1.1 Latar Belakang

Analisis hubungan antarvariabel kategori umumnya dimulai dari tabel kontingensi dua arah. Namun, hubungan antara dua variabel dapat berubah ketika terdapat variabel ketiga yang berperan sebagai kovariat. Oleh karena itu, analisis tiga variabel kategori diperlukan untuk membedakan hubungan marginal dan bersyarat (conditional).

Pada studi ini, hubungan yang dianalisis adalah penggunaan kelas online terhadap kelulusan mahasiswa, dengan jalur masuk sebagai variabel ketiga atau kovariat. Pendekatan ini memungkinkan hubungan penggunaan kelas online dan kelulusan diamati secara keseluruhan sekaligus setelah mahasiswa dipisahkan berdasarkan jalur masuk.

Analisis kemudian dilanjutkan dengan pemeriksaan Paradoks Simpson, yaitu kondisi ketika kesimpulan dari tabel marginal berbeda atau bahkan berlawanan dengan kesimpulan pada masing-masing strata. Untuk mengevaluasi hubungan antarstrata secara formal digunakan uji Breslow-Day, sedangkan hubungan penggunaan kelas online dan kelulusan setelah mengontrol jalur masuk diuji menggunakan Cochran-Mantel-Haenszel (CMH).

1.2 Pertanyaan Penelitian

1. Apakah penggunaan kelas online berhubungan dengan kelulusan mahasiswa secara keseluruhan?
2. Apakah hubungan tersebut tetap terlihat setelah mahasiswa dipisahkan berdasarkan jalur masuk?
3. Apakah terdapat perbedaan arah hubungan antara analisis marginal dan conditional yang mengindikasikan Paradoks Simpson?
4. Apakah odds ratio antarstrata bersifat homogen berdasarkan uji Breslow-Day?
5. Apakah terdapat hubungan antara penggunaan kelas online dan kelulusan setelah mengontrol jalur masuk berdasarkan uji CMH?

1.3 Tujuan Analisis

Analisis ini bertujuan untuk:

• menyusun tabel kontingensi tiga arah;
• menghitung odds ratio marginal;
• menghitung odds ratio conditional pada setiap strata jalur masuk;
• mengidentifikasi kemungkinan Paradoks Simpson;
• menguji homogenitas odds ratio menggunakan Breslow-Day;
• menguji independensi bersyarat menggunakan Cochran-Mantel-Haenszel;
• memperoleh common odds ratio Mantel-Haenszel;
• memberikan interpretasi statistik dan kesimpulan substantif.

2.1 Desain Data

Data pada analisis ini merupakan data simulasi yang disusun untuk menggambarkan studi kasus hubungan penggunaan kelas online dan kelulusan mahasiswa. Struktur data sengaja dibuat memiliki perbedaan komposisi mahasiswa pada masing-masing jalur masuk sehingga dapat digunakan untuk mengilustrasikan bagaimana hubungan marginal dapat berbeda dari hubungan conditional.

Tiga variabel yang digunakan adalah:

Jalur masuk diperlakukan sebagai kovariat, sedangkan penggunaan kelas online merupakan variabel penjelas dan kelulusan merupakan variabel respons.

2.2 Membentuk Data Frekuensi

Data awal disusun dalam bentuk frekuensi kombinasi ketiga variabel.

data_freq <- tribble(
  ~jalur_masuk, ~kelas_online,      ~kelulusan,      ~frekuensi,
  "Reguler",    "Menggunakan",     "Lulus",          40,
  "Reguler",    "Menggunakan",     "Tidak Lulus",     5,
  "Reguler",    "Tidak Menggunakan","Lulus",        240,
  "Reguler",    "Tidak Menggunakan","Tidak Lulus",   55,
  "Beasiswa",   "Menggunakan",     "Lulus",          45,
  "Beasiswa",   "Menggunakan",     "Tidak Lulus",    50,
  "Beasiswa",   "Tidak Menggunakan","Lulus",         50,
  "Beasiswa",   "Tidak Menggunakan","Tidak Lulus",  100
)

data_freq

## # A tibble: 8 × 4
##   jalur_masuk kelas_online      kelulusan   frekuensi
##   <chr>       <chr>             <chr>           <dbl>
## 1 Reguler     Menggunakan       Lulus              40
## 2 Reguler     Menggunakan       Tidak Lulus         5
## 3 Reguler     Tidak Menggunakan Lulus             240
## 4 Reguler     Tidak Menggunakan Tidak Lulus        55
## 5 Beasiswa    Menggunakan       Lulus              45
## 6 Beasiswa    Menggunakan       Tidak Lulus        50
## 7 Beasiswa    Tidak Menggunakan Lulus              50
## 8 Beasiswa    Tidak Menggunakan Tidak Lulus       100

2.3 Ringkasan Frekuensi

data_freq %>%
  group_by(jalur_masuk) %>%
  summarise(
    total = sum(frekuensi),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  knitr::kable(
    caption = "Jumlah Mahasiswa Menurut Jalur Masuk"
  )

Jumlah observasi keseluruhan:

total_n <- sum(data_freq$frekuensi)
total_n

## [1] 585

Berdasarkan data simulasi, terdapat 585 mahasiswa yang terbagi ke dalam dua jalur masuk, yaitu Reguler dan Beasiswa.

3.1 Distribusi Penggunaan Kelas Online

data_freq %>%
  group_by(jalur_masuk, kelas_online) %>%
  summarise(
    frekuensi = sum(frekuensi),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  ggplot(aes(x = jalur_masuk, y = frekuensi, fill = kelas_online)) +
  geom_col(position = "dodge", width = 0.7) +
  labs(
    title = "Distribusi Penggunaan Kelas Online",
    subtitle = "Perbandingan berdasarkan jalur masuk",
    x = "Jalur Masuk",
    y = "Jumlah Mahasiswa",
    fill = "Kelas Online"
  )

Grafik menunjukkan bahwa komposisi penggunaan kelas online tidak sama antara mahasiswa jalur Reguler dan Beasiswa. Perbedaan komposisi ini penting karena dapat memengaruhi hubungan antara penggunaan kelas online dan kelulusan ketika seluruh mahasiswa digabungkan.

3.2 Proporsi Kelulusan Berdasarkan Jalur Masuk

proporsi <- data_freq %>%
  group_by(jalur_masuk, kelas_online) %>%
  summarise(
    lulus = sum(frekuensi[kelulusan == "Lulus"]),
    total = sum(frekuensi),
    proporsi_lulus = lulus / total,
    .groups = "drop"
  )

proporsi %>%
  ggplot(aes(x = kelas_online, y = proporsi_lulus, fill = jalur_masuk)) +
  geom_col(position = "dodge", width = 0.7) +
  geom_text(
    aes(label = percent(proporsi_lulus, accuracy = 0.1)),
    position = position_dodge(width = 0.7),
    vjust = -0.3,
    size = 4
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = percent_format(),
    limits = c(0, 1)
  ) +
  labs(
    title = "Proporsi Kelulusan Menurut Penggunaan Kelas Online",
    subtitle = "Dibedakan berdasarkan jalur masuk",
    x = "Penggunaan Kelas Online",
    y = "Proporsi Lulus",
    fill = "Jalur Masuk"
  )

4.1 Membentuk Array Tiga Dimensi

dat <- array(
  c(
    40, 240, 5, 55,
    45, 50, 50, 100
  ),
  dim = c(2, 2, 2),
  dimnames = list(
    Kelas_Online = c("Menggunakan", "Tidak_Menggunakan"),
    Kelulusan = c("Lulus", "Tidak_Lulus"),
    Jalur_Masuk = c("Reguler", "Beasiswa")
  )
)

dat

## , , Jalur_Masuk = Reguler
## 
##                    Kelulusan
## Kelas_Online        Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan          40           5
##   Tidak_Menggunakan   240          55
## 
## , , Jalur_Masuk = Beasiswa
## 
##                    Kelulusan
## Kelas_Online        Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan          45          50
##   Tidak_Menggunakan    50         100

Untuk mempermudah interpretasi, masing-masing strata ditampilkan sebagai tabel 2 × 2.

4.2 Stratum Reguler

tabel_reguler <- as.data.frame(
  dat[, , "Reguler"]
)

tabel_reguler %>%
  knitr::kable(
    caption = "Tabel Kontingensi 2 × 2: Jalur Masuk Reguler"
  )

4.3 Stratum Beasiswa

tabel_beasiswa <- as.data.frame(
  dat[, , "Beasiswa"]
)

tabel_beasiswa %>%
  knitr::kable(
    caption = "Tabel Kontingensi 2 × 2: Jalur Masuk Beasiswa"
  )

5.1 Tabel Marginal

Analisis marginal dilakukan dengan mengabaikan variabel jalur masuk. Frekuensi dari seluruh strata dijumlahkan sehingga diperoleh tabel hubungan penggunaan kelas online dan kelulusan secara keseluruhan.

marginal <- margin.table(dat, c(1, 2))

marginal

##                    Kelulusan
## Kelas_Online        Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan          85          55
##   Tidak_Menggunakan   290         155

marginal_df <- as.data.frame.matrix(marginal)

marginal_df %>%
  knitr::kable(
    caption = "Tabel Marginal Penggunaan Kelas Online × Kelulusan"
  )

5.2 Proporsi Kelulusan Marginal

marginal_prop <- prop.table(marginal, margin = 1)

marginal_prop

##                    Kelulusan
## Kelas_Online            Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan       0.6071429   0.3928571
##   Tidak_Menggunakan 0.6516854   0.3483146

marginal_prop_df <- as.data.frame.matrix(round(marginal_prop, 4))

marginal_prop_df %>%
  knitr::kable(
    caption = "Proporsi Kelulusan Marginal"
  )

5.3 Odds Ratio Marginal

Untuk tabel 2 × 2, odds ratio dihitung dengan:

\[ OR = \frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} \]

or_marginal <- (
  marginal["Menggunakan", "Lulus"] *
  marginal["Tidak_Menggunakan", "Tidak_Lulus"]
) / (
  marginal["Menggunakan", "Tidak_Lulus"] *
  marginal["Tidak_Menggunakan", "Lulus"]
)

or_marginal

## [1] 0.8260188

cat(
  paste0(
    "**OR marginal = ", round(or_marginal, 3), ".**\n\n",
    "Secara keseluruhan, odds kelulusan mahasiswa yang menggunakan kelas online ",
    "adalah sekitar **", round(or_marginal, 2),
    " kali** odds kelulusan mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online. ",
    "Karena nilai OR berada di bawah 1, analisis marginal memberikan indikasi ",
    "bahwa penggunaan kelas online tampak berhubungan dengan odds kelulusan yang lebih rendah."
  )
)

OR marginal = 0.826.

Secara keseluruhan, odds kelulusan mahasiswa yang menggunakan kelas online adalah sekitar 0.83 kali odds kelulusan mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online. Karena nilai OR berada di bawah 1, analisis marginal memberikan indikasi bahwa penggunaan kelas online tampak berhubungan dengan odds kelulusan yang lebih rendah.

Hasil marginal ini belum mempertimbangkan jalur masuk. Oleh karena itu, kesimpulan tersebut perlu diperiksa kembali melalui analisis conditional.

6.1 Odds Ratio Stratum Reguler

reg <- dat[, , "Reguler"]

or_reguler <- (
  reg["Menggunakan", "Lulus"] *
  reg["Tidak_Menggunakan", "Tidak_Lulus"]
) / (
  reg["Menggunakan", "Tidak_Lulus"] *
  reg["Tidak_Menggunakan", "Lulus"]
)

or_reguler

## [1] 1.833333

prop_reguler <- prop.table(reg, margin = 1)

prop_reguler

##                    Kelulusan
## Kelas_Online            Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan       0.8888889   0.1111111
##   Tidak_Menggunakan 0.8135593   0.1864407

Berdasarkan tabel Reguler:

• proporsi lulus pengguna kelas online = 88.9%;
• proporsi lulus mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online = 81.4%;
• OR Reguler = 1.833.

Dengan demikian, pada mahasiswa jalur Reguler, penggunaan kelas online justru menunjukkan odds kelulusan yang lebih tinggi dibandingkan mahasiswa yang tidak menggunakannya.

6.2 Odds Ratio Stratum Beasiswa

bea <- dat[, , "Beasiswa"]

or_beasiswa <- (
  bea["Menggunakan", "Lulus"] *
  bea["Tidak_Menggunakan", "Tidak_Lulus"]
) / (
  bea["Menggunakan", "Tidak_Lulus"] *
  bea["Tidak_Menggunakan", "Lulus"]
)

or_beasiswa

## [1] 1.8

prop_beasiswa <- prop.table(bea, margin = 1)

prop_beasiswa

##                    Kelulusan
## Kelas_Online            Lulus Tidak_Lulus
##   Menggunakan       0.4736842   0.5263158
##   Tidak_Menggunakan 0.3333333   0.6666667

Berdasarkan tabel Beasiswa:

• proporsi lulus pengguna kelas online = 47.4%;
• proporsi lulus mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online = 33.3%;
• OR Beasiswa = 1.8.

Pada mahasiswa jalur Beasiswa, penggunaan kelas online juga menunjukkan odds kelulusan yang lebih tinggi.

6.3 Perbandingan Odds Ratio

or_comparison <- tibble(
  Analisis = c(
    "Marginal",
    "Reguler",
    "Beasiswa"
  ),
  Odds_Ratio = c(
    or_marginal,
    or_reguler,
    or_beasiswa
  )
)

or_comparison %>%
  mutate(
    Odds_Ratio = round(Odds_Ratio, 3)
  ) %>%
  knitr::kable(
    caption = "Perbandingan Odds Ratio Marginal dan Conditional"
  )

or_comparison %>%
  ggplot(aes(x = reorder(Analisis, Odds_Ratio), y = Odds_Ratio)) +
  geom_col(width = 0.65) +
  geom_hline(
    yintercept = 1,
    linetype = "dashed"
  ) +
  geom_text(
    aes(label = round(Odds_Ratio, 2)),
    vjust = -0.4,
    size = 4
  ) +
  labs(
    title = "Perbandingan Odds Ratio",
    subtitle = "OR marginal dibandingkan dengan OR pada masing-masing strata",
    x = NULL,
    y = "Odds Ratio"
  )

8.1 Tujuan Uji

Breslow-Day digunakan untuk menguji apakah odds ratio conditional pada setiap strata dapat dianggap sama atau homogen.

Hipotesis yang digunakan:

\[ H_0: OR_{Reguler}=OR_{Beasiswa} \]

\[ H_1: \text{setidaknya terdapat perbedaan OR antarstrata} \]

Jika nilai p > 0,05, tidak terdapat bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa odds ratio antarstrata berbeda secara signifikan.

8.2 Melakukan Uji Breslow-Day

bd_test <- DescTools::BreslowDayTest(dat)

bd_test

## 
##  Breslow-Day test on Homogeneity of Odds Ratios
## 
## data:  dat
## X-squared = 0.00106, df = 1, p-value = 0.974

bd_stat <- unname(bd_test$statistic)
bd_df <- unname(bd_test$parameter)
bd_p <- bd_test$p.value

bd_stat

## [1] 0.001060044

bd_df

## [1] 1

bd_p

## [1] 0.9740268

8.3 Interpretasi Breslow-Day

if (bd_p > 0.05) {
  cat(
    paste0(
      "**Hasil:** X² = ", round(bd_stat, 3),
      ", df = ", bd_df,
      ", p-value = ", round(bd_p, 4), ".\n\n",
      "Karena p-value > 0,05, maka H₀ **gagal ditolak**. ",
      "Tidak terdapat bukti statistik yang cukup bahwa odds ratio penggunaan kelas online terhadap kelulusan ",
      "berbeda secara signifikan antara mahasiswa jalur Reguler dan Beasiswa. ",
      "Dengan demikian, asosiasi conditional dapat dianggap **homogen antarstrata**."
    )
  )
} else {
  cat(
    paste0(
      "**Hasil:** X² = ", round(bd_stat, 3),
      ", df = ", bd_df,
      ", p-value = ", round(bd_p, 4), ".\n\n",
      "Karena p-value ≤ 0,05, maka H₀ **ditolak**. ",
      "Terdapat bukti bahwa odds ratio berbeda antarstrata jalur masuk, ",
      "sehingga terdapat indikasi interaksi tiga arah."
    )
  )
}

Hasil: X² = 0.001, df = 1, p-value = 0.974.

Karena p-value > 0,05, maka H₀ gagal ditolak. Tidak terdapat bukti statistik yang cukup bahwa odds ratio penggunaan kelas online terhadap kelulusan berbeda secara signifikan antara mahasiswa jalur Reguler dan Beasiswa. Dengan demikian, asosiasi conditional dapat dianggap homogen antarstrata.

9.1 Tujuan Uji

Setelah homogenitas odds ratio diperiksa, hubungan penggunaan kelas online dan kelulusan dapat dianalisis secara keseluruhan dengan tetap mengontrol jalur masuk.

Hipotesis CMH:

\[ H_0: OR_{Reguler}=OR_{Beasiswa}=1 \]

\[ H_1: \text{setidaknya terdapat asosiasi conditional} \]

Dengan kata lain, H₀ menyatakan bahwa penggunaan kelas online dan kelulusan bersifat independen setelah dikontrol berdasarkan jalur masuk.

9.2 Uji CMH

cmh_test <- stats::mantelhaen.test(
  dat,
  correct = FALSE
)

cmh_test

## 
##  Mantel-Haenszel chi-squared test without continuity correction
## 
## data:  dat
## Mantel-Haenszel X-squared = 6.3055, df = 1, p-value = 0.01204
## alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.136528 2.877987
## sample estimates:
## common odds ratio 
##          1.808566

9.3 Statistik dan Common Odds Ratio

cmh_stat <- unname(cmh_test$statistic)
cmh_df <- unname(cmh_test$parameter)
cmh_p <- cmh_test$p.value
common_or <- unname(cmh_test$estimate)

cmh_stat

## [1] 6.305546

cmh_df

## [1] 1

cmh_p

## [1] 0.01203608

common_or

## [1] 1.808566

Interval kepercayaan common odds ratio:

cmh_ci <- cmh_test$conf.int

cmh_ci

## [1] 1.136528 2.877987
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

9.4 Interpretasi CMH

cat(
  paste0(
    "**Hasil CMH:** X² = ", round(cmh_stat, 3),
    ", df = ", cmh_df,
    ", p-value = ", round(cmh_p, 4),
    ", dengan common odds ratio Mantel-Haenszel = ",
    round(common_or, 3), ".\n\n"
  )
)

Hasil CMH: X² = 6.306, df = 1, p-value = 0.012, dengan common odds ratio Mantel-Haenszel = 1.809.

if (cmh_p <= 0.05) {
  cat(
    paste0(
      "Karena p-value ≤ 0,05, H₀ **ditolak**. ",
      "Terdapat bukti statistik bahwa penggunaan kelas online berhubungan dengan kelulusan ",
      "setelah mengontrol jalur masuk. Common OR sebesar **",
      round(common_or, 2),
      "** menunjukkan bahwa odds kelulusan pada mahasiswa yang menggunakan kelas online ",
      "sekitar ", round(common_or, 2),
      " kali odds kelulusan mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online."
    )
  )
} else {
  cat(
    paste0(
      "Karena p-value > 0,05, H₀ **gagal ditolak**. ",
      "Belum terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyatakan adanya hubungan ",
      "penggunaan kelas online dan kelulusan setelah mengontrol jalur masuk. ",
      "Meskipun demikian, common OR sebesar **",
      round(common_or, 2),
      "** menunjukkan arah asosiasi yang ",
      ifelse(common_or > 1, "positif", "negatif"),
      "."
    )
  )
}

Karena p-value ≤ 0,05, H₀ ditolak. Terdapat bukti statistik bahwa penggunaan kelas online berhubungan dengan kelulusan setelah mengontrol jalur masuk. Common OR sebesar 1.81 menunjukkan bahwa odds kelulusan pada mahasiswa yang menggunakan kelas online sekitar 1.81 kali odds kelulusan mahasiswa yang tidak menggunakan kelas online.