1 Introducción

Las distribuciones de probabilidad discretas constituyen una herramienta fundamental en la estadística para modelar fenómenos aleatorios en los que la variable de interés toma valores contables o finitos.

Una variable aleatoria discreta \(X\) asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio, y su comportamiento se describe mediante una función de probabilidad, la cual indica la probabilidad asociada a cada uno de sus posibles valores.

En ingeniería estas distribuciones aparecen constantemente: el número de piezas defectuosas en un lote de producción, la cantidad de errores de bit al transmitir un paquete por un canal de comunicación, el número de fallas de una máquina en un mes, las imperfecciones por kilómetro de cable de fibra óptica o las solicitudes que llegan a un servidor por segundo. Modelar correctamente estos fenómenos permite tomar decisiones de diseño, control de calidad y confiabilidad con base cuantitativa.

En esta sección se estudian las distribuciones discretas más importantes la uniforme discreta, la binomial, la Poisson y la hipergeométrica abordando sus fundamentos teóricos, su interpretación, sus aplicaciones reales en ingeniería y su implementación computacional en R. Al final se presentan las relaciones y aproximaciones entre ellas y una tabla resumen que funciona como guía de decisión.

Objetivos de aprendizaje. Al terminar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de: (1) identificar qué distribución discreta modela un fenómeno de ingeniería dado; (2) calcular probabilidades, esperanza y varianza, tanto a mano como en R; (3) interpretar los resultados en el contexto del problema; y (4) reconocer cuándo una distribución puede aproximarse por otra.

2 Distribución Uniforme Discreta

La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que describe situaciones en las que un conjunto finito de resultados posibles tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

Es ampliamente utilizada para modelar escenarios de equiprobabilidad, como juegos de azar, procesos de selección aleatoria, cuantización de señales y generación de números aleatorios.

2.1 Definición

Sea \(X\) una variable aleatoria discreta definida sobre el conjunto:

\[ \{a, a+1, \dots, b\} \]

Se dice que \(X\) sigue una distribución uniforme discreta, denotada por:

\[ X \sim U_d(a,b) \]

si su función de probabilidad está dada por:

\[ P(X = x) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad x = a, a+1, \dots, b \]

donde:

  • \(a\): valor mínimo
  • \(b\): valor máximo
  • \(n = b - a + 1\): número total de valores posibles

Cada valor posible de la variable aleatoria tiene la misma probabilidad de ocurrir. No existe preferencia por ningún resultado en particular.

2.2 Ejemplo: Lanzamiento de un dado

2.2.1 Definición de parámetros

\[ a = 1 \quad (\text{valor mínimo}) \]

\[ b = 6 \quad (\text{valor máximo}) \]

\[ n = b - a + 1 = 6 \quad (\text{número de valores posibles}) \]

2.2.2 Sustitución en la función de probabilidad

\[ P(X = x) = \frac{1}{6}, \quad x = 1,2,3,4,5,6 \]

2.2.3 Esperanza

\[ E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+6}{2} = 3.5 \]

2.2.4 Varianza

\[ Var(X) = \frac{(b-a+1)^2 -1}{12} = \frac{6^2 -1}{12} = \frac{36 -1}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.9167 \]

2.2.5 Desviación estándar

\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.7078 \]

2.2.6 Implementación en R

# Parámetros
a <- 1
b <- 6

# Espacio muestral
x <- a:b

# Probabilidades
prob <- rep(1/(b - a + 1), length(x))

# Tabla de distribución
data.frame(x, prob)
# Gráfica densidad de probabilidad
barplot(prob, names.arg = x,
        main = "Distribución Uniforme",
        xlab = "Valores",
        ylab = "Probabilidad",
        col = "#2c7fb8")

2.3 Aplicación en ingeniería: cuantización en un conversor A/D

Contexto. Un conversor analógico–digital (ADC) de 3 bits representa una señal de entrada mediante \(2^3 = 8\) niveles de cuantización, numerados \(\{0, 1, 2, \dots, 7\}\). Si la señal de entrada está uniformemente distribuida dentro del rango del conversor, cada nivel de salida tiene la misma probabilidad de presentarse. Este modelo es la base para analizar el error de cuantización en sistemas digitales, telecomunicaciones y procesamiento de señales.

Variable aleatoria. Sea \(X\) el nivel de cuantización asignado a una muestra de la señal. Entonces \(X \sim U_d(0, 7)\), con \(n = 8\).

2.3.1 Cálculo teórico

\[ P(X = x) = \frac{1}{8} = 0.125, \quad x = 0,1,\dots,7 \]

\[ E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{0+7}{2} = 3.5 \]

\[ Var(X) = \frac{(b-a+1)^2 - 1}{12} = \frac{8^2 - 1}{12} = \frac{63}{12} = 5.25 \qquad \sigma = \sqrt{5.25} \approx 2.2913 \]

2.3.2 Cálculo en R

# ADC de 3 bits: niveles 0..7
a <- 0; b <- 7
x <- a:b
prob <- rep(1/(b - a + 1), length(x))

# Esperanza y varianza (definición)
E  <- sum(x * prob)
V  <- sum((x - E)^2 * prob)
c(Esperanza = E, Varianza = V, Desv = sqrt(V))
## Esperanza  Varianza      Desv 
##  3.500000  5.250000  2.291288
barplot(prob, names.arg = x,
        main = "Niveles de un ADC de 3 bits (Uniforme discreta)",
        xlab = "Nivel de cuantización", ylab = "Probabilidad",
        col = "#2e8b57")

Interpretación. Como todos los niveles son equiprobables, el nivel esperado está en el centro de la escala (3.5). La varianza (5.25) cuantifica la dispersión de los niveles; en la práctica, el error de cuantización se modela a partir de esta idea de equiprobabilidad dentro de cada escalón del conversor.

2.4 ¿En qué situaciones se usa?

  • Cuantización de señales: niveles de un ADC/DAC cuando la entrada es uniforme.
  • Generación de números aleatorios: enteros equiprobables en un rango (sample()), base de muchas simulaciones de ingeniería.
  • Balanceo de carga y hashing: asignar una petición a uno de \(k\) servidores idénticos con igual probabilidad.
  • Muestreo aleatorio simple: elegir un elemento de una lista finita (p. ej. un empleado entre 100, con probabilidad \(1/100\)).
  • Juegos de azar y ruletas: lanzar un dado justo (\(1/6\)) o una moneda (\(1/2\)).

3 Distribución Binomial

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en \(n\) ensayos independientes de un experimento aleatorio.

Cada ensayo tiene únicamente dos posibles resultados:

  • Éxito (con probabilidad \(p\))
  • Fracaso (con probabilidad \(1 - p\))

La variable aleatoria \(X\) representa el número de éxitos en los \(n\) ensayos. En ingeniería, un “éxito” puede ser una pieza defectuosa, un bit recibido con error o un componente que funciona.

3.1 Definición

Sea \(X \sim Binomial(n,p)\). Su función de probabilidad está dada por:

\[ P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0,1,\dots,n \]

donde:

  • \(n\): número de ensayos
  • \(p\): probabilidad de éxito
  • \(x\): número de éxitos

3.2 Momentos

\[ E(X) = np \]

\[ Var(X) = \sigma^2 = np(1-p) \]

\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

3.3 Interpretación de los momentos

  • \(E(X) = np\): representa el número promedio de éxitos en \(n\) ensayos.
  • \(Var(X) = np(1-p)\): mide la variabilidad en el número de éxitos.
  • \(\sigma\): indica cuánto se desvía típicamente el número de éxitos respecto a su media.

3.4 Forma alternativa de la varianza

\[ Var(X) = npq, \quad \text{donde } q = 1 - p \]

3.5 Propiedades adicionales

  • Si \(p\) es cercano a 0 o 1, la variabilidad disminuye.
  • La varianza es máxima cuando \(p = 0.5\).
  • La distribución es simétrica cuando \(p = 0.5\) y sesgada en otro caso.

3.6 Coeficiente de asimetría

\[ \gamma_1 = \frac{1 - 2p}{\sqrt{np(1-p)}} \]

3.7 Aproximación normal (muy importante)

Para valores grandes de \(n\), la distribución binomial puede aproximarse por una distribución normal:

\[ X \approx N(np, \, np(1-p)) \]

siempre que:

\[ np \geq 5 \quad \text{y} \quad n(1-p) \geq 5 \]

Visualización de la distribución binomial

# Configurar panel gráfico
par(mfrow = c(1,3))

# Ejemplo 1: Simétrica
n1 <- 10; p1 <- 0.5
x1 <- 0:n1
barplot(dbinom(x1, n1, p1), names.arg = x1,
        main = "Ejemplo 1: n=10, p=0.5",
        xlab = "Éxitos", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

# Ejemplo 2: Sesgada (p pequeño)
n2 <- 10; p2 <- 0.2
x2 <- 0:n2
barplot(dbinom(x2, n2, p2), names.arg = x2,
        main = "Ejemplo 2: n=10, p=0.2",
        xlab = "Éxitos", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

# Ejemplo 3: Mayor n
n3 <- 30; p3 <- 0.5
x3 <- 0:n3
barplot(dbinom(x3, n3, p3), names.arg = x3,
        main = "Ejemplo 3: n=30, p=0.5",
        xlab = "Éxitos", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

par(mfrow = c(1,1))

Ejemplo 1: \(n = 10, \; p = 0.5\) La distribución es aproximadamente simétrica alrededor de su media \(E(X) = np = 5\). Esto ocurre porque la probabilidad de éxito y fracaso es la misma, generando un balance en la distribución.

Ejemplo 2: \(n = 10, \; p = 0.2\) La distribución presenta asimetría positiva (sesgo hacia la derecha). La mayoría de la probabilidad se concentra en valores pequeños de \(X\), ya que la probabilidad de éxito es baja.

Ejemplo 3: \(n = 30, \; p = 0.5\) La distribución es más suave y concentrada alrededor de la media \(E(X) = 15\). A medida que aumenta \(n\), la distribución binomial se aproxima a una distribución normal, de acuerdo con el Teorema Central del Límite.

De manera que:

  • El parámetro \(p\) controla la forma (simetría o sesgo).
  • El parámetro \(n\) controla la dispersión y la suavidad de la distribución.
  • La distribución binomial puede aproximarse por una normal cuando \(n\) es grande y \(p\) no es extremo.

3.8 Ejemplo introductorio

Imaginemos que un 80 % de las personas han visto la final del último mundial de fútbol. Se seleccionan 4 amigos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos hayan visto el partido?

Sea \(X \sim Binomial(n = 4, \, p = 0.8)\). Entonces:

\[ P(X = 3) = \binom{4}{3} (0.8)^3 (0.2)^{1} = 4 \cdot 0.512 \cdot 0.2 = 0.4096 \approx 0.41 \]

R/. La probabilidad de que 3 de ellos hayan visto es del 41 %.

dbinom(3, size = 4, prob = 0.8)
## [1] 0.4096

3.9 Aplicación en ingeniería 1: control de calidad y muestreo de aceptación

Contexto. Una línea de producción genera, en condiciones normales, un 5 % de piezas defectuosas (\(p = 0.05\)). Para controlar la calidad se inspeccionan \(n = 20\) piezas tomadas al azar y el lote se acepta si hay a lo sumo 1 pieza defectuosa. Suponiendo que las piezas son independientes:

¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? ¿Cuántas piezas defectuosas se esperan en promedio?

Variable aleatoria. Sea \(X\) el número de piezas defectuosas en la muestra de 20. Como hay \(n\) ensayos independientes, dos resultados (defectuosa/no) y \(p\) constante, \(X \sim Binomial(20, 0.05)\).

3.9.1 Cálculo teórico

\[ P(\text{aceptar}) = P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \]

\[ P(X=0) = (0.95)^{20} \approx 0.3585,\qquad P(X=1) = \binom{20}{1}(0.05)(0.95)^{19} \approx 0.3774 \]

\[ P(X \le 1) \approx 0.3585 + 0.3774 = 0.7358 \]

\[ E(X) = np = 20(0.05) = 1, \qquad Var(X) = np(1-p) = 0.95 \]

3.9.2 Cálculo en R

n <- 20; p <- 0.05

# P(aceptar) = P(X <= 1)
p_aceptar <- pbinom(1, size = n, prob = p)
p_aceptar
## [1] 0.7358395
# Valor esperado y varianza
c(Esperado = n*p, Varianza = n*p*(1-p))
## Esperado Varianza 
##     1.00     0.95
# Curva característica de operación (OC): P(aceptar) vs. fracción defectuosa real
p_real <- seq(0, 0.30, by = 0.01)
oc <- pbinom(1, size = n, prob = p_real)
plot(p_real, oc, type = "b", pch = 19, col = "#2e8b57",
     main = "Curva característica de operación (c = 1, n = 20)",
     xlab = "Fracción real de defectuosos (p)", ylab = "P(aceptar el lote)")
abline(h = 0.95, lty = 2, col = "red")

Interpretación. Con este plan de muestreo se acepta el lote el 73.6 % de las veces cuando el proceso está en su nivel normal del 5 %. La curva característica de operación (OC) muestra cómo cae la probabilidad de aceptación a medida que empeora la calidad real del lote: es la herramienta clásica para diseñar planes de muestreo de aceptación en control estadístico de calidad.

3.10 Aplicación en ingeniería 2: confiabilidad de sistemas redundantes (k de n)

Contexto. Una estación de bombeo tiene 8 bombas idénticas e independientes; cada una funciona correctamente con probabilidad \(p = 0.95\). El sistema cumple su función si al menos 6 bombas están operativas (sistema “6 de 8”).

¿Cuál es la confiabilidad del sistema?

Variable aleatoria. Sea \(X\) el número de bombas operativas, \(X \sim Binomial(8, 0.95)\). Se pide \(P(X \ge 6)\).

n <- 8; p <- 0.95

# Confiabilidad del sistema: P(X >= 6) = 1 - P(X <= 5)
R_sistema <- 1 - pbinom(5, size = n, prob = p)
R_sistema
## [1] 0.9942118

Interpretación. La confiabilidad del sistema “6 de 8” es \(P(X \ge 6) \approx 0.9942\), muy superior a la de una sola bomba (0.95). Este es el principio de la redundancia: combinar componentes para que el sistema tolere fallas individuales. Variando \(k\) y \(n\) se dimensiona el nivel de redundancia necesario.

¿En qué situaciones se usa?

  • Control de calidad: número de defectuosos en una muestra; planes de muestreo de aceptación.
  • Confiabilidad: sistemas k de n (redundancia), número de componentes que sobreviven.
  • Telecomunicaciones: número de bits erróneos en un paquete de tamaño fijo.
  • Ensayos pasa/no pasa: rendimiento (yield) de obleas, pruebas de resistencia de materiales, inspección.

4 Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo, espacio, área o volumen.

Se utiliza cuando los eventos ocurren de manera aleatoria e independiente a una tasa promedio constante. En ingeniería modela, por ejemplo, fallas por unidad de tiempo, defectos por unidad de longitud o área y llegadas a un sistema (colas, redes).

4.1 Definición

Sea \(X\) una variable aleatoria. Se dice que:

\[ X \sim Poisson(\lambda) \]

si su función de probabilidad está dada por:

\[ P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0,1,2,\dots \]

donde:

  • \(x\): número de ocurrencias del evento
  • \(\lambda\): número promedio de ocurrencias en el intervalo
  • \(e \approx 2.71828\): constante de Euler

4.2 Supuestos del modelo

La distribución de Poisson es adecuada cuando:

  • Los eventos ocurren de forma independiente.
  • La tasa promedio \(\lambda\) es constante.
  • No pueden ocurrir dos eventos exactamente al mismo tiempo.
  • El número de eventos en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo.

4.3 Interpretación del parámetro

\[ \lambda = E(X) = Var(X) \]

El parámetro \(\lambda\) representa tanto el valor esperado como la varianza del número de eventos.

Propiedad de escalado (clave en ingeniería). Si la tasa es \(\lambda\) por unidad (p. ej. por km o por hora), en un intervalo de tamaño \(t\) el número de eventos es \(Poisson(\lambda t)\). Esto permite pasar fácilmente de “por km” a “por 3 km” o de “por hora” a “por turno”.

Función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson

lambda <- 3
x <- 0:15
barplot(dpois(x, lambda), names.arg = x,
        main = "Distribución de Poisson (λ = 3)",
        xlab = "Número de eventos", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

4.4 Ejemplo de aplicación: llegada de clientes

El director de una empresa de servicio público desea modelar la llegada de clientes. Se registró el número de clientes que llegan en intervalos de 15 minutos:

\[ 15,\;10,\;12,\;15,\;18,\;15,\;12,\;11,\;15,\;16,\;14,\;13, \] \[ 16,\;17,\;13,\;14,\;18,\;12,\;14,\;16,\;15,\;14,\;12 \]

Sea \(X\) el número de clientes que llegan en un intervalo de 15 minutos.

\[ \lambda = \bar{x} = 14.08 \quad\Rightarrow\quad X \sim Poisson(14.08) \]

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 10 clientes en un intervalo de 15 minutos?

\[ P(X = 10) = \frac{e^{-14.08} (14.08)^{10}}{10!} \approx 0.0647 = 6.5\% \]

datos <- c(12,15,10,12,15,18,15,12,11,15,16,14,13,
           13,16,17,13,14,18,12,14,16,15,14,12)
lambda <- mean(datos); lambda
## [1] 14.08
dpois(10, lambda)
## [1] 0.06477348

4.5 Aplicación en ingeniería: imperfecciones en fibra óptica (propiedad de escalado)

Contexto. En la fabricación de cable de fibra óptica, el número de imperfecciones sigue una distribución de Poisson con una tasa de \(\lambda = 2\) imperfecciones por kilómetro. El control de calidad hace dos preguntas:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un tramo de 1 km tenga a lo sumo 1 imperfección?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un tramo de 3 km no tenga ninguna imperfección?

Variable aleatoria. Sea \(X\) el número de imperfecciones en el tramo analizado.

4.5.1 Cálculo teórico

a) En 1 km, \(X \sim Poisson(2)\):

\[ P(X \le 1) = e^{-2}\left(1 + 2\right) = 3e^{-2} \approx 0.4060 \]

b) Por la propiedad de escalado, en 3 km la tasa es \(\lambda' = 2 \times 3 = 6\), \(X \sim Poisson(6)\):

\[ P(X = 0) = e^{-6} \approx 0.00248 \]

4.5.2 Cálculo en R

# a) a lo sumo 1 imperfección en 1 km (lambda = 2)
ppois(1, lambda = 2)
## [1] 0.4060058
# b) ninguna imperfección en 3 km (lambda' = 2*3 = 6)
dpois(0, lambda = 6)
## [1] 0.002478752

Interpretación. Un tramo de 1 km tiene cerca del 41 % de probabilidad de salir con 0 o 1 imperfección. En cambio, exigir un tramo de 3 km perfecto es muy poco probable (≈ 0.25 %): a mayor longitud inspeccionada, mayor la tasa esperada de defectos. La propiedad de escalado es esencial para fijar longitudes de inspección y criterios de aceptación en manufactura.

¿En qué situaciones se usa?

  • Confiabilidad: número de fallas de un equipo por mes/año.
  • Manufactura: defectos por m² de lámina, imperfecciones por km de cable o soldadura.
  • Redes y telecomunicaciones: paquetes o solicitudes que llegan a un router/servidor por segundo.
  • Teoría de colas: llegadas a un sistema de atención (base del modelo M/M/1).
  • Tránsito y seguridad: número de accidentes en un cruce por semana.

5 Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en una muestra extraída sin reemplazo de una población finita.

Se utiliza cuando los elementos no se devuelven a la población, por lo que las probabilidades cambian en cada extracción. Es el modelo natural de la inspección por muestreo de lotes pequeños.

5.1 Definición

Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de éxitos en una muestra de tamaño \(n\), extraída sin reemplazo de una población de tamaño \(N\), que contiene \(K\) elementos exitosos.

\[ X \sim H(N, K, n) \]

\[ P(X = x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x = 0,1,\dots,n \]

5.2 Parámetros

  • \(N\): tamaño de la población
  • \(K\): número de éxitos en la población
  • \(n\): tamaño de la muestra
  • \(x\): número de éxitos en la muestra

5.3 Interpretación

  • A diferencia de la distribución binomial, no hay reemplazo.
  • Las probabilidades cambian en cada extracción.
  • Se utiliza en control de calidad, muestreo sin reemplazo y estudios poblacionales.

5.4 Momentos

\[ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} \]

\[ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} \]

\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} \]

El factor \(\dfrac{N-n}{N-1}\) se llama corrección por población finita: reduce la varianza respecto a la binomial, precisamente porque el muestreo es sin reemplazo.

5.5 Gráfica de algunos ejemplos

Gráfica 1. En una fábrica hay 20 productos, 5 defectuosos. Se extraen 8 sin reemplazo.

x <- 0:8
barplot(dhyper(x, m = 5, n = 15, k = 8), names.arg = x,
        main = "Hipergeométrica - Control de calidad",
        xlab = "Defectuosos en la muestra", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

Gráfica 2. En un curso hay 30 estudiantes, 18 aprobaron. Se seleccionan 10 al azar.

x <- 0:10
barplot(dhyper(x, m = 18, n = 12, k = 10), names.arg = x,
        main = "Hipergeométrica - Estudiantes",
        xlab = "Aprobados en la muestra", ylab = "Probabilidad", col = "#2c7fb8")

5.6 Ejemplo: Control de calidad

De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, 2 son defectuosas. Se seleccionan 15 piezas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 pieza defectuosa esté en la muestra?

Sea \(X\) el número de piezas defectuosas en la muestra de 15, con \(X \sim H(N = 20, K = 2, n = 15)\):

\[ P(X = 1) = \frac{\binom{2}{1}\binom{18}{14}}{\binom{20}{15}} = \frac{2 \cdot 3060}{15504} \approx 0.3947 = 39.47\% \]

dhyper(1, m = 2, n = 20 - 2, k = 15)
## [1] 0.3947368

5.7 Aplicación en ingeniería: muestreo de aceptación y comparación con la binomial

Contexto. Un proveedor entrega un lote de \(N = 50\) componentes del que se sabe que \(K = 3\) son defectuosos. El inspector toma una muestra sin reemplazo de \(n = 10\) y acepta el lote solo si no encuentra defectuosos.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote?

  2. ¿Qué resultado daría la aproximación binomial con \(p = K/N\), y por qué difiere?

Variable aleatoria. Sea \(X\) el número de defectuosos en la muestra, \(X \sim H(50, 3, 10)\).

5.7.1 Cálculo en R

N <- 50; K <- 3; n <- 10

# a) P(aceptar) = P(X = 0) con hipergeométrica (sin reemplazo)
p_hyper <- dhyper(0, m = K, n = N - K, k = n)

# b) Aproximación binomial con p = K/N (como si fuera con reemplazo)
p_binom <- dbinom(0, size = n, prob = K/N)

c(Hipergeometrica = p_hyper, Binomial_aprox = p_binom)
## Hipergeometrica  Binomial_aprox 
##       0.5040816       0.5386151

Interpretación. La probabilidad exacta de aceptar es \(\approx 0.504\). La aproximación binomial da \(\approx 0.539\): sobreestima la aceptación porque ignora que, al extraer sin reemplazo de un lote pequeño, encontrar un defectuoso vuelve más probable encontrar los siguientes. La aproximación binomial solo es buena cuando la muestra es pequeña frente al lote (\(n/N \le 0.1\)); aquí \(n/N = 0.2\), por eso la diferencia es apreciable.

¿En qué situaciones se usa?

  • Muestreo de aceptación de lotes pequeños (inspección sin reemplazo).
  • Auditoría y control: número de registros con error en una muestra de expedientes.
  • Confiabilidad de inventarios: componentes buenos/malos en un almacén finito.

6 Relaciones y aproximaciones entre distribuciones

En ingeniería es frecuente sustituir una distribución por otra más fácil de calcular cuando se cumplen ciertas condiciones. Las tres relaciones más útiles son:

6.1 Hipergeométrica → Binomial

Si la muestra es pequeña frente a la población (\(n/N \le 0.1\)), el muestreo sin reemplazo se parece al muestreo con reemplazo:

\[ H(N, K, n) \;\approx\; Binomial\!\left(n, \; p = \tfrac{K}{N}\right) \]

6.2 Binomial → Poisson (ley de los sucesos raros)

Si \(n\) es grande y \(p\) es pequeño (regla práctica: \(n \ge 100\), \(p \le 0.05\) y \(np < 10\)):

\[ Binomial(n, p) \;\approx\; Poisson(\lambda = np) \]

Ejemplo (errores de bit en una transmisión). Un canal digital tiene una tasa de error de bit \(p = 10^{-3}\). Se transmite un paquete de \(n = 1000\) bits. Sea \(X\) el número de bits erróneos. Entonces \(X \sim Binomial(1000, 10^{-3})\), con \(np = 1\), así que \(X \approx Poisson(1)\).

n <- 1000; p <- 1e-3; lambda <- n*p

# P(0 errores) y P(a lo sumo 2 errores): exacta (binomial) vs. aproximada (Poisson)
rbind(
  Binomial = c(P0 = dbinom(0, n, p), P_le2 = pbinom(2, n, p)),
  Poisson  = c(P0 = dpois(0, lambda), P_le2 = ppois(2, lambda))
)
##                 P0     P_le2
## Binomial 0.3676954 0.9197907
## Poisson  0.3678794 0.9196986

Interpretación. Ambos modelos coinciden hasta la cuarta cifra decimal: la Poisson con \(\lambda = np = 1\) reemplaza perfectamente a la binomial y evita calcular coeficientes \(\binom{1000}{x}\).

6.3 Binomial → Normal

Si \(n\) es grande con \(p\) no extremo (\(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\)):

\[ Binomial(n, p) \;\approx\; N\!\big(np, \; np(1-p)\big) \]

(conviene aplicar corrección por continuidad al pasar de discreta a continua).

7 Tabla resumen (guía de decisión)

Distribución Notación ¿Cuándo usarla? \(E(X)\) \(Var(X)\) Función en R
Uniforme discreta \(U_d(a,b)\) Resultados finitos equiprobables \(\dfrac{a+b}{2}\) \(\dfrac{(b-a+1)^2-1}{12}\) sample() / manual
Binomial \(B(n,p)\) \(n\) ensayos independientes, éxito/fracaso, \(p\) constante (con reemplazo) \(np\) \(np(1-p)\) dbinom, pbinom
Poisson \(P(\lambda)\) Conteo de eventos raros en un intervalo fijo, tasa \(\lambda\) constante \(\lambda\) \(\lambda\) dpois, ppois
Hipergeométrica \(H(N,K,n)\) Muestreo sin reemplazo de población finita \(n\dfrac{K}{N}\) \(n\dfrac{K}{N}\!\left(1-\dfrac{K}{N}\right)\dfrac{N-n}{N-1}\) dhyper, phyper

Regla rápida de elección. ¿Cuento cuántos éxitos en un número fijo de intentos? → Binomial (con reemplazo) o Hipergeométrica (sin reemplazo). ¿Cuento cuántos eventos en un intervalo de tiempo/espacio? → Poisson. ¿Todos los resultados son igualmente probables? → Uniforme discreta.

8 Recomendaciones de cálculo

8.1 Uso de la probabilidad complemento

La probabilidad complemento se basa en que:

\[ P(A^c) = 1 - P(A), \qquad P(X > k) = 1 - P(X \leq k) \]

Es más eficiente usar el complemento cuando la suma directa es larga:

\[ P(X > k) = 1 - \sum_{x=0}^{k} P(X = x) \]

  • Preferir el complemento cuando la suma directa es larga o complicada.
  • Es especialmente útil en la binomial y la Poisson.
  • Reduce errores al evitar múltiples sumas.
# Ejemplo binomial: P(X > 4) con n = 10, p = 0.5
1 - pbinom(4, size = 10, prob = 0.5)
## [1] 0.6230469

8.2 Interpretación de expresiones comunes

En probabilidad es fundamental traducir correctamente el lenguaje verbal a notación matemática y a R.

Frase Notación R
A lo sumo / como máximo / menor o igual que \(x\) \(P(X \le x)\) pbinom(x, n, p)
Menos que / estrictamente menor que \(x\) \(P(X < x)=P(X\le x-1)\) pbinom(x-1, n, p)
Por lo menos / como mínimo / mayor o igual que \(x\) \(P(X \ge x)=1-P(X\le x-1)\) 1 - pbinom(x-1, n, p)
Más que / estrictamente mayor que \(x\) \(P(X > x)=1-P(X\le x)\) 1 - pbinom(x, n, p)
Exactamente \(x\) \(P(X = x)\) dbinom(x, n, p)

Recomendación clave. - “A lo sumo” y “al menos” incluyen el valor. - “Más que” y “menos que” no incluyen el valor. - “Exactamente” indica un valor puntual. - El error más común es confundir \(P(X \ge x)\) con \(1 - P(X \le x)\): lo correcto es \(1 - P(X \le x-1)\).

9 Referencias

  • Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers (6th ed.). Hoboken: John Wiley & Sons.

  • Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias (6ª ed.). México: Pearson Educación.

  • Newbold, P., Carlson, W. L., & Thorne, B. M. (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson Educación.

  • Wackerly, D. D., Mendenhall III, W., & Scheaffer, R. L. (2008). Estadística Matemática con Aplicaciones. México: Cengage Learning.

  • Martínez Bencardino, C. (2012). Estadística y Muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones.