ", p, "\n", sep = "")

F(3, 19.47366) = 2.038699, p = 0.1416938

cat("eta^2 = ", eta2, " (", mag_eta2, ")\n", sep = "")

eta^2 = 0.2390057 (large)

2.13 APEx 11423: ANOVA unifatorial de Fisher sem dados brutos

Resumo por grupo:

Condição	\(n\)	média	dp
NoSchiz	10	0.2760	0.4095
Schizotypical	10	0.1956	0.1808
SchizNeg	10	0.1495	0.2451
SchizPos	10	0.3997	0.2382

O valor-p é:

A. Impossível de calcular sem os dados brutos
B. 0.22
C. 0.14
D. 0.022
E. 0.014

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Na ANOVA unifatorial de Fisher (assumindo homogeneidade de variâncias), a estatística \[ F=\frac{\text{QM}_{\text{entre}}}{\text{QM}_{\text{dentro}}} \] pode ser obtida a partir de estatísticas-resumo quando se dispõe de \(n_j\), \(\bar x_j\) e \(s_j\) em cada grupo.

Com \(k=4\) grupos e \(n_j=10\) para todos, tem-se \[ \text{gl}_{\text{num}}=k-1=3,\qquad \text{gl}_{\text{den}}=N-k=40-4=36 \]

O cálculo resulta em \[ F(3,36) \approx 1.515,\quad p \approx 0.2272 \] Logo, o valor-p é aproximadamente 0.22.

n <- c(10, 10, 10, 10)
media <- c(0.2760, 0.1956, 0.1495, 0.3997)
dp <- c(0.4095, 0.1808, 0.2451, 0.2382)
gl <- n - 1
gl_num <- length(n) - 1
gl_denom <- sum(gl)
media_grande <- mean(media)
s2_entre <- as.numeric(n %*% ((media - media_grande)^2)) / gl_num
var <- dp^2
s2_dentro <- as.numeric(gl %*% var) / gl_denom
F <- s2_entre / s2_dentro
p <- pf(F, gl_num, gl_denom, lower.tail = FALSE)
eta2 <- as.numeric(gl_num * F / (gl_num * F + gl_denom))
mag_eta2 <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2)
cat("max(dp)/min(dp) = ", max(dp)/min(dp), "\n", sep = "")

max(dp)/min(dp) = 2.264934

cat("F(", gl_num, ", ", gl_denom, ") = ", F, ", p = ", p, "\n", sep = "")

F(3, 36) = 1.514856, p = 0.2272074

cat("eta^2 = ", eta2, " (", mag_eta2, ")\n", sep = "")

eta^2 = 0.1120882 (medium)

2.14 APEx 16105: ANOVA

Um pesquisador da área médica quer estudar a efetividade, por meio de um escore quantitativo, de três analgésicos.

Você não gostaria de ter um painel como o da USS Entreprise, medindo vários sinais vitais dos pacientes o tempo todo, incluindo dor? Eles conseguem saber se está doendo até mesmo quando o paciente está inconsciente :-)

Qual teste é o mais apropriado para esse estudo?

A. z independente
B. t independente
C. t relacionado
D. ANOVA unifatorial
E. Impossível propor um teste

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

O estudo envolve uma variável dependente quantitativa (escore de dor) e uma variável independente categórica com três níveis (tipo de analgésico), em um delineamento entre participantes.

Quando se deseja comparar três ou mais médias populacionais independentes, o teste estatístico apropriado é a ANOVA unifatorial independente.

2.15 APEx 12318: Analgésicos – xANOVA

Um pesquisador da área da saúde deseja estudar, sem medidas repetidas, a efetividade de três analgésicos por meio de um escore quantitativo. Cada participante recebe apenas um dos analgésicos, e os grupos são independentes.

O teste estatístico mais adequado para esse estudo é:

A. MANOVA
B. OWANOVA
C. RANOVA
D. RMANOVA
E. SPANOVA
F. WSANOVA

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

O delineamento descrito envolve uma única variável dependente quantitativa (intervalar) e um único fator (tipo de analgésico) com três níveis (nominal politômica), em um delineamento entre participantes, sem medidas repetidas. Nessas condições, o teste apropriado é a ANOVA unifatorial independente, também denominada One-way ANOVA (OWANOVA).

Analysis of variance/Types

FANOVA = Factorial ANOVA

MANOVA = Multivariate ANOVA

OWANOVA = One-way ANOVA

RANOVA e RMANOVA = Repeated Measure ANOVA

SPANOVA = Split-Plot or Mixed ANOVA

WSANOVA = Within-Subjects ANOVA

2.16 APEx 12319: ANOVA – suposição

Uma suposição da ANOVA unifatorial independente de Fisher é:

A. Distribuição normal da VD em cada grupo
B. Ausência de medidas repetidas
C. Homocedasticidade
D. Delineamento correlacional ou quase-experimental ou experimental
E. VD é uma variável pelo menos intervalar e VI é nominal
F. Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: F.

A ANOVA unifatorial independente de Fisher pressupõe (aproximadamente) normalidade da variável dependente em cada grupo, independência das observações (ausência de medidas repetidas), e homocedasticidade. Além disso, é um modelo para VD quantitativa (pelo menos intervalar) em função de uma VI nominal com dois ou mais níveis, em delineamento entre participantes, que pode ocorrer em estudos correlacionais/observacionais, quase-experimentais ou experimentais.

2.17 APEx 12377: N grande

Se o tamanho da amostra é grande (\(n \ge 3000\)), em um delineamento entre participantes com dois grupos, adotando-se nível de significância de 5%, o quantil crítico da distribuição F da ANOVA é aproximadamente igual a:

A. 1.645
B. 1.96
C. 2.99
D. 3.33
E. 3.84
F. 33.3

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: E.

Em um delineamento entre participantes com dois grupos, a ANOVA unifatorial é equivalente ao teste t para duas amostras independentes, sendo válida a relação \[ F_{1,\ n-2} = t_{n-2}^2 \]

Para \(n\) grande, a distribuição t converge para a normal padrão. Assim, \[ t_{\infty}^{97.5\%} \approx 1.96 \] e, portanto, \[ F_{1,\,\ge3000}^{95\%} \approx 1.96^2 \approx 3.84 \]

qf(0.95, df1 = 1, df2 = 3000)

[1] 3.84456

2.18 APEx 16087: Convênio médico – Welch – 5% – PostHoc – I

Usando a frequência de visitas por ano da tabela a seguir, teste a hipótese nula de que o tipo de cobertura de seguro não tem efeito sobre a frequência de visitas.

Tabela de dados: Convênio médico e número de visitas

Convênio	Número de visitas
Empresa	12
Empresa	6
Empresa	8
Empresa	7
Empresa	6
Tradicional	6
Tradicional	5
Tradicional	7
Tradicional	5
Tradicional	1
Nenhum	3
Nenhum	2
Nenhum	5
Nenhum	3
Nenhum	1

Usar ANOVA unifatorial independente de Welch e adotar o nível de significância de 5%.

O resultado do teste post hoc, com correção de Bonferroni, é:

A. As médias populacionais do número de visitas anuais são diferentes entre os convênios Nenhum e Empresa.
B. As médias populacionais do número de visitas anuais são diferentes entre os convênios Nenhum e Tradicional.
C. As médias populacionais do número de visitas anuais são diferentes entre os convênios Empresa e Tradicional.
D. As médias populacionais do número de visitas anuais são diferentes entre os convênios Nenhum e Empresa, Nenhum e Tradicional, e Empresa e Tradicional.
E. Não há diferença entre os convênios Nenhum e Empresa, Nenhum e Tradicional, e Empresa e Tradicional.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: Agresti, A & Finlay, B (2012) Métodos estatísticos para ciências sociais. 4^a ed. Porto Alegre: Penso.

O teste omnibus de Welch resulta em \(p = 0.0190944 < 0.05\), portanto rejeita-se \(H_0\) de igualdade conjunta das médias: \[ H_0:\ \mu_{\text{Empresa}} = \mu_{\text{Tradicional}} = \mu_{\text{Nenhum}} \]

Como há evidência global de diferença, procede-se ao post hoc. Usando Games–Howell (adequado sob heterocedasticidade) com ajuste de Bonferroni para múltiplas comparações, observa-se:

Empresa vs. Nenhum: \(p_{aj} = 0.0169996 < 0.05\) (diferença significante) - Empresa vs. Tradicional: \(p_{aj} = 0.1779741 \ge 0.05\) (não significante) - Nenhum vs. Tradicional: \(p_{aj} = 0.2915415 \ge 0.05\) (não significante)

Logo, apenas o par Nenhum–Empresa apresenta diferença estatisticamente significante ao nível de 5%, após correção. Portanto, a alternativa correta é A.

Convenio  <- c(rep("Empresa", 5), rep("Tradicional", 5), rep("Nenhum", 5))

QtdVisita <- c(12, 6, 8, 7, 6,
               6, 5, 7, 5, 1,
               3, 2, 5, 3, 1)

df <- data.frame(Convenio = factor(Convenio),
                 QtdVisita = QtdVisita)

# Omnibus (Welch)
print(oneway.test(QtdVisita ~ Convenio, data = df))


    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  QtdVisita and Convenio
F = 6.9973, num df = 2.0000, denom df = 7.5499, p-value = 0.01909

# Post hoc (Welch + Games-Howell) via jmv
print(jmv::anovaOneW(
  data = df,
  dep = "QtdVisita",
  group = "Convenio",
  welch = TRUE,
  phMethod = "gamesHowell",
  phTest = TRUE,
  phFlag = TRUE,
  desc = FALSE
))


 ONE-WAY ANOVA

 One-Way ANOVA (Welch's)                                   
 ───────────────────────────────────────────────────────── 
                F           df1    df2         p           
 ───────────────────────────────────────────────────────── 
   QtdVisita    6.997277      2    7.549934    0.0190944   
 ───────────────────────────────────────────────────────── 


 POST HOC TESTS

 Games-Howell Post-Hoc Test – QtdVisita                                      
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                                     Empresa      Nenhum       Tradicional   
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Empresa        Mean difference            —     5.000000       3.000000   
                  t-value                    —     3.857584       1.986799   
                  df                         —     6.521257       7.938913   
                  p-value                    —    0.0169996      0.1779741   
                                                                             
   Nenhum         Mean difference                         —      -2.000000   
                  t-value                                 —      -1.643990   
                  df                                      —       6.870765   
                  p-value                                 —      0.2915415   
                                                                             
   Tradicional    Mean difference                                        —   
                  t-value                                                —   
                  df                                                     —   
                  p-value                                                —   
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. * p < .05, ** p < .01, *** p < .001

2.19 APEx 16091: Convênio médico – Fisher – 5% – I

Um pediatra especulou se a frequência anual de consultas em seu consultório poderia ser influenciada pelo tipo de cobertura de convênio médico. Num estudo exploratório, ele escolheu aleatoriamente 15 pacientes: 5 cujos pais pertencem a uma empresa com convênio médico, 5 cujos pais tinham convênio médico tradicional e 5 cujos pais não tinham convênio médico. Usando a frequência de visitas por ano da tabela a seguir, teste a hipótese nula de que o tipo de cobertura de seguro não tem efeito sobre a frequência de visitas.

Tabela de dados: Convênio médico e número de visitas

Convênio	Número de visitas
Empresa	12
Empresa	6
Empresa	8
Empresa	7
Empresa	6
Tradicional	6
Tradicional	5
Tradicional	7
Tradicional	5
Tradicional	1
Nenhum	3
Nenhum	2
Nenhum	5
Nenhum	3
Nenhum	1

Usar ANOVA unifatorial independente de Fisher e adotar o nível de significância de 5%.

O resultado do teste omnibus de H₀ é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: Agresti, A & Finlay, B (2012) Métodos estatísticos para ciências sociais. 4^a ed. Porto Alegre: Penso.

A ANOVA unifatorial independente de Fisher testa \[ H_0:\ \mu_{\text{Empresa}} = \mu_{\text{Tradicional}} = \mu_{\text{Nenhum}} \] contra \[ H_1:\ \exists\, i\neq j\ \mid \mu_i\neq \mu_j \]

Pela saída informada para a ANOVA de Fisher, \[ F_{2,12}=6.9853\quad p=0.009732 \]

Como \(0.009732 < 0.05\), rejeita-se \(H_0\) ao nível de significância de 5%.

Tabela <- ("
Convenio QtdVisita
Empresa 12
Empresa 6
Empresa 8
Empresa 7
Empresa 6
Tradicional 6
Tradicional 5
Tradicional 7
Tradicional 5
Tradicional 1
Nenhum 3
Nenhum 2
Nenhum 5
Nenhum 3
Nenhum 1
")

Dados <- read.table(textConnection(Tabela), header = TRUE)
Dados$Convenio <- factor(Dados$Convenio)

# ANOVA de Fisher (variâncias iguais)
print(oneway.test(QtdVisita ~ Convenio, var.equal = TRUE, data = Dados))


    One-way analysis of means

data:  QtdVisita and Convenio
F = 6.9853, num df = 2, denom df = 12, p-value = 0.009732

2.20 APEx 16093: Convênio médico – Welch – 1% – I

Tabela de dados: Convênio médico e número de visitas

Convênio	Número de visitas
Empresa	12
Empresa	6
Empresa	8
Empresa	7
Empresa	6
Tradicional	6
Tradicional	5
Tradicional	7
Tradicional	5
Tradicional	1
Nenhum	3
Nenhum	2
Nenhum	5
Nenhum	3
Nenhum	1

Usar ANOVA unifatorial independente de Welch e adotar o nível de significância de 1%.

O resultado do teste omnibus de H₀ é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Fonte: Agresti, A & Finlay, B (2012) Métodos estatísticos para ciências sociais. 4^a ed. Porto Alegre: Penso.

A ANOVA unifatorial independente de Welch testa \[ H_0:\ \mu_{\text{Empresa}} = \mu_{\text{Tradicional}} = \mu_{\text{Nenhum}} \] contra \[ H_1:\ \exists\, i\neq j\ \mid \mu_i\neq \mu_j \]

Pela saída informada para a ANOVA de Welch, \[ F_{2,\ 7.5499}=6.9973\quad p=0.01909 \]

Como \(0.01909 > 0.01\), não se rejeita \(H_0\) ao nível de significância de 1%.

Tabela <- ("
Convenio QtdVisita
Empresa 12
Empresa 6
Empresa 8
Empresa 7
Empresa 6
Tradicional 6
Tradicional 5
Tradicional 7
Tradicional 5
Tradicional 1
Nenhum 3
Nenhum 2
Nenhum 5
Nenhum 3
Nenhum 1
")

Dados <- read.table(textConnection(Tabela), header = TRUE)
Dados$Convenio <- factor(Dados$Convenio)

# ANOVA de Welch (variâncias diferentes)
print(oneway.test(QtdVisita ~ Convenio, var.equal = FALSE, data = Dados))


    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  QtdVisita and Convenio
F = 6.9973, num df = 2.0000, denom df = 7.5499, p-value = 0.01909

2.21 APEx 16095: Convênio médico – Fisher – 1% – I

Tabela de dados: Convênio médico e número de visitas

Convênio	Número de visitas
Empresa	12
Empresa	6
Empresa	8
Empresa	7
Empresa	6
Tradicional	6
Tradicional	5
Tradicional	7
Tradicional	5
Tradicional	1
Nenhum	3
Nenhum	2
Nenhum	5
Nenhum	3
Nenhum	1

Usar ANOVA unifatorial independente de Fisher e adotar o nível de significância de 1%.

O resultado do teste omnibus de H₀ é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: Agresti, A & Finlay, B (2012) Métodos estatísticos para ciências sociais. 4^a ed. Porto Alegre: Penso.

A ANOVA unifatorial independente de Fisher testa \[ H_0:\ \mu_{\text{Empresa}} = \mu_{\text{Tradicional}} = \mu_{\text{Nenhum}} \] contra \[ H_1:\ \exists\, i\neq j\ \mid \mu_i\neq \mu_j \]

Pela saída informada para a ANOVA de Fisher, \[ F_{2,12}=6.9853\quad p=0.009732 \]

Como \(0.009732 < 0.01\), rejeita-se \(H_0\) ao nível de significância de 1%.

Tabela <- ("
Convenio QtdVisita
Empresa 12
Empresa 6
Empresa 8
Empresa 7
Empresa 6
Tradicional 6
Tradicional 5
Tradicional 7
Tradicional 5
Tradicional 1
Nenhum 3
Nenhum 2
Nenhum 5
Nenhum 3
Nenhum 1
")

Dados <- read.table(textConnection(Tabela), header = TRUE)
Dados$Convenio <- factor(Dados$Convenio)

# ANOVA de Fisher (variâncias iguais)
print(oneway.test(QtdVisita ~ Convenio, var.equal = TRUE, data = Dados))


    One-way analysis of means

data:  QtdVisita and Convenio
F = 6.9853, num df = 2, denom df = 12, p-value = 0.009732

2.22 APEx 16096: Convênio médico – II – Welch (default)

Tabela de dados: Convênio médico e número de visitas

Convênio	Número de visitas
Empresa	12
Empresa	6
Empresa	8
Empresa	7
Empresa	6
Tradicional	6
Tradicional	5
Tradicional	7
Tradicional	5
Tradicional	1
Nenhum	3
Nenhum	2
Nenhum	5
Nenhum	3
Nenhum	1

O resultado do teste omnibus de H₀ é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Fonte: Agresti, A & Finlay, B (2012) Métodos estatísticos para ciências sociais. 4^a ed. Porto Alegre: Penso.

A função stats::oneway.test usa, por padrão, a correção de Welch (i.e., não assume homocedasticidade), de modo que o teste omnibus é a ANOVA unifatorial independente de Welch.

Pela saída informada: \[ F_{2,\ 7.5499}=6.9973\quad p=0.01909 \]

Como \(p=0.01909 > 0.01\), não se rejeita \(H_0\) ao nível de significância de 1%.

Tabela <- ("
Convenio QtdVisita
Empresa 12
Empresa 6
Empresa 8
Empresa 7
Empresa 6
Tradicional 6
Tradicional 5
Tradicional 7
Tradicional 5
Tradicional 1
Nenhum 3
Nenhum 2
Nenhum 5
Nenhum 3
Nenhum 1
")

Dados <- read.table(textConnection(Tabela), header = TRUE)
Dados$Convenio <- factor(Dados$Convenio)

alfa <- 0.01

cat("ANOVA unifatorial independente de Welch (default)\n")

ANOVA unifatorial independente de Welch (default)

cat("Teste omnibus\n")

Teste omnibus

print(oneway.test(QtdVisita ~ Convenio, data = Dados))  # Welch por default


    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  QtdVisita and Convenio
F = 6.9973, num df = 2.0000, denom df = 7.5499, p-value = 0.01909

cat("\nTeste post hoc (Games-Howell)\n")


Teste post hoc (Games-Howell)

out <- rstatix::games_howell_test(QtdVisita ~ Convenio,
                                  data = Dados,
                                  conf.level = 1 - alfa,
                                  detailed = FALSE)
print(data.frame(out), digits = 2)

        .y.  group1      group2 estimate conf.low conf.high p.adj p.adj.signif
1 QtdVisita Empresa      Nenhum       -5    -10.6      0.59 0.017            *
2 QtdVisita Empresa Tradicional       -3     -9.0      3.03 0.178           ns
3 QtdVisita  Nenhum Tradicional        2     -3.1      7.13 0.292           ns

2.23 APEx 16097: Omnibus & Post hoc

O teste post hoc pode ser realizado se o teste omnibus pela ANOVA unifatorial é:

A. Clinicamente significante
B. Estatisticamente significante
C. Suficientemente poderoso
D. Inconclusivo
E. Impraticável

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Fonte: LEVIN, J et al. (2012) Estatística para ciências humanas. 11^a ed. São Paulo: Pearson, p. 260.

Os testes post hoc têm por finalidade identificar quais pares de médias populacionais diferem entre si após a rejeição da hipótese nula global da ANOVA unifatorial. Portanto, sua aplicação pressupõe que o teste omnibus seja estatisticamente significante, i.e., que \(H_0\) (igualdade conjunta das médias populacionais) tenha sido rejeitada.

Se o teste omnibus não for estatisticamente significante, não há justificativa estatística para proceder às comparações múltiplas, pois a evidência global contra \(H_0\) é insuficiente.

2.24 APEx 16099: N – I

Num artigo, é encontrado \(F(3, 33) = 33.3\) para uma ANOVA unifatorial independente de Fisher.

O número total de participantes do estudo é:

A. 33
B. 34
C. 35
D. 36
E. 37
F. 38

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: E.

Na ANOVA unifatorial independente de Fisher, valem as relações:

\[ \begin{align} \text{gl}_{\text{numerador}} = k - 1\\ \text{gl}_{\text{denominador}} = n - k \end{align} \]

Sendo que:

\(k\) é o número de níveis do fator entre participantes,
\(n\) é o tamanho total da amostra.

Dado \(F(3, 33)\), temos:

\[k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4\]

\[n - k = 33 \Rightarrow n - 4 = 33 \Rightarrow n = 37\]

2.25 APEx 16100: k

Num artigo, é encontrado \(F(3, 33) = 33.3\) para uma ANOVA unifatorial.
O número de condições do estudo é:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

Na ANOVA unifatorial, o grau de liberdade do numerador é dado por:

\[ \text{gl}_{\text{numerador}} = k - 1 \]

sendo que \(k\) é o número de condições (níveis do fator).

Dado \(\text{gl}_{\text{numerador}} = 3\), temos:

\[ k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4 \]

Logo, o estudo possui 4 condições experimentais, que podem ser independentes (entre participantes) ou dependentes (intraparticipantes).

2.26 APEx 16101: N – II

Num artigo, é encontrado \(F(3, 33) = 33.3\) para uma ANOVA unifatorial para medidas repetidas balanceadas, sem valores faltantes.
O número total de participantes do estudo é:

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 37
F. 38

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

Em uma ANOVA unifatorial para medidas repetidas (intraparticipantes), com delineamento balanceado e sem dados faltantes, os graus de liberdade são:

\[ \text{gl}_{\text{numerador}} = k - 1 \]

\[ \text{gl}_{\text{denominador}} = (k - 1)(n - 1) \]

Sendo que:

\(k\) é o número de níveis do fator intraparticipantes,
\(n\) é o número de participantes.

Do enunciado:

\[ \text{gl}_{\text{numerador}} = 3 \Rightarrow k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4 \]

\[ \text{gl}_{\text{denominador}} = 33 \Rightarrow (k - 1)(n - 1) = 33 \]

Substituindo \(k - 1 = 3\):

\[ 3(n - 1) = 33 \Rightarrow n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12 \]

Logo, o estudo foi conduzido com 12 participantes.

2.27 APEx 16102: Valor do valor-p – II

Na saída de uma ANOVA unifatorial, tem-se apenas que \(p = 1.000\).
A decisão sobre \(H_0\) é:

A. Aceitar
B. Rejeitar
C. Não rejeitar
D. Impossível decidir

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

Como o valor-p é claramente maior do que qualquer nível de significância usual (\(\alpha = 0.05\), \(\alpha = 0.01\), etc.), a decisão correta é não rejeitar a hipótese nula \(H_0\). Não rejeitar \(H_0\) não é equivalente a aceitar \(H_0\).

Valores como \(p = 0.000\) ou \(p = 1.000\) em saídas de software estatístico decorrem de arredondamento. Um valor reportado como \(p = 1.000\) significa, na prática, que o valor-p é muito próximo de 1, tipicamente \(p \ge 0.9995\), como pode ser verificado em R com:

round(0.9995, 3)

[1] 1

2.28 APEx 16103: Testes equivalentes

A ANOVA unifatorial independente de Fisher com dois grupos é equivalente ao teste:

A. t de Student
B. t de Welch
C. t de Satterthwaite
D. t pivotal
E. t por bootstrapping

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Quando a ANOVA unifatorial independente de Fisher é aplicada a apenas dois grupos, a estatística de teste F é exatamente o quadrado da estatística t do teste t de Student com variâncias populacionais assumidas iguais. Formalmente,

\[ F_{1, n-2} = t^2_{n-2} \]

Portanto, ambos os testes produzem decisões idênticas quanto à rejeição ou não rejeição de \(H_0\), sob as mesmas suposições (normalidade e homocedasticidade).

2.29 APEx 16104: Eta parcial ao quadrado

Numa ANOVA unifatorial independente, o eta parcial ao quadrado associado ao fator é 5%.

Então, o efeito do fator explica ________ da VD.

A. 5% da variância
B. 95% da variância
C. 5% da média
D. 22,36% da variância
E. 0,25% da variância

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

O eta parcial ao quadrado (\(\eta_p^2\)) é uma medida de tamanho de efeito que representa a proporção da variância da variável dependente explicada por um fator, controlando-se os demais efeitos do modelo.

Se \(\eta_p^2 = 0.05\), então 5% da variância da VD é atribuída ao fator em questão.

Questões: ANOVA Unifatorial
Soluções

MSP4112: Estatística Aplicada à Medicina

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Silveira (silveira@usp.br)

09 outubro 2026 00:01h

1 Gabarito

1.1 ANOVA Unifatorial

2 ANOVA Unifatorial

2.1 APEx 3505: ANOVA unifatorial independente

2.2 APEx 7974: F – I

2.3 APEx 7978: GL do numerador – II

2.4 APEx 7985: Hipótese alternativa (ANOVA unifatorial independente)

2.5 APEx 7986: Significância (ANOVA unifatorial independente)

2.6 APEx 8041: ANOVA unifatorial independente – I

2.7 APEx 8042: ANOVA unifatorial independente – II

2.8 APEx 9571: ANOVA unifatorial independente

2.9 APEx 13471: ANOVA unifatorial independente de Welch

2.10 APEx 10117: Hipótese nula (ANOVA unifatorial)

2.11 APEx 10773: GL do denominador (ANOVA unifatorial independente de Fisher)

2.12 APEx 11422: ANOVA unifatorial de Welch sem dados brutos

2.13 APEx 11423: ANOVA unifatorial de Fisher sem dados brutos

2.14 APEx 16105: ANOVA

2.15 APEx 12318: Analgésicos – xANOVA

2.16 APEx 12319: ANOVA – suposição

2.17 APEx 12377: N grande

2.18 APEx 16087: Convênio médico – Welch – 5% – PostHoc – I

2.19 APEx 16091: Convênio médico – Fisher – 5% – I

2.20 APEx 16093: Convênio médico – Welch – 1% – I

2.21 APEx 16095: Convênio médico – Fisher – 1% – I

2.22 APEx 16096: Convênio médico – II – Welch (default)

2.23 APEx 16097: Omnibus & Post hoc

2.24 APEx 16099: N – I

2.25 APEx 16100: k

2.26 APEx 16101: N – II

2.27 APEx 16102: Valor do valor-p – II

2.28 APEx 16103: Testes equivalentes

2.29 APEx 16104: Eta parcial ao quadrado

Questões: ANOVA UnifatorialSoluções

MSP4112: Estatística Aplicada à Medicina

José Siqueira (siqueira@usp.br) Paulo Silveira (silveira@usp.br)

09 outubro 2026 00:01h

1 Gabarito

1.1 ANOVA Unifatorial

2 ANOVA Unifatorial

2.1 APEx 3505: ANOVA unifatorial independente

2.2 APEx 7974: F – I

2.3 APEx 7978: GL do numerador – II

2.4 APEx 7985: Hipótese alternativa (ANOVA unifatorial independente)

2.5 APEx 7986: Significância (ANOVA unifatorial independente)

2.6 APEx 8041: ANOVA unifatorial independente – I

2.7 APEx 8042: ANOVA unifatorial independente – II

2.8 APEx 9571: ANOVA unifatorial independente

2.9 APEx 13471: ANOVA unifatorial independente de Welch

2.10 APEx 10117: Hipótese nula (ANOVA unifatorial)

2.11 APEx 10773: GL do denominador (ANOVA unifatorial independente de Fisher)

2.12 APEx 11422: ANOVA unifatorial de Welch sem dados brutos

2.13 APEx 11423: ANOVA unifatorial de Fisher sem dados brutos

2.14 APEx 16105: ANOVA

2.15 APEx 12318: Analgésicos – xANOVA

2.16 APEx 12319: ANOVA – suposição

2.17 APEx 12377: N grande

2.18 APEx 16087: Convênio médico – Welch – 5% – PostHoc – I

2.19 APEx 16091: Convênio médico – Fisher – 5% – I

2.20 APEx 16093: Convênio médico – Welch – 1% – I

2.21 APEx 16095: Convênio médico – Fisher – 1% – I

2.22 APEx 16096: Convênio médico – II – Welch (default)

2.23 APEx 16097: Omnibus & Post hoc

2.24 APEx 16099: N – I

2.25 APEx 16100: k

2.26 APEx 16101: N – II

2.27 APEx 16102: Valor do valor-p – II

2.28 APEx 16103: Testes equivalentes

2.29 APEx 16104: Eta parcial ao quadrado

Questões: ANOVA Unifatorial
Soluções

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Silveira (silveira@usp.br)