1. Variabel Acak: Diskrit atau Kontinu

a. Jumlah komentar per unggahan

Jumlah komentar merupakan variabel acak diskrit, karena nilainya berupa bilangan yang dapat dihitung, misalnya 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.

b. Durasi video yang ditonton

Durasi video merupakan variabel acak kontinu, karena waktu dapat memiliki nilai pecahan, misalnya 2,5 detik atau 3,75 detik.

Kesimpulan:

  • Jumlah komentar = Diskrit
  • Durasi video = Kontinu

# 2. Distribusi Binomial

Diketahui:

- Peluang pengguna mengklik iklan = 25%
- Jumlah pengguna = 10
- Ditanyakan peluang tepat 2 pengguna mengklik.

Misalkan:

$$
X \sim Binomial(n=10,p=0.25)
$$

## a. Peluang tepat 2 pengguna mengklik

Rumus:

$$
P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}
$$

Untuk $X=2$:

$$
P(X=2)=\binom{10}{2}(0.25)^2(0.75)^8
$$

Perhitungan:

$$
\binom{10}{2}=45
$$

$$
P(X=2)=45(0.25)^2(0.75)^8
$$

$$
P(X=2)\approx0.28157
$$

Jadi, peluang tepat 2 pengguna mengklik adalah sekitar **28,16%**.

``` r
# Peluang tepat 2 pengguna mengklik
p_binomial <- dbinom(2, size = 10, prob = 0.25)
p_binomial
## [1] 0.2815676

b. Rata-rata

Rumus mean distribusi binomial:

\[ \mu=np \]

\[ \mu=10(0.25)=2.5 \]

Jadi rata-ratanya adalah 2,5 pengguna.

# Rata-rata
mean_binomial <- 10 * 0.25
mean_binomial
## [1] 2.5

c. Standar deviasi

Rumus:

\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]

\[ \sigma=\sqrt{10(0.25)(0.75)} \]

\[ \sigma\approx1.3693 \]

Jadi standar deviasinya adalah 1,3693.

Perhitungan dengan R

# Standar deviasi
sd_binomial <- sqrt(10 * 0.25 * (1 - 0.25))
sd_binomial
## [1] 1.369306

3. Distribusi Poisson

Diketahui rata-rata unggahan adalah 8 unggahan per menit.

Maka:

\[ X \sim Poisson(\lambda=8) \]

a. Peluang tepat 5 unggahan

Rumus distribusi Poisson:

\[ P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Untuk \(X=5\):

\[ P(X=5)=\frac{e^{-8}(8)^5}{5!} \]

\[ P(X=5)\approx0.09160 \]

Jadi peluang tepat 5 unggahan adalah sekitar 9,16%.

# Peluang tepat 5 unggahan
p_poisson_5 <- dpois(5, lambda = 8)
p_poisson_5
## [1] 0.09160366

b. Peluang lebih dari 12 unggahan

Ditanyakan:

\[ P(X>12) \]

Dengan komplemen:

\[ P(X>12)=1-P(X\leq12) \]

# Peluang lebih dari 12 unggahan
p_poisson_lebih12 <- ppois(12, lambda = 8, lower.tail = FALSE)
p_poisson_lebih12
## [1] 0.0637972

Hasilnya sekitar:

\[ P(X>12)\approx0.0638 \]

Jadi peluang lebih dari 12 unggahan adalah sekitar 6,38%.

4. Distribusi Normal

Diketahui waktu loading halaman mengikuti distribusi normal dengan:

\[ \mu=3 \]

dan

\[ \sigma=0.5 \]

Sehingga:

\[ X\sim N(3,0.5) \]

a. Peluang loading lebih dari 4 detik

Ditanyakan:

\[ P(X>4) \]

Nilai Z:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

\[ Z=\frac{4-3}{0.5}=2 \]

Sehingga:

\[ P(X>4)=P(Z>2) \]

\[ P(X>4)\approx0.02275 \]

Jadi peluang loading lebih dari 4 detik adalah sekitar 2,28%.

# Peluang loading lebih dari 4 detik
p_normal_lebih4 <- pnorm(
  4,
  mean = 3,
  sd = 0.5,
  lower.tail = FALSE
)

p_normal_lebih4
## [1] 0.02275013

b. Batas waktu 5% loading terlama

Kita mencari nilai \(x\) sehingga:

\[ P(X>x)=0.05 \]

atau:

\[ P(X\leq x)=0.95 \]

Dengan demikian kita mencari persentil ke-95.

Nilai Z:

\[ Z_{0.95}\approx1.645 \]

Maka:

\[ X=\mu+Z\sigma \]

\[ X=3+(1.645)(0.5) \]

\[ X\approx3.8225 \]

Jadi batas 5% loading terlama adalah sekitar:

\[ \boxed{3.82\text{ detik}} \]

Artinya, sekitar 5% halaman membutuhkan waktu loading lebih dari 3,82 detik.

# Batas 5% loading terlama
batas_5_persen <- qnorm(
  0.95,
  mean = 3,
  sd = 0.5
)

batas_5_persen
## [1] 3.822427

5. Ringkasan Hasil

# Membuat ringkasan hasil

hasil <- data.frame(
  Keterangan = c(
    "P(tepat 2 klik)",
    "Rata-rata binomial",
    "SD binomial",
    "P(tepat 5 unggahan)",
    "P(lebih dari 12 unggahan)",
    "P(loading > 4 detik)",
    "Batas 5% loading terlama"
  ),
  
  Hasil = c(
    p_binomial,
    mean_binomial,
    sd_binomial,
    p_poisson_5,
    p_poisson_lebih12,
    p_normal_lebih4,
    batas_5_persen
  )
)

hasil
##                  Keterangan      Hasil
## 1           P(tepat 2 klik) 0.28156757
## 2        Rata-rata binomial 2.50000000
## 3               SD binomial 1.36930639
## 4       P(tepat 5 unggahan) 0.09160366
## 5 P(lebih dari 12 unggahan) 0.06379720
## 6      P(loading > 4 detik) 0.02275013
## 7  Batas 5% loading terlama 3.82242681

Berdasarkan perhitungan:

  1. Jumlah komentar merupakan variabel acak diskrit, sedangkan durasi video merupakan variabel acak kontinu.
  2. Peluang tepat 2 dari 10 pengguna mengklik iklan adalah sekitar 28,16%.
  3. Rata-rata pengguna yang mengklik adalah 2,5 pengguna, dengan standar deviasi sekitar 1,3693.
  4. Peluang terdapat tepat 5 unggahan per menit adalah sekitar 9,16%.
  5. Peluang terdapat lebih dari 12 unggahan per menit adalah sekitar 6,38%.
  6. Peluang waktu loading lebih dari 4 detik adalah sekitar 2,28%.
  7. Batas waktu untuk 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik.