Soal 1 — Variabel Acak

(a) Jumlah komentar per unggahan

Jumlah komentar diperoleh dengan menghitung (0, 1, 2, 3, …) dan nilainya berupa bilangan bulat, tidak mungkin ada 2,5 komentar. Maka variabel ini diskrit.

(b) Durasi video yang ditonton (detik)

Durasi diperoleh dengan mengukur dan dapat bernilai pecahan di antara dua bilangan (misalnya 12,37 detik). Maka variabel ini kontinu.

# Contoh data ilustrasi
komentar <- c(0, 3, 5, 2, 8, 1)               # hasil menghitung -> bilangan bulat
durasi   <- c(12.37, 45.8, 3.02, 27.5, 60.11) # hasil mengukur  -> bilangan real

data.frame(
  Variabel = c("Jumlah komentar per unggahan", "Durasi video ditonton (detik)"),
  Jenis    = c("Diskrit", "Kontinu"),
  Alasan   = c("Hasil menghitung, bilangan bulat", "Hasil mengukur, bisa pecahan")
)
#>                        Variabel   Jenis                           Alasan
#> 1  Jumlah komentar per unggahan Diskrit Hasil menghitung, bilangan bulat
#> 2 Durasi video ditonton (detik) Kontinu     Hasil mengukur, bisa pecahan

Soal 2 — Distribusi Binomial

Diketahui: \(n = 10\), \(p = 0{,}25\), \(q = 1-p = 0{,}75\). Misalkan \(X\) = banyak pengguna yang mengklik iklan.

Perhitungan manual

P(X = 2)

\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8 = 45 \times 0{,}0625 \times 0{,}100113 \approx 0{,}2816\]

Rata-rata

\[\mu = n\,p = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5 \text{ klik}\]

Simpangan baku

\[\sigma=\sqrt{n\,p\,q}=\sqrt{10 \times 0{,}25 \times 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}\approx 1{,}3693 \text{ klik}\]

Sintaks RStudio

n <- 10
p <- 0.25

# P(X = 2)
p_x2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
p_x2
#> [1] 0.2815676
# Rata-rata dan simpangan baku
mu_bin    <- n * p
sigma_bin <- sqrt(n * p * (1 - p))
mu_bin
#> [1] 2.5
sigma_bin
#> [1] 1.369306

Kesimpulan: peluang tepat 2 pengguna mengklik adalah sekitar 0,2816 (28,16%); rata-rata 2,5 klik dengan simpangan baku 1,369 klik.

Soal 3 — Distribusi Poisson

Diketahui: \(\lambda = 8\) unggahan per menit.

Perhitungan manual

P(X = 5)

\[P(X=5)=\frac{e^{-8}\,8^5}{5!}=\frac{(0{,}000335463)(32768)}{120}\approx 0{,}0916\]

P(X > 12)

\[P(X>12)=1-P(X\le 12)=1-\sum_{k=0}^{12}\frac{e^{-8}\,8^k}{k!}\]

Dari penjumlahan suku \(k=0\) sampai \(12\) diperoleh \(P(X\le 12)\approx 0{,}9362\), sehingga

\[P(X>12)=1-0{,}9362\approx 0{,}0638\]

Sintaks RStudio

lambda <- 8

# P(X = 5)
p_x5 <- dpois(5, lambda = lambda)
p_x5
#> [1] 0.09160366
# P(X > 12) = 1 - P(X <= 12)
p_lebih12 <- 1 - ppois(12, lambda = lambda)
p_lebih12
#> [1] 0.0637972
# cara lain yang setara
ppois(12, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)
#> [1] 0.0637972

Kesimpulan: peluang server menerima tepat 5 unggahan per menit adalah 0,0916 (9,16%), dan peluang menerima lebih dari 12 unggahan adalah 0,0638 (6,38%).

Soal 4 — Distribusi Normal dan Nilai Z

Diketahui: \(\mu = 3\) detik, \(\sigma = 0{,}5\) detik.

Perhitungan manual

P(loading > 4 detik)

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]

\[P(X>4)=P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-0{,}9772=0{,}0228\]

Batas waktu 5% loading terlama

Dicari \(x\) sehingga \(P(X>x)=0{,}05\), yaitu \(P(Z\le z)=0{,}95\) sehingga \(z=1{,}645\).

\[x=\mu+z\,\sigma=3+(1{,}645)(0{,}5)=3{,}8225 \text{ detik}\]

Sintaks RStudio

mu    <- 3
sigma <- 0.5

# P(loading > 4)
z <- (4 - mu) / sigma
z
#> [1] 2
p_lebih4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)
p_lebih4
#> [1] 0.02275013
# Batas 5% terlama = persentil ke-95
batas <- qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)
batas
#> [1] 3.822427
# Visualisasi
x <- seq(1, 5, length.out = 400)
plot(x, dnorm(x, mu, sigma), type = "l", lwd = 2,
     xlab = "Waktu loading (detik)", ylab = "Kepadatan",
     main = "Distribusi Normal Waktu Muat Halaman")
polygon(c(batas, x[x >= batas], 5),
        c(0, dnorm(x[x >= batas], mu, sigma), 0),
        col = rgb(1, 0, 0, 0.4), border = NA)
abline(v = c(mu, 4, batas), lty = c(1, 2, 3))
legend("topright", legend = c("Rata-rata (3)", "4 detik", "Batas 5% (3,82)"),
       lty = c(1, 2, 3), bty = "n")

Kesimpulan: peluang waktu muat lebih dari 4 detik adalah 0,0228 (2,28%). Waktu muat termasuk 5% terlama jika melebihi 3,82 detik.