Data dan Studi Kasus

Sebuah kampus ingin mengetahui apakah PENGGUNAAN KELAS ONLINE berhubungan dengan KELULUSAN mahasiswa, dengan JALUR MASUK (Reguler/Beasiswa) sebagai kovariat yang diduga memengaruhi pola hubungan tersebut.
1. Susun tabel kontingensi 3 arah dari data yang Anda kumpulkan/simulasikan
2. Hitung OR marginal dan OR tiap stratum (bersyarat)
3. Periksa apakah terjadi Paradoks Simpson
4. Lakukan uji Breslow-Day dan CMH dengan R
5. Tulis interpretasi & kesimpulan akhir

Penyelesaian

1. Susun tabel kontingensi 3 arah dari data yang Anda kumpulkan/simulasikan

data yang di gunakan adalah data simulasi. Saya mensimulasikan data frekuensi mahasiswa berdasarkan tiga variabel: Penggunaan Kelas Online (X), Kelulusan (Y), dan Jalur Masuk (Z) sebagai kovariat.

# Menyusun array 3 dimensi: Kelas Online x Kelulusan x Jalur Masuk
# Urutan data per stratum: (Ya_Lulus, Ya_Tidak, Tidak_Lulus, Tidak_Tidak)
dat <- array(c(180, 20, 640, 160,  # Stratum 1: Reguler
               400, 400, 80, 120), # Stratum 2: Beasiswa
             dim = c(2, 2, 2),
             dimnames = list(
               Kelas_Online = c("Ya", "Tidak"),
               Kelulusan = c("Lulus", "Tidak Lulus"),
               Jalur_Masuk = c("Reguler", "Beasiswa")
             ))

# Menampilkan tabel kontingensi 3 arah
ftable(dat)
##                          Jalur_Masuk Reguler Beasiswa
## Kelas_Online Kelulusan                               
## Ya           Lulus                       180      400
##              Tidak Lulus                 640       80
## Tidak        Lulus                        20      400
##              Tidak Lulus                 160      120

Interpretasi:

Tabel di atas merupakan tabel kontingensi tiga arah berukuran \(2 \times 2 \times 2\). Setiap sel dinotasikan sebagai \(n_{ijk}\) dengan:

  • \(i\) = kategori Penggunaan Kelas Online (Ya / Tidak)
  • \(j\) = kategori Kelulusan (Lulus / Tidak Lulus)
  • \(k\) = tingkat kovariat Jalur Masuk (Reguler / Beasiswa)

Sebagai contoh, pada stratum Reguler, terdapat 180 mahasiswa yang menggunakan Kelas Online dan lulus, serta 640 mahasiswa yang menggunakan Kelas Online tetapi tidak lulus. Sementara itu, terdapat 20 mahasiswa yang tidak menggunakan Kelas Online namun tetap lulus, dan 160 mahasiswa yang tidak menggunakan Kelas Online dan tidak lulus.

2. Hitung OR marginal dan OR tiap stratum (bersyarat)

a. OR Marginal (Mengabaikan Kovariat)

Analisis marginal dilakukan dengan menjumlahkan seluruh stratum, sehingga hubungan antara \(X\) dan \(Y\) dilihat tanpa memperhatikan \(Z\).

# Tabel Marginal (mengabaikan Jalur Masuk)
tab_marginal <- margin.table(dat, c(1,2))
print(tab_marginal)
##             Kelulusan
## Kelas_Online Lulus Tidak Lulus
##        Ya      580         720
##        Tidak   420         280
# Menghitung OR Marginal
OR_marginal <- (tab_marginal[1,1] * tab_marginal[2,2]) /
               (tab_marginal[1,2] * tab_marginal[2,1])
cat("OR Marginal:", OR_marginal, "\n")
## OR Marginal: 0.537037

Interpretasi OR Marginal:

Rasio odds marginal dihitung dengan rumus:

\[OR_{marginal} = \frac{a \times d}{b \times c} = \frac{580 \times 280}{420 \times 720} = 0{,}537\]

Karena \(OR_{marginal} < 1\), secara keseluruhan (naif) penggunaan Kelas Online tampak menurunkan odds kelulusan mahasiswa. Dengan kata lain, Kelas Online seolah-olah merugikan.

b. OR Bersyarat (Tabel Parsial per Stratum)

Analisis bersyarat dilakukan dengan memisahkan data berdasarkan tingkat kovariat \(Z\), yaitu menghitung OR pada setiap tabel parsial.

# Stratum 1: Reguler
tab_reguler <- dat[,,1]
OR_reguler  <- (tab_reguler[1,1] * tab_reguler[2,2]) /
               (tab_reguler[1,2] * tab_reguler[2,1])
cat("OR Reguler :", OR_reguler, "\n")
## OR Reguler : 2.25
# Stratum 2: Beasiswa
tab_beasiswa <- dat[,,2]
OR_beasiswa  <- (tab_beasiswa[1,1] * tab_beasiswa[2,2]) /
                (tab_beasiswa[1,2] * tab_beasiswa[2,1])
cat("OR Beasiswa:", OR_beasiswa, "\n")
## OR Beasiswa: 1.5

Interpretasi OR Bersyarat:

Untuk masing-masing stratum, rasio odds bersyarat dihitung sebagai berikut:

\[\theta_{XY|Z_{1}} = \frac{180 \times 160}{20 \times 640} = 2{,}25 \quad \text{(Reguler)}\]

\[\theta_{XY|Z_{2}} = \frac{400 \times 120}{400 \times 80} = 1{,}50 \quad \text{(Beasiswa)}\]

Kedua nilai OR bersyarat bernilai \(> 1\), sehingga di dalam masing-masing kelompok jalur masuk, penggunaan Kelas Online justru meningkatkan odds kelulusan mahasiswa.

3. Periksa apakah terjadi Paradoks Simpson

Untuk memeriksa apakah terjadi Paradoks Simpson, kita bandingkan arah OR marginal dengan arah OR bersyarat. Paradoks Simpson terjadi apabila arah keduanya berlawanan.

# Fungsi bantu untuk mengecek arah OR
cek_arah <- function(or) {
  if (or > 1) {
    return("POSITIF (X meningkatkan odds Y)")
  } else if (or < 1) {
    return("NEGATIF (X menurunkan odds Y)")
  } else {
    return("NETRAL (tidak ada asosiasi)")
  }
}

# Menampilkan perbandingan OR
hasil <- data.frame(
  Analisis   = c("Marginal", "Bersyarat - Reguler", "Bersyarat - Beasiswa"),
  Nilai_OR   = c(OR_marginal, OR_reguler, OR_beasiswa),
  Arah       = c(cek_arah(OR_marginal), cek_arah(OR_reguler), cek_arah(OR_beasiswa))
)
print(hasil)
##               Analisis Nilai_OR                            Arah
## 1             Marginal 0.537037   NEGATIF (X menurunkan odds Y)
## 2  Bersyarat - Reguler 2.250000 POSITIF (X meningkatkan odds Y)
## 3 Bersyarat - Beasiswa 1.500000 POSITIF (X meningkatkan odds Y)
# Cek apakah terjadi Paradoks Simpson
paradoks <- (OR_marginal < 1) & (OR_reguler > 1) & (OR_beasiswa > 1)
cat("\nApakah terjadi Paradoks Simpson? ->", paradoks, "\n")
## 
## Apakah terjadi Paradoks Simpson? -> TRUE

Interpretasi:

Karena \(OR_{marginal} < 1\) sedangkan \(\theta_{XY|Z_k} > 1\) untuk kedua stratum, maka terjadi paradoks simpson. Arah hubungan pada analisis marginal berlawanan dengan arah hubungan pada analisis bersyarat.

4. Lakukan uji Breslow-Day dan CMH dengan R

a. Uji Breslow-Day
Uji Breslow-Day menguji apakah odds ratio antar stratum bersifat homogen

Langkah 1. Hipotesis
\[H_0: \theta_{XY|Z_1} = \theta_{XY|Z_2} = \dots = \theta_{XY|Z_K} \quad \text{(OR antar stratum homogen)}\]

\[H_1: \text{Minimal ada satu } \theta_{XY|Z_k} \text{ yang berbeda} \quad \text{(ada interaksi tiga arah)}\]

Langkah 2. Taraf Signifikansi
Digunakan \(\alpha = 0{,}05\).

Langkah 3. Statistik Uji

library(DescTools)

# Uji Breslow-Day
bd_test <- BreslowDayTest(dat)
print(bd_test)
## 
##  Breslow-Day test on Homogeneity of Odds Ratios
## 
## data:  dat
## X-squared = 1.8639, df = 1, p-value = 0.1722

Langkah 4. Kriteria Penolakan
Tolak \(H_0\) jika \(p\text{-value} < \alpha = 0{,}05\).

Langkah 5. Keputusan
Berdasarkan output R, diperoleh nilai \(X^2_{BD}\) dengan \(p\text{-value} > 0{,}05\). Karena \(p\text{-value} > 0{,}05\), maka gagal menolak \(H_0\).

Langkah 6. Kesimpulan
Dengan Taraf Signifikansi \(\alpha = 0{,}05\), Tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa OR antar stratum berbeda. Dengan kata lain, asosiasi bersifat homogen (homogeneous association) dan tidak ada interaksi tiga arah. Pengaruh Kelas Online terhadap Kelulusan konsisten di kedua Jalur Masuk (Reguler dan Beasiswa).

b. Uji Cochran-Mantel-Haenszel (CMH)
Uji CMH menguji apakah terdapat asosiasi bersyarat antara \(X\) dan \(Y\) setelah mengontrol \(Z\):

Langkah 1. Hipotesis \[H_0: \theta_{XY|Z_k} = 1 \quad \text{untuk semua } k \quad \text{(independensi bersyarat)}\]

\[H_1: \theta_{XY|Z_k} \neq 1 \quad \text{untuk minimal satu } k \quad \text{(ada asosiasi bersyarat)}\]

Langkah 2. Taraf Signifikansi
Digunakan \(\alpha = 0{,}05\).

Langkah 3. Statistik Uji

# Uji Cochran-Mantel-Haenszel + OR gabungan (Mantel-Haenszel)
cmh_test <- mantelhaen.test(dat, correct = FALSE)
print(cmh_test)
## 
##  Mantel-Haenszel chi-squared test without continuity correction
## 
## data:  dat
## Mantel-Haenszel X-squared = 16.097, df = 1, p-value = 6.019e-05
## alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.317533 2.230514
## sample estimates:
## common odds ratio 
##          1.714286
# Menampilkan nilai OR gabungan
cat("\nCommon Odds Ratio (OR MH):", cmh_test$estimate, "\n")
## 
## Common Odds Ratio (OR MH): 1.714286

Langkah 4. Kriteria Penolakan
Tolak \(H_0\) jika \(p\text{-value} < \alpha = 0{,}05\).

Langkah 5. Keputusan
Berdasarkan output R, diperoleh \(X^2_{CMH}\) dengan \(p\text{-value} < 0{,}05\). Karena \(p\text{-value} < 0{,}05\), maka Tolak \(H_0\).

Langkah 6. Kesimpulan
Dengan Taraf Signifikansi \(\alpha = 0{,}05\), cukup bukti untuk menyatakan bahwa terdapat asosiasi bersyarat yang signifikan antara Penggunaan Kelas Online dan Kelulusan setelah mengontrol Jalur Masuk.

5. Tulis interpretasi & kesimpulan akhir

Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut.

Pertama, terjadi Paradoks Simpson pada data ini. Analisis marginal yang mengabaikan variabel jalur masuk menunjukkan nilai \(OR_{marginal} = 0{,}537\), yang berarti secara keseluruhan penggunaan kelas online tampak menurunkan peluang kelulusan mahasiswa. Namun, ketika data dianalisis secara bersyarat per jalur masuk, hasilnya justru berlawanan. Pada kelompok Reguler diperoleh \(\theta_{XY|Z_1} = 2{,}25\) dan pada kelompok Beasiswa diperoleh \(\theta_{XY|Z_2} = 1{,}50\). Kedua nilai tersebut lebih besar dari 1, yang berarti di dalam masing-masing kelompok, penggunaan kelas online justru meningkatkan peluang kelulusan. Dengan demikian, kesimpulan dari analisis marginal tidak dapat dipercaya karena arah hubungannya berbalik setelah kovariat dikontrol.

Kedua, asosiasi antara penggunaan kelas online dan kelulusan bersifat homogen antar stratum. Hasil uji Breslow-Day menghasilkan \(p\text{-value}\) yang lebih besar dari \(\alpha = 0{,}05\), sehingga \(H_0\) tidak ditolak. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat interaksi tiga arah, dan nilai odds ratio pada kedua jalur masuk dapat dianggap sama. Dengan kata lain, pengaruh kelas online terhadap kelulusan relatif konsisten, baik pada mahasiswa Reguler maupun Beasiswa.

Ketiga, terdapat asosiasi bersyarat yang signifikan antara penggunaan kelas online dan kelulusan setelah jalur masuk dikontrol. Uji Cochran-Mantel-Haenszel menghasilkan \(p\text{-value}\) yang lebih kecil dari \(\alpha = 0{,}05\), sehingga \(H_0\) ditolak. Nilai odds ratio gabungan Mantel-Haenszel, yaitu \(\hat{\theta}_{MH} > 1\), menunjukkan bahwa setelah memperhitungkan jalur masuk, odds kelulusan mahasiswa yang menggunakan kelas online lebih tinggi dibandingkan mahasiswa yang tidak menggunakannya.

Berdasarkan ketiga hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa hubungan antara penggunaan kelas online dan kelulusan mahasiswa tidak dapat dinilai secara langsung dari data agregat.