Taller 1: Diseño De Comparaciones Simples

CONTEXTO

Una empresa de alimentos utiliza diferentes materiales para fabricar el empaque de sus productos. Se desea determinar si el material del empaque afecta el tiempo necesario para realizar el sellado térmico. Se tiene información para dos materiales:

• Material A: polietileno de baja densidad (PEBD)
• Material B:polipropileno (PP)

De cada material se ha medido el tiempo de sellado, en segundos, como se muestra en la siguiente tabla.

Datos

PEBD	PP
4.8	5.6
5.1	5.3
4.6	5.8
5.0	5.5
4.9	5.7
5.2	5.4
4.7	5.9
5.0	5.6
4.8	5.5
5.3	5.8
4.9	5.4
4.7	5.7
5.1	5.6
4.6	5.9
5.0	5.5
4.8	5.3
5.2	5.7
4.9	5.6
5.1	5.8
4.7	5.4

1.Verifique que las muestras del estudio siguen o no una distribución normal, como requisito para poder realizar una prueba de diferencias de medias. Si no se cumple este supuesto, ¿qué se puede hacer para comparar las dos muestras?

Prueba de normalidad

Se aplicó la prueba de normalidad de Lilliefors a cada muestra, con un nivel de significancia de 0,05. Las hipótesis para cada material son:

\[H_0: X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\]

\[H_1: X_i \not\sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\]

library(nortest)

lillie.test(X1)

    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  X1
D = 0.1192, p-value = 0.6433

lillie.test(X2)

    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  X2
D = 0.10838, p-value = 0.7785

p1 <- lillie.test(X1)$p.value
p2 <- lillie.test(X2)$p.value

Conclusión

El p-value de PEBD fue 0.643 y el de PP fue 0.779. Como ambos son mayores que 0,05, no se rechaza la hipótesis nula en ninguna de las dos muestras, es decir, no hay evidencia en contra de la normalidad. Por lo tanto, ambas muestras siguen una distribución normal y se cumple el requisito para realizar la prueba de diferencia de medias.

Prueba de igualdad de varianzas

Como las dos muestras siguen una distribución normal, se puede aplicar la prueba F para comparar sus varianzas, con un nivel de significancia de 0,05. Las hipótesis son:

\[H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\]

\[H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\]

factor <- c(rep("material n1", 20), rep("material n2", 20))
Material <- c(X1, X2)
factor <- as.factor(factor)

vt <- var.test(Material ~ factor)
vt

    F test to compare two variances

data:  Material by factor
F = 1.2303, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.656
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.4869689 3.1083002
sample estimates:
ratio of variances 
          1.230303 

Conclusión

La razón de varianzas fue 1.2303 y el p-value fue 0.656.. Como el p-value es mayor que 0,05, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, no hay evidencia de que las varianzas sean diferentes. Además, el intervalo de confianza del 95 % para la razón de varianzas, de 0.487 a 3.108, contiene el 1, lo que confirma la misma conclusión.

Por lo tanto, se cumple el supuesto de varianzas iguales y la prueba de diferencia de medias se realizará con varianzas iguales (varianza agrupada).

Prueba de diferencia de medias

Como las muestras son normales y las varianzas son iguales, se aplica la prueba t de dos muestras con varianzas iguales, con un nivel de significancia de 0,05. Las hipótesis son:

\[H_0: \mu_1 = \mu_2\]

\[H_1: \mu_1 \neq \mu_2\]

tt <- t.test(X1, X2, var.equal = TRUE, alternative = "two.sided")
tt

    Two Sample t-test

data:  X1 and X2
t = -10.926, df = 38, p-value = 2.756e-13
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.8059961 -0.5540039
sample estimates:
mean of x mean of y 
     4.92      5.60 

vc <- qt(0.05/2, 38, lower.tail = FALSE)
vc

[1] 2.024394

Conclusión

El estadístico t fue -10.926 con 38 grados de libertad y el p-value fue 2.756e-13. El valor crítico de t para dos colas es 2.024, y como el valor absoluto del estadístico (10.926) es mayor que ese valor, cae en la zona de rechazo. Lo mismo indica el p-value, que es mucho menor que 0,05. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.

El intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias va de -0.806 a -0.554 y no contiene el cero, lo que confirma la diferencia. Las medias muestrales fueron 4.92 s para PEBD y 5.6 s para PP.

Se concluye que el material del empaque sí afecta el tiempo de sellado térmico.

Prueba complementaria de cola izquierda

Para saber en qué dirección es la diferencia, se plantea:

\[H_0: \mu_1 \geq \mu_2\]

\[H_1: \mu_1 < \mu_2\]

tl <- t.test(X1, X2, var.equal = TRUE, alternative = "less")
tl

    Two Sample t-test

data:  X1 and X2
t = -10.926, df = 38, p-value = 1.378e-13
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -0.575068
sample estimates:
mean of x mean of y 
     4.92      5.60 

Conclusión

El estadístico t y los grados de libertad son los mismos (-10.926 y 38), y el p-value fue 1.378e-13, mucho menor que 0,05, por lo que se rechaza la hipótesis nula. El intervalo de confianza de un solo lado va de menos infinito a -0.575, sin incluir el cero.

Hay evidencia de que el tiempo medio de sellado del PEBD es menor que el del PP.

Si el supuesto de normalidad no se hubiera cumplido, se podría transformar los datos (por ejemplo con logaritmo, raiz cuadrada, o Box Cox) para aproximarlos a la normalidad.

2. Verifique el comportamiento de las muestras con respecto a las varianzas, para poder determinar qué tipo de prueba de diferencias de medias realizar.

Tipo de prueba de diferencia de medias

factor <- c(rep("material n1", 20), rep("material n2", 20))
Material <- c(X1, X2)
factor <- as.factor(factor)

vt <- var.test(Material ~ factor)
vt

    F test to compare two variances

data:  Material by factor
F = 1.2303, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.656
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.4869689 3.1083002
sample estimates:
ratio of variances 
          1.230303 

fc <- qf(0.05/2, 19, 19, lower.tail = FALSE)
fc

[1] 2.526451

Como las muestras son normales e independientes y sus varianzas se comportan como iguales, la prueba adecuada es la prueba t de dos muestras con varianzas iguales (varianza agrupada), con 38 grados de libertad. Si las varianzas hubieran sido diferentes, habría que usar la prueba t con varianzas desiguales (Welch).

3. Según los resultados del numeral 2, establezca y evidencie si existe evidencia estadística en el tiempo promedio de sellado entre los empaques fabricados con PEBD y PP, así mismo evidencie cuál material [completa aquí el final del enunciado].

Prueba de diferencia de medias

Según el numeral 2, las varianzas son iguales, por lo que se aplica la prueba t de dos muestras con varianza agrupada, con un nivel de significancia de 0,05. Las hipótesis son:

\[H_0: \mu_1 = \mu_2\]

\[H_1: \mu_1 \neq \mu_2\]

    Two Sample t-test

data:  X1 and X2
t = -10.926, df = 38, p-value = 2.756e-13
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.8059961 -0.5540039
sample estimates:
mean of x mean of y 
     4.92      5.60 

Conclusión

El estadístico t fue -10.926 con 38 grados de libertad y el p-value fue 2.756e-13. El valor crítico de t para dos colas es 2.024, y como el valor absoluto del estadístico (10.926) es mayor que ese valor, cae en la zona de rechazo. Lo mismo indica el p-value, que es mucho menor que 0,05. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.

El intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias va de -0.806 a -0.554 y no contiene el cero, lo que confirma la diferencia.

Existe evidencia estadística de que el tiempo promedio de sellado es diferente entre los empaques de PEBD y PP.

¿Cuál material tiene el menor tiempo de sellado?

Para saber en qué dirección es la diferencia, se plantea una prueba de cola izquierda:

\[H_0: \mu_1 \geq \mu_2\]

\[H_1: \mu_1 < \mu_2\]

tl <- t.test(X1, X2, var.equal = TRUE, alternative = "less")
tl

    Two Sample t-test

data:  X1 and X2
t = -10.926, df = 38, p-value = 1.378e-13
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -0.575068
sample estimates:
mean of x mean of y 
     4.92      5.60 

Conclusión

• El p-value fue 1.378e-13, mucho menor que 0,05, por lo que se rechaza la hipótesis nula. El intervalo de confianza de un solo lado va de menos infinito a -0.575, sin incluir el cero.

Las medias muestrales fueron 4.92 s para PEBD y 5.6 s para PP. Hay evidencia de que el tiempo medio de sellado del PEBD es menor que el del PP, por lo que el PEBD sella más rápido.