Základné operácie v R

Globálne nastavenie Chunkov

V nižšie uvedenom Chunku je urobené základné globálne nastavenie Chunkov v celom Notebooku.

• echo nastavuje, či chceme v Notebooku vypisovať jednotlivé kódy R
• message je nastavený na FALSE, čo znamená, že sa budú potláčať pracovné výstupy z R, t.j. napríklad výsledok otvárania knižníc, a niektoré iné výstupy, ktoré ale pre celkový Notebook nemajú takmer žiaden význam a sú vhodné skôr pri ladení kódov.
• warning nastavený na FALSE potláča zobrazenie chybových hlášok

knitr::opts_chunk$set(
  echo = TRUE,
  message = FALSE,
  warning = FALSE
)

Úvod k základným operáciám v R

Tento notebook demonštruje základné operácie v jazyku R so:

• skalárnymi číslami (t.j. 1 číslo),
• textovými (znakovými) reťazcami,
• logickými (boolovskými) hodnotami a premennými,
• (numerickými) vektormi,
• maticami.

Tam, kde je to užitočné, sú zahrnuté malé cvičenia.

---

Skaláre (jednočíselné hodnoty)

Numerické skaláre

# Priradenie konštanty do premennej
a <- 8
b <- 3.75

# Arithmetic
sum_ab      <- a + b        # sucet
diff_ab     <- a - b        # rozdiel
prod_ab     <- a * b        # násobenie
quot_ab     <- a / b        # delenie
power_ab    <- a ^ b        # umocňovanie
mod_ab      <- a %% 3       # zbytok po delení tromi (tzv modulo)
int_div_ab  <- a %/% b      # celočíselné delenie


# Rounding
round_b   <- round(b)       # zaokruhlovanie smerom k najblizsiemu celemu cislu
ceil_b    <- ceiling(b)     # najblizsie vyssie cele cislo
floor_b   <- floor(b)       # najblizsie nizsie cele cislo

a; b

[1] 8

[1] 3.75

sum_ab; diff_ab; prod_ab; quot_ab; power_ab; mod_ab; int_div_ab

[1] 11.75

[1] 4.25

[1] 30

[1] 2.133333

[1] 2435.496

[1] 2

[1] 2

round_b; ceil_b; floor_b

[1] 4

[1] 4

[1] 3

Poznámky

• ^ operátor umocňovania.
• %% je modulo, teda zbytok po delení,
• round(x, digits = 0) zaokrúhľovanie na určitý počet desatinných miest (digits=). ak digits = 0, potom ide o celočíselné zaokrúhľovanie

Malé cvičenie

Vypočítajte:

\[\frac{(15^2-4)}{7}\]

(15^2 - 4) / 7

[1] 31.57143

moje vypracovanie:

\[\frac{(18^2-6^2)\cdot3+\sqrt{144}}{(5^2-4)\cdot2}\]

((18^2 - 6^2) * 3 + sqrt(144)) / ((5^2 - 4) * 2)

[1] 20.85714

---

Text

Vytváranie textovými premennými a práca s nimi

first <- "Ema "                   # definovanie obsahu textovej premennej first
last  <-  "Šimkovicová"  # definovanie obsahu text. premennej last
full  <- paste(first, last)               # spojenie dvoch text. premennych do jednej (s medzerou)
full_nospace <- paste0(first, last)       # spojenie bez medzery
csv_line <- paste("apple", "banana", "pear", sep = ",")  # spojenie textov s oddelovacom ,
first; last; full; full_nospace; csv_line   # bodkočiarka tu nahradzuje odskok na novy riadok 

[1] "Ema "

[1] "Šimkovicová"

[1] "Ema  Šimkovicová"

[1] "Ema Šimkovicová"

[1] "apple,banana,pear"

Dĺžka textového reťazca, podreťazec

x <- "R is great!"
nchar(x)                 # počet znakov  v retazci "R is great!"

[1] 11

substr(x, 1, 5)          # podreťazec od 1. do 5. znaku

[1] "R is "

Tip: Knižnica stringr mnohé zaujímavé možnosti práce s textami, ale implicitné knižnice R pokrývajú väčšinu bežných potrieb páce s textami.

---

Logické (boolovské) hodnoty a premenné

Základy

p <- TRUE
q <- FALSE
!p                 # NOT

[1] FALSE

p & q              # AND

[1] FALSE

p | q              # OR

[1] TRUE

xor(p, q)          # exclusive OR - platí len jedno z p,alebo q

[1] TRUE

Logický výsledok porovnávania

3 < 5

[1] TRUE

7 >= 7

[1] TRUE

"cat" == "cat"

[1] TRUE

"cat" != "dog"   # vykricnik je tu v zmysle negacie. Napr.:   !=, !>, !<, !TRUE

[1] TRUE

!TRUE

[1] FALSE

Zložitejšie logické operácie

x <- 10
x > 5 & x < 20      # a sucasne - logicky prienik (sucin)

[1] TRUE

x < 0 | x > 100     # alebo - logicke zjednotenie (sucet)

[1] FALSE

                    # pri zlozitejsich vztahoch pouzivajte zatvorky ()

Zlučovanie viacerých log. premenných do vektora

vals <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE)   # definicia vektora s logickymi hodnotami

---

Numerické vektory

Generovanie vektorov

v1 <- c(2, 4, 6, 8)
v2 <- 1:5                  # postupnost 1,2,3,4,5
v3 <- seq(from = 0, to = 1, by = 0.25)  # postupnost s krokom 0.25
v4 <- rep(3, times = 5)    # 3,3,3,3,3  # 5 clenna postupnost trojak
v5 <- runif(5)             # generovanie rovnomerne rozdelenych premennych v intervale [0,1]
v6 <- rnorm(5)             # generovanie normalne rozdelenych premennych
v1; v2; v3; v4; v5

[1] 2 4 6 8

[1] 1 2 3 4 5

[1] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

[1] 3 3 3 3 3

[1] 0.72521287 0.05937038 0.92328681 0.49991719 0.48263953

Aritmetické operácie s vektormi

v <- c(1, 2, 3, 4)
v + 10           # kazdy prvok vektora zvacsime o 10

[1] 11 12 13 14

v * 2            # kazdy prvok vektora prenasobime 2

[1] 2 4 6 8

(v + 1) / 2

[1] 1.0 1.5 2.0 2.5

exp(v)           # exponencialna funkcia z kazdeho prvku vektora

[1]  2.718282  7.389056 20.085537 54.598150

sum(c(1,2,3),c(1,1,1))          # skalarny sucin - vysledok je skalar

[1] 9

crossprod(c(1,2,3),c(1,1,1))    # skalarny sucin - vysledok je matica 1x1

     [,1]
[1,]    6

c(1,2,3)*c(1,1,1)               # Hadamardov sucin (sucin zodpovedajucich prvkov vektora)

[1] 1 2 3

Matematické operácie s 2 vektormi rovnakého rozmeru

length(c(1,2,3,4,5))

[1] 5

length(v5)            #vektor v5 je definovany vyssie

[1] 5

c(1,2,3,4,5) + v5     # pozor, oba vektory musia mat rovnaky rozmer

[1] 1.725213 2.059370 3.923287 4.499917 5.482640

Indexovanie a výber niektorych prvkov vektora

x <- c(5, 12, 3, 18, 7, 0, 21)
x[1]           # indexovanie - novy jedno-prvkovy vektor - prvy prvok vektora x

[1] 5

x[2:4]         # novy vektor s druhym az stvrtym prvkom vektora x

[1] 12  3 18

x[-1]          # novy vektor - vsetky prvky vektora x okrem prvého

[1] 12  3 18  7  0 21

x[x > 10]      # novy vektor definovany prvkami x vacsimi ako 10

[1] 12 18 21

which(x > 10)  # ktore prvky zodpovedaju podmienke vacsieho ako 10?

[1] 2 4 7

Práca s chýbajúcimi hodnotami

y <- c(1, NA, 3, NA, 5)
is.na(y)

[1] FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE

mean(y)                 # NA

[1] NA

mean(y, na.rm = TRUE)   # remove NAs

[1] 3

Základné štatistiky a usporiadanie prvkov vektora podľa veľkosti

z <- c(10, 3, 5, 8, 2)
mean(z)                 # priemerna hodnota

[1] 5.6

sd(z)                  # standardna odchylka

[1] 3.361547

max(z)                  # maximalna hodnota

[1] 10

summary(z)              # rychly prehlad zakladnych statistik o vektore

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    2.0     3.0     5.0     5.6     8.0    10.0 

sort(z)                 # rastuce usporiadanie 

[1]  2  3  5  8 10

sort(z, decreasing = TRUE)  # klesajuce

[1] 10  8  5  3  2

Malé cvičenie

Vytvorte vektor w s číslami 1..20 a vypočítajte sumu všetkých párnych čísel.

w <- 1:20
sum(w[w %% 2 == 0])

[1] 110

Moje vypracovanie: Vytvorte vektor w s číslami 1..150 vypočítajte sumu všetkých nepárnych čísel, ktoré sú zároveň deliteľné číslami 3 a 5.

w <- 1:150
sum(w[w %% 2 != 0 & w %% 3 == 0 & w %% 5 == 0])

[1] 375

---

Matice

Vytvorenie matíc

m <- matrix(1:12, nrow = 3, ncol = 4)            # hodnoty sú zadavane po stlpcoch
m_byrow <- matrix(1:12, nrow = 3, byrow = TRUE)  # hodnoty su zadavane po riadkoch
m; m_byrow

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12

Rozmery matice

dim(m)                   # (rows, cols)

[1] 3 4

m

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12

Adresovanie prvkov matice

m[1, 2]      # riadok 1, stlpec 2

[1] 4

m[ , 3]      # vsetky prvky v tretom stlpci - vysledok matica 3x1

[1] 7 8 9

m[2, ]       # vsetky prvky v druhom riadku - vysledok matica 1*3

[1]  2  5  8 11

m[1:2, 2:3]  # podmatica tvorena riadkami 1, 2 a stlpcami 2, 3

     [,1] [,2]
[1,]    4    7
[2,]    5    8

Maticové operácie

A <- matrix(c(1,2,3,4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5,6,7,8), nrow = 2)

A + B        # scitanie matic

     [,1] [,2]
[1,]    6   10
[2,]    8   12

A * B        # Hadamard product - nasobenie po zodpovedajucich prvkoch

     [,1] [,2]
[1,]    5   21
[2,]   12   32

A %*% B      # nasobenie matic

     [,1] [,2]
[1,]   23   31
[2,]   34   46

t(A)         # transpozicia matice A - vymena riadkov a stlpcov

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4

det(A)       # determinant matice

[1] -2

solve(A)     # inverzia matice (ak je matica regularna - teda inverzia sa da spocitat)

     [,1] [,2]
[1,]   -2  1.5
[2,]    1 -0.5

Zlučovanie vektorov do matíc

C <- cbind(1:3, 4:6)   #  - po stlpcoch 
D <- rbind(1:3, 4:6)   #  - po riadkoch 
C; D

     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    2    5
[3,]    3    6

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    4    5    6

Vypočítanie zvolenej štatistiky po riadkoch (stĺpcoch) matice

M <- matrix(1:9, nrow = 3)
M

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    4    7
[2,]    2    5    8
[3,]    3    6    9

apply(M, 1, sum)   # suma po riadkoch

[1] 12 15 18

apply(M, 2, mean)  # priemery po stĺpcoch

[1] 2 5 8

Malé cvičenie

Vytvorte maticu 5x5 s hodnotami po riadkoch 1..25, vypočítajte stĺpcové sumy a súčin matíc (M^t M).

M2 <- matrix(1:25, nrow = 5, byrow = TRUE)
colSums(M2)

[1] 55 60 65 70 75

t(M2) %*% M2

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  855  910  965 1020 1075
[2,]  910  970 1030 1090 1150
[3,]  965 1030 1095 1160 1225
[4,] 1020 1090 1160 1230 1300
[5,] 1075 1150 1225 1300 1375

Moje vypracovanie: Vytvorte maticu 8x8 s hodnotami po riadkoch 1..64, vypočítajte riadkové a stĺpcové sumy, transponovanú maticu a súčin matíc (M^t M).

M2 <- matrix(1:64, nrow = 8, byrow = TRUE)
rowSums(M2)

[1]  36 100 164 228 292 356 420 484

colSums(M2)

[1] 232 240 248 256 264 272 280 288

t(M2)

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,]    1    9   17   25   33   41   49   57
[2,]    2   10   18   26   34   42   50   58
[3,]    3   11   19   27   35   43   51   59
[4,]    4   12   20   28   36   44   52   60
[5,]    5   13   21   29   37   45   53   61
[6,]    6   14   22   30   38   46   54   62
[7,]    7   15   23   31   39   47   55   63
[8,]    8   16   24   32   40   48   56   64

t(M2) %*% M2

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6]  [,7]  [,8]
[1,]  9416  9648  9880 10112 10344 10576 10808 11040
[2,]  9648  9888 10128 10368 10608 10848 11088 11328
[3,]  9880 10128 10376 10624 10872 11120 11368 11616
[4,] 10112 10368 10624 10880 11136 11392 11648 11904
[5,] 10344 10608 10872 11136 11400 11664 11928 12192
[6,] 10576 10848 11120 11392 11664 11936 12208 12480
[7,] 10808 11088 11368 11648 11928 12208 12488 12768
[8,] 11040 11328 11616 11904 12192 12480 12768 13056

---

Vlastné čísla a vlastné vektory matíc

Čo znamenajú vlastné čísla a vlastné vektory?

Nech \(\mathbf A\) je štvorcová matica. Vlastné číslo (eigenvalue) \(\lambda\) a príslušný vlastný vektor (eigenvector) \(\mathbf v \ne \mathbf 0\) spĺňajú vzťah

\[ \mathbf A \mathbf v = \lambda \mathbf v. \]

Násobenie maticou \(\mathbf A\) teda pôsobí na vlastný vektor rovnako ako násobenie číslom \(\lambda\). Výsledok reprezentuje vektor rovnakého smeru, ale rozličných veľkostí:

• ak \(\lambda > 0\), orientácia vektora sa zachová;
• ak \(\lambda < 0\), orientácia sa obráti;
• ak \(\lambda = 0\), výsledkom je nulový vektor.

Dĺžka sa násobí hodnotou \(|\lambda|\). Napríklad pri \(\lambda = 3\) sa vektor predĺži trojnásobne, pri \(\lambda = 0.5\) sa skráti na polovicu. Tento geometrický opis sa týka reálnych vlastných čísel a vektorov.

Jednoduchý príklad: matica 2 × 2

Použijeme symetrickú maticu, teda maticu, pre ktorú platí \(A^T = A\):¹

\[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Vlastné čísla nájdeme podľa nasledovného postupu:

\[\begin{eqnarray} \mathbf A \mathbf h & = & \lambda \mathbf h \\ \mathbf A \mathbf h - \lambda \mathbf h & = & \mathbf 0 \\ (\mathbf A - \lambda \mathbf I)\mathbf h & = & \mathbf 0, \end{eqnarray} \]

kde \(\mathbf I\) je jednotková matica.

Netriviálne (nenulové) riešenie tejto sústavy existuje vtedy, keď

\[ \det(\mathbf A-\lambda \mathbf I)=0. \]

V našom prípade

\[ \mathbf A-\lambda \mathbf I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}, \]

a preto

\[ \det(\mathbf A-\lambda \mathbf I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2-1. \]

Dostávame charakteristickú rovnicu

\[ (2-\lambda)^2-1 = \lambda^2-4\lambda+3 = (\lambda-3)(\lambda-1) = 0. \]

Vlastné čísla sú koreňmi (riešeniami) kvadratickej rovnice a teda

\[ \lambda_1=3, \qquad \lambda_2=1. \]

Výpočet vlastného vektora pre \(\lambda_1=3\)

Vlastný vektor vypočítame zo vzťahu

\[ (\mathbf A-\lambda_1\mathbf I)\mathbf h_1=\mathbf 0. \]

Po dosadení \(\lambda_1=3\) dostávame

\[ \left[ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} h_{11}\\ h_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Teda

\[ \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{11}\\ h_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Získame sústavu rovníc

\[ \begin{eqnarray} -h_{11}+h_{21} &=&0,\\ h_{11}-h_{21} &=&0, \end{eqnarray} \] pričom zavedieme ešte dodatočnú podmienku normalizácie vlastných vektorov², teda

\[\sqrt{h_{11}^2 + h_{21}^2} = 1\]

Prvé dve rovnice vyjadrujú tú istú podmienku:

\[ h_{11}=h_{21}. \]

Teda z normalizačnej podmienky dostávame

\[\sqrt{h_{11}^2 + h_{21}^2} = 1 \Longleftrightarrow h_{11} = h_{21} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Môžeme preto napríklad zvoliť

\[ h_{11}=+\sqrt{\frac{1}{2}}, \]

a potom

\[ h_{21}=+\sqrt{\frac{1}{2}}. \]

Vlastný vektor zodpovedajúci vlastnému číslu \(\lambda_1=3\) môže byť teda

\[ \mathbf h_1= \begin{pmatrix} +\sqrt{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Každý nenulový násobok tohto vektora je však tiež vlastným vektorom. Napríklad

\[ \begin{pmatrix} +1\\ +1 \end{pmatrix} \]

predstavuje ten istý smer.

Výpočet vlastného vektora pre \(\lambda_2 = 1\)

Keďže platí

\[ \begin{aligned} \left[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[1em] \Longleftrightarrow \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

dostávame sústavu rovníc

\[ \begin{eqnarray} h_{12}+h_{22} &=&0,\\ h_{12}+h_{22} &=&0. \end{eqnarray} \]

Z toho vyplýva

\[ h_{22}=-h_{12}. \]

Ak zvolíme dodatočnú normalizačnú podmienku

\[\sqrt{h_{12}^2 + h_{22}^2} = 1,\] potom ak

\[ h_{12}=\sqrt{\frac{1}{2}}, \]

pre druhý prvok vektora bude platiť

\[ h_{22}=-\sqrt{\frac{1}{2}}. \]

Vlastný vektor zodpovedajúci vlastnému číslu \(\lambda_2=1\) teda môžeme zapísať ako

\[ \mathbf h_2= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Opäť platí, že ľubovoľný nenulový násobok tohto vektora je tiež vlastným vektorom.

---

Overenie pre prvý vlastný vektor

Pre prvý vlastný vektor platí

\[ \mathbf A\mathbf h_1 = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = \lambda_1 \mathbf h_1 \]

Teda

\[ \mathbf A\mathbf h_1=\lambda_1\mathbf h_1. \]

Podobne sa to dá ukázať aj pre druhé vlastné číslo \(\lambda_2\) a druhý vlastný vektor \(\mathbf h_2\).

---

Matice vlastných čísel a vlastných vektorov

Dostávame teda dvojice vlastných čísel a vlastných vektorov:

\[ \lambda_1=3, \qquad \mathbf h_1= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}, \]

a

\[ \lambda_2=1, \qquad \mathbf h_2= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Keďže matica \(\mathbf A\) je symetrická, vlastné vektory zodpovedajúce rôznym vlastným číslam sú navzájom ortogonálne (navzájom kolmé a po dvojiciach ich skalárne súčiny sa rovnajú nule). Skutočne,

\[ \mathbf h_1^T\mathbf h_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{\frac{1}{2}} \right) \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \]

---

Výpočet pomocou R funkcie eigen()

Funkcia eigen() je súčasťou základného R; nepotrebujeme ďalšiu knižnicu. Argument symmetric = TRUE použijeme, keď vieme, že matica je symetrická. Pri všeobecnej matici môžeme napísať jednoducho eigen() a R symetriu skontroluje samo.

# Vytvorenie matice z analytického príkladu
A_eig <- matrix(c(2, 1,
                  1, 2),
                nrow = 2, byrow = TRUE)

A_eig

     [,1] [,2]
[1,]    2    1
[2,]    1    2

# Výpočet vlastných čísel a vlastných vektorov
eig_A <- eigen(A_eig, symmetric = TRUE) #vyuzitie funkcie eigen()
eig_A                                   # vysledok sa ulozil do listu, ktory sme nazvali eig_A

eigen() decomposition
$values
[1] 3 1

$vectors
          [,1]       [,2]
[1,] 0.7071068 -0.7071068
[2,] 0.7071068  0.7071068

 #Dalej pristupime k rozbaleniu obsahu listu eig_A

lambda_A <- eig_A$values    # vektor vlastných čísel - ulozenie do lambda_A
V_A <- eig_A$vectors        # vlastné vektory v stĺpcoch ulozenie do V_A

lambda_A

[1] 3 1

V_A

          [,1]       [,2]
[1,] 0.7071068 -0.7071068
[2,] 0.7071068  0.7071068

Výsledok eig_A je list. Znak $ vyberá jeho pomenovanú zložku:

Zápis v R	Význam
eig_A$values	Všetky vlastné čísla
eig_A$vectors	Vlastné vektory uložené v stĺpcoch
eig_A$values[1]	Prvé vlastné číslo
eig_A$vectors[, 1]	Vlastný vektor prislúchajúci prvému vlastnému číslu

Pri reálnej symetrickej matici R vráti vlastné čísla zostupne; tu teda 3 a 1. Vlastné vektory majú jednotkovú dĺžku. Môžu sa preto líšiť od našich ručne zvolených vektorov mierkou alebo znamienkom. Vektory \(v\) aj \(-v\) sú rovnako správne: vlastný vektor nie je jednoznačný.

Ak potrebujeme iba vlastné čísla:

eigen(A_eig, symmetric = TRUE, only.values = TRUE)$values

[1] 3 1

Overenie vzťahu Av = λv

V R použijeme na násobenie matice a vektora operátor %*%. Operátor * používame pri násobení vektora skalárom.

lambda_1 <- lambda_A[1]
v_1 <- V_A[, 1]

lava_strana <- as.vector(A_eig %*% v_1)
prava_strana <- lambda_1 * v_1

cat("Ľavá strana je ", paste(lava_strana, collapse = ", "), 
    " a pravá strana je ", paste(prava_strana, collapse = ", "), "!", sep = "")

Ľavá strana je 2.12132034355964, 2.12132034355964 a pravá strana je 2.12132034355964, 2.12132034355964!

Geometrické znázornenie

Porovnáme dva vlastné vektory. Pri vlastnom vektore zostáva jeho obraz (transformácia) na tej istej priamke.

local({
  povodne <- par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
  on.exit(par(povodne))

  priklady <- list(c(1, 1), c(1, -1))
  nazvy <- c("Vlastný vektor: lambda = 3",
             "Vlastný vektor: lambda = 1")

  for (j in seq_along(priklady)) {
    x_plot <- priklady[[j]]
    Ax_plot <- as.vector(A_eig %*% x_plot)
    plot(NA, xlim = c(-1.5, 3.5), ylim = c(-1.5, 3.5),
         asp = 1, xlab = "Prvá súradnica", ylab = "Druhá súradnica",
         main = nazvy[j], cex.main = 0.85)
    abline(h = 0, v = 0, col = "grey80")
    arrows(0, 0, Ax_plot[1], Ax_plot[2],
           col = "darkorange2", lwd = 4, length = 0.12)
    arrows(0, 0, x_plot[1], x_plot[2],
           col = "steelblue4", lwd = 2, lty = 2, length = 0.10)
    legend("topleft", legend = c("x", "Ax"),
           col = c("steelblue4", "darkorange2"),
           lty = c(2, 1), lwd = c(2, 4), bty = "n", cex = 0.8)
  }
})

Vektor x (modrý) a jeho obraz Ax (oranžový).

V prostrednom obrázku sa šípky prekrývajú, pretože \(Ax = x\). Cyklus for opakuje rovnaký postup oba vektory. Funkcia local() udržiava pomocné premenné grafu oddelene od ostatných výpočtov.

Matica 3 × 3 - príklad v R

B_eig <- matrix(c(2, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 4), nrow = 3, byrow = TRUE)
eig_B <- eigen(B_eig, symmetric = TRUE)
eig_B$values                # 4, 3, 1

[1] 4 3 1

eig_B$vectors

     [,1]      [,2]       [,3]
[1,]    0 0.7071068  0.7071068
[2,]    0 0.7071068 -0.7071068
[3,]    1 0.0000000  0.0000000

# Súčty štvorcov prvkov jednotlivých stĺpcov sú 1.
colSums(eig_B$vectors^2)

[1] 1 1 1

# Overenie všetkých troch vlastných párov.
max(abs(B_eig %*% eig_B$vectors -
        eig_B$vectors %*% diag(eig_B$values)))

[1] 5.551115e-16

Pre štvorcovú maticu platí: súčet vlastných čísel sa rovná stope matice (súčtu diagonálnych prvkov) a ich súčin sa rovná determinantu. Vlastné čísla pritom počítame aj s ich násobnosťami.

c(sucet_vlastnych_cisel = sum(eig_B$values),
  stopa_matice = sum(diag(B_eig)))             # obe hodnoty sú 8

sucet_vlastnych_cisel          stopa_matice 
                    8                     8 

c(sucin_vlastnych_cisel = prod(eig_B$values),
  determinant = det(B_eig))                   # obe hodnoty sú 12

sucin_vlastnych_cisel           determinant 
                   12                    12 

Malé cvičenie

Pre variančno kovariančnú maticu počítanú z daily close cien akcií za posledný rok, vypočítajte vlastné čísla a vlastné vektory.

Asset	T	JNK	TQQQ
T	0.000134	0.000008	0.000118
JNK	0.000008	0.000016	0.000062
TQQQ	0.000118	0.000062	0.001185

# vytvorenie matice
C <- matrix(c(
  0.000134, 0.000008, 0.000118,  # Column 1 (T)
  0.000008, 0.000016, 0.000062,  # Column 2 (JNK)
  0.000118, 0.000062, 0.001185   # Column 3 (TQQQ)
), nrow = 3, byrow = TRUE)

Vypočítajte vlastné čísla a vlastné vektory a vypíšte ich

# vypocet vlastnych cisel a vlastnych vektorov
eig_C <- eigen(C, symmetric = TRUE)

# vypis vlastnych cisel
lambda_C <- eig_C$values
lambda_C

[1] 1.201381e-03 1.209261e-04 1.269271e-05

# vypis vlastnych vektorov
V_C <- eig_C$vectors
V_C

            [,1]        [,2]        [,3]
[1,] -0.11011897  0.99378875  0.01605395
[2,] -0.05265593  0.01029636 -0.99855963
[3,] -0.99252263 -0.11080569  0.05119505

Moje vypracovanie

Pre variančno kovariančnú maticu počítanú z daily close cien akcií za posledný rok, vypočítajte vlastné čísla a vlastné vektory.

Asset	AAPL	MSFT	NVDA	TSLA
AAPL	0.000245	0.000085	0.000145	0.000095
MSFT	0.000085	0.000195	0.000115	0.000075
NVDA	0.000145	0.000115	0.000685	0.000225
TSLA	0.000095	0.000075	0.000225	0.000895

Vypočítajte vlastné čísla a vlastné vektory a vypíšte ich

# Vytvorenie variancno-kovariancnej matice
C <- matrix(c(
  0.000245, 0.000085, 0.000145, 0.000095,
  0.000085, 0.000195, 0.000115, 0.000075,
  0.000145, 0.000115, 0.000685, 0.000225,
  0.000095, 0.000075, 0.000225, 0.000895
), nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)

# Pomenovanie riadkov a stlpcov
akcie <- c("AAPL", "MSFT", "NVDA", "TSLA")
dimnames(C) <- list(akcie, akcie)

# Vypis matice
print(C)

         AAPL     MSFT     NVDA     TSLA
AAPL 0.000245 0.000085 0.000145 0.000095
MSFT 0.000085 0.000195 0.000115 0.000075
NVDA 0.000145 0.000115 0.000685 0.000225
TSLA 0.000095 0.000075 0.000225 0.000895

# Kontrola symetrie matice
print(isSymmetric(C))

[1] TRUE

# Vypocet vlastnych cisel a vlastnych vektorov
eig_C <- eigen(C, symmetric = TRUE)

# Vypis vlastnych cisel
lambda_C <- eig_C$values
names(lambda_C) <- paste0("lambda_", 1:4)

cat("Vlastne cisla:\n")

Vlastne cisla:

print(lambda_C)

    lambda_1     lambda_2     lambda_3     lambda_4 
0.0010911918 0.0005658695 0.0002316186 0.0001313201 

# Vypis vlastnych vektorov
V_C <- eig_C$vectors
rownames(V_C) <- akcie
colnames(V_C) <- paste0("v", 1:4)

cat("Vlastne vektory:\n")

Vlastne vektory:

print(round(V_C, 6))

            v1        v2        v3        v4
AAPL -0.199718 -0.201305  0.759024  0.586065
MSFT -0.156430 -0.156404  0.542895 -0.810144
NVDA -0.554578 -0.752024 -0.355969  0.013724
TSLA -0.792518  0.607843 -0.049340  0.002615

# Graf vlastnych vektorov
matplot(
  x = 1:4,
  y = V_C,
  type = "b",
  pch = 19,
  lty = 1,
  col = c("blue", "red", "green", "purple"),
  xlab = "Akcie",
  ylab = "Hodnota vlastneho vektora",
  main = "Graf vlastnych vektorov",
  xaxt = "n"
)

# Oznacenie akcii na osi X
axis(
  side = 1,
  at = 1:4,
  labels = akcie
)

# Legenda
legend(
  "topright",
  legend = c(
    "Prvy vlastny vektor",
    "Druhy vlastny vektor",
    "Treti vlastny vektor",
    "Stvrty vlastny vektor"
  ),
  col = c("blue", "red", "green", "purple"),
  lty = 1,
  pch = 19,
  cex = 0.8
)

Help k funkcii eigen: R: eigen().

Footnotes

1. Aj v budúcnosti budeme pracovať len s takýmito maticami – maticami, ktoré predstavujú variančno-kovariančné vzťahy medzi premennými – tzv. variančno-kovariančnými maticami (variance-covariance matrix).

2. normalizované vektory majú veľkosť 1