1 Introducción

Los datos faltantes son valores que no se encuentran registrados en una o más variables de una base de datos. Su presencia puede reducir el tamaño efectivo de la muestra, afectar los análisis estadísticos y modificar las conclusiones obtenidas.

En este ejercicio se trabajará con una base de datos relacionada con el impacto de las redes sociales en la vida de los estudiantes. Se utilizará la variable Daily_Usage_Hours, correspondiente a las horas de uso diario de redes sociales.

Para evaluar diferentes métodos de imputación, se generará artificialmente un 20% de datos faltantes en esta variable. Posteriormente se aplicarán diferentes métodos de imputación y se compararán algunos de sus resultados.

2 Carga y preparación de los datos

Primero se carga la base de datos desde el archivo Excel utilizando la librería readxl.

library(readxl)

datos <- read_xlsx(
  "C:/Users/leoxs/OneDrive/Escritorio/Diplomado/Segundo modulo/Expocición/Social_Media_Impact_Diego.xlsx"
)

# Trabajamos inicialmente con datos completos
datos <- na.omit(datos)

# Mostrar las primeras observaciones
head(datos)

## # A tibble: 6 × 16
##   Student_ID    Age Gender Academic_Level Primary_Platform Daily_Usage_Hours
##   <chr>       <dbl> <chr>  <chr>          <chr>                        <dbl>
## 1 STU_2024000    19 Female Undergraduate  Snapchat                       7.5
## 2 STU_2024001    19 Female Undergraduate  Instagram                      4.6
## 3 STU_2024002    17 Female High School    TikTok                        10.9
## 4 STU_2024003    16 Female High School    YouTube                        6  
## 5 STU_2024004    17 Male   High School    LinkedIn                       3.3
## 6 STU_2024005    16 Male   High School    TikTok                         6.2
## # ℹ 10 more variables: Weekend_Extra_Hours <dbl>, Device_Type <chr>,
## #   Sleep_Duration_Hours <dbl>, Sleep_Quality_Score <dbl>,
## #   Late_Night_Usage <lgl>, Social_Comparison_Frequency <chr>,
## #   Perceived_Stress_Score <dbl>, Mental_Health_Index <dbl>,
## #   Academic_Performance_GPA <dbl>, Overall_Impact <chr>

2.1 Interpretación

En este primer paso se carga la base de datos utilizada para el análisis. Posteriormente se eliminan las observaciones que ya presentan valores faltantes mediante na.omit().

Esto permite trabajar inicialmente con una base completa y posteriormente introducir de manera controlada nuevos valores faltantes para evaluar los diferentes métodos de imputación.

3 Creación artificial de datos faltantes

Para poder evaluar los métodos de imputación se genera artificialmente un 20% de datos faltantes en la variable Daily_Usage_Hours.

set.seed(123)

datos_miss <- datos

n <- nrow(datos_miss)

ind <- sample(
  1:n,
  size = round(0.20 * n)
)

# Guardamos los valores verdaderos
datos_miss$Daily_Usage_Hours_real <- datos_miss$Daily_Usage_Hours

# Introducimos los valores faltantes
datos_miss$Daily_Usage_Hours[ind] <- NA

# Porcentaje de datos faltantes
mean(is.na(datos_miss$Daily_Usage_Hours))

## [1] 0.2000458

# Comprobamos que los valores reales permanecen completos
sum(is.na(datos_miss$Daily_Usage_Hours_real))

## [1] 0

3.1 Interpretación

En este paso se selecciona aleatoriamente el 20% de las observaciones de la variable Daily_Usage_Hours y se reemplazan sus valores por NA.

Antes de hacerlo se crea la variable Daily_Usage_Hours_real, que conserva los valores originales.

Esto es importante porque posteriormente podremos comparar los valores imputados con los valores verdaderos que fueron ocultados.

El resultado de mean(is.na(...)) permite comprobar que aproximadamente el 20% de los valores fueron convertidos en faltantes.

4 Imputación por la media

La primera técnica utilizada es la imputación mediante la media.

datos_media <- datos_miss

media_Daily_Usage_Hours <- mean(
  datos_media$Daily_Usage_Hours,
  na.rm = TRUE
)

datos_media$Daily_Usage_Hours[
  is.na(datos_media$Daily_Usage_Hours)
] <- media_Daily_Usage_Hours

media_Daily_Usage_Hours

## [1] 5.36432

4.1 Interpretación

La imputación por la media consiste en reemplazar cada valor faltante por el promedio de los valores disponibles de la variable.

Es un procedimiento sencillo y fácil de aplicar. Sin embargo, todos los valores faltantes reciben exactamente el mismo valor, por lo que puede reducir la variabilidad de los datos.

5 Imputación por la mediana

El segundo método utilizado es la imputación mediante la mediana.

datos_mediana <- datos_miss

mediana_Daily_Usage_Hours <- median(
  datos_mediana$Daily_Usage_Hours,
  na.rm = TRUE
)

datos_mediana$Daily_Usage_Hours[
  is.na(datos_mediana$Daily_Usage_Hours)
] <- mediana_Daily_Usage_Hours

mediana_Daily_Usage_Hours

## [1] 4.8

5.1 Interpretación

La mediana corresponde al valor que se encuentra en la posición central de los datos ordenados.

Al igual que la media, este método reemplaza todos los valores faltantes por un único valor. La mediana puede ser útil cuando existen valores extremos que pueden afectar el promedio.

6 Imputación Hot-Deck

Para aplicar el método Hot-Deck se utiliza la librería VIM.

library(VIM)

## Cargando paquete requerido: colorspace

## Cargando paquete requerido: grid

## VIM is ready to use.

## Suggestions and bug-reports can be submitted at: https://github.com/statistikat/VIM/issues

## 
## Adjuntando el paquete: 'VIM'

## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     sleep

datos_hotdeck <- hotdeck(
  datos_miss,
  variable = "Daily_Usage_Hours"
)

6.1 Interpretación

El método Hot-Deck busca utilizar información de observaciones similares para reemplazar los valores faltantes.

En lugar de asignar un valor central como ocurre con la media o la mediana, se busca un valor proveniente de otra observación considerada adecuada como donante.

Por esta razón, el valor imputado corresponde a un valor que ya existe en la base de datos.

7 Imputación mediante k-NN

A continuación se utiliza el método de los vecinos más cercanos o k-NN.

datos_knn <- kNN(
  datos_miss,
  variable = "Daily_Usage_Hours",
  k = 5
)

7.1 Interpretación

El método k-NN busca observaciones similares a aquella que presenta el dato faltante.

En este caso se utilizan k = 5, por lo que el método considera cinco vecinos cercanos para realizar la imputación.

La idea principal es que estudiantes con características similares pueden presentar valores similares en sus horas de uso diario de redes sociales.

8 Imputación mediante regresión lineal múltiple

En este método se utiliza un modelo de regresión para estimar las horas de uso diario de redes sociales a partir de otras variables disponibles.

modelo <- lm(
  Daily_Usage_Hours ~ Age +
    Sleep_Duration_Hours +
    Mental_Health_Index,
  data = datos_miss
)

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = Daily_Usage_Hours ~ Age + Sleep_Duration_Hours + 
##     Mental_Health_Index, data = datos_miss)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3015 -0.8861  0.0087  0.8422  5.8231 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)          19.677343   0.257861  76.310   <2e-16 ***
## Age                  -0.013391   0.011622  -1.152    0.249    
## Sleep_Duration_Hours -0.317135   0.030980 -10.237   <2e-16 ***
## Mental_Health_Index  -0.150245   0.002831 -53.063   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.36 on 3491 degrees of freedom
##   (874 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.7338, Adjusted R-squared:  0.7336 
## F-statistic:  3207 on 3 and 3491 DF,  p-value: < 2.2e-16

Posteriormente se generan las predicciones:

predicciones <- predict(
  modelo,
  newdata = datos_miss
)

datos_reg <- datos_miss

faltantes <- is.na(datos_reg$Daily_Usage_Hours)

datos_reg$Daily_Usage_Hours[faltantes] <-
  predicciones[faltantes]

8.1 Interpretación

La regresión múltiple utiliza la relación entre Daily_Usage_Hours y otras variables de la base para estimar los valores que hacen falta.

En este caso se utilizan:

Edad.
Horas de sueño.
Índice de salud mental.

El modelo aprende la relación existente entre estas variables y las horas de uso de redes sociales. Posteriormente utiliza esa relación para generar una predicción en las observaciones donde Daily_Usage_Hours presenta un valor faltante.

9 Imputación múltiple mediante MICE y PMM

Ahora se utiliza el método MICE con Predictive Mean Matching (PMM).

library(mice)

## 
## Adjuntando el paquete: 'mice'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, rbind

imp_pmm <- mice(
  datos_miss[, c(
    "Daily_Usage_Hours",
    "Age",
    "Sleep_Duration_Hours",
    "Mental_Health_Index"
  )],
  m = 5,
  method = "pmm",
  seed = 123
)

## 
##  iter imp variable
##   1   1  Daily_Usage_Hours
##   1   2  Daily_Usage_Hours
##   1   3  Daily_Usage_Hours
##   1   4  Daily_Usage_Hours
##   1   5  Daily_Usage_Hours
##   2   1  Daily_Usage_Hours
##   2   2  Daily_Usage_Hours
##   2   3  Daily_Usage_Hours
##   2   4  Daily_Usage_Hours
##   2   5  Daily_Usage_Hours
##   3   1  Daily_Usage_Hours
##   3   2  Daily_Usage_Hours
##   3   3  Daily_Usage_Hours
##   3   4  Daily_Usage_Hours
##   3   5  Daily_Usage_Hours
##   4   1  Daily_Usage_Hours
##   4   2  Daily_Usage_Hours
##   4   3  Daily_Usage_Hours
##   4   4  Daily_Usage_Hours
##   4   5  Daily_Usage_Hours
##   5   1  Daily_Usage_Hours
##   5   2  Daily_Usage_Hours
##   5   3  Daily_Usage_Hours
##   5   4  Daily_Usage_Hours
##   5   5  Daily_Usage_Hours

datos_pmm <- complete(
  imp_pmm,
  1
)

9.1 Interpretación

MICE significa Multiple Imputation by Chained Equations, o imputación múltiple mediante ecuaciones encadenadas.

En este caso se generan cinco bases imputadas mediante m = 5.

El método PMM utiliza las relaciones entre las variables para encontrar observaciones similares y posteriormente utiliza valores observados para realizar la imputación.

Una característica importante de PMM es que los valores imputados provienen de valores observados en la base de datos.

10 Imputación múltiple mediante Midastouch

También se utiliza MICE con el método Midastouch.

imp_midastouch <- mice(
  datos_miss[, c(
    "Daily_Usage_Hours",
    "Age",
    "Sleep_Duration_Hours",
    "Mental_Health_Index"
  )],
  m = 5,
  method = "midastouch",
  seed = 123
)

## 
##  iter imp variable
##   1   1  Daily_Usage_Hours
##   1   2  Daily_Usage_Hours
##   1   3  Daily_Usage_Hours
##   1   4  Daily_Usage_Hours
##   1   5  Daily_Usage_Hours
##   2   1  Daily_Usage_Hours
##   2   2  Daily_Usage_Hours
##   2   3  Daily_Usage_Hours
##   2   4  Daily_Usage_Hours
##   2   5  Daily_Usage_Hours
##   3   1  Daily_Usage_Hours
##   3   2  Daily_Usage_Hours
##   3   3  Daily_Usage_Hours
##   3   4  Daily_Usage_Hours
##   3   5  Daily_Usage_Hours
##   4   1  Daily_Usage_Hours
##   4   2  Daily_Usage_Hours
##   4   3  Daily_Usage_Hours
##   4   4  Daily_Usage_Hours
##   4   5  Daily_Usage_Hours
##   5   1  Daily_Usage_Hours
##   5   2  Daily_Usage_Hours
##   5   3  Daily_Usage_Hours
##   5   4  Daily_Usage_Hours
##   5   5  Daily_Usage_Hours

datos_midastouch <- complete(
  imp_midastouch,
  1
)

10.1 Interpretación

El método Midastouch también pertenece a los métodos de imputación utilizados mediante MICE.

La selección de los valores donantes se realiza dando mayor probabilidad a las observaciones que presentan mayor similitud con el caso que tiene el dato faltante.

Al igual que PMM, busca utilizar información observada en lugar de simplemente asignar un valor promedio.

11 Comparación de las imputaciones

Ahora se identifican las observaciones donde originalmente se introdujeron los valores faltantes.

idx <- is.na(datos_miss$Daily_Usage_Hours)

real <- datos_miss$Daily_Usage_Hours_real[idx]

reg <- datos_reg$Daily_Usage_Hours[idx]

pmm <- datos_pmm$Daily_Usage_Hours[idx]

midastouch <- datos_midastouch$Daily_Usage_Hours[idx]

comparacion <- data.frame(
  real = real,
  regresion = reg,
  PMM = pmm,
  midastouch = midastouch
)

comparacion

##     real regresion  PMM midastouch
## 1    3.3  4.185121  3.5        4.4
## 2    7.2  6.151691  4.0        4.3
## 3   11.2  9.687388  7.2        9.3
## 4    3.6  3.939736  3.7        4.8
## 5    4.3  5.136761  3.2        4.3
## 6    4.3  5.717603  4.5        6.6
## 7    8.6  7.530674  7.6        6.3
## 8    4.9  5.490502  3.9        3.6
## 9    3.8  3.448829  3.0        3.3
## 10   4.6  7.393547  6.2        6.5
## 11   3.0  5.971410  6.1        5.6
## 12   8.5  7.625677 10.0        8.2
## 13   3.3  2.961550  2.9        2.6
## 14   3.2  6.220049  5.3        4.9
## 15  14.0 10.433542 13.5       10.5
## 16   5.5  5.765924  6.8        6.0
## 17   4.4  4.390332  3.4        4.8
## 18   5.7  5.400468  5.5        2.3
## 19   7.3  6.301798  3.5        4.2
## 20   8.0  7.588896 10.5        8.2
## 21   4.7  2.657844  5.0        1.8
## 22   4.6  3.113372  5.1        6.0
## 23   4.7  4.789178  3.5        3.0
## 24   2.7  4.390470  4.4        2.8
## 25   2.2  3.736201  3.8        5.3
## 26   3.8  3.105049  3.4        3.4
## 27   2.0  3.928022  3.7        3.6
## 28   5.1  2.689421  2.6        3.1
## 29   3.9  2.822882  2.0        4.6
## 30  14.0 11.042980 10.4       14.0
## 31   4.1  5.575643  6.4        4.5
## 32   5.4  3.527324  4.6        3.3
## 33   1.4  3.545783  3.9        2.0
## 34   6.2  5.323650  5.4        6.0
## 35   8.9  8.263300  9.1        6.9
## 36   4.9  3.203581  3.1        4.0
## 37   2.1  2.474072  3.5        2.6
## 38   4.2  3.924630  3.1        2.5
## 39   2.8  5.011447  4.5        5.0
## 40   4.0  5.624002  3.6        4.3
## 41   2.8  3.454034  3.1        4.3
## 42   2.1  2.383863  3.8        5.3
## 43   6.4  7.348579  8.3        7.8
## 44   4.2  4.058267  3.7        4.3
## 45   5.7  5.567359  5.0        4.9
## 46   3.3  2.225296  2.8        4.2
## 47   2.7  2.784698  3.3        3.9
## 48   4.4  3.988194  2.8        3.6
## 49   5.7  4.767777  5.6        6.6
## 50   9.0  7.179875  7.9        4.8
## 51   4.8  6.270085  5.7        6.4
## 52   5.5  3.729281  2.1        2.4
## 53   6.8  5.906306  6.0        6.3
## 54   1.4  2.225296  4.3        4.2
## 55   4.9  4.472356  3.1        4.7
## 56   3.8  5.243441  6.9        6.8
## 57   6.0  5.297005  3.2        4.1
## 58   5.0  7.066549  7.4       10.8
## 59   5.0  3.694351  2.9        2.9
## 60   5.3  4.472219  4.4        6.0
## 61   3.4  2.582604  2.5        4.3
## 62   4.9  3.983126  4.5        2.8
## 63   3.5  4.829626  4.2        6.0
## 64   4.1  4.709281  3.9        6.5
## 65   4.9  3.171731  2.4        2.0
## 66   3.0  3.772846  2.5        2.8
## 67   3.5  3.300398  2.7        4.2
## 68   4.4  5.286868  5.4        6.0
## 69   4.7  5.769316  5.4        5.3
## 70   6.0  5.288682  3.9        4.2
## 71   2.6  2.707606  3.1        2.4
## 72   2.7  3.427252  3.6        2.1
## 73   5.5  5.073197  4.5        3.2
## 74   8.4  8.258369  8.6        7.4
## 75   3.1  3.086727  2.5        1.9
## 76   3.2  1.980048  2.3        2.7
## 77   5.0  6.493893  5.6        6.6
## 78   6.0  8.123192  7.3        7.3
## 79   3.1  4.627532  6.2        4.2
## 80   2.3  2.275332  4.2        3.7
## 81   5.9  5.866133  4.5        2.9
## 82   4.4  5.550713  4.9        6.6
## 83   3.7  4.281938  6.1        4.8
## 84   4.5  3.560752  2.8        3.9
## 85   6.3  5.191728  7.6        2.9
## 86   4.6  4.123371  5.3        3.3
## 87   2.8  6.211726  6.5        4.3
## 88  11.2 10.750677  6.7       13.2
## 89   4.5  3.939873  4.8        5.3
## 90   3.5  3.460543  3.3        3.6
## 91   9.4  8.376763 10.9        6.5
## 92  11.3 11.264838 12.4       14.0
## 93   3.9  3.931413  3.7        2.8
## 94   3.8  6.139840  4.4        5.8
## 95   7.7  5.450504  5.5        6.6
## 96   9.3  8.966065 11.2        9.2
## 97   5.4  5.452181  2.9        6.2
## 98   6.6  8.241586  8.5        7.4
## 99   3.8  5.205119  5.2        7.1
## 100  3.5  4.301937  4.7        4.0
## 101  3.7  1.953266  3.0        3.2
## 102  3.2  3.145085  2.4        2.7
## 103  7.7  8.849211  6.8        7.9
## 104  3.2  3.083373  2.3        4.3
## 105  3.9  4.729417  3.9        4.7
## 106  3.4  4.144948  4.6        4.4
## 107  2.7  2.609348  2.4        4.9
## 108  2.9  2.328896  2.9        4.4
## 109  3.8  5.887847  5.8        6.9
## 110  3.5  2.066728  3.2        3.2
## 111  6.9  4.922952  5.5        7.1
## 112  4.5  5.109979  6.3        4.7
## 113  4.0  3.981449  6.1        2.8
## 114  6.0  4.809490  5.6        3.4
## 115  8.1  4.906307  5.4        3.9
## 116  5.1  4.240225  4.7        4.7
## 117  5.4  6.675851  5.0        8.6
## 118  6.1  6.433721  4.9        7.6
## 119 12.3  8.872601  7.3        9.8
## 120  4.1  5.879524  7.5        5.4
## 121 11.1  8.244841  8.9       11.0
## 122  5.0  4.609209  2.9        4.0
## 123  4.1  4.704350  2.9        6.8
## 124  5.1  5.059806  4.4        3.6
## 125  4.5  6.038091  6.4        4.2
## 126  7.9  8.018052  8.2        6.5
## 127  2.2  3.756101  3.9        5.1
## 128  3.2  3.095050  2.7        2.8
## 129  8.7  7.682359  8.0        6.0
## 130  4.0  3.776100  5.6        3.1
## 131  5.1  6.315190  5.9        6.8
## 132  8.7  7.617355  5.1        6.6
## 133  3.6  3.572565  4.5        4.6
## 134  2.3  2.412322  2.9        2.6
## 135  4.8  5.804421  5.9        7.3
## 136  4.4  5.078265  5.7        7.3
## 137  6.1  4.236971  5.0        2.7
## 138  2.2  3.343689  4.3        3.1
## 139  3.6  4.627669  6.5        5.2
## 140  9.9  7.615541  9.6        9.2
## 141  4.6  4.943089  2.9        3.8
## 142  2.4  3.550714  3.1        2.4
## 143  6.0  7.111380  4.4        7.9
## 144  8.0  5.088265  6.7        3.8
## 145  2.4  1.804698  2.6        2.4
## 146  6.6  3.627670  3.9        1.6
## 147  5.5  5.510677  5.4        3.3
## 148  5.8  5.355227  6.0        5.3
## 149  2.3  4.514069  3.8        3.6
## 150  3.6  2.567498  3.0        4.3
## 151  5.0  4.695890  5.9        3.5
## 152  2.5  3.514070  3.0        2.0
## 153  5.7  6.442043  7.6        8.5
## 154  1.4  2.238687  2.4        2.5
## 155  2.3  2.367355  1.9        2.5
## 156  3.9  3.796236  3.9        4.1
## 157  3.0  4.200189  4.7        2.3
## 158  2.8  2.233756  1.4        3.6
## 159  3.0  2.794560  1.4        3.0
## 160  4.5  3.358757  3.3        2.9
## 161  5.8  5.587358  8.1        7.3
## 162  4.0  6.879523  6.6        7.6
## 163  9.7  8.618894  4.9        8.7
## 164  6.6  5.485434  2.5        3.8
## 165  7.9  9.054559  8.6        9.2
## 166  3.6  3.160290  3.8        1.7
## 167  5.5  5.397077  4.2        2.9
## 168  3.2  3.856272  5.6        4.4
## 169  3.8  1.758054  2.3        2.3
## 170  3.8  4.166897  4.4        4.1
## 171  3.7  3.303653  2.7        5.8
## 172 10.0 11.712043 12.6       13.6
## 173  9.4  7.515469  7.9        5.0
## 174  2.4  5.447113  4.4        3.3
## 175  4.0  4.350433  4.9        4.9
## 176  2.1  1.813021  2.6        2.7
## 177  3.3  4.348718  2.6        3.8
## 178  4.4  4.609209  6.1        4.0
## 179  7.9  5.884455  4.5        6.1
## 180  8.9  7.627217  7.7        7.1
## 181 10.2  7.422143  6.5        6.1
## 182  5.2  4.023162  4.5        2.6
## 183  5.0  5.281937  3.9        4.5
## 184  8.7  7.852740  6.0        8.2
## 185  4.5  3.064914  3.3        4.9
## 186  4.0  4.922952  2.4        7.1
## 187  4.2  4.707741  4.4        4.8
## 188  6.0  7.210011  6.0        5.7
## 189 13.0 12.089487 14.0       13.9
## 190  6.2  5.619071  4.0        5.7
## 191  2.2  2.283791  2.5        4.8
## 192  4.5  4.992987  4.7        4.1
## 193  3.5  2.649384  2.7        2.9
## 194  4.6  4.704350  4.4        6.8
## 195  2.9  5.702634  5.8        6.6
## 196  4.9  6.645677  3.1        5.8
## 197  3.4  2.073199  3.1        2.8
## 198  1.6  1.609349  2.5        1.3
## 199  3.7  4.437251  3.4        4.8
## 200  4.8  5.154946  5.6        2.9
## 201  8.9  7.964625  5.7        6.1
## 202  2.1  2.193582  3.9        1.5
## 203 12.7  9.809174  9.7       10.4
## 204  4.3  4.943089  2.9        3.8
## 205  1.2  2.902955  3.7        4.7
## 206  5.1  5.220187  3.2        5.0
## 207  5.7  3.627532  2.8        2.1
## 208  9.6  8.618756  8.9        8.2
## 209  8.5  7.664136  6.9        7.9
## 210  6.0  6.755924  7.4        8.5
## 211  2.9  3.095187  3.5        4.4
## 212  5.1  6.929559  7.6        6.9
## 213  4.8  5.919560  5.3        6.9
## 214  8.5  7.173229  5.1        5.7
## 215  4.4  4.113234  5.1        4.5
## 216 14.0 12.024383 13.9       13.9
## 217  2.4  3.517324  4.3        1.6
## 218  2.0  2.045014  3.2        1.5
## 219 10.7  8.577181  8.5       10.5
## 220 14.0 10.520223 11.5       11.6
## 221 10.5  9.688928  7.7        9.3
## 222  7.5  7.108262  7.9        7.0
## 223  6.3  6.619070  6.4        6.7
## 224  5.0  7.914589  8.4        7.3
## 225  9.7  7.849348  6.1        7.2
## 226  3.9  3.140154  3.7        3.1
## 227  3.8  3.430507  3.6        2.9
## 228  4.9  2.121695  2.8        3.9
## 229  3.9  4.492355  3.5        6.1
## 230  2.2  2.270400  2.2        3.0
## 231  8.5 10.238193 12.0        6.9
## 232  5.7  6.547183  8.4        5.0
## 233  4.6  4.141693  4.6        4.5
## 234  3.7  5.027955  5.6        6.3
## 235  3.8  3.572565  3.2        4.6
## 236  2.8  4.764385  4.7        2.5
## 237  4.6  4.911238  4.1        5.9
## 238  3.4  5.375500  6.5        2.9
## 239  6.5  6.064873  4.4        5.4
## 240  4.3  4.719281  4.7        3.5
## 241  2.5  3.203581  3.1        4.0
## 242  1.7  1.799630  4.3        2.7
## 243  8.5  6.958018  8.6        8.0
## 244  4.8  5.856270  7.5        5.8
## 245  5.6  5.567221  4.8        5.0
## 246  2.2  3.190327  5.2        5.2
## 247  4.4  3.018231  4.9        3.2
## 248 11.1 11.089625 12.2       11.7
## 249  4.9  4.039808  4.2        3.0
## 250  4.7  5.133507  3.2        5.5
## 251  6.5  4.485747  4.0        4.7
## 252  4.1  3.602465  4.1        5.3
## 253  7.8  7.480501  7.8        7.5
## 254  5.6  5.064874  5.8        4.6
## 255  2.7  2.612602  1.9        2.9
## 256  3.8  3.485748  3.0        2.5
## 257  5.1  5.119879  4.9        5.3
## 258  3.6  5.046552  5.7        5.0
## 259  4.9  4.502217  5.2        6.0
## 260  4.6  4.350433  4.9        4.9
## 261  8.7  7.837771  7.8        5.1
## 262  4.0  6.624139  7.2        5.6
## 263  3.1  3.448829  4.2        3.3
## 264  4.6  4.443859  2.9        4.7
## 265  1.7  2.138615  3.4        2.1
## 266  5.7  6.867672  7.2        7.3
## 267  3.6  4.110117  4.5        4.4
## 268  6.4  5.455572  5.1        3.3
## 269  4.2  2.707880  3.7        3.0
## 270  8.1  6.967880  7.8        7.1
## 271  6.3  4.495610  3.6        3.0
## 272  5.4  5.402145  4.6        5.4
## 273  2.9  6.682596  6.9        4.1
## 274  2.1  2.283791  4.4        4.8
## 275  7.5  6.599033  7.0        7.0
## 276  5.7  8.740679 10.8        6.8
## 277  3.2  5.211727  6.7        4.2
## 278 10.0 13.082703 14.0       14.0
## 279 11.3  9.375047  8.3       10.6
## 280  4.8  5.891238  6.1        4.8
## 281  4.0  4.373824  5.2        2.7
## 282  9.4  6.326904  4.1        3.9
## 283  8.8  7.488687  6.5        5.6
## 284  7.7  6.418653  7.5        5.9
## 285  2.7  3.699419  3.0        4.0
## 286  3.5  2.600926  2.2        3.2
## 287 10.9  8.462041  8.3        7.8
## 288  5.8  4.275018  4.3        5.1
## 289  6.6  6.629070  7.3        8.6
## 290  5.6  4.620749  2.8        6.2
## 291 12.0 10.635362 13.5       10.5
## 292  1.8  5.408791  5.6        3.9
## 293  1.0  2.152006  2.5        4.4
## 294  5.5  4.904630  2.9        5.5
## 295  2.1  3.853055  3.2        5.1
## 296  2.5  3.021623  2.1        4.4
## 297  3.7  5.814420  7.4        4.8
## 298  1.9  2.158477  2.3        3.9
## 299  7.7  7.775922  5.4        8.0
## 300  2.2  5.438790  2.9        6.2
## 301  4.1  3.806236  2.6        3.9
## 302  6.4  7.021034  7.2        5.8
## 303  3.1  2.193582  2.7        1.5
## 304  6.1  6.984663  6.1        5.7
## 305  2.0  3.029946  4.2        2.9
## 306  5.8  4.983125  2.4        3.5
## 307  5.8  4.353825  1.7        4.1
## 308 11.7  9.323335  8.6       10.0
## 309  2.6  2.080120  2.3        3.2
## 310  2.3  2.437428  2.4        3.5
## 311  4.3  2.704351  2.1        2.7
## 312  7.1  7.263575  7.4        5.9
## 313  5.9  5.710957  3.9        4.3
## 314  3.9  5.241764  6.7        3.2
## 315 14.0 10.862600 13.4       13.4
## 316  3.2  2.834734  5.6        4.5
## 317  7.0  5.944627  5.3        6.1
## 318  8.9  7.315189  5.9        4.7
## 319 11.5 10.451728 10.5       11.6
## 320  6.0  4.991311  2.9        3.1
## 321  7.4  7.737601  7.0        7.9
## 322  9.5  6.233440  5.6        5.7
## 323  2.5  4.802882  5.1        3.0
## 324  8.1  7.875994  8.0        4.9
## 325  3.1  2.801344  5.2        3.7
## 326  3.3  4.235294  3.5        2.6
## 327  4.8  5.165220  4.0        7.2
## 328  4.7  3.040082  2.4        2.8
## 329  9.1  7.126311  8.8        6.6
## 330  3.4  4.155084  3.4        5.6
## 331  4.6  6.575642  6.4        7.0
## 332  5.4  5.602425  3.1        4.1
## 333  5.7  4.749180  6.1        4.8
## 334  2.8  2.754387  2.8        2.5
## 335  5.2  3.387216  4.5        3.2
## 336  5.7  6.578897  6.4        5.6
## 337  1.6  4.028230  2.8        1.9
## 338 12.6 12.398436 14.0       11.4
## 339  2.7  2.352150  4.0        2.6
## 340  6.8  5.689243  6.0        6.1
## 341  3.5  4.824459  4.2        3.3
## 342  2.9  4.115048  4.2        3.3
## 343  6.7  5.513931  6.6        3.8
## 344  3.7  5.346904  4.4        2.1
## 345  3.3  2.409068  2.9        3.7
## 346  2.6  5.774521  5.3        3.2
## 347  2.3  2.474072  3.6        2.6
## 348  8.0  6.310258  6.1        6.1
## 349  3.4  3.298721  4.3        3.9
## 350  5.6  4.687567  5.2        5.9
## 351  4.8  5.121655  3.9        4.0
## 352  5.1  5.737602  5.1        5.4
## 353  4.6  4.746063  4.4        6.5
## 354  4.5  3.941413  4.8        3.6
## 355  7.4  7.037953  8.8        6.4
## 356  7.4  8.466835  8.9       10.8
## 357  2.7  3.979772  4.3        3.9
## 358  3.1  3.764523  5.1        6.0
## 359  6.8  5.175082  6.2        6.3
## 360  6.3  4.797775  3.9        5.2
## 361  2.4  4.330259  5.2        6.3
## 362  4.5  3.986380  4.8        3.4
## 363  5.5  6.652460  5.0        8.6
## 364  1.8  3.053199  2.8        6.0
## 365  2.5  2.080120  2.6        3.2
## 366  1.2  1.813021  2.6        2.7
## 367  7.5  7.400017  7.5        6.9
## 368  4.3  5.301936  5.1        5.7
## 369  5.6  4.145085  5.6        5.2
## 370  4.4  6.116586  5.8        6.8
## 371  5.0  4.250225  2.3        3.2
## 372  3.2  2.085051  3.2        2.7
## 373  5.2  4.216834  7.2        3.2
## 374  4.2  4.791167  4.4        2.9
## 375  4.1  2.554244  1.1        3.1
## 376 10.7  9.236654 11.8        5.8
## 377  4.1  4.635855  4.7        5.5
## 378  2.7  3.525647  3.1        5.2
## 379  3.7  2.644316  1.9        2.4
## 380  2.8  1.836411  1.3        2.7
## 381  3.9  3.564106  3.4        4.6
## 382 10.8  8.657253  8.8        9.4
## 383  3.1  4.737740  3.6        6.5
## 384  2.1  2.288723  3.2        3.8
## 385  1.9  2.971587  2.2        2.1
## 386  3.2  4.290261  5.0        4.8
## 387  5.4  6.171690  3.6        4.2
## 388  1.5  2.420645  1.9        5.3
## 389  8.1  8.480363  8.3        8.0
## 390  9.8  6.510539  5.8        5.3
## 391  3.3  2.572429  2.2        4.0
## 392 10.0  9.331658 10.0       13.1
## 393  1.6  2.998232  0.9        3.6
## 394  7.2  6.093195  5.1        6.4
## 395  4.6  4.353688  4.9        2.8
## 396 10.2  9.682183  7.9        9.1
## 397  3.6  2.776101  2.1        2.2
## 398  6.5  6.971272  7.6        7.0
## 399  4.7  5.919560  6.5        6.9
## 400  8.6  8.435259 10.0        9.7
## 401  6.2  8.226656  8.3        8.9
## 402  5.1  3.759455  3.0        4.1
## 403  3.6  2.315505  2.5        2.3
## 404  2.0  2.847988  3.6        1.4
## 405  9.3  8.563789  8.3       10.8
## 406  3.4  7.939421  8.4        8.7
## 407  3.7  3.714350  1.3        4.3
## 408  6.5  7.103057  7.9        6.8
## 409  7.6  5.068266  3.8        7.2
## 410 14.0 11.839171  9.9       13.6
## 411  2.8  3.443898  1.1        3.6
## 412 10.5  7.602424  7.0        6.3
## 413  3.5  5.928020  4.9        4.8
## 414  5.4  4.500678  4.8        4.4
## 415  4.7  3.554106  2.5        1.6
## 416  6.0  7.719004  6.7        8.2
## 417  6.5  5.692498  5.4        3.6
## 418  6.5  5.861201  5.3        4.5
## 419  3.7  3.422321  3.9        5.8
## 420  7.1  6.592288  6.5        8.6
## 421  3.5  5.580437  2.8        5.7
## 422  2.9  3.836273  2.3        2.7
## 423  7.4  7.760854 10.3        6.3
## 424  2.4  2.080120  2.9        3.2
## 425  4.5  4.372010  4.3        4.4
## 426  9.7  9.610570 10.3       11.9
## 427  5.2  5.099979  3.7        4.3
## 428  6.3  7.361833  8.2        8.3
## 429  4.9  6.789314  8.9        8.3
## 430  2.5  2.881378  2.5        3.6
## 431  3.9  4.719281  3.8        6.0
## 432  2.0  2.026692  2.0        2.3
## 433  5.2  4.129880  5.3        4.7
## 434  3.3  2.807952  2.6        3.1
## 435  5.4  6.979595  7.6        7.5
## 436  5.9  5.343512  4.2        5.8
## 437  4.3  4.532254  4.1        5.9
## 438  2.5  3.831067  2.8        3.6
## 439  5.3  5.503932  3.7        6.4
## 440  4.0  6.204981  6.9        6.4
## 441  8.6  7.889385  8.6        8.8
## 442  3.2  4.065012  3.9        2.2
## 443  4.8  6.407076  6.7        8.7
## 444  3.8  6.730818  5.0        5.7
## 445  4.2  5.737602  5.5        5.4
## 446  6.5  5.482218  5.1        5.2
## 447  5.1  5.785786  5.2        5.4
## 448  3.2  3.859663  2.3        3.5
## 449  1.9  2.774561  3.7        4.5
## 450  4.8  5.205119  6.9        7.1
## 451  7.5  6.463856  7.5        3.7
## 452  2.5  3.577360  5.6        2.1
## 453  1.7  4.345365  6.8        3.5
## 454  3.4  2.370472  1.8        2.7
## 455  5.7  5.081520  6.2        4.2
## 456  9.8  9.395222 10.6       10.2
## 457  2.9  1.868125  2.7        3.4
## 458  2.6  3.627532  3.7        2.1
## 459  6.1  6.891199  7.1        6.2
## 460  5.3  5.664176  2.3        5.0
## 461  5.4  4.649246  6.8        4.4
## 462  5.3  4.350433  2.8        4.9
## 463  4.4  5.400468  5.5        2.3
## 464  9.8  9.954487 10.3       13.1
## 465  4.3  3.640924  1.9        2.1
## 466  5.3  6.839350  7.6        8.9
## 467  6.4  6.615679  9.4        8.6
## 468  5.1  4.337042  3.3        2.7
## 469  4.5  4.096725  3.8        2.1
## 470  6.4  7.889385  4.9        8.8
## 471  2.5  4.395538  4.4        3.5
## 472 11.0 11.214802 11.4       11.4
## 473  5.5  6.579034  8.2        7.3
## 474  4.7  6.196659  4.0        5.7
## 475  9.0  8.931097 11.4       10.4
## 476  2.8  3.310398  2.4        4.7
## 477  7.8  4.918021  5.4        1.7
## 478  7.7  9.378576  8.4        7.8
## 479  5.9  4.877985  5.2        3.0
## 480  2.2  4.607533  5.0        4.7
## 481  4.4  4.113371  4.6        3.0
## 482  6.0  5.178474  4.6        5.3
## 483  2.6  4.408792  3.5        4.4
## 484  3.9  3.473896  3.1        3.1
## 485  3.8  6.433721  4.9        7.6
## 486 12.6 12.713719 11.8       14.0
## 487  2.4  3.363825  4.1        3.2
## 488  5.4  6.827811  7.5        5.5
## 489  3.5  5.645853  6.2        5.7
## 490  1.7  2.744525  5.0        2.9
## 491  2.8  2.924806  2.8        2.9
## 492  3.6  6.281898  7.4        6.8
## 493  5.3  6.490364  3.0        8.0
## 494  2.3  3.243480  4.5        5.6
## 495  3.3  2.529176  3.3        2.9
## 496  5.8  7.335188  8.2        8.0
## 497  2.7  4.125047  2.2        4.3
## 498  2.9  2.116764  3.2        2.9
## 499  3.2  3.050082  2.7        4.7
## 500  3.5  4.592564  2.7        3.0
## 501  2.4  3.964666  4.8        6.4
## 502  5.7  5.286868  4.2        6.0
## 503  6.1  4.877848  4.7        4.9
## 504  2.7  4.018231  4.5        4.6
## 505  3.4  3.444035  1.8        4.3
## 506  4.9  5.056551  6.6        5.0
## 507  5.5  6.630747  8.0        3.4
## 508  3.9  3.405538  3.9        1.9
## 509  6.0  7.261761  3.9       10.8
## 510  6.0  6.038091  3.3        4.2
## 511  3.5  3.704213  3.2        2.4
## 512  4.6  5.377078  4.7        5.7
## 513  3.8  4.592427  5.1        4.4
## 514  2.6  4.660922  4.1        4.0
## 515  5.9  6.180051  6.2        8.3
## 516  5.8  5.380469  4.9        6.3
## 517  4.9  4.819489  4.5        4.1
## 518  1.8  2.722674  2.4        3.1
## 519  2.9  3.193582  3.9        4.0
## 520 10.6  9.658929 11.8       11.5
## 521  3.0  2.824597  3.8        1.5
## 522  3.8  6.138163  5.1        4.3
## 523  3.6  3.654315  4.6        3.7
## 524  1.4  1.414137  1.1        1.1
## 525  6.0  8.266692  7.5        9.6
## 526  4.8  4.891239  5.9        4.5
## 527  3.8  3.789491  3.6        5.0
## 528  2.0  2.225296  3.4        4.2
## 529  1.5  2.943128  2.8        2.8
## 530  4.1  3.231903  3.4        3.3
## 531  7.3  6.712633  5.7        5.6
## 532  9.6  9.719101  8.9       11.5
## 533  3.3  3.923090  2.6        3.1
## 534  3.9  4.732672  2.4        3.5
## 535  1.4  2.579349  4.5        2.9
## 536  3.6  4.617532  2.9        4.4
## 537  2.6  5.939559  6.0        4.9
## 538  3.6  3.936481  3.2        2.9
## 539 10.5 10.456933 13.5       10.5
## 540  4.5  5.861201  6.9        4.5
## 541  3.4  5.864456  5.7        7.4
## 542  4.2  3.789491  3.5        5.0
## 543 12.6 10.171375 10.8        9.9
## 544  2.6  5.574104  4.0        3.8
## 545  4.6  4.071658  2.0        4.9
## 546  2.5  3.013026  3.9        3.4
## 547  5.5  2.976381  3.4        2.1
## 548  6.8  7.867808  7.6        7.3
## 549  5.1  2.944805  3.0        2.3
## 550  5.9  7.458787  5.8        8.3
## 551  3.6  6.128300  6.4        4.3
## 552  3.1  3.393862  3.1        3.2
## 553  5.7  5.670921  3.2        6.0
## 554  6.3  7.904453  7.0        6.1
## 555  6.7  3.617533  4.3        1.6
## 556  5.3  4.582427  4.4        2.8
## 557  6.3  4.417252  5.6        4.9
## 558  5.6  6.133232  4.2        7.2
## 559  2.8  4.024976  2.8        3.6
## 560  2.5  2.397254  2.9        3.2
## 561  5.5  6.944627  6.6        7.6
## 562  5.7  4.288409  3.8        5.1
## 563  3.5  5.174808  6.8        4.2
## 564  7.6  8.345187  7.7       11.0
## 565  4.9  5.979595  6.3        4.7
## 566  6.3  5.143232  5.0        4.9
## 567  3.3  3.677705  4.1        1.6
## 568  3.1  2.258686  3.5        3.4
## 569  2.1  3.585819  5.3        2.3
## 570  2.5  2.261940  3.5        3.2
## 571  5.1  5.452181  3.7        6.2
## 572  7.6  7.375361  9.3        6.8
## 573  2.6  2.799629  2.8        2.8
## 574  4.1  2.911552  3.2        4.7
## 575  5.3  4.664313  5.4        4.9
## 576  5.9  7.271761  6.9       10.8
## 577  9.6  9.229909 13.4        9.6
## 578  9.1 11.712180 12.4       12.4
## 579  7.4  8.582249  9.8        6.2
## 580  2.4  3.949598  3.3        2.1
## 581  5.4  4.368619  4.6        2.5
## 582  3.4  3.777777  3.5        4.8
## 583  4.0  4.874593  3.7        4.2
## 584  9.1  9.450189  9.1       10.6
## 585  4.5  4.619072  4.2        4.7
## 586  7.2  5.081657  6.2        4.9
## 587  4.6  3.796099  6.2        3.3
## 588  3.9  2.475475  1.8        1.8
## 589  4.5  5.568898  4.9        6.6
## 590  6.8  4.144948  2.6        4.4
## 591  1.9  2.035015  3.8        2.8
## 592  6.9  5.320396  5.4        3.7
## 593  7.5  6.762669  5.4        4.5
## 594  2.2  2.492357  4.4        2.5
## 595  4.0  5.513931  1.9        3.8
## 596  4.8  6.038091  8.0        4.2
## 597  4.0  3.587496  2.9        2.5
## 598  3.6  5.325327  4.9        5.7
## 599  2.8  2.053337  3.1        2.5
## 600  5.2  5.205119  6.0        7.1
## 601 14.0 10.949380 14.0       11.9
## 602  3.0  4.258684  3.4        2.6
## 603  4.0  2.302114  3.1        3.6
## 604  3.4  2.747916  3.6        3.9
## 605  2.1  3.048268  4.2        2.1
## 606  3.7  4.387078  4.0        1.7
## 607  6.3  3.872917  4.7        4.0
## 608  3.7  3.923090  2.4        3.1
## 609  6.4  5.497285  5.3        4.2
## 610  5.9  4.370432  2.7        4.4
## 611  3.4  2.388794  2.3        2.8
## 612  2.7  3.432183  5.8        3.1
## 613  7.4  6.321935  6.1        8.3
## 614  4.8  3.859663  3.3        3.5
## 615  3.4  5.347041  6.0        6.6
## 616  3.8  3.772846  2.5        2.8
## 617  5.4  7.722358  9.6        6.4
## 618  2.8  3.253754  2.9        3.4
## 619  3.3  4.403861  4.1        3.9
## 620  4.0  3.161731  4.2        2.4
## 621  6.1  6.575642  6.4        7.0
## 622  3.2  2.120293  2.8        1.9
## 623  5.4  4.750994  8.6        4.4
## 624  6.5  5.901375  3.5        4.3
## 625  4.0  3.185259  2.6        4.9
## 626  4.9  4.719418  5.5        5.2
## 627  3.9  4.185121  5.3        4.4
## 628  6.3  5.465572  4.9        5.3
## 629  5.9  5.694311  5.9        6.2
## 630  7.2  5.482218  3.8        5.2
## 631  4.0  4.727740  3.1        4.8
## 632  2.1  4.974802  6.6        4.9
## 633 10.1  8.149975  8.3        7.3
## 634  5.5  3.462083  5.4        4.3
## 635  2.8  2.322113  2.4        3.2
## 636 14.0 11.817457 13.1       10.8
## 637  4.4  7.091480  6.4        8.6
## 638  3.9  5.014838  5.0        3.5
## 639  3.4  3.335503  3.2        3.9
## 640  9.9  7.527283  8.7        5.6
## 641  2.8  2.307045  4.4        2.3
## 642  5.1  5.261900  3.3        3.1
## 643  3.2  2.861379  4.4        1.5
## 644  4.8  4.143408  3.5        2.7
## 645  3.4  1.831343  2.3        2.7
## 646  7.6  6.752669  6.0        8.2
## 647 10.6  8.735748  8.3        8.8
## 648  3.6  4.123371  5.3        3.3
## 649  3.8  4.458965  5.2        4.5
## 650  3.4  1.482495  1.3        1.1
## 651  5.9  4.273615  3.3        4.5
## 652  6.7  6.056414  4.4        6.4
## 653  4.6  4.619209  5.3        5.3
## 654  2.3  3.352149  4.9        4.1
## 655  8.7  7.877709  9.4        6.8
## 656  5.5  7.722495  9.0       10.0
## 657 11.3 10.657213 14.0       13.2
## 658  2.5  3.243617  4.0        4.8
## 659  2.5  2.040083  3.0        2.3
## 660  4.6  5.774384  6.3        5.4
## 661  6.7  6.126585  4.5        5.2
## 662  2.3  4.897984  6.1        8.5
## 663  3.9  2.462358  1.8        1.1
## 664 10.3  7.303337  5.1        3.9
## 665  7.3  5.307005  2.2        8.7
## 666  2.1  3.747778  4.9        5.4
## 667  3.9  3.116626  3.1        4.1
## 668  2.7  4.709281  8.6        6.5
## 669  3.1  2.200053  1.5        4.1
## 670  6.6  4.707703  4.5        6.2
## 671  4.7  4.781168  6.5        6.6
## 672  2.4  1.836274  2.4        1.6
## 673  3.5  1.881379  2.2        3.2
## 674  5.7  6.927882  5.5        7.0
## 675  4.0  4.118302  4.2        4.6
## 676 11.4 10.086272 12.6        9.9
## 677  6.0  7.831163  8.7        7.9
## 678  4.7  3.968195  2.8        4.0
## 679  7.2  8.321659  8.6        9.8
## 680  3.0  4.198512  4.7        4.4
## 681  2.2  1.999773  2.7        1.9
## 682  7.7  6.448651  3.0        8.3
## 683  6.2  5.620748  5.7        6.2
## 684  4.2  6.934490  8.0        5.7
## 685  2.4  1.799630  2.0        2.7
## 686  3.9  4.755925  4.5        4.9
## 687  4.1  4.091657  3.7        3.7
## 688  3.0  2.607534  2.4        2.3
## 689  9.6  7.720818  5.7        6.4
## 690  6.2  8.323473  7.5        6.9
## 691  9.3  9.608756  7.7       11.5
## 692  4.7  6.690645  3.1        5.9
## 693  2.7  3.347081  2.1        4.3
## 694  6.7  7.221725  8.9        7.0
## 695  7.3  7.497010  7.6        7.9
## 696  2.5  5.866133  7.4        2.9
## 697  3.5  3.679420  2.7        3.5
## 698  3.9  4.500541  1.5        3.5
## 699  3.2  3.904768  5.2        5.6
## 700  5.6  6.535606  5.9        8.3
## 701  5.9  6.088127  2.5        4.9
## 702  3.9  3.261940  5.3        3.9
## 703  6.5  8.630707  7.9        9.0
## 704  3.8  2.796275  5.3        3.9
## 705  3.8  4.028367  3.7        2.8
## 706  3.1  4.291938  4.4        5.9
## 707  4.0  4.614141  1.9        4.1
## 708  5.4  5.150015  7.6        6.7
## 709  3.5  4.779491  3.8        3.0
## 710  6.9  4.854594  4.3        3.0
## 711  4.3  6.866132  5.0        7.6
## 712  4.2  4.350433  3.7        4.9
## 713  6.3  5.726025  5.3        6.1
## 714  2.2  2.021624  1.6        1.5
## 715  8.8  8.642284  9.8        8.7
## 716  3.3  4.854457  5.9        4.5
## 717  2.7  2.375677  2.0        2.3
## 718  2.3  2.420645  1.8        5.3
## 719  1.2  2.268548  2.4        4.8
## 720  2.8  3.393999  1.7        4.4
## 721  4.5  2.183720  2.2        3.9
## 722  3.2  4.677705  5.5        4.0
## 723  4.3  4.223442  4.8        4.6
## 724  4.5  4.569036  3.4        5.9
## 725  4.8  6.902777  7.3        5.7
## 726 14.0 11.077811 11.7       11.1
## 727  5.4  4.659245  4.5        5.4
## 728  5.4  6.028092  5.2        5.4
## 729  7.4  6.148299  4.8        4.2
## 730  3.7  4.724349  6.2        5.9
## 731  6.8  6.134946  3.5        6.2
## 732  5.9  7.548996 10.9        9.7
## 733  3.8  4.552527  3.1        2.3
## 734  2.5  3.989909  3.7        4.8
## 735  2.4  3.018231  1.9        3.2
## 736  7.5  7.563927  6.4        6.9
## 737  2.3  1.826412  2.3        2.7
## 738  6.5  7.538860  7.9        6.3
## 739  6.6  5.096588  4.1        4.7
## 740  2.1  2.487463  2.4        2.5
## 741  3.3  2.308859  1.3        3.9
## 742  4.0  4.619209  5.3        5.3
## 743  4.3  1.754525  1.1        3.0
## 744  4.3  4.058404  4.6        4.3
## 745  3.2  1.903230  2.5        2.0
## 746  3.3  5.191728  7.1        2.9
## 747  4.9  2.956519  3.2        3.1
## 748  5.8  6.670783  7.3        7.7
## 749  4.2  5.368755  3.7        4.5
## 750  2.3  4.091657  3.7        3.7
## 751  4.6  4.086726  3.8        4.8
## 752 10.2  8.936165 11.2        9.8
## 753  4.3  3.176936  3.3        2.7
## 754  4.8  5.473895  6.1        3.3
## 755  9.2  5.882778  6.5        3.7
## 756  5.1  6.755924  8.1        8.5
## 757  5.6  6.173405  6.3        6.6
## 758  4.9  6.164945  7.5        6.5
## 759  8.7  5.802706  3.1        6.0
## 760  3.6  4.879525  2.9        9.6
## 761  3.3  3.171731  2.3        2.0
## 762  2.5  3.687568  2.1        3.7
## 763 14.0 12.141336 14.0       13.9
## 764  7.6  6.692497  3.8        5.0
## 765  8.3  7.231725  3.6        7.9
## 766  4.2  2.961451  4.6        1.9
## 767  4.0  3.036691  4.7        4.7
## 768  4.2  3.827950  4.7        5.0
## 769  3.5  3.899700  3.1        2.9
## 770  4.7  4.715889  4.0        5.7
## 771  4.3  2.933129  2.2        3.6
## 772  5.4  5.906169  5.9        5.1
## 773  4.3  4.146761  3.6        4.9
## 774  2.7  4.345365  5.6        3.5
## 775  2.9  2.510854  1.5        2.6
## 776  2.1  2.143546  1.5        1.3
## 777  6.8  5.632462  3.2        5.5
## 778  4.9  5.313651  2.9        4.2
## 779  2.9  4.115185  3.3        4.3
## 780  3.4  5.293476  5.3        7.1
## 781  1.9  4.952814  5.6        2.8
## 782  4.7  4.443897  4.4        4.9
## 783  4.9  3.832881  3.7        3.3
## 784  6.8  8.218333  9.1        8.3
## 785  3.2  3.936481  4.5        2.9
## 786  8.1  6.061345  3.8        7.1
## 787  2.9  2.857987  4.4        3.6
## 788  4.1  3.225295  4.8        5.5
## 789  4.6  3.392147  3.2        1.9
## 790  2.6  3.509001  3.9        6.3
## 791  6.5  5.270086  4.5        6.0
## 792  2.5  4.435437  4.3        5.8
## 793  3.1  3.145085  2.4        2.7
## 794  4.3  3.741132  3.0        6.1
## 795  4.4  3.213581  3.5        3.5
## 796  4.3  4.482218  3.1        5.2
## 797  6.0  5.874593  5.9        6.4
## 798  3.5  4.573830  4.4        3.9
## 799  6.6  4.931412  4.4        1.7
## 800  3.4  4.759454  1.7        6.5
## 801  7.1  7.133056  7.3        6.9
## 802  7.7  8.408614 10.8        8.9
## 803  4.0  4.782845  6.7        6.5
## 804  3.2  3.687705  5.3        3.4
## 805  7.8  6.293476  5.8        5.8
## 806  6.9  5.777775  4.9        6.6
## 807  3.5  3.964803  1.9        3.6
## 808  8.3  8.243301  7.5        9.6
## 809  2.8  2.896172  1.4        2.6
## 810  2.8  2.791032  2.6        2.6
## 811  3.5  6.989594  5.9        5.4
## 812  6.5  6.265154  4.1        3.5
## 813  4.6  4.682636  3.9        5.2
## 814 12.8  9.088087  9.2        8.6
## 815  1.8  2.352150  4.1        2.6
## 816  9.5  9.089664  6.0        9.0
## 817  2.2  3.402185  5.3        4.7
## 818  2.5  1.944806  1.9        2.8
## 819  6.0  5.156623  4.5        4.9
## 820  7.0  8.410290  7.7        7.5
## 821  3.5  2.023301  2.6        2.0
## 822  3.6  1.898299  3.5        3.2
## 823  6.0  3.121695  2.7        3.8
## 824  3.7  3.964803  3.0        3.6
## 825  5.8  5.108302  7.1        3.0
## 826  5.1  7.220048  7.7        6.3
## 827  5.8  4.468827  3.2        3.3
## 828  7.1  5.559036  7.5        2.9
## 829  1.2  2.562704  2.7        2.1
## 830  8.0  8.296828  6.9        9.3
## 831  5.1  3.051622  5.2        3.2
## 832  2.8  2.442359  3.0        2.3
## 833  7.9  9.714033 11.2        8.7
## 834  7.8  7.093057  7.1        5.1
## 835  4.3  3.944804  3.3        4.6
## 836  2.0  3.545783  2.6        2.0
## 837  2.9  2.080120  2.3        3.2
## 838  3.2  3.549038  2.9        3.1
## 839  6.9  5.285291  5.2        3.1
## 840  3.3  5.527322  3.4        4.1
## 841  4.0  5.370294  5.1        2.1
## 842  7.0  6.976340  8.8        5.7
## 843  5.0  7.016376  6.6        8.2
## 844  3.0  3.607533  5.3        4.2
## 845  3.9  4.094912  2.3        3.2
## 846  5.5  3.752710  3.4        4.8
## 847  8.2  6.029905  5.2        5.8
## 848  4.2  4.445437  2.7        5.3
## 849  3.0  3.886309  3.7        3.1
## 850  8.0  6.562114  4.9        9.4
## 851  6.7  6.084872  7.9        8.5
## 852  7.0  6.704036  7.0        5.9
## 853  4.7  4.998094  6.2        6.8
## 854  4.5  3.335366  4.4        3.1
## 855  3.5  3.278722  3.8        3.9
## 856  2.1  4.537323  4.4        3.1
## 857  2.9  1.894770  2.2        3.1
## 858  4.4  5.363687  4.6        3.9
## 859  2.2  4.138439  3.8        5.1
## 860  4.4  3.290399  4.4        2.7
## 861  2.6  4.176661  4.9        3.6
## 862  4.1  4.395401  2.8        7.6
## 863  2.2  3.322112  3.2        3.9
## 864  2.7  2.035015  3.4        2.8
## 865  5.7  6.635815  5.6        7.0
## 866  9.5  7.288407  5.4        6.1
## 867  2.4  1.953266  3.0        3.2
## 868  9.1  7.657391  5.2        8.5
## 869  7.1  7.134770  9.2        7.9
## 870  5.0  3.614415  5.3        3.6
## 871  3.5  3.617533  3.2        1.6
## 872  9.7  8.638931  9.8        9.8
## 873  4.5  4.065012  3.0        2.2
## 874  4.6  4.140153  5.0        4.5

11.1 Interpretación

En esta tabla se comparan los valores reales que fueron ocultados con los valores obtenidos mediante tres métodos de imputación:

Regresión múltiple.
PMM.
Midastouch.

Por ejemplo, si el valor real de un estudiante era 20 horas y un método lo estima en 19 horas, la diferencia entre ambos valores es pequeña.

Esta comparación permite observar qué tan cercanos fueron los valores imputados respecto a los valores originales.

12 Evaluación mediante RMSE

Para medir el error de cada método se utiliza el RMSE.

rmse <- function(real, imputado) {
  sqrt(mean((real - imputado)^2))
}

resultados <- data.frame(
  metodo = c(
    "Regresión",
    "PMM",
    "Midastouch"
  ),
  RMSE = c(
    rmse(real, reg),
    rmse(real, pmm),
    rmse(real, midastouch)
  )
)

resultados

##       metodo     RMSE
## 1  Regresión 1.336621
## 2        PMM 1.843769
## 3 Midastouch 1.855615

12.1 Interpretación

El RMSE permite medir qué tan alejados están los valores imputados de los valores reales.

La interpretación es sencilla:

Un RMSE más pequeño indica un menor error de imputación.

Por lo tanto, el método que presente el menor RMSE será el que haya logrado recuperar de mejor manera los valores que fueron ocultados artificialmente.

Los resultados obtenidos en esta tabla serán utilizados para determinar cuál de los tres métodos presentó el mejor desempeño en este ejercicio.

13 Modelos posteriores a la imputación

Finalmente, se ajustan modelos de regresión utilizando las bases generadas mediante PMM y Midastouch.

13.1 Modelo con PMM

fit_pmm <- with(
  imp_pmm,
  lm(
    Daily_Usage_Hours ~ Age +
      Sleep_Duration_Hours +
      Mental_Health_Index
  )
)

summary(
  pool(fit_pmm)
)

##                   term    estimate   std.error  statistic        df
## 1          (Intercept) 19.68967053 0.264669413  74.393449  69.21695
## 2                  Age -0.01744847 0.011768805  -1.482603  73.79100
## 3 Sleep_Duration_Hours -0.32434880 0.029906204 -10.845535 128.22829
## 4  Mental_Health_Index -0.14877954 0.002639397 -56.368771 393.28389
##         p.value
## 1  8.731703e-68
## 2  1.424382e-01
## 3  7.568090e-20
## 4 1.724718e-190

13.2 Interpretación

El modelo se ajusta sobre las bases imputadas mediante PMM.

La función with() permite realizar el mismo modelo en las diferentes bases generadas por MICE.

Posteriormente, pool() combina los resultados estadísticos de las diferentes imputaciones.

Esto permite obtener una estimación conjunta teniendo en cuenta la variabilidad producida por la imputación múltiple.

13.3 Modelo con Midastouch

fit_midastouch <- with(
  imp_midastouch,
  lm(
    Daily_Usage_Hours ~ Age +
      Sleep_Duration_Hours +
      Mental_Health_Index
  )
)

summary(
  pool(fit_midastouch)
)

##                   term    estimate   std.error  statistic         df
## 1          (Intercept) 19.68579762 0.237398819  82.922896 1147.83288
## 2                  Age -0.01756296 0.011855007  -1.481480   68.36822
## 3 Sleep_Duration_Hours -0.32010429 0.036018161  -8.887303   21.58210
## 4  Mental_Health_Index -0.14916945 0.003004835 -49.643139   43.68911
##        p.value
## 1 0.000000e+00
## 2 1.430731e-01
## 3 1.161781e-08
## 4 4.558793e-40

13.4 Interpretación

En este caso se realiza el mismo procedimiento utilizando las bases imputadas mediante Midastouch.

De esta manera es posible analizar si los resultados del modelo presentan diferencias dependiendo del método utilizado para tratar los datos faltantes.

14 Gráfico de comparación

Finalmente se construye un gráfico de densidad para comparar los valores reales con los valores imputados.

library(tidyr)
library(dplyr)

## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)

# Pasar a formato largo

datos_densidad <- comparacion %>%
  pivot_longer(
    cols = c(real, regresion, PMM, midastouch),
    names_to = "metodo",
    values_to = "Daily_Usage_Hours"
  ) %>%
  mutate(
    metodo = recode(
      metodo,
      real = "Valor real",
      regresion = "Regresión múltiple",
      PMM = "PMM",
      midastouch = "Midastouch"
    )
  )

ggplot(
  datos_densidad,
  aes(
    x = Daily_Usage_Hours,
    color = metodo,
    fill = metodo
  )
) +
  geom_density(
    alpha = 0.15,
    linewidth = 1
  ) +
  scale_color_manual(
    values = c(
      "Valor real" = "black",
      "Regresión múltiple" = "#E69F00",
      "PMM" = "#0072B2",
      "Midastouch" = "#009E73"
    )
  ) +
  scale_fill_manual(
    values = c(
      "Valor real" = "black",
      "Regresión múltiple" = "#E69F00",
      "PMM" = "#0072B2",
      "Midastouch" = "#009E73"
    )
  ) +
  labs(
    title = "Distribución de los valores reales e imputados",
    subtitle = "Comparación mediante curvas de densidad",
    x = "Horas de uso diario de redes sociales en estudiantes",
    y = "Densidad",
    color = "Método",
    fill = "Método"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    legend.position = "bottom",
    plot.title = element_text(face = "bold")
  )

14.1 Interpretación del gráfico

El gráfico permite observar visualmente la distribución de los valores reales y de los valores obtenidos mediante los diferentes métodos de imputación.

La curva correspondiente a los valores reales sirve como referencia. Mientras más similar sea la distribución de un método respecto a la distribución real, mayor similitud existe entre los valores observados y los valores imputados.

Sin embargo, la interpretación del gráfico debe complementarse con el RMSE, ya que este proporciona una medida numérica del error.

15 Conclusiones

En este ejercicio se aplicaron diferentes métodos para tratar los valores faltantes de la variable Daily_Usage_Hours.

Los métodos de media y mediana representan alternativas sencillas de imputación, mientras que Hot-Deck y k-NN utilizan información de observaciones similares.

Posteriormente se utilizaron métodos basados en modelos, como la regresión múltiple, y métodos de imputación múltiple mediante MICE, específicamente PMM y Midastouch.

La comparación mediante RMSE permite determinar cuál de los métodos de regresión, PMM y Midastouch presentó menor error al recuperar los valores que habían sido ocultados artificialmente.

Finalmente, las curvas de densidad permiten realizar una comparación visual entre los valores reales y los valores imputados.

En consecuencia, la elección del método de imputación debe considerar las características de los datos y el objetivo del análisis, ya que un método sencillo no necesariamente produce los mismos resultados que un método basado en modelos o imputación múltiple.

Métodos de imputación de datos faltantes

Diego Segura y Brayan Guzmán

2026-10-07