Soal Tugas

Ilustrasi Kasus - ‘SocMed Insights’

Aplikasi analitik media sosial ‘SocMed Insights’ mengumpulkan berbagai data untuk keperluan berikut. Kerjakan tiap poin dengan perhitungan manual DAN sintaks RStudio.

  1. (Variabel Acak) Klasifikasikan: (a) jumlah komentar per unggahan, (b) durasi video yang ditonton (detik) - diskrit atau kontinu?
  2. (Binomial) 25% pengguna yang melihat iklan akan mengkliknya. Jika iklan ditampilkan ke 10 pengguna, hitung P(TEPAT 2 mengklik), rata-rata, dan SD jumlah klik.
  3. (Poisson) Rata-rata server menerima 8 unggahan foto per menit. Hitung P(TEPAT 5 unggahan) secara manual, dan P(LEBIH DARI 12 unggahan) dengan RStudio.
  4. (Normal & Z) Waktu muat halaman berdistribusi normal dengan \(\mu\) = 3 detik, \(\sigma\) = 0,5 detik. Hitung P(loading > 4 detik), dan tentukan batas waktu 5% loading TERLAMA.

Soal 1. Variabel Acak (Diskrit atau Kontinu?)

Variabel acak diskrit nilainya bisa dihitung satu per satu (0, 1, 2, …), sedangkan variabel acak kontinu nilainya bisa berupa angka desimal apa pun dalam suatu rentang.

klasifikasi <- data.frame(
  Variabel = c("(a) Jumlah komentar per unggahan",
               "(b) Durasi video yang ditonton (detik)"),
  Tipe     = c("Diskrit", "Kontinu"),
  Alasan   = c("Hasil menghitung, berupa bilangan bulat (0, 1, 2, ...)",
               "Hasil mengukur waktu, bisa desimal (mis. 12,57 detik)")
)
knitr::kable(klasifikasi)
Variabel Tipe Alasan
(a) Jumlah komentar per unggahan Diskrit Hasil menghitung, berupa bilangan bulat (0, 1, 2, …)
(b) Durasi video yang ditonton (detik) Kontinu Hasil mengukur waktu, bisa desimal (mis. 12,57 detik)

Kesimpulan: jumlah komentar adalah variabel acak diskrit (dihitung), sedangkan durasi video yang ditonton adalah variabel acak kontinu (diukur).

Pembuktian dengan data contoh

Data di bawah ini adalah data simulasi (bukan data asli) untuk memperlihatkan perbedaan sifat kedua variabel.

set.seed(123)
komentar <- rpois(200, lambda = 4)          # contoh jumlah komentar per unggahan
durasi   <- rnorm(200, mean = 45, sd = 10)  # contoh durasi tonton (detik)

# 6 data pertama
head(komentar)
## [1] 3 6 3 6 7 1
round(head(durasi), 2)
## [1] 37.90 47.57 42.53 41.52 35.48 44.55
# Apakah semua nilai komentar bilangan bulat?
all(komentar == floor(komentar))
## [1] TRUE
# Banyak nilai yang berbeda (dari 200 data)
c(komentar = length(unique(komentar)),
  durasi   = length(unique(durasi)))
## komentar   durasi 
##       11      200

Jumlah komentar hanya muncul pada sedikit nilai bulat yang bisa didaftar, sedangkan durasi hampir selalu menghasilkan nilai desimal yang berbeda-beda.

op <- par(mfrow = c(1, 2))

barplot(table(komentar), col = "steelblue", cex.names = 0.8,
        main = "Jumlah Komentar (Diskrit)",
        xlab = "Jumlah komentar", ylab = "Frekuensi")

hist(durasi, breaks = 15, freq = FALSE, col = "orange", border = "white",
     main = "Durasi Tonton (Kontinu)",
     xlab = "Durasi (detik)", ylab = "Kepekatan")
lines(density(durasi), lwd = 2, col = "darkred")

par(op)

Kesimpulan Soal 1

Jumlah komentar per unggahan adalah variabel acak diskrit karena diperoleh dengan menghitung dan hasilnya bilangan bulat. Durasi video yang ditonton adalah variabel acak kontinu karena diperoleh dengan mengukur dan hasilnya bisa desimal dalam suatu rentang.

Soal 2. Distribusi Binomial

Diketahui: peluang klik iklan \(p = 0{,}25\) dan iklan ditampilkan ke \(n = 10\) pengguna. Ditanya: P(X = 2), rata-rata, dan SD jumlah klik.

Syarat binomial terpenuhi: n tetap (10), tiap pengguna hanya punya 2 hasil (klik atau tidak), p konstan (0,25), dan antarpengguna saling bebas.

Rumus:

\[P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}, \qquad E(X)=np, \qquad Var(X)=np(1-p)\]

Tabel distribusi lengkap

Tabel ini berisi peluang satuan dan kumulatif untuk n = 10, p = 0,25.

n <- 10
p <- 0.25
x <- 0:n

tabel_binom <- data.frame(
  x = x,
  `P(X = x)`  = round(dbinom(x, n, p), 4),
  `P(X <= x)` = round(pbinom(x, n, p), 4),
  check.names = FALSE
)
knitr::kable(tabel_binom, align = "c")
x P(X = x) P(X <= x)
0 0.0563 0.0563
1 0.1877 0.2440
2 0.2816 0.5256
3 0.2503 0.7759
4 0.1460 0.9219
5 0.0584 0.9803
6 0.0162 0.9965
7 0.0031 0.9996
8 0.0004 1.0000
9 0.0000 1.0000
10 0.0000 1.0000

Pencocokan dengan Tabel Binomial acuan

Tabel Binomial acuan bersifat kumulatif, yaitu memberi P(X <= x). Nilai di bawah ini dibaca dari baris n = 10, kolom p = 0,25, lalu dibandingkan dengan hitungan R.

tabel_acuan_binom <- c(0.0563, 0.2440, 0.5256, 0.7759, 0.9219, 0.9803,
                       0.9965, 0.9996, 1.0000, 1.0000, 1.0000)   # x = 0 sampai 10

cocok_binom <- data.frame(
  x = 0:10,
  `Tabel acuan` = tabel_acuan_binom,
  `Hitungan R`  = round(pbinom(0:10, n, p), 4),
  check.names = FALSE
)
cocok_binom$Cocok <- ifelse(abs(cocok_binom[[2]] - cocok_binom[[3]]) < 1e-9, "Ya", "TIDAK")
knitr::kable(cocok_binom, align = "c")
x Tabel acuan Hitungan R Cocok
0 0.0563 0.0563 Ya
1 0.2440 0.2440 Ya
2 0.5256 0.5256 Ya
3 0.7759 0.7759 Ya
4 0.9219 0.9219 Ya
5 0.9803 0.9803 Ya
6 0.9965 0.9965 Ya
7 0.9996 0.9996 Ya
8 1.0000 1.0000 Ya
9 1.0000 1.0000 Ya
10 1.0000 1.0000 Ya 
stopifnot(all(cocok_binom$Cocok == "Ya"))

a) P(X = 2)

# Langkah manual satu per satu
komb   <- choose(n, 2)        # C(10,2)
pangkat_p <- p^2              # (0,25)^2
pangkat_q <- (1 - p)^(n - 2)  # (0,75)^8

data.frame(Komponen = c("C(10,2)", "(0,25)^2", "(0,75)^8"),
           Nilai    = c(komb, pangkat_p, pangkat_q))
##   Komponen      Nilai
## 1  C(10,2) 45.0000000
## 2 (0,25)^2  0.0625000
## 3 (0,75)^8  0.1001129
manual_2 <- komb * pangkat_p * pangkat_q
manual_2
## [1] 0.2815676
# Verifikasi dengan fungsi bawaan R
p_tepat2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)

# Cara baca tabel kumulatif: P(X=2) = P(X<=2) - P(X<=1)
via_tabel <- pbinom(2, n, p) - pbinom(1, n, p)

# Dari angka pada Tabel Binomial acuan: 0,5256 - 0,2440
via_tabel_acuan <- tabel_acuan_binom[3] - tabel_acuan_binom[2]   # indeks 3 = x 2, indeks 2 = x 1

data.frame(Cara  = c("Manual (rumus)", "dbinom()", "Selisih kumulatif (R)",
                     "Selisih angka Tabel Binomial acuan"),
           Hasil = round(c(manual_2, p_tepat2, via_tabel, via_tabel_acuan), 4))
##                                 Cara  Hasil
## 1                     Manual (rumus) 0.2816
## 2                           dbinom() 0.2816
## 3              Selisih kumulatif (R) 0.2816
## 4 Selisih angka Tabel Binomial acuan 0.2816

b) Rata-rata dan simpangan baku

rata2   <- n * p
varians <- n * p * (1 - p)
sd_klik <- sqrt(varians)

data.frame(Ukuran = c("Rata-rata E(X) = np", "Varians = np(1-p)", "SD = akar varians"),
           Nilai  = round(c(rata2, varians, sd_klik), 4))
##                Ukuran  Nilai
## 1 Rata-rata E(X) = np 2.5000
## 2   Varians = np(1-p) 1.8750
## 3   SD = akar varians 1.3693

Verifikasi dengan simulasi

Kita simulasikan 100.000 kali iklan ditampilkan ke 10 pengguna. Jika perhitungan benar, hasil simulasi harus mendekati hasil teori.

set.seed(2026)
sim_klik <- rbinom(100000, size = n, prob = p)

data.frame(Ukuran  = c("P(X = 2)", "Rata-rata", "SD"),
           Teori   = round(c(p_tepat2, rata2, sd_klik), 4),
           Simulasi = round(c(mean(sim_klik == 2), mean(sim_klik), sd(sim_klik)), 4))
##      Ukuran  Teori Simulasi
## 1  P(X = 2) 0.2816   0.2808
## 2 Rata-rata 2.5000   2.5057
## 3        SD 1.3693   1.3737

Interpretasi

  • P(tepat 2 pengguna klik) = 0.2816, yaitu sekitar 28.16%.
  • Rata-rata jumlah klik = 2.5 pengguna dari 10 pengguna.
  • SD jumlah klik = 1.3693 pengguna, artinya jumlah klik biasanya menyimpang sekitar 1 sampai 2 pengguna dari rata-rata.

Visualisasi

op <- par(mfrow = c(1, 2))

# Grafik 1: PMF
warna <- ifelse(x == 2, "firebrick", "steelblue")
bp <- barplot(dbinom(x, n, p), names.arg = x, col = warna, cex.names = 0.8,
              ylim = c(0, max(dbinom(x, n, p)) + 0.07),
              main = "PMF Binomial (n = 10, p = 0,25)",
              xlab = "Jumlah pengguna yang mengklik (x)",
              ylab = "P(X = x)")
text(bp, dbinom(x, n, p), labels = round(dbinom(x, n, p), 3), pos = 3, cex = 0.7)

# posisi rata-rata (2,5) pada sumbu barplot
pos_rata <- bp[1] + (bp[2] - bp[1]) * rata2
abline(v = pos_rata, lty = 2, lwd = 2)
text(pos_rata, max(dbinom(x, n, p)) + 0.06, "rata-rata = 2,5", pos = 4, cex = 0.8)
legend("right", legend = c("P(X = 2)", "Nilai lain"),
       fill = c("firebrick", "steelblue"), bty = "n", cex = 0.85)

# Grafik 2: CDF (kumulatif)
plot(x, pbinom(x, n, p), type = "s", lwd = 2, col = "darkgreen",
     main = "Peluang Kumulatif P(X <= x)",
     xlab = "Jumlah pengguna yang mengklik (x)", ylab = "P(X <= x)")
points(x, pbinom(x, n, p), pch = 19, col = "darkgreen")
abline(h = pbinom(2, n, p), lty = 3, col = "gray40")
text(8, pbinom(2, n, p) + 0.04,
     paste0("P(X <= 2) = ", round(pbinom(2, n, p), 4)), cex = 0.8)

par(op)

Kesimpulan Soal 2

Jumlah klik pada 10 pengguna mengikuti distribusi Binomial dengan n = 10 dan p = 0,25. Peluang tepat 2 pengguna mengklik adalah 0,2816, dengan rata-rata 2,5 klik dan SD 1,3693. Hasil ini sama dengan angka pada Tabel Binomial (selisih 0,5256 - 0,2440) dan dengan simulasi 100.000 percobaan.

Soal 3. Distribusi Poisson

Diketahui: rata-rata unggahan foto \(\lambda = 8\) per menit. Ditanya: (a) P(X = 5) secara manual, (b) P(X > 12) dengan RStudio.

Rumus:

\[P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \qquad E(X)=Var(X)=\lambda\]

Tabel distribusi lengkap

Tabel ini berisi peluang satuan dan kumulatif untuk \(\lambda\) = 8.

lambda <- 8
x <- 0:20

tabel_pois <- data.frame(
  x = x,
  `P(X = x)`  = round(dpois(x, lambda), 4),
  `P(X <= x)` = round(ppois(x, lambda), 4),
  check.names = FALSE
)
knitr::kable(tabel_pois, align = "c")
x P(X = x) P(X <= x)
0 0.0003 0.0003
1 0.0027 0.0030
2 0.0107 0.0138
3 0.0286 0.0424
4 0.0573 0.0996
5 0.0916 0.1912
6 0.1221 0.3134
7 0.1396 0.4530
8 0.1396 0.5925
9 0.1241 0.7166
10 0.0993 0.8159
11 0.0722 0.8881
12 0.0481 0.9362
13 0.0296 0.9658
14 0.0169 0.9827
15 0.0090 0.9918
16 0.0045 0.9963
17 0.0021 0.9984
18 0.0009 0.9993
19 0.0004 0.9997
20 0.0002 0.9999

Pencocokan dengan Tabel Poisson acuan

Tabel Poisson acuan juga kumulatif, yaitu memberi P(X <= x). Nilai di bawah ini dibaca dari kolom \(\lambda\) = 8,0 lalu dibandingkan dengan hitungan R.

tabel_acuan_pois <- c(0.0003, 0.0030, 0.0138, 0.0424, 0.0996, 0.1912, 0.3134,
                      0.4530, 0.5925, 0.7166, 0.8159, 0.8881, 0.9362, 0.9658,
                      0.9827, 0.9918, 0.9963, 0.9984, 0.9993, 0.9997, 0.9999)  # x = 0 sampai 20

cocok_pois <- data.frame(
  x = 0:20,
  `Tabel acuan` = tabel_acuan_pois,
  `Hitungan R`  = round(ppois(0:20, lambda), 4),
  check.names = FALSE
)
cocok_pois$Cocok <- ifelse(abs(cocok_pois[[2]] - cocok_pois[[3]]) < 1e-9, "Ya", "TIDAK")
knitr::kable(cocok_pois, align = "c")
x Tabel acuan Hitungan R Cocok
0 0.0003 0.0003 Ya
1 0.0030 0.0030 Ya
2 0.0138 0.0138 Ya
3 0.0424 0.0424 Ya
4 0.0996 0.0996 Ya
5 0.1912 0.1912 Ya
6 0.3134 0.3134 Ya
7 0.4530 0.4530 Ya
8 0.5925 0.5925 Ya
9 0.7166 0.7166 Ya
10 0.8159 0.8159 Ya
11 0.8881 0.8881 Ya
12 0.9362 0.9362 Ya
13 0.9658 0.9658 Ya
14 0.9827 0.9827 Ya
15 0.9918 0.9918 Ya
16 0.9963 0.9963 Ya
17 0.9984 0.9984 Ya
18 0.9993 0.9993 Ya
19 0.9997 0.9997 Ya
20 0.9999 0.9999 Ya 
stopifnot(all(cocok_pois$Cocok == "Ya"))

a) P(X = 5) secara manual

# Langkah manual, ditulis satu per satu
e_min_lambda   <- exp(-lambda)       # e^-8
lambda_pangkat <- lambda^5           # 8^5
faktorial      <- factorial(5)       # 5!

data.frame(Komponen = c("e^-8", "8^5", "5!"),
           Nilai    = c(e_min_lambda, lambda_pangkat, faktorial))
##   Komponen        Nilai
## 1     e^-8 3.354626e-04
## 2      8^5 3.276800e+04
## 3       5! 1.200000e+02
hasil_manual <- e_min_lambda * lambda_pangkat / faktorial
hasil_manual
## [1] 0.09160366
# Verifikasi dengan fungsi bawaan R
dpois(5, lambda)
## [1] 0.09160366
# Cara baca tabel kumulatif: P(X=5) = P(X<=5) - P(X<=4)
ppois(5, lambda) - ppois(4, lambda)
## [1] 0.09160366
# Dari angka pada Tabel Poisson acuan: 0,1912 - 0,0996
tabel_acuan_pois[6] - tabel_acuan_pois[5]   # indeks 6 = x 5, indeks 5 = x 4
## [1] 0.0916

Hasil: P(X = 5) = 0.0916, yaitu sekitar 9.16%.

b) P(X > 12) dengan RStudio

\[P(X>12) = 1 - P(X \le 12)\]

p_kurang12 <- ppois(12, lambda)      # P(X <= 12)
p_kurang12
## [1] 0.9362028
# Langsung dari Tabel Poisson acuan (kolom 8,0 baris x = 12): 0,9362
tabel_acuan_pois[13]                 # indeks 13 = x 12
## [1] 0.9362
1 - tabel_acuan_pois[13]             # hasil P(X > 12) lewat tabel
## [1] 0.0638
# Cara 1: komplemen
p_lebih12 <- 1 - ppois(12, lambda)
p_lebih12
## [1] 0.0637972
# Cara 2: argumen lower.tail
ppois(12, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0637972
# Cara 3: jumlahkan peluang 0 sampai 12, lalu komplemen
1 - sum(dpois(0:12, lambda))
## [1] 0.0637972
# Cara 4: jumlahkan langsung peluang 13 sampai batas besar
sum(dpois(13:100, lambda))
## [1] 0.0637972

Peluang server menerima lebih dari 12 unggahan dalam semenit hanya 0.0638 (sekitar 6.38%), jadi tergolong jarang terjadi.

Verifikasi dengan simulasi

set.seed(2026)
sim_unggah <- rpois(100000, lambda)

data.frame(Ukuran   = c("P(X = 5)", "P(X > 12)", "Rata-rata", "Varians"),
           Teori    = round(c(hasil_manual, p_lebih12, lambda, lambda), 4),
           Simulasi = round(c(mean(sim_unggah == 5), mean(sim_unggah > 12),
                              mean(sim_unggah), var(sim_unggah)), 4))
##      Ukuran  Teori Simulasi
## 1  P(X = 5) 0.0916   0.0913
## 2 P(X > 12) 0.0638   0.0645
## 3 Rata-rata 8.0000   8.0139
## 4   Varians 8.0000   8.0635

Visualisasi

op <- par(mfrow = c(1, 2))

# Grafik 1: PMF
warna <- ifelse(x == 5, "firebrick", ifelse(x > 12, "darkorange", "steelblue"))
barplot(dpois(x, lambda), names.arg = x, col = warna, cex.names = 0.7,
        main = "PMF Poisson (\u03bb = 8)",
        xlab = "Jumlah unggahan foto per menit (x)", ylab = "P(X = x)")
legend("topright", legend = c("P(X = 5)", "P(X > 12)", "Lainnya"),
       fill = c("firebrick", "darkorange", "steelblue"), bty = "n", cex = 0.8)

# Grafik 2: CDF
plot(x, ppois(x, lambda), type = "s", lwd = 2, col = "darkgreen",
     main = "Peluang Kumulatif P(X <= x)",
     xlab = "Jumlah unggahan foto per menit (x)", ylab = "P(X <= x)")
points(x, ppois(x, lambda), pch = 19, col = "darkgreen")
abline(v = 12, lty = 2, col = "darkorange", lwd = 2)
abline(h = ppois(12, lambda), lty = 3, col = "gray40")
text(16.5, 0.5,
     paste0("P(X <= 12) = ", round(ppois(12, lambda), 4), "\nP(X > 12) = ",
            round(p_lebih12, 4)), cex = 0.8)

par(op)

Kesimpulan Soal 3

Jumlah unggahan per menit mengikuti distribusi Poisson dengan \(\lambda\) = 8. Peluang tepat 5 unggahan adalah 0,0916, dan peluang lebih dari 12 unggahan adalah 0,0638, yang berarti jarang terjadi. Hasil manual, fungsi R, Tabel Poisson (0,1912 - 0,0996 dan 1 - 0,9362), serta simulasi semuanya sejalan.

Soal 4. Distribusi Normal dan Standardisasi Z

Diketahui: waktu muat halaman ~ Normal dengan \(\mu = 3\) detik dan \(\sigma = 0{,}5\) detik. Ditanya: (a) P(loading > 4 detik), (b) batas waktu 5% loading terlama.

a) P(loading > 4 detik)

Standardisasi:

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{4-3}{0{,}5}=2\]

Jadi P(X > 4) = P(Z > 2) = 1 - P(Z \(\le\) 2).

mu    <- 3
sigma <- 0.5

z_hit <- (4 - mu) / sigma
z_hit
## [1] 2
# Lewat nilai Z baku
1 - pnorm(z_hit)
## [1] 0.02275013
# Langsung dari distribusi aslinya (hasil harus sama)
p_lebih4 <- 1 - pnorm(4, mean = mu, sd = sigma)
p_lebih4
## [1] 0.02275013
# Dengan argumen lower.tail
pnorm(4, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013

Hasil: P(loading > 4 detik) = 0.0228 atau sekitar 2.28%.

Membaca Tabel Distribusi Normal Standar acuan

Tabel acuan punya dua versi:

  • Versi 1 (cdf): luas dari \(-\infty\) sampai z, tersedia untuk z negatif. Karena kurva simetris, P(Z > 2) = P(Z < -2). Dibaca pada baris -2,0 kolom 0.
  • Versi 2: luas dari 0 sampai z. P(0 < Z < 2,00) dibaca pada baris 2,0 kolom 0, lalu P(Z > 2) = 0,5 - luas tersebut.
tabel_v1 <- 0.0228      # Versi 1, baris -2,0 kolom 0 : P(Z < -2,00)
tabel_v2 <- 0.4772      # Versi 2, baris 2,0 kolom 0  : P(0 < Z < 2,00)

data.frame(Cara  = c("Versi 1: P(Z < -2)", "Versi 2: 0,5 - P(0 < Z < 2)",
                     "R: pnorm(-2)", "R: 0,5 - (pnorm(2) - 0,5)"),
           Hasil = round(c(tabel_v1, 0.5 - tabel_v2,
                           pnorm(-2), 0.5 - (pnorm(2) - 0.5)), 4))
##                          Cara  Hasil
## 1          Versi 1: P(Z < -2) 0.0228
## 2 Versi 2: 0,5 - P(0 < Z < 2) 0.0228
## 3                R: pnorm(-2) 0.0228
## 4   R: 0,5 - (pnorm(2) - 0,5) 0.0228

b) Batas waktu 5% loading terlama

Kita mencari nilai \(x\) sehingga P(X > x) = 0,05, atau P(X \(\le\) x) = 0,95.

Luas di kanan batas adalah 0,05. Pada Tabel Z acuan:

  • Versi 1: cari luas 0,0500. Nilainya berada di antara 0,0505 (z = -1,64) dan 0,0495 (z = -1,65), tepat di tengah. Maka z = -1,645, dan karena simetris, Z yang dipakai adalah +1,645.
  • Versi 2: cari luas 0,4500 (= 0,5 - 0,05). Nilainya berada di antara 0,4495 (z = 1,64) dan 0,4505 (z = 1,65), tepat di tengah. Maka Z = 1,645.
data.frame(
  Z = c(1.64, 1.65),
  `Versi 1: P(Z < -z) tabel` = c(0.0505, 0.0495),
  `Versi 2: P(0 < Z < z) tabel` = c(0.4495, 0.4505),
  `R: pnorm(-z)` = round(pnorm(-c(1.64, 1.65)), 4),
  `R: pnorm(z) - 0,5` = round(pnorm(c(1.64, 1.65)) - 0.5, 4),
  check.names = FALSE
)
##      Z Versi 1: P(Z < -z) tabel Versi 2: P(0 < Z < z) tabel R: pnorm(-z)
## 1 1.64                   0.0505                      0.4495       0.0505
## 2 1.65                   0.0495                      0.4505       0.0495
##   R: pnorm(z) - 0,5
## 1            0.4495
## 2            0.4505

Jadi \(Z \approx 1{,}645\). Maka:

\[X=\mu+Z\sigma = 3 + 1{,}645(0{,}5) = 3{,}8225\]

z_batas <- qnorm(0.95)
z_batas
## [1] 1.644854
batas <- mu + z_batas * sigma          # manual dari rumus
batas
## [1] 3.822427
qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)     # verifikasi langsung
## [1] 3.822427
# Cek balik: peluang di atas batas harus tepat 5%
1 - pnorm(batas, mean = mu, sd = sigma)
## [1] 0.05

Halaman yang waktu muatnya lebih dari 3.8224 detik termasuk 5% loading terlama.

Verifikasi dengan simulasi

set.seed(2026)
sim_load <- rnorm(100000, mean = mu, sd = sigma)

data.frame(Ukuran   = c("P(loading > 4)", "Batas 5% terlama"),
           Teori    = round(c(p_lebih4, batas), 4),
           Simulasi = round(c(mean(sim_load > 4), quantile(sim_load, 0.95)), 4),
           row.names = NULL)
##             Ukuran  Teori Simulasi
## 1   P(loading > 4) 0.0228   0.0232
## 2 Batas 5% terlama 3.8224   3.8225

Pengecekan aturan empiris 68-95-99,7%

aturan <- data.frame(
  Rentang = c("mu +/- 1 sigma", "mu +/- 2 sigma", "mu +/- 3 sigma"),
  Batas   = c("2,5 - 3,5", "2,0 - 4,0", "1,5 - 4,5"),
  Peluang = round(c(pnorm(1) - pnorm(-1),
                    pnorm(2) - pnorm(-2),
                    pnorm(3) - pnorm(-3)), 4)
)
knitr::kable(aturan)
Rentang Batas Peluang
mu +/- 1 sigma 2,5 - 3,5 0.6827
mu +/- 2 sigma 2,0 - 4,0 0.9545
mu +/- 3 sigma 1,5 - 4,5 0.9973

Ini menjelaskan hasil (a): 4 detik berada tepat di \(\mu + 2\sigma\), dan sisa di ekor kanan adalah (1 - 0,9545)/2, kira-kira 0,0228.

Visualisasi

x <- seq(1, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)

op <- par(mfrow = c(1, 2))

# Grafik 1: P(X > 4)
plot(x, y, type = "l", lwd = 2,
     main = "P(loading > 4 detik)",
     xlab = "Waktu muat (detik)", ylab = "Kepekatan f(x)")
xs <- seq(4, 5, length.out = 100)
polygon(c(4, xs, 5), c(0, dnorm(xs, mu, sigma), 0),
        col = rgb(1, 0, 0, 0.4), border = NA)
abline(v = mu, lty = 2)
text(4.45, 0.3, paste0("Luas = ", round(p_lebih4, 4)), cex = 0.85)
arrows(4.45, 0.26, 4.35, 0.04, length = 0.08)

# Grafik 2: batas 5% terlama
plot(x, y, type = "l", lwd = 2,
     main = "Batas 5% loading terlama",
     xlab = "Waktu muat (detik)", ylab = "Kepekatan f(x)")
xs <- seq(batas, 5, length.out = 100)
polygon(c(batas, xs, 5), c(0, dnorm(xs, mu, sigma), 0),
        col = rgb(0, 0, 1, 0.4), border = NA)
abline(v = batas, col = "blue", lwd = 2)
text(3.9, 0.45, paste0("x = ", round(batas, 3), " detik"),
     col = "blue", cex = 0.75, adj = 0)
text(3.9, 0.38, "luas kanan = 5%", col = "blue", cex = 0.72, adj = 0)

par(op)

Grafik berikut menunjukkan hal yang sama pada skala Z (distribusi normal baku), sesuai cara membaca Tabel Z:

z  <- seq(-4, 4, length.out = 500)
fz <- dnorm(z)

plot(z, fz, type = "l", lwd = 2,
     main = "Distribusi Normal Baku (Z)",
     xlab = "Z", ylab = "Kepekatan")

zs <- seq(2, 4, length.out = 100)
polygon(c(2, zs, 4), c(0, dnorm(zs), 0), col = rgb(1, 0, 0, 0.4), border = NA)
zs <- seq(z_batas, 4, length.out = 100)
polygon(c(z_batas, zs, 4), c(0, dnorm(zs), 0), col = rgb(0, 0, 1, 0.3), border = NA)

abline(v = c(2, z_batas), lty = 2, col = c("red", "blue"))
legend("topleft",
       legend = c("Z = 2 (X = 4 detik)", "Z = 1,645 (X = 3,8224 detik)"),
       lty = 2, col = c("red", "blue"), bty = "n", cex = 0.85)

Kesimpulan Soal 4

Waktu muat halaman berdistribusi normal dengan \(\mu\) = 3 detik dan \(\sigma\) = 0,5 detik. Waktu lebih dari 4 detik setara Z = 2 dengan peluang 0,0228 (2,28%), jadi jarang terjadi. Batas 5% loading terlama adalah 3,8225 detik (sekitar 3,82 detik), yang berasal dari Z = 1,645. Hasil ini sesuai dengan Tabel Distribusi Normal Standar versi 1 dan versi 2, serta simulasi.

Pengecekan Otomatis

Blok ini membandingkan hasil hitungan dengan nilai yang diharapkan (perhitungan manual dan angka pada Tabel Binomial, Tabel Poisson, dan Tabel Distribusi Normal Standar acuan). Jika ada yang tidak cocok, proses knit akan berhenti dengan pesan error.

cek <- c(
  "Soal 2: manual = dbinom"        = isTRUE(all.equal(manual_2, p_tepat2)),
  "Soal 2: P(X=2) = 0,2816"        = round(p_tepat2, 4) == 0.2816,
  "Soal 2: rata-rata = 2,5"        = rata2 == 2.5,
  "Soal 2: SD = 1,3693"            = round(sd_klik, 4) == 1.3693,
  "Soal 3: manual = dpois"         = isTRUE(all.equal(hasil_manual, dpois(5, lambda))),
  "Soal 3: P(X=5) = 0,0916"        = round(hasil_manual, 4) == 0.0916,
  "Soal 3: P(X<=12) = 0,9362"      = round(p_kurang12, 4) == 0.9362,
  "Soal 3: P(X>12) = 0,0638"       = round(p_lebih12, 4) == 0.0638,
  "Soal 4: Z = 2"                  = z_hit == 2,
  "Soal 4: P(>4 detik) = 0,0228"   = round(p_lebih4, 4) == 0.0228,
  "Soal 4: batas = 3,8224"         = round(batas, 4) == 3.8224,
  "Tabel Binomial: 0,5256 - 0,2440 = 0,2816" = round(via_tabel_acuan, 4) == 0.2816,
  "Tabel Poisson: 0,1912 - 0,0996 = 0,0916"  = round(tabel_acuan_pois[6] - tabel_acuan_pois[5], 4) == 0.0916,
  "Tabel Poisson: 1 - 0,9362 = 0,0638"       = round(1 - tabel_acuan_pois[13], 4) == 0.0638,
  "Tabel Z versi 1: P(Z < -2) = 0,0228"      = abs(round(pnorm(-2), 4) - tabel_v1) < 1e-9,
  "Tabel Z versi 2: 0,5 - 0,4772 = 0,0228"   = abs(round(0.5 - tabel_v2, 4) - 0.0228) < 1e-9,
  "Tabel Z: z = -1,64 dan -1,65"             = all(round(pnorm(-c(1.64, 1.65)), 4) == c(0.0505, 0.0495)),
  "Tabel Z: luas 0 sampai z = 1,64 dan 1,65" = all(round(pnorm(c(1.64, 1.65)) - 0.5, 4) == c(0.4495, 0.4505))
)

stopifnot(all(cek))
data.frame(Pengecekan = names(cek),
           Hasil = ifelse(cek, "Sesuai", "TIDAK SESUAI"),
           row.names = NULL)
##                                  Pengecekan  Hasil
## 1                   Soal 2: manual = dbinom Sesuai
## 2                   Soal 2: P(X=2) = 0,2816 Sesuai
## 3                   Soal 2: rata-rata = 2,5 Sesuai
## 4                       Soal 2: SD = 1,3693 Sesuai
## 5                    Soal 3: manual = dpois Sesuai
## 6                   Soal 3: P(X=5) = 0,0916 Sesuai
## 7                 Soal 3: P(X<=12) = 0,9362 Sesuai
## 8                  Soal 3: P(X>12) = 0,0638 Sesuai
## 9                             Soal 4: Z = 2 Sesuai
## 10             Soal 4: P(>4 detik) = 0,0228 Sesuai
## 11                   Soal 4: batas = 3,8224 Sesuai
## 12 Tabel Binomial: 0,5256 - 0,2440 = 0,2816 Sesuai
## 13  Tabel Poisson: 0,1912 - 0,0996 = 0,0916 Sesuai
## 14       Tabel Poisson: 1 - 0,9362 = 0,0638 Sesuai
## 15      Tabel Z versi 1: P(Z < -2) = 0,0228 Sesuai
## 16   Tabel Z versi 2: 0,5 - 0,4772 = 0,0228 Sesuai
## 17             Tabel Z: z = -1,64 dan -1,65 Sesuai
## 18 Tabel Z: luas 0 sampai z = 1,64 dan 1,65 Sesuai

Rekapitulasi Jawaban

rekap <- data.frame(
  No = c("1", "2", "2", "2", "3", "3", "4", "4"),
  Pertanyaan = c("Tipe variabel (a) dan (b)",
                 "P(tepat 2 klik)", "Rata-rata klik", "SD klik",
                 "P(tepat 5 unggahan)", "P(lebih dari 12 unggahan)",
                 "P(loading > 4 detik)", "Batas 5% terlama (detik)"),
  Jawaban = c("(a) Diskrit, (b) Kontinu",
              sprintf("%.4f", p_tepat2), sprintf("%.1f", rata2), sprintf("%.4f", sd_klik),
              sprintf("%.4f", hasil_manual), sprintf("%.4f", p_lebih12),
              sprintf("%.4f", p_lebih4), sprintf("%.4f", batas))
)
knitr::kable(rekap)
No Pertanyaan Jawaban
1 Tipe variabel (a) dan (b) (a) Diskrit, (b) Kontinu
2 P(tepat 2 klik) 0.2816
2 Rata-rata klik 2.5
2 SD klik 1.3693
3 P(tepat 5 unggahan) 0.0916
3 P(lebih dari 12 unggahan) 0.0638
4 P(loading > 4 detik) 0.0228
4 Batas 5% terlama (detik) 3.8224

Kesimpulan Umum

Tugas ini memakai empat konsep dari Pertemuan 5, dan pilihan distribusinya ditentukan oleh jenis variabel acaknya.

  1. Variabel acak. Jumlah komentar per unggahan adalah variabel diskrit karena diperoleh dengan menghitung dan hasilnya bilangan bulat. Durasi video yang ditonton adalah variabel kontinu karena diperoleh dengan mengukur dan hasilnya bisa desimal.

  2. Binomial (n = 10, p = 0,25). Peluang tepat 2 dari 10 pengguna mengklik iklan adalah 0,2816 (28,16%). Rata-rata jumlah klik adalah 2,5 pengguna dengan SD 1,3693. Distribusi ini cocok karena jumlah percobaan tetap, hasilnya hanya klik atau tidak klik, p konstan, dan antarpengguna saling bebas.

  3. Poisson (λ = 8). Peluang tepat 5 unggahan foto dalam semenit adalah 0,0916 (9,16%). Peluang lebih dari 12 unggahan hanya 0,0638 (6,38%), jadi tergolong jarang terjadi. Distribusi ini cocok karena yang dihitung adalah jumlah kejadian dalam interval tetap dengan laju rata-rata konstan.

  4. Normal dan Z (μ = 3, σ = 0,5). Peluang waktu muat lebih dari 4 detik adalah 0,0228 (2,28%), dengan Z = 2. Batas 5% loading terlama adalah sekitar 3,82 detik (3,8224 menurut R dan 3,8225 menurut Z = 1,645 dari tabel), jadi halaman yang lebih lambat dari itu termasuk 5% terlambat.

Seluruh hasil sudah diperiksa dengan empat cara: perhitungan manual, fungsi bawaan R (dbinom, dpois, pnorm, qnorm), pembacaan Tabel Binomial, Tabel Poisson, dan Tabel Distribusi Normal Standar, serta simulasi 100.000 percobaan. Keempatnya sejalan, sehingga jawaban dapat dipercaya.

Secara keseluruhan, peristiwa yang berpeluang kecil (klik tepat 2 dari 10 pengguna hanya sekitar 28%, lebih dari 12 unggahan sekitar 6%, loading lebih dari 4 detik sekitar 2%) menunjukkan bahwa sistem umumnya bekerja di sekitar nilai rata-ratanya, yaitu 2,5 klik, 8 unggahan per menit, dan 3 detik waktu muat.