Aplikasi analitik media sosial “SocMed Insights” mengumpulkan berbagai data untuk keperluan analisis. Data yang dikumpulkan meliputi jumlah komentar, durasi pengguna menonton video, jumlah pengguna yang mengklik iklan, jumlah unggahan foto yang diterima server, serta waktu muat halaman.
Berdasarkan data tersebut, dilakukan analisis menggunakan beberapa konsep distribusi probabilitas, yaitu variabel acak, distribusi binomial, distribusi Poisson, dan distribusi normal.
Jawaban: Diskrit.
Jumlah komentar diperoleh dengan cara menghitung dan nilainya berupa bilangan bulat (0, 1, 2, 3, …). Tidak mungkin ada 2,5 komentar.
Jawaban: Kontinu.
Durasi diperoleh dengan cara mengukur dan dapat bernilai pecahan di dalam suatu rentang, misalnya 2,5 detik atau 37,48 detik.
Diketahui: jumlah percobaan \(n = 10\), peluang klik \(p = 0{,}25\), peluang tidak klik \(q = 1 - p = 0{,}75\).
Perhitungan manual:
\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8\]
\[P(X=2)=45 \times 0{,}0625 \times 0{,}100113 \approx 0{,}2816\]
Sintaks RStudio:
n <- 10
p <- 0.25
# Rumus manual di R
choose(n, 2) * p^2 * (1 - p)^(n - 2)## [1] 0.2815676# Fungsi bawaan R
dbinom(2, size = n, prob = p)## [1] 0.2815676Jadi, peluang tepat 2 pengguna mengklik iklan adalah 0,2816 (28,16%).
Perhitungan manual:
\[\mu = n \cdot p = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5\]
Sintaks RStudio:
mean_binomial <- n * p
mean_binomial## [1] 2.5Jadi, rata-rata jumlah klik adalah 2,5 klik.
Perhitungan manual:
\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{10 \times 0{,}25 \times 0{,}75} = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}3693\]
Sintaks RStudio:
sd_binomial <- sqrt(n * p * (1 - p))
sd_binomial## [1] 1.369306Jadi, standar deviasi jumlah klik adalah 1,3693 klik.
Diketahui: rata-rata \(\lambda = 8\) unggahan foto per menit.
Perhitungan manual:
\[P(X=5)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}=\frac{e^{-8}\,8^{5}}{5!}\]
\[P(X=5)=\frac{(0{,}000335)(32.768)}{120}\approx 0{,}0916\]
Pembuktian dengan RStudio:
lambda <- 8
# Rumus manual di R
exp(-lambda) * lambda^5 / factorial(5)## [1] 0.09160366# Fungsi bawaan R
dpois(5, lambda = lambda)## [1] 0.09160366Jadi, peluang server menerima tepat 5 unggahan dalam satu menit adalah 0,0916 (9,16%).
P(X > 12) = 1 - P(X ≤ 12), sehingga digunakan fungsi peluang
kumulatif ppois.
prob_lebih_12 <- 1 - ppois(12, lambda = lambda)
prob_lebih_12## [1] 0.0637972# Cara lain (hasil sama)
ppois(12, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)## [1] 0.0637972Jadi, peluang server menerima lebih dari 12 unggahan dalam satu menit adalah 0,0638 (6,38%).
Diketahui: \(\mu = 3\) detik dan \(\sigma = 0{,}5\) detik.
Perhitungan manual:
\[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]
\[P(X>4)=P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-0{,}9772=0{,}0228\]
Sintaks RStudio:
mu <- 3
sigma <- 0.5
x <- 4
z <- (x - mu) / sigma
z## [1] 21 - pnorm(z) # lewat nilai Z## [1] 0.022750131 - pnorm(x, mean = mu, sd = sigma) # langsung dari nilai x## [1] 0.02275013Jadi, peluang waktu loading lebih dari 4 detik adalah 0,0228 (sekitar 2,28%).
Perhitungan manual:
Loading terlama berada di ujung kanan distribusi. Jika luas di kanan batas adalah 5%, maka luas di kirinya adalah \(1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
Dari tabel Z, luas 0,95 berada di antara \(z=1{,}64\) (0,9495) dan \(z=1{,}65\) (0,9505), sehingga \(z \approx 1{,}645\).
\[x=\mu+z\cdot\sigma=3+(1{,}645)(0{,}5)=3{,}8225 \approx 3{,}82 \text{ detik}\]
Sintaks RStudio:
z_95 <- qnorm(0.95)
z_95## [1] 1.644854batas_5_persen <- mu + z_95 * sigma
batas_5_persen## [1] 3.822427# Langsung dalam satu langkah
qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)## [1] 3.822427Jadi, batas waktu untuk 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik. Artinya, halaman yang waktu muatnya lebih dari 3,82 detik termasuk 5% yang paling lambat.