class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Experimentos industriais de um fator: ANOVA ] .author[ ### Estatística II • Engenharia de Produção ] --- class: title-slide, inverse, middle ### Experimentos industriais de um fator #### ANOVA, comparações múltiplas, diagnóstico e blocos **Da pergunta industrial à decisão sustentada por dados** Aula-problema • Estatística II • Engenharia de Produção .base-note[Material didático em R Markdown + Xaringan. Fórmulas renderizadas por MathJax/LaTeX; cálculos reproduzíveis em R, com código oculto nos slides.] --- class: problem #### Desafio industrial | A resistência do papel está baixa Uma fábrica de sacolas observa variabilidade e reclamações por ruptura. A engenharia suspeita que a concentração de madeira dura na polpa altera a resistência à tração, mas precisa recomendar uma faixa de operação **sem confundir diferença real com variação experimental**. **Em equipe:** registrem hipóteses, informação que falta, resposta mensurável e uma proposta inicial de experimento. Não calculem ainda. .pbl-meta[Aprendizagem Baseada em Problemas • problema autêntico • hipóteses iniciais • conhecimentos prévios] --- class: compact #### Roteiro e resultados de aprendizagem Ao final, a equipe deverá: * **Planejar** um experimento de um fator com unidade experimental, replicação e aleatorização; * **Calcular e interpretar** a partição de somas de quadrados, os quadrados médios e o teste *F*; * **Localizar diferenças** com intervalos e comparações múltiplas, distinguindo significância estatística de relevância industrial; * **Diagnosticar** resíduos e reconhecer quando o delineamento/modelo não sustenta a conclusão; * **Distinguir efeitos fixos e aleatórios**, estimar componentes de variância e usar blocos para controlar ruído. --- class: compact #### 13-1 | Projetar experimentos de engenharia **Ciclo científico:** conjectura → experimento → análise → conclusão → nova conjectura. | Decisão antes de coletar dados | Pergunta que a equipe deve responder | | ------ | ------ | | Resposta | Como medir resistência e em que unidade? | | Fator e níveis | Quais concentrações são tecnicamente viáveis? | | Unidade experimental | O que recebe o tratamento independentemente? | | Replicação | Quantas unidades independentes por concentração? | | Aleatorização | Como reduzir confundimento com ordem, operador e deriva? | | Critério de decisão | Qual diferença mínima tem importância industrial? | **Atenção:** seis medições da mesma unidade não equivalem automaticamente a seis réplicas experimentais independentes. A unidade experimental é a menor unidade à qual o tratamento é aplicado de forma independente. .pbl-prompt[Retomada do problema: identifiquem um fator de ruído controlável e outro que deve ser tratado pela aleatorização.] --- class: compact #### 13-2 | Delineamento completamente aleatorizado A concentração é o **fator**; cada concentração é um **tratamento**; cada corpo de prova independente é uma **unidade experimental**. O delineamento original compara 4 níveis (5%, 10%, 15%, 20%), com 6 corpos de prova por nível: **24 ensaios**. A ordem de execução é aleatorizada. --- class: compact #### 13-2.1 | Dados do problema: resistência à tração (psi) | Madeira dura (%) | Medições (psi) | Total | Média | | ------ | ------ | ------ | ------ | | 5 | 7, 8, 15, 11, 9, 10 | 60 | 10,00 | | 10 | 12, 17, 13, 18, 19, 15 | 94 | 15,67 | | 15 | 14, 18, 19, 17, 16, 18 | 102 | 17,00 | | 20 | 19, 25, 22, 23, 18, 20 | 127 | 21,17 | | **Geral** | **N = 24** | **383** | **15,9583** | .pbl-prompt[Antes de testar: descreva o padrão das médias e proponha uma explicação alternativa para ele além do efeito causal da concentração.] --- class: compact #### 13-2.2 | Modelo de efeitos fixos Para o corpo de prova `\(j\)` tratado no nível `\(i\)`: `$$Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}, \qquad i = 1, \ldots, a, \quad j = 1, \ldots, n.$$` * `\(\mu\)`: média geral; `\(\tau_i\)`: efeito do tratamento `\(i\)`, usualmente com `\(\sum_{i=1}^{a}\tau_i = 0\)`; * `\(\varepsilon_{ij} \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)\)`: erros independentes, aproximadamente normais e com variância comum; * níveis fixos: os níveis escolhidos são precisamente os de interesse. A inferência não se estende automaticamente a concentrações não testadas. **Pressupostos e prática:** independência vem sobretudo do desenho e da execução; normalidade e variância são avaliadas pelos resíduos, com gráficos e conhecimento do processo. --- class: formula #### 13-2.2 | ANOVA: hipóteses e decomposição `$$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_a \qquad \text{versus} \qquad H_A: \text{pelo menos uma média difere}.$$` Defina `\(\bar{y}_{i\cdot} = \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}\)`, `\(\bar{y}_{\cdot\cdot} = \frac{1}{N}\sum_i\sum_j y_{ij}\)` e `\(N = \sum_i n_i\)`. `$$\underbrace{\sum_i\sum_j(y_{ij} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2}_{SQ_{Total}} = \underbrace{\sum_i n_i(\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2}_{SQ_{Trat}} + \underbrace{\sum_i\sum_j(y_{ij} - \bar{y}_{i\cdot})^2}_{SQ_E}.$$` `$$gl_{Trat} = a - 1, \qquad gl_E = N - a, \qquad gl_{Total} = N - 1; \quad QM = \frac{SQ}{gl}, \quad F_0 = \frac{QM_{Trat}}{QM_E}.$$` --- class: formula #### 13-2.2 | Tabela Teórica da ANOVA (DIC) e Teste F A tabela genérica da Análise de Variância para o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) consolida a partição da variabilidade: | Fonte de Variação | Soma de Quadrados (`\(SQ\)`) | Graus de Liberdade (`\(gl\)`) | Quadrado Médio (`\(QM\)`) | Estatística `\(F_0\)` | Valor-$p$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **Tratamentos** | `\(SQ_{Trat} = \sum_{i=1}^a n_i(\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2\)` | `\(a - 1\)` | `\(QM_{Trat} = \frac{SQ_{Trat}}{a - 1}\)` | `\(F_0 = \frac{QM_{Trat}}{QM_E}\)` | `\(P(F_{a-1, N-a} \ge F_0)\)` | | **Erro (Resíduos)** | `\(SQ_E = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{i\cdot})^2\)` | `\(N - a\)` | `\(QM_E = \frac{SQ_E}{N - a}\)` | — | — | | **Total** | `\(SQ_{Total} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2\)` | `\(N - 1\)` | — | — | — | **Mecanismo do Teste `\(F\)`:** 1. **Razão de Variâncias:** `\(F_0 = \frac{QM_{Trat}}{QM_E}\)`. Sob `\(H_0\)`, `\(E(QM_{Trat}) = \sigma^2\)` e `\(E(QM_E) = \sigma^2\)`, logo `\(F_0 \approx 1\)`. Se `\(H_0\)` for falsa, `\(E(QM_{Trat}) = \sigma^2 + \frac{\sum n_i \tau_i^2}{a-1} > \sigma^2\)`, elevando `\(F_0\)`. 2. **Regra de Decisão:** Rejeita-se `\(H_0\)` ao nível `\(\alpha\)` se `\(F_0 > F_{\alpha; a-1, N-a}\)` ou se o valor-$p < \alpha$. --- class: formula #### Exemplo resolvido | Cálculo das somas de quadrados **Fator de correção:** `\(C = G^2/N = 383^2/24 = 6112{,}0417\)`. `$$SQ_{Total} = \sum y_{ij}^2 - C = 6625 - 6112{,}0417 = \mathbf{512{,}9583}.$$` Com totais por concentração `\((60, 94, 102, 127)\)` e `\(n = 6\)`: `$$SQ_{Trat} = \sum_i\frac{T_i^2}{n} - C = \frac{60^2 + 94^2 + 102^2 + 127^2}{6} - 6112{,}0417 = \mathbf{382{,}7917}.$$` `$$SQ_E = SQ_{Total} - SQ_{Trat} = 512{,}9583 - 382{,}7917 = \mathbf{130{,}1667}.$$` **Conferência:** `\(382{,}7917 + 130{,}1667 = 512{,}9584\)` (diferença de arredondamento `\(< 0{,}0001\)`). Os valores publicados arredondados são `\(382,79\)`; `\(130,17\)`; `\(512,96\)`. --- class: formula #### Exemplo resolvido | Quadrados médios e estatística F `$$QM_{Trat} = \frac{382{,}7917}{4-1} = \mathbf{127{,}5972}, \qquad gl_E = 24 - 4 = 20.$$` `$$QM_E = \frac{130{,}1667}{20} = \mathbf{6{,}5083}, \qquad F_0 = \frac{127{,}5972}{6{,}5083} = \mathbf{19{,}6052}.$$` | Fonte | SQ | gl | QM | F | | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | | Tratamentos | 382,7917 | 3 | 127,5972 | 19,6052 | | Erro | 130,1667 | 20 | 6,5083 | — | | Total corrigido | 512,9583 | 23 | — | — | Com `\(\alpha = 0{,}01\)`, `\(F_{0{,}01; 3, 20} \approx 4{,}94\)`; além disso, `\(p \approx 3{,}59 \times 10^{-6}\)`. Rejeitamos `\(H_0\)`: há evidência de diferenças entre médias. .pbl-prompt[Tradução para a fábrica: que conclusão operacional é permitida? Que afirmação ainda exige análise adicional?] --- class: compact #### 13-2.2 | Da significância à decisão industrial A ANOVA responde à pergunta global: **há evidência de que todas as médias sejam iguais?** Não identifica sozinha quais níveis diferem nem qual condição é economicamente ótima. * **Significância estatística:** compatibilidade dos dados com `\(H_0\)`, sob modelo e delineamento; * **Importância prática:** magnitude da diferença, especificação do produto, custo, segurança e estabilidade do processo; * **Causalidade:** depende de aleatorização, unidades apropriadas, execução e ausência de confundimento relevante; * **Extrapolação:** quatro níveis não autorizam assumir linearidade ou extrapolar fora da faixa estudada. **A equipe deve apresentar uma recomendação provisória, com incerteza e limitações — não apenas "o resultado foi significativo".** --- class: formula #### Intervalos | Média de um tratamento e diferença entre médias No modelo balanceado, um IC para `\(\mu_i\)` é: `$$\bar{y}_{i\cdot} \pm t_{1-\alpha/2, gl_E}\sqrt{\frac{QM_E}{n}}.$$` Para a média de 20%, com `\(\alpha = 0{,}05\)`: `$$21{,}1667 \pm 2{,}086\sqrt{\frac{6{,}5083}{6}} = 21{,}1667 \pm 2{,}1726 = \mathbf{[18{,}994;\ 23{,}339]} \text{ psi}.$$` Um IC para `\(\mu_i - \mu_j\)`, em grupos independentes, é: `$$(\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{j\cdot}) \pm t_{1-\alpha/2, gl_E} \sqrt{QM_E\left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}\right)}.$$` 15% − 10%: `\(1{,}3333 \pm 2{,}086\sqrt{6{,}5083(1/6 + 1/6)} = \mathbf{[-1{,}739;\ 4{,}406]} \text{ psi}\)`. O intervalo contém zero; diferença não significativa a 5% em comparação individual. --- class: formula #### 13-2.3 | Comparações múltiplas: Fisher LSD Para tamanhos iguais e uma comparação bilateral, a diferença mínima significativa de Fisher é: `$$LSD = t_{1-\alpha/2, gl_E}\sqrt{\frac{2QM_E}{n}} = 2{,}086\sqrt{\frac{2(6{,}5083)}{6}} = \mathbf{3{,}0725 \text{ psi}}.$$` Declaramos um par diferente quando `\(|\bar{y}_i - \bar{y}_j| > LSD\)`. Diferenças observadas: | Par | Diferença absoluta (psi) | Resultado LSD (5%) | | ------ | ------ | ------ | | 20% − 5% | 11,1667 | Diferem | | 20% − 10% | 5,5000 | Diferem | | 20% − 15% | 4,1667 | Diferem | | 15% − 10% | 1,3333 | Não diferem | | 10% − 5% | 5,6667 | Diferem | | 15% − 5% | 7,0000 | Diferem | --- class: compact #### 13-2.3 | Tukey: controle simultâneo dos pares Para amostras iguais, o intervalo simultâneo de Tukey para `\(\mu_i - \mu_j\)` é: `$$(\bar{y}_i - \bar{y}_j) \pm q_{1-\alpha; a, gl_E} \sqrt{\frac{QM_E}{n}}.$$` O valor crítico vem da distribuição do **alcance studentizado**. Para tamanhos desiguais, Tukey–Kramer usa: `$$(\bar{y}_i - \bar{y}_j) \pm q_{1-\alpha; a, gl_E} \sqrt{\frac{QM_E}{2}\left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}\right)}.$$` **Decisão:** intervalo que contém zero → par não distinguido ao nível simultâneo escolhido. O ajuste trata a multiplicidade; não corrige viés de delineamento, escolha pós-hoc seletiva ou modelo inadequado. No R: `TukeyHSD(mod_papel)`. .pbl-prompt[Qual procedimento responde melhor ao pedido da gerente: "compare todos os pares" ou "compare apenas 20% com a concentração-padrão de 10%"? Justifique antes de escolher o teste.] --- class: formula #### 13-2 | Tamanhos amostrais desiguais Com `\(n_i\)` distintos, `\(N = \sum_i n_i\)`, `\(T_i = \sum_j y_{ij}\)`, `\(G = \sum_i T_i\)` e fator de correção `\(C = G^2/N\)`: `$$SQ_{Total} = \sum_i\sum_j y_{ij}^2 - C, \qquad gl_{Total} = N - 1.$$` `$$SQ_{Trat} = \sum_i\frac{T_i^2}{n_i} - C, \qquad gl_{Trat} = a - 1.$$` `$$SQ_E = SQ_{Total} - SQ_{Trat}, \qquad gl_E = N - a, \qquad F_0 = \frac{SQ_{Trat}/(a-1)}{SQ_E/(N-a)}.$$` **Exemplo de aplicação:** se uma amostra de 20% for perdida por falha do equipamento, usar seu tamanho real `\(n_i = 5\)`, não fingir balanceamento. Investigue também por que houve perda e se ela é informativa. --- class: compact #### 13-2.4 | Análise de resíduos e verificação do modelo O resíduo é `\(e_{ij} = y_{ij} - \hat{y}_{ij}\)`. Inspecione **conjuntamente** gráficos e processo: | Gráfico | Sinal a investigar | Pergunta de diagnóstico | | ------ | ------ | ------ | | Probabilidade normal (Q–Q) | Curvatura pronunciada, caudas ou pontos extremos | A normalidade aproximada é plausível? Há observação influente? | | Resíduos × ajustados | Funil, curva, agrupamentos | Variância constante? Forma do modelo adequada? | | Resíduos × tratamento | Dispersões muito distintas ou padrão | Homogeneidade de variância? Nível mal representado? | | Resíduos × ordem | Tendência, ciclos, saltos | Deriva, autocorrelação ou mudança de turno? | --- class: compact #### PBL | Retorno ao problema: auditoria dos pressupostos Em duplas, escolham um possível padrão em cada gráfico de resíduos e formulem: **(1)** consequência para a conclusão, **(2)** causa industrial plausível, **(3)** ação antes de recomendar uma mudança. * Leque de resíduos cresce com a média ajustada; * Resíduos ficam negativos no começo do turno e positivos no final; * Um ponto de 15% aparece muito distante dos demais; * Observações de 5% e 20% foram feitas em máquinas diferentes. **Discussão:** qual caso sugere variância desigual, deriva temporal, ponto atípico ou confundimento? Por que remover uma observação apenas por ela "atrapalhar" o resultado é inadequado? --- class: compact #### 13-3 | Efeitos fixos versus aleatórios | Aspecto | Fator fixo | Fator aleatório | | ------ | ------ | ------ | | Como são os níveis? | Escolhidos deliberadamente | Amostra de níveis de uma população de interesse | | Pergunta | Quais são as diferenças entre estes níveis? | Quanto da variabilidade vem da população de níveis? | | Exemplo | Concentrações específicas: 5%, 10%, 15%, 20% | Teares sorteados de um parque de máquinas | | Inferência | Níveis observados, sob modelo | População de níveis representada pela amostragem | A distinção depende da **pergunta e do mecanismo de seleção**, não apenas do nome do fator. Quatro máquinas escolhidas por conveniência não constituem automaticamente uma amostra aleatória representativa. --- class: formula #### 13-3.2 | Modelo aleatório e quadrados médios esperados Para `\(a\)` níveis aleatórios e `\(n\)` réplicas balanceadas: `$$Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}, \qquad \tau_i \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, \sigma_\tau^2), \quad \varepsilon_{ij} \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2).$$` `$$E(QM_E) = \sigma^2, \qquad E(QM_{Trat}) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2.$$` Método dos momentos: `$$\widehat{\sigma^2} = QM_E, \qquad \widehat{\sigma_\tau^2} = \frac{QM_{Trat} - QM_E}{n}, \qquad \widehat{\sigma_Y^2} = \widehat{\sigma^2} + \widehat{\sigma_\tau^2}.$$` Um estimador de momentos negativo pode ocorrer por amostragem; não implica variância física negativa. Modelos mistos/REML podem ser preferíveis para inferência e intervalos, dependendo do desenho. --- class: compact #### 13-3.2 | Exemplo resolvido: variabilidade entre teares Quatro teares foram sorteados; quatro determinações por tear. Médias: `\((97{,}50; 91{,}50; 95{,}75; 97{,}00)\)`, média geral `\(95{,}4375\)`. Para o fator Tear: `$$SQ_{Tear} = 4\sum_i(\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2 = 89{,}1875, \quad QM_{Tear} = 89{,}1875/3 = 29{,}7292.$$` `$$SQ_E = 22{,}75, \quad QM_E = 22{,}75/12 = 1{,}8958, \quad F_0 = 29{,}7292/1{,}8958 \approx 15{,}68.$$` `$$\widehat{\sigma_\tau^2} = \frac{29{,}7292 - 1{,}8958}{4} = 6{,}9583, \quad \widehat{\sigma_Y^2} = 6{,}9583 + 1{,}8958 = 8{,}8541.$$` **Interpretação:** estimativa da variação entre teares maior que a variação dentro dos teares. A incerteza pode ser considerável com apenas quatro teares; reporte intervalo quando possível. --- class: compact #### 13-4 | Delineamento em blocos completos casualizados O problema agora: se os lotes de tecido diferem, a variação entre lotes pode mascarar a comparação dos produtos químicos. * **Tratamentos:** os quatro produtos químicos (fator de interesse); * **Blocos:** cinco amostras de tecido relativamente homogêneas; * **Completo:** cada amostra recebe todos os quatro tratamentos; * **Aleatorização:** sortear a ordem dos tratamentos dentro de cada bloco. .pbl-prompt[Em equipe: esbocem a matriz 4 tratamentos × 5 blocos e indiquem qual randomização ainda é necessária.] --- class: formula #### 13-4.1 | Modelo aditivo e somas de quadrados no DBCC `$$Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}, \qquad i = 1, \ldots, a, \quad j = 1, \ldots, b.$$` `$$SQ_{Total} = \sum_{i,j}(y_{ij} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2 = SQ_{Trat} + SQ_{Bloco} + SQ_E.$$` `$$SQ_{Trat} = b\sum_i(\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2, \quad SQ_{Bloco} = a\sum_j(\bar{y}_{\cdot j} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2.$$` `$$gl_{Trat} = a - 1, \quad gl_{Bloco} = b - 1, \quad gl_E = (a-1)(b-1), \quad gl_{Total} = ab - 1.$$` O teste dos tratamentos é `\(F_0 = QM_{Trat}/QM_E\)`. O modelo clássico sem replicação dentro de cada célula não estima separadamente interação tratamento × bloco; interação relevante fica incorporada ao erro e pode invalidar o modelo aditivo. --- class: formula #### 13-4.1 | Tabela Teórica da ANOVA no DBCC A incorporação de blocos isola a variabilidade do fator de ruído (`\(SQ_{Bloco}\)`), reduzindo a soma de quadrados do erro (`\(SQ_E\)`): | Fonte de Variação | Soma de Quadrados (`\(SQ\)`) | Graus de Liberdade (`\(gl\)`) | Quadrado Médio (`\(QM\)`) | Estatística `\(F_0\)` | Valor-$p$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **Tratamentos** | `\(SQ_{Trat} = b \sum_{i=1}^a (\bar{y}_{i\cdot} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2\)` | `\(a - 1\)` | `\(QM_{Trat} = \frac{SQ_{Trat}}{a - 1}\)` | `\(F_0 = \frac{QM_{Trat}}{QM_E}\)` | `\(P(F_{a-1, (a-1)(b-1)} \ge F_0)\)` | | **Blocos** | `\(SQ_{Bloco} = a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{\cdot j} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2\)` | `\(b - 1\)` | `\(QM_{Bloco} = \frac{SQ_{Bloco}}{b - 1}\)` | — | — | | **Erro** | `\(SQ_E = SQ_{Total} - SQ_{Trat} - SQ_{Bloco}\)` | `\((a - 1)(b - 1)\)` | `\(QM_E = \frac{SQ_E}{(a-1)(b-1)}\)` | — | — | | **Total** | `\(SQ_{Total} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (y_{ij} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2\)` | `\(ab - 1\)` | — | — | — | **Cálculo do Teste `\(F\)` para Tratamentos:** `\(F_0 = \frac{QM_{Trat}}{QM_E}\)`, comparado a `\(F_{\alpha; a-1, (a-1)(b-1)}\)`. --- class: formula #### Exemplo resolvido | Cálculos do bloco Para os dados de resistência do tecido, totais dos tratamentos `\((5{,}7; 8{,}8; 6{,}9; 17{,}8)\)`, totais dos blocos `\((9{,}2; 10{,}1; 3{,}5; 8{,}8; 7{,}6)\)`, total geral `\(G = 39{,}2\)` e `\(N = 20\)`: `$$C = \frac{39{,}2^2}{20} = 76{,}832, \quad SQ_{Total} = \sum y_{ij}^2 - C = 102{,}520 - 76{,}832 = 25{,}688.$$` `$$SQ_{Trat} = \frac{5{,}7^2 + 8{,}8^2 + 6{,}9^2 + 17{,}8^2}{5} - C = 94{,}876 - 76{,}832 = 18{,}044.$$` `$$SQ_{Bloco} = \frac{9{,}2^2 + 10{,}1^2 + 3{,}5^2 + 8{,}8^2 + 7{,}6^2}{4} - C = 83{,}525 - 76{,}832 = 6{,}693.$$` `$$SQ_E = 25{,}688 - 18{,}044 - 6{,}693 = \mathbf{0{,}951}.$$` --- class: compact #### 13-4.1 | Tabela ANOVA do DBCC `$$QM_{Trat} = 18{,}044/3 = 6{,}0147, \quad QM_{Bloco} = 6{,}693/4 = 1{,}6733, \quad QM_E = 0{,}951/12 = 0{,}07925.$$` `$$F_{Trat} = 6{,}0147/0{,}07925 = \mathbf{75{,}89}.$$` | Fonte | SQ | gl | QM | F | | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | | Produtos químicos | 18,044 | 3 | 6,0147 | 75,89 | | Amostras (blocos) | 6,693 | 4 | 1,6733 | — | | Erro | 0,951 | 12 | 0,07925 | — | | Total corrigido | 25,688 | 19 | — | — | Com `\(\alpha = 0{,}01\)`, `\(F_{0{,}01; 3, 12} \approx 5{,}95\)`; como `\(75{,}89 > 5{,}95\)`, rejeita-se a igualdade das médias dos tratamentos. O produto químico 4 tem a maior média observada (3,56), mas a comparação global ainda não identifica todos os pares. --- class: compact #### 13-4.2 | Comparações após o DBCC Para comparar duas médias de tratamento em DBCC balanceado com `\(b\)` blocos: `$$LSD = t_{1-\alpha/2, gl_E}\sqrt{\frac{2QM_E}{b}}.$$` Com `\(\alpha = 0{,}01\)`, `\(gl_E = 12\)`, `\(b = 5\)` e `\(QM_E = 0{,}07925\)`: `$$LSD = 3{,}055\sqrt{\frac{2(0{,}07925)}{5}} \approx \mathbf{0{,}544}.$$` Médias: químico 1 = 1,14; 2 = 1,76; 3 = 1,38; 4 = 3,56. Pelo LSD: 4 difere de 1, 2 e 3; 2 difere de 1 (diferença 0,62); 1 e 3, 2 e 3 não excedem o limiar. --- class: compact #### 13-4.3 | Resíduos e limite do modelo em blocos Analise resíduos versus valores ajustados, tratamento, bloco e ordem de execução; use o gráfico Q–Q para desvios importantes da normalidade. **Sinais de alerta:** um produto responde de modo muito diferente conforme o lote; dispersões mudam entre tratamentos; sobram tendências por ordem; aparece ponto influente sem explicação operacional. .pbl-prompt[Que alteração você faria no experimento se a equipe de produção suspeitasse que o produto químico 4 só funciona em um tipo de lote?] --- class: compact #### PBL | Produto da equipe e avaliação (0–10) **Entrega:** nota técnica de uma página à gerência, com recomendação, evidência estatística, diagnóstico e limitações. Cada equipe registra os cálculos centrais e explica a decisão em até 3 minutos. | Critério | Pontos | | ------ | ------ | | Pergunta, resposta, fator, unidade experimental e delineamento coerentes | 0–2 | | Hipóteses, fórmulas e cálculo da ANOVA corretos, com unidades e arredondamento | 0–3 | | Escolha e interpretação de comparações múltiplas/intervalos | 0–2 | | Diagnóstico dos resíduos, relevância prática e limitações | 0–2 | | Comunicação concisa, participação e resposta a questionamento | 0–1 | | **Total** | **0–10** | **Autoavaliação individual:** qual decisão metodológica você mudaria antes de uma nova coleta? Que evidência sustenta sua resposta? --- class: compact #### Síntese | Da pergunta industrial à decisão 1. Defina a pergunta, a resposta, o fator e a unidade experimental; 2. Planeje níveis, replicação, aleatorização e eventual bloqueamento; 3. Especifique o modelo e as hipóteses antes de interpretar resultados; 4. Particione a variabilidade e quantifique incerteza; 5. Use comparações coerentes com a pergunta e controle a multiplicidade; 6. Examine resíduos e execução; relate significância magnitude e limitações. --- class: references, compact #### Referências e base técnica **Literatura especializada em ANOVA e planejamento** * Montgomery, D. C.; Runger, G. C. *Applied Statistics and Probability for Engineers*. 6th ed. Wiley, 2014. Cap. 13 (material-base e dados didáticos). * NIST/SEMATECH. *e-Handbook of Statistical Methods*: [ANOVA de um fator e partição das somas de quadrados](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc431.htm); [teste F e tabela ANOVA](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc423.htm); [Tukey](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc471.htm); [componentes de variância](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc44.htm); [resíduos](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section2/pri245.htm); [blocos](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section3/pri332.htm). **Pesquisa sobre aprendizagem baseada em problemas** * Dochy, F.; Segers, M.; Van den Bossche, P.; Gijbels, D. (2003). Effects of problem-based learning: a meta-analysis. *Learning and Instruction*, 13(5), 533–568. [doi:10.1016/S0959-4752(02)00025-7](https://doi.org/10.1016/S0959-4752(02)00025-7). * Walker, A.; Leary, H. (2009). A problem based learning meta analysis: differences across problem types, implementation types, disciplines, and assessment levels. *Interdisciplinary Journal of Problem-Based Learning*, 3(1), 12–43. [ERIC EJ1058742](https://eric.ed.gov/?id=EJ1058742). * Prince, M. (2004). Does active learning work? A review of the research. *Journal of Engineering Education*, 93(3), 223–231. [doi:10.1002/j.2168-9830.2004.tb00809.x](https://doi.org/10.1002/j.2168-9830.2004.tb00809.x). * Perrenet, J. C.; Bouhuijs, P. A. J.; Smits, J. G. M. M. (2000). The suitability of problem-based learning for engineering education: theory and practice. *Teaching in Higher Education*, 5(3), 345–358. [doi:10.1080/713699144](https://doi.org/10.1080/713699144). --- class: compact #### Nota de leitura crítica e uso docente A evidência sobre PBL não sustenta a afirmação de que uma única estratégia melhora todos os resultados em qualquer disciplina. A meta-análise de Dochy et al. (43 estudos) encontrou efeito positivo robusto em habilidades/aplicação, mas resultados de conhecimento menos uniformes; Walker e Leary (82 estudos, 201 desfechos) registraram heterogeneidade entre problemas, implementações e avaliações. Prince descreve apoio amplo, porém desigual, a componentes de aprendizagem ativa em engenharia. **Consequência para esta aula:** o caso industrial é estruturante, mas recebe andaimes explícitos — objetivos, miniaulas, solução-modelo, discussão em equipe e rubrica — para evitar que a descoberta sem orientação comprometa o domínio das fórmulas. A avaliação proposta mede raciocínio individual e produto coletivo. **Reprodutibilidade:** tabelas e diagnósticos podem ser recalculados ao renderizar o R Markdown; os chunks têm `echo=FALSE`, portanto o código R não aparece nos slides.