Distribusi Probabilitas

1. Variabel Acak

Soal

Klasifikasikan variabel acak berikut menjadi diskrit atau kontinu:

  1. Jumlah komentar per unggahan.

  2. Durasi video yang ditonton (dalam detik).

Jawaban

a. Jumlah komentar per unggahan

Jumlah komentar per unggahan merupakan variabel acak diskrit karena jumlah komentar berupa bilangan bulat yang dapat dihitung.

b. Durasi video yang ditonton

Durasi video yang ditonton merupakan variabel acak kontinu karena durasi dapat memiliki nilai pecahan atau desimal.

2. Distribusi Binomial

Soal

Diketahui bahwa 25% pengguna mengklik sebuah iklan. Jika iklan tersebut ditampilkan kepada 10 pengguna, tentukan:

  1. Peluang tepat 2 pengguna melakukan klik.

  2. Nilai rata-rata (mean).

  3. Standar deviasi.

Jawaban

Diketahui:

  • \(n = 10\)
  • \(p = 0.25\)
n <- 10
p <- 0.25

a. Peluang tepat 2 pengguna melakukan klik

Rumus distribusi binomial dapat dihitung menggunakan fungsi dbinom().

prob_2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
prob_2
## [1] 0.2815676

Hasil perhitungan adalah:

cat("Peluang tepat 2 pengguna melakukan klik =", round(prob_2, 7))
## Peluang tepat 2 pengguna melakukan klik = 0.2815676
cat("\nPersentase =", round(prob_2 * 100, 2), "%")
## 
## Persentase = 28.16 %

Jadi, peluang tepat 2 pengguna melakukan klik adalah 0.2815676 atau 28.16%.

b. Nilai rata-rata

Rumus mean distribusi binomial:

\[ \mu = n \times p \]

mean_binomial <- n * p
mean_binomial
## [1] 2.5

Jadi, nilai rata-rata adalah 2.5 pengguna.

c. Standar deviasi

Rumus standar deviasi distribusi binomial:

\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

sd_binomial <- sqrt(n * p * (1 - p))
sd_binomial
## [1] 1.369306

Jadi, standar deviasinya adalah 1.369306.

3. Distribusi Poisson

Soal

Sebuah server rata-rata menerima 8 unggahan foto setiap menit. Tentukan:

  1. Peluang server menerima tepat 5 unggahan foto dalam satu menit.

  2. Peluang server menerima lebih dari 12 unggahan foto dalam satu menit.

Jawaban

Diketahui:

  • \(\lambda = 8\)
lambda <- 8

a. Peluang tepat 5 unggahan foto

Peluang tepat 5 unggahan dapat dihitung menggunakan fungsi dpois().

prob_5 <- dpois(5, lambda = lambda)
prob_5
## [1] 0.09160366

Untuk menampilkan hasil dengan lebih rapi:

cat("Peluang tepat 5 unggahan foto =", round(prob_5, 8))
## Peluang tepat 5 unggahan foto = 0.09160366
cat("\nPersentase =", round(prob_5 * 100, 2), "%")
## 
## Persentase = 9.16 %

Jadi, peluang server menerima tepat 5 unggahan foto adalah 0.09160366 atau 9.16%.

b. Peluang lebih dari 12 unggahan foto

Peluang lebih dari 12 unggahan dapat dihitung dengan:

\[ P(X > 12) = 1 - P(X \leq 12) \]

prob_more_12 <- 1 - ppois(12, lambda = lambda)
prob_more_12
## [1] 0.0637972

Untuk menampilkan hasil dengan lebih rapi:

cat("Peluang lebih dari 12 unggahan foto =", round(prob_more_12, 8))
## Peluang lebih dari 12 unggahan foto = 0.0637972
cat("\nPersentase =", round(prob_more_12 * 100, 2), "%")
## 
## Persentase = 6.38 %

Jadi, peluang server menerima lebih dari 12 unggahan foto adalah 0.06379744 atau 6.38%.

4. Distribusi Normal dan Standardisasi Z

Soal

Waktu pemuatan halaman suatu aplikasi berdistribusi normal dengan rata-rata 3 detik dan standar deviasi 0.5 detik.

Tentukan:

  1. Peluang waktu pemuatan halaman lebih dari 4 detik.

  2. Batas waktu untuk 5% pemuatan halaman yang paling lambat.

Jawaban

Diketahui:

  • \(\mu = 3\)
  • \(\sigma = 0.5\)
mu <- 3
sigma <- 0.5

a. Peluang waktu pemuatan halaman lebih dari 4 detik

Peluang dapat dihitung menggunakan fungsi pnorm():

prob_more_4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)
prob_more_4
## [1] 0.02275013

Untuk menampilkan hasil dengan lebih rapi:

cat("Peluang waktu pemuatan lebih dari 4 detik =",
    round(prob_more_4, 8))
## Peluang waktu pemuatan lebih dari 4 detik = 0.02275013
cat("\nPersentase =", round(prob_more_4 * 100, 2), "%")
## 
## Persentase = 2.28 %

Jadi, peluang waktu pemuatan halaman lebih dari 4 detik adalah 0.02275013 atau 2.28%.

Nilai Z untuk X = 4

Rumus standardisasi Z:

\[ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \]

z <- (4 - mu) / sigma
z
## [1] 2

Jadi, nilai \(Z\) untuk \(X = 4\) adalah 2.

b. Batas waktu untuk 5% pemuatan halaman yang paling lambat

Karena 5% pemuatan halaman paling lambat berada di atas persentil ke-95, maka kita mencari nilai \(Z\) pada probabilitas 0.95.

z_95 <- qnorm(0.95)
z_95
## [1] 1.644854

Nilai Z yang diperoleh adalah:

\[ Z_{0.95} = 1.644854 \]

Selanjutnya, hitung batas waktunya menggunakan:

\[ X = \mu + Z\sigma \]

x_95 <- mu + z_95 * sigma
x_95
## [1] 3.822427

Untuk menampilkan hasil dengan dua angka di belakang koma:

cat("Batas waktu =", round(x_95, 2), "detik")
## Batas waktu = 3.82 detik

Jadi, batas waktu untuk 5% pemuatan halaman yang paling lambat adalah sekitar 3.82 detik.

Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan di atas:

Distribusi Hasil
Binomial – tepat 2 klik 0.2815676 (28.16%)
Binomial – mean 2.5 pengguna
Binomial – standar deviasi 1.369306
Poisson – tepat 5 unggahan 0.09160366 (9.16%)
Poisson – lebih dari 12 unggahan 0.06379744 (6.38%)
Normal – lebih dari 4 detik 0.02275013 (2.28%)
Normal – nilai Z untuk 4 detik 2
Normal – persentil ke-95 3.82 detik