Criterio para seleccionar la distribución

Antes de resolver los ejercicios se utiliza una función que permite seleccionar la distribución de probabilidad de acuerdo con la relación entre el tamaño de la muestra \(n\) y el tamaño del lote \(N\).

Se define:

\[ r=\frac{n}{N} \]

El criterio implementado en el código es el siguiente:

Si \(\frac{n}{N}>0.1\), se utiliza la distribución hipergeométrica.
Si \(\frac{n}{N}\leq 0.1\) y \(n\left(\frac{n}{N}\right)>1\), se utiliza la distribución de Poisson.
En los demás casos donde \(\frac{n}{N}\leq 0.1\), se utiliza la distribución binomial.

seleccionar_distribucion <- function(n, N) {

  r <- n / N

  # 1. Hipergeométrica: si n/N > 0.1
  if (r > 0.1) {
    return("Hipergeométrica")
  }

  # 2. Poisson: si n/N <= 0.1 y n*(n/N) > 1
  if (r <= 0.1 && n*r > 1) {
    return("Poisson")
  }

  # 3. Binomial: si n/N <= 0.1
  if (r <= 0.1) {
    return("Binomial")
  }
}

Ejercicio 1 - Plan de muestreo simple

El plan propuesto consiste en tomar una muestra de \(n=50\) unidades y aceptar el lote cuando se encuentra como máximo \(c=1\) unidad defectuosa. Por tanto:

\[ n=50, \qquad c=1 \]

El nivel de calidad límite indicado es:

\[ LTPD=0.075 \]

Como el lote se considera muy grande, la variable aleatoria correspondiente al número de unidades defectuosas encontradas en la muestra puede aproximarse mediante una distribución binomial:

\[ X\sim Binomial(n,p) \]

La probabilidad de observar exactamente \(x\) defectuosos es:

\[ P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Como el lote se acepta si se encuentran como máximo \(c\) defectuosos, la probabilidad de aceptación es:

\[ P_a=P(X\leq c) \]

\[ P_a=P(X\leq 1) \]

Datos

n <- 50
c <- 1

# Para los cálculos que requieren tamaño de lote,
# se supone un lote suficientemente grande.
N <- 100000

# Nivel de calidad límite
LTPD <- 0.075

a) Curva característica de operación - OC

La curva característica de operación, también llamada curva OC, muestra la probabilidad de aceptar un lote para diferentes proporciones de unidades defectuosas \(p\).

Matemáticamente:

\[ P_a(p)=P(X\leq c) \]

Para un plan binomial con \(n=50\) y \(c=1\):

\[ P_a(p)= \sum_{x=0}^{1} \binom{50}{x}p^x(1-p)^{50-x} \]

Se evalúa la probabilidad de aceptación para valores de \(p\) entre 0 y 0.14.

# Proporción de artículos defectuosos
P <- seq(0.000, 0.140, 0.001)

# Probabilidad de aceptación
Pa <- pbinom(c, n, P, lower.tail = TRUE)

# Gráfica OC
plot(P, Pa,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos (calidad de entrada)",
     ylab = "Probabilidad de aceptación",
     main = "Curva característica de operación - OC")
grid()

La curva OC disminuye a medida que aumenta la proporción de unidades defectuosas. Esto refleja que un lote con peor calidad tiene una menor probabilidad de ser aceptado.

Curva de calidad promedio de salida - AOQ

La calidad promedio de salida, AOQ, representa la proporción promedio de defectuosos que permanece después de aplicar un esquema de inspección rectificadora.

En forma general:

\[ AOQ=pP_a\left(\frac{N-n}{N}\right) \]

Debido a que se trabaja con un lote supuesto de \(N=100000\) unidades y una muestra de solo \(n=50\), se cumple:

\[ \frac{N-n}{N}\approx 1 \]

Por ello, en el código se utiliza la aproximación:

\[ AOQ\approx pP_a \]

# Calidad promedio de salida
AOQ <- Pa * P

# Máxima calidad promedio de salida
AOQL <- max(AOQ)

AOQL

## [1] 0.01669696

AOQL * 100

## [1] 1.669696

# Proporción de entrada donde ocurre el AOQL
P_AOQL <- P[which.max(AOQ)]

P_AOQL

## [1] 0.032

El valor máximo de la curva AOQ se denomina AOQL (Average Outgoing Quality Limit) y corresponde a la peor calidad promedio de salida que puede producir el plan.

plot(P, AOQ,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos (calidad de entrada)",
     ylab = "AOQ (calidad de salida)",
     main = "Curva AOQ")

# Línea AOQL
abline(h = AOQL,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 2)

# Línea sin inspección
lines(P, P,
      col = 3,
      lwd = 2,
      lty = 3)

legend("topright",
       legend = c("AOQ", "AOQL", "Sin inspección"),
       lty = c(1, 2, 3),
       col = c(1, 2, 3),
       lwd = 2,
       bty = "n")

grid()

Curva de inspección total promedio - ATI

El ATI (Average Total Inspection) representa el número promedio de unidades que deben inspeccionarse por lote.

Si el lote es aceptado, solamente se inspeccionan las \(n\) unidades de la muestra. Si el lote es rechazado, se supone inspección total del lote.

Por tanto:

\[ ATI=nP_a+N(1-P_a) \]

donde:

\(n\): tamaño de la muestra.
\(N\): tamaño del lote.
\(P_a\): probabilidad de aceptación.
\(1-P_a\): probabilidad de rechazo.

ATI <- n * Pa + N * (1 - Pa)

plot(P, ATI,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos (calidad de entrada)",
     ylab = "ATI (número esperado de unidades a inspeccionar)",
     main = "Curva ATI",
     ylim = c(0, N))

grid()

Cuando la calidad de entrada es buena, la mayoría de los lotes son aceptados y el ATI se aproxima al tamaño de la muestra. A medida que aumenta la proporción defectuosa, aumenta la probabilidad de rechazo y, por tanto, el ATI se acerca al tamaño total del lote.

Tablero gráfico OC, AOQ y ATI

A continuación se presentan conjuntamente las tres curvas principales del desempeño del plan.

par(mfrow = c(1, 3))

# 1. Curva OC
plot(P, Pa,
     type = "l",
     lwd = 2,
     main = "OC",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "Pa")
grid()

# 2. Curva AOQ
plot(P, AOQ,
     type = "l",
     lwd = 2,
     main = "AOQ",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "AOQ")

abline(h = AOQL,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 2)

lines(P, P,
      col = 3,
      lwd = 2,
      lty = 3)
grid()

# 3. Curva ATI
plot(P, ATI,
     type = "l",
     lwd = 2,
     main = "ATI",
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "ATI",
     ylim = c(0, N))
grid()

par(mfrow = c(1, 1))

b) Máxima proporción de unidades defectuosas

La máxima proporción promedio de defectuosos que se espera obtener después de implementar el plan corresponde al máximo de la curva AOQ, es decir, al AOQL:

\[ AOQL=\max(AOQ) \]

AOQL

## [1] 0.01669696

AOQL * 100

## [1] 1.669696

P_AOQL

## [1] 0.032

Respuesta: La máxima proporción promedio de unidades defectuosas que se espera obtener después de implementar el plan es aproximadamente 1.67 %. Este valor corresponde al AOQL, es decir, la peor calidad promedio de salida esperada bajo el plan de muestreo.

c) Número esperado de unidades inspeccionadas cuando \(p=7\%\)

Para una proporción defectuosa de:

\[ p=0.07 \]

primero se calcula la probabilidad de aceptación:

\[ P_a=P(X\leq1), \qquad X\sim Binomial(50,0.07) \]

Pa_0.07 <- pbinom(c,
                  n,
                  0.07,
                  lower.tail = TRUE)

Pa_0.07

## [1] 0.1264935

Pa_0.07 * 100

## [1] 12.64935

Luego se utiliza la expresión del ATI:

\[ ATI=nP_a+N(1-P_a) \]

ATI_0.07 <- n * Pa_0.07 +
  N * (1 - Pa_0.07)

ATI_0.07

## [1] 87356.97

ceiling(ATI_0.07)

## [1] 87357

plot(P, ATI,
     type = "l",
     lwd = 2,
     xlab = "Proporción de defectos",
     ylab = "ATI",
     main = "ATI para p = 7%",
     ylim = c(0, N))

abline(v = 0.07,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 3)

abline(h = ATI_0.07,
       col = 2,
       lwd = 2,
       lty = 3)

grid()

Respuesta: Tomando \(N=100000\) unidades para calcular el ATI, cuando la proporción defectuosa es del 7 %, se espera inspeccionar aproximadamente 87,357 unidades. Esto ocurre porque la probabilidad de aceptar un lote con ese nivel de defectuosos es baja, por lo que una gran proporción de los lotes termina siendo rechazada y sometida a inspección total.

d) Riesgo del comprador

El riesgo del comprador o riesgo del consumidor, denotado por \(\beta\), es la probabilidad de aceptar un lote cuya calidad se encuentra en el nivel de calidad límite o rechazable.

\[ \beta=P(\text{aceptar lote}\mid p=LTPD) \]

Como el lote se acepta con \(1\) o menos defectuosos:

\[ \beta=P(X\leq1) \]

con:

\[ X\sim Binomial(50,0.075) \]

beta <- pbinom(c,
               n,
               LTPD,
               lower.tail = TRUE)

beta

## [1] 0.1025006

beta * 100

## [1] 10.25006

# Probabilidad de rechazo
1 - beta

## [1] 0.8974994

(1 - beta) * 100

## [1] 89.74994

Respuesta: El riesgo del comprador o riesgo del consumidor es aproximadamente 10.25 %. Esto significa que existe una probabilidad del 10.25 % de aceptar un lote que tenga el nivel de calidad rechazable de 7.5 % de unidades defectuosas. Por lo tanto, el plan rechaza aproximadamente el 89.75 % de los lotes con esa calidad. El plan ofrece una protección considerable al comprador, aunque todavía existe alrededor de una posibilidad entre diez de aceptar un lote considerado perjudicial.

e) Comparación de planes alternativos

Se comparan los siguientes planes:

Plan original: \(n=50,\;c=1\).
Aumentar la muestra a \(n=60\), manteniendo \(c=1\).
Mantener \(n=50\), pero aceptar únicamente cuando \(c=0\).

El criterio de comparación será el riesgo del consumidor:

\[ \beta=P(X\leq c\mid p=LTPD) \]

Un valor menor de \(\beta\) implica una menor probabilidad de aceptar lotes con una calidad considerada perjudicial.

# Plan original
n1 <- 50
c1 <- 1

# Alternativa 1: aumentar muestra a 60
n2 <- 60
c2 <- 1

# Alternativa 2: mantener n = 50 y aceptar 0 defectos
n3 <- 50
c3 <- 0

# Riesgo del consumidor para cada plan
beta_1 <- pbinom(c1,
                 n1,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_2 <- pbinom(c2,
                 n2,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_3 <- pbinom(c3,
                 n3,
                 LTPD,
                 lower.tail = TRUE)

beta_1

## [1] 0.1025006

beta_2

## [1] 0.05454588

beta_3

## [1] 0.02028087

tabla_planes <- data.frame(
  Plan = c("Original",
           "Aumentar muestra",
           "Aceptar 0 defectos"),
  n = c(n1, n2, n3),
  c = c(c1, c2, c3),
  Beta = c(beta_1, beta_2, beta_3)
)

tabla_planes$Beta_porcentaje <-
  round(tabla_planes$Beta * 100, 2)

knitr::kable(
  tabla_planes,
  digits = 4,
  caption = "Comparación del riesgo del consumidor para los tres planes"
)

Comparación del riesgo del consumidor para los tres planes
Plan	n	c	Beta	Beta_porcentaje
Original	50	1	0.1025	10.25
Aumentar muestra	60	1	0.0545	5.45
Aceptar 0 defectos	50	0	0.0203	2.03

Respuesta: Si se aumenta el tamaño de la muestra a 60 unidades manteniendo \(c=1\), el riesgo del consumidor disminuye aproximadamente a 5.45 %. En cambio, si se conserva una muestra de 50 unidades y se acepta únicamente cuando no se encuentra ningún defectuoso \((c=0)\), el riesgo disminuye aproximadamente a 2.03 %. Por lo tanto, recomendaría el plan \(n=50,\;c=0\), ya que brinda una mayor protección al comprador y además no requiere aumentar el tamaño de la muestra.

Ejercicio 2 - Riesgo del productor y del consumidor

El lote contiene:

\[ N=40000 \]

y se toma una muestra de:

\[ n=1500 \]

El lote se acepta cuando se encuentran como máximo 14 artículos defectuosos:

\[ c=14 \]

El nivel de calidad aceptable es:

\[ AQL=0.01 \]

y el nivel de calidad rechazable es cuatro veces el AQL:

\[ LTPD=4(AQL)=4(0.01)=0.04 \]

Datos

# Tamaño del lote
N <- 40000

# Tamaño de muestra
n <- 1500

# Se acepta con 14 o menos defectuosos
c <- 14

# Nivel de calidad aceptable
AQL <- 0.01

# Nivel de calidad rechazable
LTPD <- 4 * AQL

LTPD

## [1] 0.04

Selección de la distribución

Se calcula:

\[ \frac{n}{N}=\frac{1500}{40000}=0.0375 \]

Según el criterio implementado en la función de selección, para este caso se trabaja con una aproximación de Poisson.

seleccionar_distribucion(n, N)

## [1] "Poisson"

Para una distribución de Poisson:

\[ P(X=x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} \]

donde:

\[ \lambda=np \]

Riesgo del productor

El riesgo del productor, \(\alpha\), es la probabilidad de rechazar un lote cuando realmente cumple con el nivel de calidad aceptable.

\[ \alpha=P(\text{rechazar}\mid AQL) \]

Como se acepta con 14 o menos defectuosos, se rechaza cuando:

\[ X\geq 15 \]

Por tanto:

\[ \alpha=P(X\geq15)=1-P(X\leq14) \]

Para \(p=AQL=0.01\):

\[ \lambda_{AQL}=n(AQL) \]

\[ \lambda_{AQL}=1500(0.01)=15 \]

lambda_AQL <- n * AQL

lambda_AQL

## [1] 15

# alpha = P(rechazar | AQL)
alpha <- 1 - ppois(c, lambda_AQL)

alpha

## [1] 0.5343463

alpha * 100

## [1] 53.43463

Riesgo del consumidor

El riesgo del consumidor, \(\beta\), es la probabilidad de aceptar un lote cuando presenta el nivel de calidad rechazable.

\[ \beta=P(\text{aceptar}\mid LTPD) \]

Como el lote se acepta con 14 o menos defectuosos:

\[ \beta=P(X\leq14) \]

Para \(p=LTPD=0.04\):

\[ \lambda_{LTPD}=n(LTPD) \]

\[ \lambda_{LTPD}=1500(0.04)=60 \]

lambda_LTPD <- n * LTPD

lambda_LTPD

## [1] 60

# beta = P(aceptar | LTPD)
beta <- ppois(c, lambda_LTPD)

beta

## [1] 1.020276e-12

beta * 100

## [1] 1.020276e-10

Resumen de resultados

tabla_riesgos <- data.frame(
  Riesgo = c("Productor", "Consumidor"),
  Probabilidad = c(alpha, beta),
  Porcentaje = c(alpha * 100, beta * 100)
)

knitr::kable(
  tabla_riesgos,
  digits = 10,
  caption = "Riesgo del productor y del consumidor"
)

Riesgo del productor y del consumidor
Riesgo	Probabilidad	Porcentaje
Productor	0.5343463	5.343463e+01
Consumidor	0.0000000	1.000000e-10

Conclusión del ejercicio 2

El plan está a favor del consumidor y es demasiado exigente con los productores. En los porcentajes se puede observar cómo el riesgo de que el lote sea rechazado, aun si cumple con el nivel de calidad aceptable del 1 %, es de aproximadamente 53.43 %, que es un valor alto para los productores.

Por otro lado, el riesgo del consumidor es aproximadamente 0 %, lo que implica que si el lote tiene el nivel de calidad rechazable del 4 %, la probabilidad de aceptarlo es prácticamente nula.

En consecuencia, el plan ofrece una protección muy alta para el consumidor, pero genera un riesgo considerable para un productor que sí esté trabajando alrededor del nivel de calidad aceptable.

Ejercicio 3 - Plan de muestreo doble

Se trabaja con lotes de:

\[ N=500 \]

y con el siguiente plan doble:

Primera muestra:

\[ n_1=10,\qquad Ac_1=0,\qquad Re_1=2 \]

Segunda muestra:

\[ n_2=20,\qquad Ac_2=1,\qquad Re_2=2 \]

El nivel de calidad aceptable pactado es:

\[ AQL=0.05 \]

El funcionamiento del plan es:

Si en la primera muestra aparece \(d_1=0\), el lote se acepta inmediatamente.
Si aparece \(d_1=1\), se toma una segunda muestra.
Si aparecen \(d_1\geq2\), el lote se rechaza.
Después de la segunda muestra, el número acumulado máximo para aceptar es 1. Por tanto, si ya apareció 1 defectuoso en la primera muestra, la segunda muestra debe contener 0 defectuosos para que el lote sea aceptado.

Datos

N <- 500

# Primera muestra
n1 <- 10
c1 <- 0
r1 <- 2

# Segunda muestra
n2 <- 20
c2 <- 1
r2 <- 2

# Nivel de calidad aceptable
AQL <- 0.05

Probabilidad de aceptación en la primera muestra

La aceptación inmediata ocurre cuando:

\[ d_1=0 \]

Por tanto:

\[ P_{a1}=P(d_1=0) \]

con:

\[ d_1\sim Binomial(10,0.05) \]

Pa1 <- dbinom(0, n1, AQL)

Pa1

## [1] 0.5987369

Pa1 * 100

## [1] 59.87369

Probabilidad de continuar a segunda muestra

Se continúa a la segunda muestra solamente cuando:

\[ d_1=1 \]

Entonces:

\[ P(\text{continuar})=P(d_1=1) \]

P_continuar <- dbinom(1, n1, AQL)

P_continuar

## [1] 0.3151247

P_continuar * 100

## [1] 31.51247

Probabilidad de aceptación en la segunda muestra

Si en la primera muestra ya se observó un defectuoso, el total acumulado permitido para aceptar sigue siendo 1. Por tanto, en la segunda muestra deben encontrarse exactamente 0 defectuosos:

\[ P(d_2=0) \]

con:

\[ d_2\sim Binomial(20,0.05) \]

P_aceptar_segunda <- dbinom(0, n2, AQL)

P_aceptar_segunda

## [1] 0.3584859

P_aceptar_segunda * 100

## [1] 35.84859

La probabilidad de llegar a la segunda muestra y finalmente aceptar es:

\[ P_{a2} = P(d_1=1)\,P(d_2=0) \]

Pa2 <- P_continuar * P_aceptar_segunda

Pa2

## [1] 0.1129678

Pa2 * 100

## [1] 11.29678

Probabilidad total de aceptación

Un lote puede ser aceptado por dos caminos:

Aceptación directa en la primera muestra.
Continuación a segunda muestra y aceptación posterior.

Por tanto:

\[ P_a=P_{a1}+P_{a2} \]

Pa <- Pa1 + Pa2

Pa

## [1] 0.7117047

Pa * 100

## [1] 71.17047

Probabilidad de rechazo de un lote

La probabilidad de rechazo es el complemento de la probabilidad de aceptación:

\[ P_r=1-P_a \]

Pr <- 1 - Pa

Pr

## [1] 0.2882953

Pr * 100

## [1] 28.82953

Probabilidad de cancelación del contrato

Durante el periodo de prueba se reciben 10 lotes.

El contrato se cancela si se rechazan al menos 2 lotes.

Sea:

\[ Y=\text{número de lotes rechazados durante los 10 lotes de prueba} \]

Entonces:

\[ Y\sim Binomial(10,P_r) \]

Se desea calcular:

\[ P(Y\geq2) \]

Usando el complemento:

\[ P(Y\geq2) = 1-P(Y\leq1) \]

es decir:

\[ P(Y\geq2) = 1-\left[P(Y=0)+P(Y=1)\right] \]

P_cancelar <- 1 - pbinom(1, 10, Pr)

P_cancelar

## [1] 0.8315946

P_cancelar * 100

## [1] 83.15946

Conclusión del ejercicio 3

Cuando el productor cumple con el nivel de calidad pactado del 5 % de unidades defectuosas, la probabilidad de aceptar un lote con el plan de muestreo doble es aproximadamente 71.17 %, mientras que la probabilidad de rechazarlo es aproximadamente 28.83 %.

Como durante el periodo de prueba se reciben 10 lotes y el contrato se cancela si se rechazan al menos 2, la probabilidad de cancelación resulta aproximadamente 83.16 %.

Esto significa que existe una probabilidad bastante alta de cancelar el contrato aun cuando el productor esté cumpliendo con el nivel de calidad acordado. Por lo tanto, la condición establecida para el periodo de prueba es muy estricta para el productor, ya que el rechazo de lotes puede ocurrir por la variabilidad propia del muestreo y no necesariamente porque el proveedor esté incumpliendo la calidad pactada.

Taller 2 - Desempeño de planes de muestreo

Control de Calidad

Kevin Daniel Diaz Ortega - 2419590 Lili Sofía Cruz García - 2417663
Oscar Eduardo Males Muñoz - 2418427

2026-10-06

Criterio para seleccionar la distribución

Ejercicio 1 - Plan de muestreo simple

Datos

a) Curva característica de operación - OC

Curva de calidad promedio de salida - AOQ

Curva de inspección total promedio - ATI

Tablero gráfico OC, AOQ y ATI

b) Máxima proporción de unidades defectuosas

c) Número esperado de unidades inspeccionadas cuando \(p=7\%\)

d) Riesgo del comprador

e) Comparación de planes alternativos

Ejercicio 2 - Riesgo del productor y del consumidor

Datos

Selección de la distribución

Riesgo del productor

Riesgo del consumidor

Resumen de resultados

Conclusión del ejercicio 2

Ejercicio 3 - Plan de muestreo doble

Datos

Probabilidad de aceptación en la primera muestra

Probabilidad de continuar a segunda muestra

Probabilidad de aceptación en la segunda muestra

Probabilidad total de aceptación

Probabilidad de rechazo de un lote

Probabilidad de cancelación del contrato

Conclusión del ejercicio 3

Taller 2 - Desempeño de planes de muestreo

Control de Calidad

Kevin Daniel Diaz Ortega - 2419590 Lili Sofía Cruz García - 2417663 Oscar Eduardo Males Muñoz - 2418427

2026-10-06

Criterio para seleccionar la distribución

Ejercicio 1 - Plan de muestreo simple

Datos

a) Curva característica de operación - OC

Curva de calidad promedio de salida - AOQ

Curva de inspección total promedio - ATI

Tablero gráfico OC, AOQ y ATI

b) Máxima proporción de unidades defectuosas

c) Número esperado de unidades inspeccionadas cuando \(p=7\%\)

d) Riesgo del comprador

e) Comparación de planes alternativos

Ejercicio 2 - Riesgo del productor y del consumidor

Datos

Selección de la distribución

Riesgo del productor

Riesgo del consumidor

Resumen de resultados

Conclusión del ejercicio 2

Ejercicio 3 - Plan de muestreo doble

Datos

Probabilidad de aceptación en la primera muestra

Probabilidad de continuar a segunda muestra

Probabilidad de aceptación en la segunda muestra

Probabilidad total de aceptación

Probabilidad de rechazo de un lote

Probabilidad de cancelación del contrato

Conclusión del ejercicio 3

Kevin Daniel Diaz Ortega - 2419590 Lili Sofía Cruz García - 2417663
Oscar Eduardo Males Muñoz - 2418427