選擇統計方法

這題只看 ESCS 一個連續變項。要做的事就是先把每個人的分數換成 z 分數，再算這組 z 分數的平均數和標準差，最後畫直方圖，看它長什麼樣子。這是在做標準化，看看每個人離這批人的平均有幾個標準差。

算法是：一個人的 ESCS，減掉這份樣本的平均數，再除以標準差。標準差用 R 的 sd()，分母是 n − 1。算完以後，整組 z 分數的平均數會落到 0，標準差會落到 1。題目要報到小數兩位，其實就是在檢查有沒有算對。0 就是這批學生的平均位置，1 就是比平均高一個標準差。

直方圖用來看高峰在哪、左右平不平、兩端有沒有拖很長。z 分數只是把單位換掉，形狀還是原來的 ESCS，所以圖不會因此變成常態分布。

資料型態判斷

ESCS（Index of economic, social and cultural status）是經濟、社會與文化地位的綜合指數。PISA 把它做成連續分數，OECD 平均大概在 0、標準差大概是 1，所以比平均低的人會出現負數。這裡的負數是正常分數，代表比國際平均低。

因為它是可以有小數的連續分數，我用平均數、標準差和直方圖來看。z 分數就是拿這個分數去減平均、再除以標準差，算出來還是連續的。除的時候標準差要大於 0；這份資料裡大家的 ESCS 有高有低，所以除得下去。

檔案標籤裡的 95、97、98、99 是跳答、不適用、無效、沒作答。這些如果留在資料裡，平均數和標準差會被拉得很誇張，z 分數也會跟著錯，所以分析前先改成遺漏。

載入套件

haven 用來讀 SPSS 的 .sav。dplyr 用來挑欄位、改代碼、算 z 分數和做摘要。ggplot2 畫直方圖。knitr 的 kable() 把表排整齊。moments 算偏態，看圖是往左歪還是往右歪。

Windows 畫圖時不認得「微軟正黑體」這個名字，所以先用 windowsFonts() 登記成 JhengHei，圖上的中文才不會變成方框。theme_set() 是一次把後面所有圖的底色和字級設好。

library(haven)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(knitr)
library(moments)

if (.Platform$OS.type == "windows") {
  windowsFonts(JhengHei = windowsFont("Microsoft JhengHei"))
  base_family <- "JhengHei"
} else {
  base_family <- ""
}
theme_set(
  theme_minimal(base_size = 12, base_family = base_family) +
    theme(
      plot.title = element_text(face = "bold"),
      panel.grid.minor = element_blank()
    )
)

讀檔，並把特殊代碼改成遺漏

read_sav() 把 PISA_tawian2022_trimmed_lab.sav 讀進來。%>% 就是把左邊算出來的東西交給右邊。transmute() 只留 ESCS，其他欄位先拿掉。as.numeric() 把 SPSS 的標籤去掉，後面才能直接算平均數和標準差。if_else() 看到 95、97、98、99 就改成 NA。這份檔其實沒有這些代碼，還是先處理，免得以後被當成真的分數。

raw <- read_sav("PISA_tawian2022_trimmed_lab.sav")

dat <- raw %>%
  transmute(
    escs = if_else(ESCS %in% c(95, 97, 98, 99), NA_real_, as.numeric(ESCS))
  )

cat("有效樣本：", sum(!is.na(dat$escs)),
    "；遺漏：", sum(is.na(dat$escs)), "\n")
## 有效樣本： 5599 ；遺漏： 0

計算 z 分數

先用 mean() 和 sd() 算出有效樣本的 ESCS 平均數和標準差，再代進公式。na.rm = TRUE 的意思是算的時候跳過遺漏值。公式裡用的是完整數字，畫面上的小數兩位只是給人看的，不能先四捨五入再去除。

mutate() 幫每個人加一欄 z_escs。z 是正的，代表這個人比這批學生的平均高；是負的，代表比平均低；數字離 0 越遠，就離平均越遠。下面先印出拿來計算的平均數和標準差，再列前 6 筆對一下公式。真正的摘要還是用全部人，這 6 筆只是範例。

小數兩位交給 fmt2()。z 分數的平均數在電腦裡會是一個非常接近 0 的小負數，直接四捨五入會印成 -0.00，看起來像算錯。所以這個函式如果看到 -0.00，就改印成 0.00。代進公式的還是沒有四捨五入的數。

fmt2 <- function(x) {
  out <- sprintf("%.2f", round(as.numeric(x), 2))
  out[out == "-0.00"] <- "0.00"
  out
}

escs_mean <- mean(dat$escs, na.rm = TRUE)
escs_sd <- sd(dat$escs, na.rm = TRUE)

dat <- dat %>%
  mutate(z_escs = (escs - escs_mean) / escs_sd)

cat("計算 z 用的 ESCS 平均數：", fmt2(escs_mean),
    "；標準差：", fmt2(escs_sd), "\n")
## 計算 z 用的 ESCS 平均數： -0.27 ；標準差： 0.91
example_z <- dat %>%
  filter(!is.na(z_escs)) %>%
  slice_head(n = 6) %>%
  transmute(
    ESCS = fmt2(escs),
    z分數 = fmt2(z_escs)
  )

kable(example_z, caption = "前 6 筆有效資料的 ESCS 與 z 分數（小數兩位，只用來對照公式）")
前 6 筆有效資料的 ESCS 與 z 分數（小數兩位，只用來對照公式）
ESCS z分數
-0.32 -0.06
0.16 0.47
-0.57 -0.34
-0.82 -0.60
0.51 0.86
0.29 0.62

z 分數的平均數與標準差

summarise() 把全部有效的 z 分數再算一次平均數和標準差。照公式，這兩個數應該是 0 和 1。最小值和最大值是看圖的兩端有多遠；中位數和偏態是看左右對不對稱。abs(z_escs) <= 1 是在數離平均不超過一個標準差的人，再換成百分比。moments::skewness() 接近 0 就是大致左右對稱；負的是左偏，正的是右偏。

z_stats <- dat %>%
  summarise(
    人數 = sum(!is.na(z_escs)),
    平均數 = mean(z_escs, na.rm = TRUE),
    標準差 = sd(z_escs, na.rm = TRUE),
    最小值 = min(z_escs, na.rm = TRUE),
    最大值 = max(z_escs, na.rm = TRUE),
    中位數 = median(z_escs, na.rm = TRUE),
    偏態 = moments::skewness(z_escs, na.rm = TRUE),
    正負1以內 = mean(abs(z_escs) <= 1, na.rm = TRUE) * 100,
    正負2以內 = mean(abs(z_escs) <= 2, na.rm = TRUE) * 100
  )

kable(
  z_stats %>%
    select(人數, 平均數, 標準差, 最小值, 最大值, 中位數, 偏態) %>%
    mutate(across(-人數, \(x) fmt2(x))),
  caption = "ESCS 的 z 分數摘要（小數兩位）"
)
ESCS 的 z 分數摘要（小數兩位）
人數 平均數 標準差 最小值 最大值 中位數 偏態
5599 0.00 1.00 -3.94 4.94 0.04 -0.18

圖表繪製說明

z 分數是連續的，所以用直方圖看分布，縱軸用次數，直接看每一段有幾個人。binwidth = 0.5 是每一柱寬 0.5 個標準差。這批分數大概從 −4 到 5，這個寬度看得到中間的山峰，兩端也不會被切得太碎。center = 0 是讓其中一柱以 0 當中心，平均數才會落在中間那一柱裡面。

geom_vline() 加兩條線幫忙看。紅虛線是平均數，也就是 0。青點線是中位數。兩條線幾乎疊在一起，就表示平均數和中位數很接近。labs() 是在寫圖的標題和軸的名字。

ggplot(dat, aes(x = z_escs)) +
  geom_histogram(
    binwidth = 0.5,
    center = 0,
    fill = "#4C78A8",
    color = "white"
  ) +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed", color = "#E45756") +
  geom_vline(xintercept = z_stats$中位數, linetype = "dotted", color = "#72B7B2") +
  labs(
    title = "ESCS 的 z 分數直方圖",
    subtitle = "每一柱寬 0.5；紅虛線 = 平均數 0；青點線 = 中位數",
    x = "z 分數",
    y = "次數"
  )

資料分析摘要

有效樣本有 5599 人，沒有遺漏。z 分數的平均數是 0.00，標準差是 1.00，跟公式預期的一樣。拿來算 z 的 ESCS 平均數是 -0.27，標準差是 0.91。z 分數最小是 -3.94，最大是 4.94，中位數是 0.04，偏態是 -0.18。有 64.60% 的人落在 −1 到 1，97.04% 的人落在 −2 到 2。

直方圖是單峰，中間凸起來，0 附近最高，而且最高的那一柱在 0 的右邊一點，往兩邊就降下來。平均數比中位數低一點點，偏態是負的，所以整體大致對稱，只是略為左偏。右邊最遠有極少數人接近 5，左邊 −3 到 −1 的人比較多，把平均數輕輕往左拉。大部分人還是集中在 −2 到 2。z 分數只是把原來的 ESCS 改成「平均是 0、標準差是 1」這種單位，形狀還是原來那樣。

完整最終回答

這份資料是 PISA 2022 的臺灣樣本，看的是 ESCS，也就是一個連續的社經地位指數。我先把 95、97、98、99 當成遺漏，實際上沒有人是這些代碼，有效人數還是 5599。z 分數用這份樣本的平均數 -0.27 和標準差 0.91 來算，公式是 (ESCS − 平均數) / 標準差。算出來整組的平均數是 0.00、標準差是 1.00，跟標準化該有的結果一樣：0 是這批學生的平均，1 是比平均高一個標準差。

直方圖長得像中間凸起來的一座山，高峰在 0 附近，還稍微偏到右邊，往兩邊下降。中位數是 0.04，偏態是 -0.18，所以大致對稱、略為左偏。大概 64.60% 的人離平均不到一個標準差，大概 97.04% 的人在兩個標準差以內。最小值是 -3.94，最大值是 4.94，兩端還是有離平均比較遠的人。

所以某位學生的 z 分數，就是在說他的經濟、社會與文化地位比這批臺灣學生的平均高或低幾個標準差。圖的形狀跟原來的 ESCS 一樣，標準化只是換了單位。