Omissão

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Centro de Desenvolvimento e Planejamento Regional (CEDEPLAR)

Viés de Omissão

O que muda ?

Professor: Dr. Ramon Gregório Silva

Timóteo - MG
Outubro de 2026

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1 Viés de omissão, como isso pode interferir?

1. O modelo verdadeiro

Considere inicialmente o modelo em que x_1 e x_2 explicam a variável dependente.

$$ y_i = \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \varepsilon_i $$

O objetivo é estimar corretamente o efeito de x_2 sobre y.

$$ \text{efeito verdadeiro de }x_2 = \beta_2 $$

2. A condição antes da omissão

No modelo verdadeiro, assumimos que x_2 não possui relação sistemática com o erro estrutural.

$$ E[x_{2i}\varepsilon_i]=0 $$

Essa condição garante que o erro estrutural não esteja sistematicamente associado à variável explicativa x_2.

3. O que acontece quando x₁ é omitida?

Agora suponha que x_1 seja retirada da regressão.

$$ y_i = b_2^{MQO}x_{2i} + u_i $$

A variável x_1 não desapareceu do processo gerador dos dados. Seu efeito passa a fazer parte do novo termo de erro.

$$ u_i = \beta_1x_{1i} + \varepsilon_i $$

Portanto, depois da omissão, precisamos verificar a relação entre x_2 e o novo erro u.

4. A condição de exogeneidade após a omissão

A condição relevante passa a ser a esperança do produto entre x_2 e o novo erro u.

$$ E[x_{2i}u_i] $$

Substituindo o novo erro:

$$ E[x_{2i}u_i] = E\left[ x_{2i} \left( \beta_1x_{1i} + \varepsilon_i \right) \right] $$

Distribuindo x_2:

$$ E[x_{2i}u_i] = \beta_1E[x_{1i}x_{2i}] + E[x_{2i}\varepsilon_i] $$

Como a condição original estabelece que:

$$ E[x_{2i}\varepsilon_i]=0 $$

obtemos:

$$ E[x_{2i}u_i] = \beta_1E[x_{1i}x_{2i}] $$

5. Como essa relação altera o coeficiente?

O estimador de MQO para o coeficiente de x_2 é:

$$ b_2^{MQO} = \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}y_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2} } $$

Substituindo o modelo verdadeiro e tomando a esperança:

$$ E[b_2^{MQO}] = \beta_2 + \beta_1 \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i} }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2} } $$

Assim, a diferença entre o coeficiente estimado e o verdadeiro é:

$$ E[b_2^{MQO}]-\beta_2 = \beta_1 \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i} }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2} } $$

Como o denominador é positivo, a direção dessa diferença é determinada pelo termo que relaciona β₁ à associação entre x_1 e x_2.

$$ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}>0 $$

6. E como entra a covariância entre x₁ e x₂?

A expressão anterior mostra que a variável omitida interfere no coeficiente de x_2 por meio de sua associação com x_2.

$$ E[x_{2i}u_i] = \beta_1E[x_{1i}x_{2i}] $$

Quando trabalhamos com as variáveis em desvios em relação às suas médias, essa associação é representada pela covariância:

$$ \operatorname{Cov}(x_1,x_2) = E[(x_1-E[x_1])(x_2-E[x_2])] $$

Nesse caso, a relação entre a variável omitida e a variável mantida na regressão aparece diretamente como:

$$ E[x_2u] \propto \beta_1\operatorname{Cov}(x_1,x_2) $$

Portanto, a covariância entre x_1 e x_2 é o mecanismo que determina como o efeito da variável omitida é transferido para o coeficiente de x_2.

7. O que acontece com o coeficiente de x₂?

Escolha a condição observada depois da omissão de x_1. A conclusão será atualizada automaticamente.

Condição após a omissão:

E[x₂u] = 0 E[x₂u] > 0 E[x₂u] < 0

Condição: E[x₂u] = 0

$$ E[x_{2i}u_i]=0 $$

O novo erro continua não relacionado a x_2.

$$ E[b_2^{MQO}]=\beta_2 $$

Conclusão

A omissão de x_1 não altera o coeficiente esperado de x_2. O coeficiente estimado permanece igual ao verdadeiro valor β₂.

$$ \boxed{ E[b_2^{MQO}]-\beta_2=0 } $$

Condição: E[x₂u] > 0

$$ E[x_{2i}u_i]>0 $$

Depois da omissão, x_2 passa a apresentar uma relação positiva com o novo erro.

$$ E[b_2^{MQO}]>\beta_2 $$

A diferença entre o coeficiente estimado e o verdadeiro é positiva.

$$ E[b_2^{MQO}]-\beta_2>0 $$

Conclusão

O coeficiente estimado de x_2 aumenta após a omissão de x_1. A omissão faz com que b₂ de MQO fique acima do verdadeiro β₂.

$$ \boxed{ E[b_2^{MQO}]>\beta_2 } $$

Condição: E[x₂u] < 0

$$ E[x_{2i}u_i]<0 $$

Depois da omissão, x_2 passa a apresentar uma relação negativa com o novo erro.

$$ E[b_2^{MQO}]<\beta_2 $$

A diferença entre o coeficiente estimado e o verdadeiro é negativa.

$$ E[b_2^{MQO}]-\beta_2<0 $$

Conclusão

O coeficiente estimado de x_2 diminui após a omissão de x_1. A omissão faz com que b₂ de MQO fique abaixo do verdadeiro β₂.

$$ \boxed{ E[b_2^{MQO}]<\beta_2 } $$

8. Conclusão final

A interpretação final depende da condição selecionada acima.

Não há alteração no coeficiente

Quando E[x₂u] = 0, a omissão de x_1 não cria uma relação sistemática entre x_2 e o novo erro.

$$ E[x_{2i}u_i]=0 \quad\Longrightarrow\quad E[b_2^{MQO}]=\beta_2 $$

Portanto, o coeficiente estimado de x_2 permanece igual ao verdadeiro coeficiente.

O coeficiente aumenta

Quando E[x₂u] > 0, o novo erro apresenta relação positiva com x_2.

$$ E[x_{2i}u_i]>0 \quad\Longrightarrow\quad E[b_2^{MQO}]>\beta_2 $$

Portanto, após a omissão de x_1, o coeficiente estimado de x_2 fica maior que o seu verdadeiro valor.

A origem desse deslocamento está na incorporação de x_1 ao erro e na associação entre x_1 e x_2.

O coeficiente diminui

Quando E[x₂u] < 0, o novo erro apresenta relação negativa com x_2.

$$ E[x_{2i}u_i]<0 \quad\Longrightarrow\quad E[b_2^{MQO}]<\beta_2 $$

Portanto, após a omissão de x_1, o coeficiente estimado de x_2 fica menor que o seu verdadeiro valor.

A origem desse deslocamento está na incorporação de x_1 ao erro e na associação entre x_1 e x_2.

2 E a variância? E o desvio padrão?

Efeito da omissão de x₁ sobre o desvio-padrão de β₂

Quando x₁ é retirada da regressão, seu efeito passa a fazer parte do termo de erro:

\[ u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i \]

Consequentemente, a variância do novo erro passa a incorporar a variabilidade de x₁:

\[ \sigma_u^2 = \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 \]

O efeito sobre o desvio-padrão de b₂

\[ DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } } \]

No modelo completo, o desvio-padrão seria:

\[ DP(b_2\mid X_1,X_2) = \sqrt{ \frac{\sigma^2} {\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2} } \]

A diferença está justamente no termo adicional:

\[ \beta_1^2\sigma_{x_1}^2 \]

Interpretação

Se x₁ possui efeito sobre y, então β₁ ≠ 0. Ao omitir x₁, sua variabilidade é incorporada ao erro da regressão. O erro torna-se mais disperso e, por consequência, o estimador de β₂ também se torna mais disperso.

\[ DP(b_2^{omitido})> DP(b_2^{completo}) \]

Assim, a omissão de x₁ reduz a precisão da estimativa de β₂.

Em síntese: a variável omitida aumenta o desvio-padrão de b₂ porque parte da variação que antes era explicada pelo modelo passa a ser tratada como erro. Quanto maior for a influência de x₁ sobre y e quanto maior for a variabilidade de x₁, maior tende a ser esse aumento.

3 Quiz Interativo:

Simulado — MQO, Variável Omitida e Precisão

10 questões • Até 3 tentativas por questão

O objetivo é compreender como a omissão de uma variável pode afetar simultaneamente o viés e o desvio-padrão do estimador.

0 de 10 questões concluídas

Questão 01

Pendente

Considere o modelo verdadeiro:

$$y_i = \beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}+\varepsilon_i$$

Suponha que x₁ seja omitida da regressão e que a nova equação seja estimada utilizando apenas x₂. Nesse caso, o novo termo de erro incorpora a variável omitida.

Qual expressão representa corretamente esse novo termo de erro?

A

$$u_i=\varepsilon_i$$

B

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

C

$$u_i=\beta_2x_{2i}+\varepsilon_i$$

D

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}$$

E

$$u_i=\beta_1+\varepsilon_i$$

Quando uma variável explicativa é retirada da regressão, seu efeito não desaparece: ele passa a fazer parte do termo de erro.

Substitua a variável omitida e o erro original na equação verdadeira e reorganize a expressão considerando que apenas x₂ permanece na regressão.

Por que B é a correta?

O modelo verdadeiro é:

$$y_i=\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}+\varepsilon_i$$

Ao retirar x₁ da regressão, o efeito de x₁ não deixa de existir. Ele passa a compor o novo termo de erro:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

Esse é o ponto fundamental da análise de variável omitida: o erro da regressão reduzida passa a conter uma parcela sistemática associada à variável retirada.

Questão 02

Pendente

Após a omissão de x₁, considere o modelo:

$$y_i=b_2^{MQO}x_{2i}+u_i$$

Sabendo que:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

e que a exogeneidade original implica:

$$E[x_{2i}\varepsilon_i]=0$$

qual é a relação correta para a associação entre x₂ e o novo erro?

A

$$E[x_{2i}u_i]=0$$

B

$$E[x_{2i}u_i]=\beta_1E[x_{1i}x_{2i}]$$

C

$$E[x_{2i}u_i]=\beta_2E[x_{2i}^2]$$

D

$$E[x_{2i}u_i]=E[\varepsilon_i^2]$$

E

$$E[x_{2i}u_i]=\beta_1E[x_{1i}]+E[x_{2i}]$$

Substitua a expressão do novo erro dentro de E[x₂u].

Depois da substituição, haverá dois termos. Use a condição E[x₂ε]=0 para eliminar apenas o termo relacionado ao erro original.

Por que B é a correta?

Partindo do novo erro:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

temos:

$$E[x_{2i}u_i] = E[x_{2i}(\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i)]$$

Aplicando a linearidade da esperança:

$$E[x_{2i}u_i] = \beta_1E[x_{1i}x_{2i}] + E[x_{2i}\varepsilon_i]$$

Como E[x₂ε]=0:

$$E[x_{2i}u_i] = \beta_1E[x_{1i}x_{2i}]$$

Questão 03

Pendente

Na regressão sem intercepto, o estimador MQO do coeficiente associado a x₂ pode ser escrito como:

$$b_2^{MQO} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}y_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

Substituindo o modelo verdadeiro e tomando a esperança sob a condição E[x₂ε]=0, qual expressão representa o valor esperado do estimador?

A

$$E(b_2^{MQO})=\beta_2$$

B

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_2+ \beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

C

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_1+ \beta_2 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

D

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_2+ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}\varepsilon_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

E

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_1\beta_2$$

Substitua y pela equação verdadeira antes de calcular a esperança.

A expansão gera três parcelas: uma associada a β₂, outra à variável omitida e outra ao erro original.

Por que B é a correta?

Partindo do estimador:

$$b_2^{MQO} = \frac{\sum x_{2i}y_i} {\sum x_{2i}^{2}}$$

Substituindo o modelo verdadeiro:

$$b_2^{MQO} = \beta_2 + \beta_1 \frac{\sum x_{1i}x_{2i}} {\sum x_{2i}^{2}} + \frac{\sum x_{2i}\varepsilon_i} {\sum x_{2i}^{2}}$$

Como E[x₂ε]=0, o último termo desaparece na esperança:

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_2+ \beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

Questão 04

Pendente

Considerando a expressão obtida para o valor esperado do estimador, determine o viés causado pela omissão de x₁.

$$E(b_2^{MQO}) = \beta_2+ \beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

Qual expressão representa corretamente E(b₂) − β₂?

A

$$\beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

B

$$\beta_2 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

C

$$\beta_1+ \beta_2$$

D

$$\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}\varepsilon_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

E

$$\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}}$$

O viés é simplesmente a diferença entre o valor esperado do estimador e o verdadeiro parâmetro.

Subtraia β₂ dos dois lados da expressão para E(b₂).

Por que A é a correta?

O viés é definido pela diferença entre o valor esperado do estimador e o parâmetro verdadeiro:

$$E(b_2^{MQO})-\beta_2$$

Substituindo a expressão anterior:

$$E(b_2^{MQO})-\beta_2 = \beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

Portanto, o viés depende do coeficiente da variável omitida e da relação entre x₁ e x₂.

Questão 05

Pendente

Considere o resultado:

$$E(b_2^{MQO})-\beta_2 = \beta_1 \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}}$$

Sabendo que o denominador é positivo, qual condição determina o sinal do viés?

A Somente o tamanho da amostra. B Somente a variância de x₂. C O sinal de β₁ e a associação entre x₁ e x₂. D Somente a variância do erro original. E Apenas o intercepto da regressão.

Observe que o denominador é uma soma de quadrados e, portanto, não determina o sinal.

Concentre-se nos dois componentes que permanecem no numerador.

Por que C é a correta?

O denominador:

$$\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^{2}>0$$

não altera o sinal do resultado. Assim, o sinal do viés é determinado pelo produto entre β₁ e a associação entre x₁ e x₂:

$$\operatorname{Sinal}(Viés) = \operatorname{Sinal} \left( \beta_1 \sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i} \right)$$

Questão 06

Pendente

Quando x₁ é omitida, o novo termo de erro é:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

Suponha que x₁ e ε sejam não correlacionados. Qual expressão representa a variância do novo erro?

A

$$\sigma_u^2=\sigma^2-\beta_1^2\sigma_{x_1}^2$$

B

$$\sigma_u^2=\sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2$$

C

$$\sigma_u^2=\sigma^2+\beta_1\sigma_{x_1}^2$$

D

$$\sigma_u^2=\beta_1^2+\sigma_{x_1}^2$$

E

$$\sigma_u^2=\sigma^2$$

A variância de uma soma de componentes não correlacionados é obtida somando as variâncias de cada componente.

Ao calcular a variância de β₁x₁, lembre que multiplicar uma variável por β₁ faz sua variância ser multiplicada por β₁².

Por que B é a correta?

O novo erro contém dois componentes:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

Se x₁ e ε não são correlacionados:

$$Var(u_i) = Var(\beta_1x_{1i}) + Var(\varepsilon_i)$$

Como:

$$Var(\beta_1x_{1i}) = \beta_1^2\sigma_{x_1}^2$$

resulta:

$$\sigma_u^2 = \beta_1^2\sigma_{x_1}^2+\sigma^2$$

Questão 07

Pendente

Na regressão sem intercepto, considere a variância do estimador quando x₁ é omitida:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } }$$

O que acontece com o desvio-padrão do estimador quando x₁ é relevante para o modelo, isto é, quando β₁ ≠ 0?

A Ele necessariamente diminui. B Ele permanece necessariamente igual. C Ele aumenta, mantendo constante o denominador. D Ele se torna igual a β₁. E Ele deixa de depender da variância do erro.

Observe o termo adicional que aparece dentro da raiz quadrada.

Se β₁ ≠ 0 e x₁ possui variância positiva, o termo β₁²σ²x₁ é positivo.

Por que C é a correta?

Quando x₁ é omitida, a variância do novo erro contém o componente adicional:

$$\beta_1^2\sigma_{x_1}^2$$

Portanto:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } }$$

Se β₁ ≠ 0 e σ²x₁ > 0, o numerador é maior do que σ². Mantendo constante o denominador, o desvio-padrão aumenta.

Questão 08

Pendente

No modelo completo, o desvio-padrão associado a b₂ é:

$$DP(b_2\mid X_1,X_2) = \sqrt{ \frac{\sigma^2} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2} }$$

Compare essa expressão com o desvio-padrão obtido quando x₁ é omitida. Qual é a principal diferença?

A O modelo completo possui um termo adicional positivo no numerador. B O modelo completo elimina do numerador a parcela associada à variabilidade de x₁. C O modelo completo elimina a variância do erro original. D O modelo completo faz o denominador desaparecer. E As duas expressões são necessariamente iguais.

Compare diretamente os numeradores das duas expressões.

Na regressão reduzida aparece β₁²σ²x₁. Procure essa parcela na expressão do modelo completo.

Por que B é a correta?

Com x₁ omitida:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } }$$

No modelo completo:

$$DP(b_2\mid X_1,X_2) = \sqrt{ \frac{\sigma^2} {\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2} }$$

A diferença está justamente no componente β₁²σ²x₁, que aparece no erro da regressão reduzida porque x₁ foi omitida.

Questão 09

Pendente

Considere a situação em que x₁ é omitida e β₁ = 0. Compare os desvios-padrão dos estimadores no modelo completo e no modelo reduzido.

A O modelo reduzido sempre terá desvio-padrão maior. B O modelo completo sempre terá desvio-padrão maior. C As duas expressões podem coincidir, pois o componente associado a x₁ desaparece. D O desvio-padrão do modelo reduzido necessariamente será zero. E O modelo completo deixa de possuir erro aleatório.

Substitua β₁ = 0 na expressão do desvio-padrão do modelo reduzido.

Observe o que acontece com o termo β₁²σ²x₁ quando β₁ é igual a zero.

Por que C é a correta?

Quando β₁ = 0:

$$\beta_1^2\sigma_{x_1}^2=0$$

Assim, o desvio-padrão do modelo reduzido se torna:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{\sigma^2} {\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2} }$$

que coincide com a expressão do modelo completo. Portanto, a presença da variável omitida só acrescenta variabilidade quando ela possui efeito relevante sobre y.

Questão 10

Pendente

Considere as duas expressões:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } }$$

$$DP(b_2\mid X_1,X_2) = \sqrt{ \frac{\sigma^2} {\sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2} }$$

Qual conclusão é mais adequada sobre a omissão de uma variável relevante?

A A omissão pode aumentar a incerteza do estimador porque aumenta a variância do termo de erro. B A omissão sempre reduz a variância do estimador. C A omissão não altera a variância do termo de erro. D A omissão elimina o componente aleatório do modelo. E A omissão garante que o estimador permaneça não viesado e mais preciso.

Observe o que acontece com a variância do erro quando uma parcela sistemática é incorporada a ele.

Compare os numeradores das duas expressões: uma delas contém uma parcela adicional.

Por que A é a correta?

A variável omitida passa a fazer parte do termo de erro:

$$u_i=\beta_1x_{1i}+\varepsilon_i$$

Consequentemente, sua variabilidade acrescenta uma parcela à variância do erro:

$$\sigma_u^2 = \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2$$

Essa parcela adicional aparece no desvio-padrão do estimador:

$$DP(b_2^{MQO}\mid X_2) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2+\beta_1^2\sigma_{x_1}^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_{2i}^2 } }$$

Portanto, além do problema de viés, a omissão de uma variável relevante pode reduzir a precisão do estimador.

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