Primera Pregunta

Un comprador está negociando la adquisición de una materia prima con un nuevo proveedor. El comprador sabe que un nivel de calidad límite de 7.5% es bastante perjudicial para el proceso productivo, para lo cual le ha pedido al director de calidad que diseñe un plan que evite con una alta probabilidad que se acepten lotes con estas características. El director le informa que dicho plan es el siguiente: Se toma una muestra de tamaño n=50 y se acepta hasta con 1 unidades y se rechaza con 2 o más.

a. Presente un tablero grafico con la curva característica (OC), la curva AOQ y ATI correspondientes del plan.

Utilizamos una distribución Binomial, ya que al no contar con el valor exacto de N, asumimos que es un numero muy grande respetando la siguiente formula:

\[n/N <= 0.1.\]

\[50/N <=0.1\]

\[50/0.1<=N\]

\[N>=500\] Por lo tanto, el N debe ser mayor o igual a 500. Para los cálculos se toma N = 1500.

#Parametros: 
n<-50
c<-1  #Si d es menor o igual a 1 acepto el lote
LTPD<- 0.075  # El porcentaje maximo de defectos que como consumidor estoy dispuesto a tolerar, si es mayor lo rechazo

P <- seq(0.000, 0.140, 0.001)
Pa <- pbinom(c, n, P, lower.tail=T)
AOQ<-P*Pa
AOQL<-max(AOQ)
N<-1500
ATI <- n*Pa+N*(1-Pa)

par(mfrow=c(1, 3))

# 1. Grafica OC
plot(P, Pa, 
     type="l",
     main="OC",
     xlab="Proporción de defectos",
     ylab="Pa"
)

# 2. Grafica AOQ
plot(P, AOQ, 
     type="l",
     main="AOQ",
     xlab="Proporción de defectos",
     ylab="AOQ (Calidad de Salida)",
     ylim=c(0,0.018)
)

abline(h = AOQL, col=2, lwd=2, lty=2)

legend(0.10, 0.010,
       #inset = 0.05, # Distancia desde el margen
       legend = c("AQL", "AOQL", "Sin inspección" ),
       bty = "n", # Elimina la caja
       lty = c(1, 2, 3),
       col = c(1,2, 3),
       lwd = 2,
       cex = 0.6, # Tamaño
)

# 3. Grafica ATI
plot(P, ATI, 
     type="l",
     main="ATI",
     xlab="Proporción de defectos",
     ylab="ATI (Numero esperado de unidades a inspeccionar)",
     ylim=c(0,5000)
)

Como se observa en la gráfica de la curva OC ,la probabilidad de aceptación disminuye a medida que aumenta la proporción de defectuosos del lote. Con una proporción de 1% el lote se acepta con una probabilidad de aproximadamente 91%, con 2% de aproximadamente 74%, y con el LTPD de 7.5% de aproximadamente 10.25%.

En la gráfica de la curva AOQ, la calidad de salida promedio aumenta hasta alcanzar un máximo (AOQL) de aproximadamente 1.67%, cuando los lotes llegan con alrededor de 3.2% de defectuosos. A partir de ese punto disminuye, porque la mayoría de los lotes se rechazan y se inspeccionan por completo.

Finalmente, en la gráfica de la curva ATI, los lotes sin unidades defectuosas se inspeccionan solo las 50 unidades de la muestra, y a medida que empeora la calidad del lote el número esperado de unidades a inspeccionar crece y se acerca al tamaño del lote (N = 1500), porque casi todos los lotes se rechazan.

b. ¿Cuál es la máxima proporción de unidades defectuosas que se espera obtener después de implementar el plan de muestro?.

AOQ<-P*Pa
AOQL<-max(AOQ)
AOQL
## [1] 0.01669696
library(knitr)
Indices_b<- data.frame(
  Parametro = "AOQL",
  Valor = round(AOQL, 6))

kable(Indices_b)
Parametro Valor
AOQL 0.016697

La maxíma proporción de unidades defectuosas que se espera obtener después de implementar el plan de muestreo es de alrededor 1.67% , por lo tanto, del lote de 1500 unidades aproximamente tendra 25 unidades defectuosas.

c. Si la proporción de unidades defectuosas fuera del 7%, ¿Cuál sería el número de unidades que se espera inspeccionar?

P_c<-0.07  #P_c=Proporción del punto c
Pa_c <- pbinom(c, n, P_c, lower.tail=T) #Pa_c=Probabilidad de aceptación del punto c
ATI_c <- n*Pa_c + N*(1-Pa_c)
ATI_c
## [1] 1316.584
library(knitr)
Indices_C<- data.frame(
  Parametro = "ATI",
  Valor = round(ATI_c, 6))

kable(Indices_C)
Parametro Valor
ATI 1316.584

Con una nueva proporción de unidades defectuosas del 7%, el comprador deberia inspeccionar alrededor de 1317 unidades.

d.Encuentre el riesgo del comprador que se tendría con el plan propuesto por el director de calidad. ¿Es apropiado?

#Riesgo del comprador
#P(aceptar|LTPD)= aceptar un lote que se encuentra en malas condiciones
#P(d<=c|LTPD)
beta<- pbinom(c, n, LTPD)
beta
## [1] 0.1025006
library(knitr)
Indices_d<- data.frame(
  Parametro = "Beta",
  Valor = round(beta, 6))

kable(Indices_d)
Parametro Valor
Beta 0.102501

La probabilidad de que el comprador acepte un lote que se encuentra en malas condiciones, teniendo en cuenta el plan propuesto por el director de calidad es de 10.25%.

Este resultado no es apropiado, debido a que el 10.25% supera el limite utilizado normalmente, donde Beta <=10%. Por lo tanto, 10.25% de los lotes que tienen un 7.5% de defectos serán aceptados por error. Es decir, que de cada 100 lotes, aproximadamente 10 serán aceptados y no cumplen con el LTPD así que habrían alrededor de 1125 unidades defectuosas para el proceso productivo realizado por el comprador.

E.Entre aumentar el tamaño de la muestra a 60 conservando el número de aceptación y conservar la muestra de 50 pero aceptando 0 defectos; ¿Cuál le recomendaría usted al director?

#Plan 1 
ne1<-60
ce1<-1

Pa_e1 <- pbinom(ce1, ne1, LTPD, lower.tail=T)

#Plan 2
ne2<-50
ce2<-0  

Pa_e2 <- pbinom(ce2, ne2, LTPD, lower.tail=T)

#Riesgo del comprador de cada plan (beta = Pa en el LTPD)
beta_1<-Pa_e1
beta_2<-Pa_e2

library(knitr)
tabla_e<-data.frame(
  Plan = c("Original", "Plan 1", "Plan 2"),
  n = c(n, ne1, ne2),
  c = c(c, ce1, ce2),
  Beta = sprintf("%.2f%%", c(beta, beta_1, beta_2)*100)
)
kable(tabla_e, col.names = c("Plan", "n", "c", "β (LTPD = 7.5%)"), align = "lccc")
Plan n c β (LTPD = 7.5%)
Original 50 1 10.25%
Plan 1 60 1 5.45%
Plan 2 50 0 2.03%

Le recomendaríamos la alternativa B, porque a pesar de que esta no favorece ni protege en gran medida al productor, sí lo hace con el comprador. Desde el punto de vista de un comprador, lo mejor para él es reducir la posibilidad de aceptar lotes que se encuentran con unidades en malas condiciones que afectan su proceso productivo y calidad final de su producto. Con esta alternativa, esta posibilidad pasa de 10,25 % a aproximadamente 2,03 %, es decir, que de los lotes que son iguales o sobrepasan el valor del nivel de calidad límite de 7,5 % solamente hay probabilidad de que acepten el 2 % de estos, debido al azar del muestreo.

Segunda pregunta

Una empresa ha encargado a cierto suministrador la fabricación de un elevado número de cierto componente electrónico. Para la adquisición del producto, la empresa realiza un muestreo para la aceptación. Los componentes vienen en lotes de tamaño 40.000. Se aceptarán aquellos lotes que contengan como máximo un 1% de artículos defectuosos. Para controlar que se verifica dicho nivel de calidad se toma una muestra de tamaño 1.500 y se acepta el lote si hay menos de 15 artículos defectuosos (con 15 o más se rechaza, con 14 o menos se acepta). Se pide:

a. Calcular el riesgo del productor y el riesgo del consumidor si el nivel de calidad rechazable es 4 veces el nivel de calidad aceptable. ¿Qué opinión te merece el plan?

Para conocer la distribución que se debe utilizar, se hace uso de la función Seleccionar_distribución

seleccionar_distribucion <-function(n1,N1) {
  r<-n1/ N1 
  
  #1) Hipergeométrica:sin/N>0.1 
  if(r> 0.1){ 
    return("Hipergeométrica") 
  } 
  
  #2) Poisson:si n/N<=0.1yn*(n/N)>1 
  #(esta regla se evalúa antes que la binomial, porque es un caso especial) 
  if(r<=0.1 &&n*r > 1){ 
    return("Poisson")
  } 
  
  #3) Binomial:si n/N<=0.1 
  if(r<=0.1){ 
    return("Binomial") 
  } 
}

N_2<-40000
n_2<-1500
seleccionar_distribucion(n_2, N_2)
## [1] "Poisson"

De acuerdo con esto, la distribución que se debería usar para la resolución de este problema es la Poisson.

N_2<-40000
n_2<-1500
AQL<-0.01
LTPD<-0.04
c=14

#P(rechazar|AQL)= probabilidad de rechazar un lote que esta bueno 
#P(d>=15)= P(d>14)

lambda_productor<-n_2*AQL
alpha2<- 1- ppois (c,lambda_productor)
alpha2
## [1] 0.5343463
#Riesgo consumidor
#P(aceptar|LTPD)= probabilidad de aceptar un lote que esta malo 
#P(d<=c)
lambda_consumidor<-n_2*LTPD
beta2<-ppois (c,lambda_consumidor)
beta2
## [1] 1.020276e-12
library(knitr)
Indices_2<- data.frame(
  Riesgos = c("Beta","Alpha"),
  Valor = c("1.020276e-12",alpha2))

kable(Indices_2)
Riesgos Valor
Beta 1.020276e-12
Alpha 0.53434629105599

Este es un plan que protege especialmente al consumidor, debido a que el valor de beta es practicamente 0, por lo tanto, el consumidor tendría una probabilidad practicamente nula de aceptar un lote que este en mal estado, mientras que el productor tiene una probabilidad de aproxidamente 53% de que el consumidor le rechace un lote que se encuentra en buenas condiciones.

Por lo tanto, este plan no se considera equilibrado ni apropiado, ya que alpha supera el 5% usualmente aceptado, mientras que beta es prácticamente nulo, es decir, que protege más de lo necesario al consumidor y castiga en exceso al productor.

Tercera pregunta

En una negociación entre proveedor y consumidor, se ha planteado la recepción de lotes de 500 unidades, sobre los cuales se aplica un plan de muestreo doble con los siguientes parámetros: (n1= 10; Ac1=0; Re1=2; n1= 20 Ac2=1; Re2=2). Se ha pactado como nivel de calidad aceptable el 5%. Se establece un periodo de prueba, para hacer definitivo el contrato, este periodo de prueba corresponde a los primeros 10 lotes recibidos. Si durante el periodo de prueba se rechazan al menos 2 lotes se cancela el contrato.

a. Cuál es la probabilidad de que el contrato sea cancelado, aun cuando el productor está cumpliendo con los niveles de calidad pactados.

Para conocer la distribución que se debe utilizar en la primera muestra, se hace uso de la función Seleccionar_distribución

seleccionar_distribucion <-function(n2,N2) {
  r<-n2/ N2 
  
  #1) Hipergeométrica:sin/N>0.1 
  if(r> 0.1){ 
    return("Hipergeométrica") 
  } 
  
  #2) Poisson:si n/N<=0.1yn*(n/N)>1 
  #(esta regla se evalúa antes que la binomial, porque es un caso especial) 
  if(r<=0.1 &&n*r > 1){ 
    return("Poisson")
  } 
  
  #3) Binomial:si n/N<=0.1 
  if(r<=0.1){ 
    return("Binomial") 
  } 
}

N1<-500
n1=10
seleccionar_distribucion(n1, N1)
## [1] "Binomial"

El resultado indica, que se debe modelar utilizando la distribución binomial. Luego, se procede a realizar la inspección de la muestra 1, basandonos en el enunciado de la probabilidad de que el lote sea aceptado, es decir, cuando d1<=c1.

N1<-500
n1=10
AC1=0
Re1=2
AQL=0.05

#La probabilidad de que sea aceptada Pa(d<=AC)
Pa1<-pbinom (AC1, n1, AQL, lower.tail = TRUE)
Pa1
## [1] 0.5987369
library(knitr)
tabla_pa1<- data.frame(
  Probabilidad ="Probabilidad de aceptación en la primera muestra",
  Valor = c(Pa1))

kable(tabla_pa1)
Probabilidad Valor
Probabilidad de aceptación en la primera muestra 0.5987369

La probabilidad de aceptación de que un lote tenga

La segunda muestra se realiza únicamente cuando d1 = 1, debido a que cuando d1 = 0 (d1 ≤ AC1) el lote se acepta y en caso de ser, d1 ≥ 2 (d1 ≥ Re1) el lote se rechaza. Como AC1 = 0 y Re1 = 2, el único valor de d1 que no permite decidir entre las dos opciones es 1, por lo tanto, se toma una segunda muestra de n2 = 20. En este caso, se acepta si d1 + d2 ≤ 1 (AC2=1), y como d1 = 1, se asume que d2 = 0.

#La probabilidad de que el lote sea aceptado en la segunda muestra Pa(d<=AC)
n2=20
AC2=1
Re2=2

#Pa2<-P(d2<=0|n2)*P(d1=1|n1)

Pa2<-pbinom (0, n2, AQL, lower.tail = TRUE) *dbinom (1, n1, AQL)

#Probabilidad de aceptación total del lote.

Pa_total<-Pa1+Pa2 
Pa_total
## [1] 0.7117047
library(knitr)
tabla_patotal<- data.frame(
  Probabilidad = c("Probabilidad de aceptación de la segunda muestra","Probabilidad de aceptación total entre la primera y segunda muestra"),
  Valor = c(Pa2,Pa_total))

kable(tabla_patotal)
Probabilidad Valor
Probabilidad de aceptación de la segunda muestra 0.1129678
Probabilidad de aceptación total entre la primera y segunda muestra 0.7117047

La probabilidad de que el consumidor acepte el lote, luego de realizar dos inspecciones con muestras distintas es de aproximadamente 71.17% (59.87% en la primera muestra y 11.30% en la segunda).

#Ahora, calcular la probabilidad de rechazo 

n_lotes<-10
P_r<-1-Pa_total

#P(X>=2)=1 -p(X=1)
P_rechazo<- pbinom(1, n_lotes, P_r, lower.tail = FALSE)
P_rechazo
## [1] 0.8315946
library(knitr)
tabla_rechazo<- data.frame(
  Probabilidad ="Probabilidad de rechazo de dos o más lotes",
  Valor = c(P_rechazo))

kable(tabla_rechazo)
Probabilidad Valor
Probabilidad de rechazo de dos o más lotes 0.8315946

La probabilidad de que el contrato sea cancelado por haber rechazado dos lotes, aun cuando el productor está cumpliendo con los niveles de calidad pactados, es de aproximadamente 83.16%, ya que cada lote tiene una probabilidad de rechazo de 28.83% y se rechazarían al menos 2 de los 10 lotes del periodo de prueba.