1. Variabel Acak

Variabel Jenis Alasan
(a) Jumlah komentar per unggahan Diskrit Hasil menghitung (0, 1, 2, …), bilangan bulat
(b) Durasi video yang ditonton (detik) Kontinu Hasil mengukur, bisa bernilai desimal (mis. 12,47 detik)

2. Distribusi Binomial

Diketahui: n = 10, p = 0,25, q = 0,75.

Manual:

\[P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8 = 45 \times 0{,}0625 \times 0{,}1001 = 0{,}2816\]

\[\mu = np = 10(0{,}25) = 2{,}5 \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{1{,}875} = 1{,}3693\]

RStudio:

n <- 10
p <- 0.25

# P(X = 2)
p_exact2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
p_exact2
## [1] 0.2815676
# Rata-rata dan SD
mu_bin <- n * p
sd_bin <- sqrt(n * p * (1 - p))
mu_bin
## [1] 2.5
sd_bin
## [1] 1.369306

Kesimpulan: P(tepat 2 klik) = 0,2816; rata-rata = 2,5 klik; SD = 1,369 klik.

3. Distribusi Poisson

Diketahui: \(\lambda = 8\) unggahan per menit.

Manual, P(X = 5):

\[P(X=5)=\frac{e^{-8}\,8^5}{5!}=\frac{(0{,}00033546)(32768)}{120}=0{,}0916\]

RStudio:

lambda <- 8

# P(X = 5) - pembuktian manual
manual_5 <- exp(-lambda) * lambda^5 / factorial(5)
manual_5
## [1] 0.09160366
# Dengan fungsi bawaan
dpois(5, lambda)
## [1] 0.09160366
# P(X > 12) = 1 - P(X <= 12)
1 - ppois(12, lambda)
## [1] 0.0637972
# atau
ppois(12, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0637972

Kesimpulan: P(tepat 5) = 0,0916; P(lebih dari 12) = 0,0638.

4. Distribusi Normal dan Z

Diketahui: \(\mu = 3\) detik, \(\sigma = 0{,}5\) detik.

Manual, P(X > 4):

\[Z=\frac{4-3}{0{,}5}=2 \quad\Rightarrow\quad P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228\]

Manual, batas 5% terlama: cari z dengan luas kanan 5% (z = 1,645).

\[x=\mu+z\sigma = 3+(1{,}645)(0{,}5)=3{,}8225 \text{ detik}\]

RStudio:

mu <- 3
sigma <- 0.5

# P(loading > 4)
z <- (4 - mu) / sigma
z
## [1] 2
1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)
## [1] 0.02275013
pnorm(4, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013
# Batas 5% loading terlama (persentil ke-95)
qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)
## [1] 3.822427
# Visualisasi
x <- seq(1, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x, mu, sigma)
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, xlab = "Waktu muat (detik)",
     ylab = "Densitas", main = "Distribusi Waktu Muat Halaman")
batas <- qnorm(0.95, mu, sigma)
xx <- seq(batas, 5, length.out = 100)
polygon(c(batas, xx, 5), c(0, dnorm(xx, mu, sigma), 0),
        col = "red", border = NA)
abline(v = 4, lty = 2)

Kesimpulan: P(loading > 4 detik) = 0,0228 (sekitar 2,28%); batas 5% terlama = 3,82 detik.