Deskripsi Kasus

Sebuah kampus ingin mengetahui apakah penggunaan kelas online berhubungan dengan kelulusan mahasiswa, dengan Jalur masuk (Reguler / Beasiswa) sebagai kovariat yang diduga memengaruhi pola hubungan tersebut.

  1. Susun tabel kontingensi 3 arah dari data yang Anda kumpulkan/simulasikan

  2. Hitung OR marginal dan OR tiap stratum (bersyarat)

  3. Periksa apakah terjadi Paradoks Simpson

  4. Lakukan uji Breslow-Day dan CMH dengan R

  5. Tulis interpretasi & kesimpulan akhir

1. Menyusun Tabel Kontingensi 3 Arah

Data disusun sebagai array 3 dimensi: Kelas Online × Hasil × Jalur Masuk (bentuk 2 × 2 × 2).

dat <- array(c(150, 35, 70, 25,    # stratum: Reguler
               72, 190, 8, 30),    # stratum: Beasiswa
             dim = c(2, 2, 2),
             dimnames = list(Online = c("Ya", "Tidak"),
                             Hasil  = c("Lulus", "Tidak Lulus"),
                             Jalur  = c("Reguler", "Beasiswa")))
dat
## , , Jalur = Reguler
## 
##        Hasil
## Online  Lulus Tidak Lulus
##   Ya      150          70
##   Tidak    35          25
## 
## , , Jalur = Beasiswa
## 
##        Hasil
## Online  Lulus Tidak Lulus
##   Ya       72           8
##   Tidak   190          30
Jalur Masuk Kelas Online Lulus Tidak Lulus Total
Reguler Ya 150 70 220
Tidak 35 25 60
Beasiswa Ya 72 8 80
Tidak 190 30 220

Tabel ini membagi mahasiswa ke 8 kelompok berdasarkan tiga hal sekaligus: jalur masuk, pakai kelas online atau tidak, dan lulus atau tidak. Di jalur Reguler ada 280 mahasiswa (220 pakai kelas online, 60 tidak). Di jalur Beasiswa ada 300 mahasiswa (80 pakai kelas online, 220 tidak). Jadi kebiasaan pakai kelas online ternyata beda jauh antar jalur.

2. OR Marginal dan OR Tiap Stratum (Bersyarat)

2.1 OR Marginal (mengabaikan jalur masuk)

Tabel marginal diperoleh dengan menjumlahkan kedua stratum jalur masuk.

tab_marg <- margin.table(dat, c(1, 2))
addmargins(tab_marg)
##        Hasil
## Online  Lulus Tidak Lulus Sum
##   Ya      222          78 300
##   Tidak   225          55 280
##   Sum     447         133 580
# % lulus per kelompok kelas online
round(100 * prop.table(tab_marg, 1)[, "Lulus"], 1)
##    Ya Tidak 
##  74.0  80.4
# OR marginal = (n11 * n22) / (n12 * n21)
OR_marg <- (tab_marg["Ya", "Lulus"] * tab_marg["Tidak", "Tidak Lulus"]) /
           (tab_marg["Ya", "Tidak Lulus"] * tab_marg["Tidak", "Lulus"])
OR_marg
## [1] 0.6957265
Kelas Online Lulus Tidak Lulus Total % Lulus
Ya 222 78 300 74.0%
Tidak 225 55 280 80.4%

\[OR_{marginal} = \frac{222 \times 55}{78 \times 225} = 0.696\]

Yang lulus ada 74,0% di kelompok pengguna kelas online, sedangkan di kelompok yang tidak pakai ada 80,4%. OR marginal-nya 0,696, kurang dari 1. Kalau berhenti di sini, kesimpulannya: pakai kelas online malah bikin lebih susah lulus.

2.2 OR Tiap Stratum (Bersyarat pada Jalur Masuk)

Tiap tabel parsial berbentuk 2 × 2, sehingga rumus OR dapat langsung dipakai per stratum.

# % lulus per stratum
apply(dat, 3, function(t) round(100 * prop.table(t, 1)[, "Lulus"], 1))
##        Jalur
## Online  Reguler Beasiswa
##   Ya       68.2     90.0
##   Tidak    58.3     86.4
# OR tiap stratum
OR_strata <- apply(dat, 3, function(t) (t[1, 1] * t[2, 2]) / (t[1, 2] * t[2, 1]))
round(OR_strata, 3)
##  Reguler Beasiswa 
##    1.531    1.421
Jalur % Lulus (Online Ya) % Lulus (Online Tidak) OR
Reguler 68.2% 58.3% 1.531
Beasiswa 90.0% 86.4% 1.421

\[OR_{Reguler} = \frac{150 \times 25}{70 \times 35} = 1.531 \qquad OR_{Beasiswa} = \frac{72 \times 30}{8 \times 190} = 1.421\]

Jalur Reguler: yang pakai kelas online lulus 68,2%, yang tidak pakai 58,3%. OR = 1,531, jadi kelas online membantu kelulusan.

Jalur Beasiswa: yang pakai kelas online lulus 90,0%, yang tidak pakai 86,4%. OR = 1,421, jadi lagi-lagi kelas online membantu kelulusan.

Jadi di kedua jalur, pengguna kelas online lebih mudah lulus. Ini kebalikan dari hasil marginal tadi.

3. Pemeriksaan Paradoks Simpson

3.1 Bandingkan arah OR marginal dan OR bersyarat

arah <- data.frame(
  Analisis = c("Marginal", names(OR_strata)),
  OR = round(c(OR_marg, OR_strata), 3),
  Arah = c(OR_marg, OR_strata) > 1
)
arah$Arah <- ifelse(arah$Arah, "Online lebih baik (OR > 1)", "Online lebih buruk (OR < 1)")
arah
simpson <- (all(OR_strata > 1) && OR_marg < 1) || (all(OR_strata < 1) && OR_marg > 1)
cat("Paradoks Simpson terjadi?", ifelse(simpson, "YA", "TIDAK"), "\n")
## Paradoks Simpson terjadi? YA

OR marginal (0.696) < 1, sedangkan OR di kedua stratum (1.531 dan 1.421) > 1. Arahnya berbalik, sehingga Paradoks Simpson terjadi.

Paradoks muncul apabila kovariat berhubungan dengan X dan dengan Y.

# (a) Jalur masuk vs kelas online: proporsi jalur di tiap kelompok online
round(100 * prop.table(margin.table(dat, c(1, 3)), 1), 1)
##        Jalur
## Online  Reguler Beasiswa
##   Ya       73.3     26.7
##   Tidak    21.4     78.6
# (b) Jalur masuk vs kelulusan: % lulus per jalur
round(100 * prop.table(margin.table(dat, c(3, 2)), 1), 1)
##           Hasil
## Jalur      Lulus Tidak Lulus
##   Reguler   66.1        33.9
##   Beasiswa  87.3        12.7
  • Jalur vs kelas online: 73.3% pengguna online berasal dari jalur Reguler, sedangkan di antara non-pengguna online hanya 21.4% yang Reguler (78.6% Beasiswa).
  • Jalur vs kelulusan: peluang lulus jalur Reguler hanya 66.1%, jauh di bawah jalur Beasiswa (87.3%).

Jadi kelas online banyak dipakai oleh kelompok yang secara alami lebih sulit lulus (Reguler), sehingga angka kelulusan gabungan pengguna online “tertarik turun” meski di tiap jalur kelas online justru lebih baik. Jalur masuk berperan sebagai confounder.

3.2 Konfirmasi dengan estimator Mantel-Haenszel

\[\hat{\theta}_{MH} = \frac{\sum_k n_{11k}\,n_{22k}/n_{++k}}{\sum_k n_{12k}\,n_{21k}/n_{++k}}\]

hitung <- sapply(dimnames(dat)$Jalur, function(j) {
  t <- dat[, , j]
  n <- sum(t)
  c(n = n, num = t[1, 1] * t[2, 2] / n, den = t[1, 2] * t[2, 1] / n)
})
round(hitung, 3)
##     Reguler Beasiswa
## n   280.000  300.000
## num  13.393    7.200
## den   8.750    5.067
theta_MH <- sum(hitung["num", ]) / sum(hitung["den", ])
theta_MH
## [1] 1.490436
Reguler : n11=150, n22=25, n12=70, n21=35, n=280
  num1 = 150*25/280 = 13.393
  den1 = 70*35/280  = 8.750

Beasiswa: n11=72, n22=30, n12=8, n21=190, n=300
  num2 = 72*30/300  = 7.200
  den2 = 8*190/300  = 5.067

theta_MH = (13.393 + 7.200) / (8.750 + 5.067)
theta_MH = 20.593 / 13.817 = 1.490

Setelah mengontrol jalur masuk, odds lulus pengguna online adalah 1.49× lebih tinggi. Ini berlawanan arah dengan OR marginal (0.70), sehingga hasil marginal yang naif menyesatkan.

4. Uji Breslow-Day dan Cochran-Mantel-Haenszel

4.1 Uji Breslow-Day (homogenitas OR antar stratum)

  • \(H_0\): \(\theta_{XY|Z=Reguler} = \theta_{XY|Z=Beasiswa}\) (homogeneous association)
  • \(H_1\): minimal ada satu OR stratum yang berbeda (ada interaksi tiga arah)
library(DescTools)
## Warning: package 'DescTools' was built under R version 4.5.3
bd <- BreslowDayTest(dat)
bd
## 
##  Breslow-Day test on Homogeneity of Odds Ratios
## 
## data:  dat
## X-squared = 0.020709, df = 1, p-value = 0.8856

P-value = 0,886, lebih besar dari 0,05, jadi \(H_0\) diterima. Artinya OR di jalur Reguler dan Beasiswa tidak berbeda secara berarti (asosiasi homogen). Jadi aman kalau keduanya dirangkum dengan satu OR gabungan.

4.2 Uji Cochran-Mantel-Haenszel (independensi bersyarat)

  • \(H_0\): semua OR bersyarat = 1 (kelas online dan kelulusan independen bersyarat pada jalur masuk)
  • \(H_1\): OR bersyarat \(\neq\) 1
cmh <- mantelhaen.test(dat, correct = FALSE)
cmh
## 
##  Mantel-Haenszel chi-squared test without continuity correction
## 
## data:  dat
## Mantel-Haenszel X-squared = 2.6824, df = 1, p-value = 0.1015
## alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.9224588 2.4081286
## sample estimates:
## common odds ratio 
##          1.490436

P-value = 0,101, lebih besar dari 0,05, jadi \(H_0\) gagal ditolak pada \(\alpha\) = 0,05. Rentang kepercayaan 95% untuk OR gabungan (0,922 sampai 2,408) masih memuat angka 1. Jadi, belum cukup bukti secara statistik bahwa kelas online berhubungan dengan kelulusan. Tapi OR gabungannya (1,490) tetap menunjukkan tren ke arah kelas online membantu.

5. Interpretasi dan Kesimpulan Akhir

  • Breslow-Day (p = 0,886): tidak ada bukti bahwa OR kedua jalur berbeda, jadi keduanya bisa dianggap homogen.
  • CMH (p = 0,101, \(\hat{\theta}_{MH}\) = 1,490): ada tren yang mengarah ke kelas online lebih baik setelah jalur masuk dikontrol, meski belum signifikan pada \(\alpha\) = 0,05.
  • Marginal vs bersyarat: OR marginal (0.696) arahnya berlawanan dengan OR bersyarat (1.531 dan 1.421). Ini contoh nyata Paradoks Simpson.

Walaupun uji CMH pada data ini belum signifikan, hasil analisisnya tetap menunjukkan hal yang penting. Kalau hanya melihat data gabungan, kelas online tampak merugikan kelulusan (74.0% vs 80.4%). Tetapi setelah mahasiswa dipisah per jalur masuk, kelas online justru cenderung membantu di kedua jalur. Penyebabnya, sebagian besar pengguna kelas online berasal dari jalur Reguler (73.3%), yang peluang lulusnya memang lebih rendah (66.1%) dibanding jalur Beasiswa (87.3%). Karena itu, jalur masuk perlu dikontrol dulu sebelum menyimpulkan hubungan antara kelas online dan kelulusan.