Bastão de Asclépio & Distribuição Normal

Bastão de Asclépio & Distribuição Normal

1 Gabarito

1.1 Teste t

  • 2.1 APEx 7782: B
  • 2.2 APEx 10179: A
  • 2.3 APEx 7844: E
  • 2.4 APEx 16470: B
  • 2.5 APEx 7858: A
  • 2.6 APEx 7868: A
  • 2.7 APEx 7984: C
  • 2.8 APEx 9301: D
  • 2.9 APEx 9303: D
  • 2.10 APEx 9304: B
  • 2.11 APEx 16443: E
  • 2.12 APEx 9567: B
  • 2.13 APEx 13469: D
  • 2.14 APEx 9570: B
  • 2.15 APEx 11393: C
  • 2.16 APEx 13400: A
  • 2.17 APEx 13468: E
  • 2.18 APEx 13470: A
  • 2.19 APEx 12432: A ou E
  • 2.20 APEx 16444: B

2 Teste t

2.1 APEx 7782: GL – II

Para um teste t pareado com 40 participantes, o número de graus de liberdade é:

A. 38
B. 39
C. 40
D. 78
E. 80

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

No teste t pareado, a análise é realizada sobre as diferenças entre as duas medidas de cada participante. Assim, o tamanho amostral efetivo é o número de pares (\(n\)), e os graus de liberdade são dados por

\[ gl = n - 1 \]

Com \(n = 40\) participantes, tem-se \(gl = 40 - 1 = 39\).

2.2 APEx 10179: Estatística de teste

Se o tamanho da amostra diminui, ceteris paribus, o valor absoluto da estatística de teste do teste t bicaudal:

A. Diminui
B. Aumenta
C. Não muda
D. Tudo pode acontecer

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Mantidos constantes o tamanho do efeito e a variabilidade, a diminuição do tamanho da amostra aumenta o erro padrão da estimativa. Como a estatística t é a razão entre o efeito estimado e seu erro padrão, o aumento do erro padrão implica diminuição do valor absoluto da estatística de teste quando o número de unidades experimentais diminui.

2.3 APEx 7844: G*Power I

Ao planejar um estudo o pesquisador definiu os seguintes parâmetros: teste t independente; teste bicaudal; tipo de análise de poder: A priori; tamanho de efeito pequeno \(= 0.2\); \(\alpha = 0.05\); poder \(= 0.9\); grupos perfeitamente balanceados: razão de alocação \(= 1\).

Utilizando o G*Power, qual é o tamanho de amostra total do estudo?

A. 86
B. 172
C. 527
D. 1052
E. 1054

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: E.

Configuração no G*Power:

  • Test family: t tests

  • Statistical test: Means: Difference between two independent means (two groups)

  • Type of power analysis: A priori

  • Parâmetros de entrada:

    • Tail(s): Two
    • Effect size \(d = 0.2\)
    • Alfa err prob: \(\alpha = 0.05\)
    • Power: \(1-\beta = 0.9\)
    • Allocation ratio \(N_2/N_1 = 1\)

Ao pressionar “Calculate”, o G*Power retorna:

  • Total sample size: 1054.

2.4 APEx 16470: G*Power II

Um pesquisador deseja calcular o número de participantes para que haja o poder do teste igual a \(90\%\) para detectar um tamanho de efeito populacional igual a \(0.25\). Adotar o nível de confiança de \(99\%\) e teste bicaudal. Com base no delineamento de sua pesquisa, sabe-se que será utilizado o teste t relacionado bicaudal.

Utilizando o G*Power para calcular o tamanho total da amostra, o número de participantes deve ser igual a:

A. 121
B. 241
C. 242
D. 482
E. 484

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

Configuração no G*Power:

  • Test family: t tests

  • Statistical test: Means: Difference between two dependent means (matched pairs)

  • Type of power analysis: A priori

  • Parâmetros de entrada:

    • Tail(s): Two
    • Effect size \(d_z = 0.25\)
    • Alfa err prob: \(\alpha = 0.01\) \((= 1 - 0.99)\)
    • Power: \(1-\beta = 0.9\)

Ao pressionar “Calculate”, o G*Power retorna:

  • Total sample size: 242.

2.5 APEx 7858: N: G*Power

Um pesquisador está interessado em saber quais são os limites mínimo e máximo de tamanho da amostra que deve ser coletado por grupo, para que o poder do teste esteja entre \(70\%\) e \(90\%\).

Com base na Figura extraída do G*Power, quais são esses limites mínimo e máximo?

A. 50 e 85
B. 63 e 209
C. 100 e 209
D. 100 e 170
E. 26 e 104

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Pela figura do G*Power (teste t para médias independentes, bicaudal, \(\alpha = 0.05\), \(d = 0.5\), grupos balanceados):

  • para poder \(\approx 70\%\), o tamanho amostral total é cerca de \(100\), o que corresponde a aproximadamente \(50\) participantes por grupo;
  • para poder \(\approx 90\%\), o tamanho amostral total é cerca de \(170\), o que corresponde a aproximadamente \(85\) participantes por grupo.

Logo, os limites mínimo e máximo de tamanho da amostra por grupo são, aproximadamente, 50 e 85.

2.6 APEx 7868: Nível de ansiedade

O nível de ansiedade de quatro estudantes foi avaliado antes e depois de uma sessão de terapia. O escore individual do nível de ansiedade tem distribuição normal com desvio-padrão desconhecido.

O teste estatístico mais apropriado é:

A. t pareado
B. z pareado
C. t independente
D. z independente
E. Levene

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

As medições são realizadas nos mesmos indivíduos antes e depois da intervenção, caracterizando dados dependentes (delineamento intraparticipantes). Como o desvio-padrão populacional é desconhecido e assume-se normalidade, o teste adequado é o teste t pareado ou relacionado.

2.7 APEx 7984: GL

O número de graus de liberdade de um teste t surge num teste de hipótese nula se é necessário estimar o parâmetro populacional ________.

A. Média
B. Mediana
C. Variância
D. Assimetria
E. Curtose

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

O número de graus de liberdade aparece nos testes t porque o desvio-padrão populacional é desconhecido e precisa ser estimado a partir da amostra. Como o desvio-padrão depende da variância, é a variância populacional que está sendo estimada.

Em contraste, no teste z para um grupo, o desvio-padrão populacional é conhecido e, portanto, não há necessidade de graus de liberdade.

2.8 APEx 9301: Tipo de teste t

Num artigo publicado em periódico científico da área da Saúde é encontrado: \(t(21) = -2{,}89\) e \(n = 22\) para duas condições ________.

A. independentes
B. dependentes

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

O número de graus de liberdade informado é \(21\), que corresponde a \(n-1 = 22-1\). Isso é característico do teste t pareado (relacionado), no qual a análise é feita sobre as diferenças entre duas medições nas mesmas unidades experimentais. Portanto, as duas condições são dependentes.

2.9 APEx 9303: Grau de associação

No teste t, ____________ é uma medida do grau de associação entre uma variável dependente (VD) quantitativa e uma variável independente (VI) qualitativa dicotômica:

A. Valor-p
B. Estatística de teste t
C. Número de graus de liberdade
D. Eta ao quadrado
E. Erro-padrão da média

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: D.

Eta ao quadrado (\(\eta^2\)) é uma medida de tamanho de efeito que quantifica o grau de associação entre a VI e a VD. Ele varia entre 0 e 1, é adimensional e representa a proporção da variância da VD explicada pela VI. Diferentemente do valor-p, \(\eta^2\) não depende diretamente do tamanho da amostra.

2.10 APEx 9304: GL – IV

O número de graus de liberdade de um teste t de Welch pode ser:

A. Apenas inteiro positivo
B. Inteiro ou fracionário positivo
C. Inteiro positivo ou negativo
D. Nulo

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

No teste t de Welch, os graus de liberdade são calculados por uma aproximação (fórmula de Welch–Satterthwaite) que depende das variâncias amostrais e dos tamanhos das amostras dos grupos. Como resultado, os graus de liberdade não precisam ser inteiros e podem assumir valores fracionários (reais) positivos.

2.11 APEx 16443: Amiodarona – I

A amiodarona é um antiarrítmico empregado para o tratamento dos distúrbios do ritmo de origem ventricular em pacientes com insuficiência cardíaca. Apesar de seus vários efeitos colaterais, é considerado como o melhor antiarrítmico, além de ser uma substância que age sobre a musculatura lisa dos vasos de resistência, provocando vasodilatação e diminuição da pressão arterial, bem como a diminuição do ritmo cardíaco. A insuficiência cardíaca é uma das principais causas de mortalidade, atingindo 70% ao cabo de dois anos. A taquiarritmia ventricular mata de forma súbita em terço de seus pacientes, o que explica a importância do pronto diagnóstico e tratamento adequado desta arritmia.

Um experimento hipotético baseado num estudo publicado nos Anais da Academia Nacional de Medicina, tem por objetivo avaliar os efeitos da amiodarona sobre uma das manifestações clínicas da insuficiência cardíaca de pacientes portadores de prótese valvar normofuncional: a frequência cardíaca (FC). As médias e desvios-padrão amostrais de FC (bpm = batimento por minuto) antes e depois da administração de 200mg de amiodarona por dia em seis pacientes dos dois gêneros e variadas faixas etárias estão no quadro a seguir.

Amiodarona (200 mg/dia) Média (bpm) Desvio-padrão (bpm)
Antes 119 18.50
Depois 79 7.38

A correlação entre FC antes e depois é igual a 0.961.
Aplicando-se o teste t relacionado, obtivemos o gráfico anexo.

Resultado do teste estatístico aplicado.

Fonte: Arango, HG (2012) Bioestatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 286.

Adotando-se o nível de significância de 5%, a decisão do teste da hipótese nula é:

A. Rejeitar a hipótese nula H0: μD = 0, concluindo que a frequência cardíaca média após o uso da amiodarona é menor do que antes do tratamento.
B. Não rejeitar a hipótese nula H0: μD = 0, não havendo evidência de redução da frequência cardíaca média após o uso da amiodarona.
C. Não é possível decidir, pois o valor-p do teste não foi informado explicitamente.
D. O teste aplicado está incorreto, pois deveria ser unilateral à esquerda, considerando D = FCdepois − FCantes.
E. O teste aplicado está incorreto, pois deveria ser bilateral, já que não havia definição prévia da direção do efeito da amiodarona.
F. Não é possível decidir, pois os dados individuais dos pacientes não foram apresentados.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Defina a diferença pareada \[ D = \text{FC}_{\text{antes}} - \text{FC}_{\text{depois}} \]

Com a hipótese direcional de redução da FC após o tratamento, aplica-se o teste t relacionado unilateral à direita: \[ H_0:\ \mu_D = 0 \quad \text{versus} \quad H_1:\ \mu_D > 0 \]

Com estatísticas-resumo e correlação \(r\) entre medidas antes e depois, o erro-padrão de \(\bar D\) é \[ EP(\bar D)=\sqrt{\frac{s_{\text{antes}}^2+s_{\text{depois}}^2-2r\,s_{\text{antes}}s_{\text{depois}}}{n}} \]

A estatística do teste é \[ t=\frac{\bar D}{EP(\bar D)} \\ gl=n-1=5 \] com \(\bar D = 119-79 = 40\).

Substituindo \(s_{\text{antes}}=18.50\), \(s_{\text{depois}}=7.38\), \(r=0.961\) e \(n=6\), obtém-se \(t\approx 8.45\) e valor-p unilateral \[ p = P(T_5\ge t)\approx 0.00019 \]

Como \(p<0.05\), rejeita-se H0.

n <- 6
media_antes <- 119
media_depois <- 79
dp_antes <- 18.50
dp_depois <- 7.38
r <- 0.961

Dbar <- media_antes - media_depois
df <- n - 1

EP <- sqrt((dp_antes^2 + dp_depois^2 - 2*r*dp_antes*dp_depois)/n)

t <- Dbar / EP
p_uni_direita <- 1 - pt(t, df)

cat("t(", df, ") = ", t, ", p = ", p_uni_direita, "\n", sep = "")
t(5) = 8.454571, p = 0.0001900319

2.12 APEx 9567: Amiodarona – II

A amiodarona é um antiarrítmico empregado para o tratamento dos distúrbios do ritmo de origem ventricular em pacientes com insuficiência cardíaca. Apesar de seus vários efeitos colaterais, é considerado como o melhor antiarrítmico, além de ser uma substância que age sobre a musculatura lisa dos vasos de resistência, provocando vasodilatação e diminuição da pressão arterial, bem como a diminuição do ritmo cardíaco. A insuficiência cardíaca é uma das principais causas de mortalidade, atingindo 70% ao cabo de dois anos. A taquiarritmia ventricular mata de forma súbita em terço de seus pacientes, o que explica a importância do pronto diagnóstico e tratamento adequado desta arritmia.

Um experimento hipotético baseado num estudo publicado nos Anais da Academia Nacional de Medicina, tem por objetivo avaliar os efeitos da amiodarona sobre uma das manifestações clínicas da insuficiência cardíaca de pacientes portadores de prótese valvar normofuncional: a frequência cardíaca (FC). As médias e desvios-padrão amostrais de FC (bpm = batimento por minuto) antes e depois da administração de 200mg de amiodarona por dia em seis pacientes dos dois gêneros e variadas faixas etárias estão no quadro a seguir.

Amiodarona (200 mg/dia) Média (bpm) Desvio-padrão (bpm)
Antes 119 18.50
Depois 79 7.38

Adotar o nível de significância de 1%.

A decisão do teste da hipótese nula é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: ARANGO, HG (2012) Bioetatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 286

O teste apropriado é um teste t pareado unilateral à direita, formulado sobre a diferença

\[ D = \text{FC}_{\text{antes}} - \text{FC}_{\text{depois}} \\ H_0:\ \mu_D = 0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_D > 0 \]

Sem dados brutos, o desvio-padrão de \(D\) depende da correlação \(r\) entre medidas antes e depois:

\[ s_D = \sqrt{s_{\text{antes}}^2 + s_{\text{depois}}^2 - 2r\,s_{\text{antes}}s_{\text{depois}}} \\ EP(\bar D) = \frac{s_D}{\sqrt{n}} \]

Com \(\bar D = 119-79 = 40\) e \(n=6\), o valor-p unilateral pode ser avaliado para todo \(r\in[-1,1]\). Mesmo no cenário mais conservador (maior \(EP\)), o valor-p permanece abaixo de \(\alpha=0.01\), logo rejeita-se \(H_0\) ao nível de 1%.

# Teste t pareado unilateral à direita sem dados brutos
# Avaliação do valor-p como função da correlação r

n <- 6
media_antes <- 119
media_depois <- 79
dp_antes <- 18.50
dp_depois <- 7.38

alpha <- 0.01
df <- n - 1

dif <- media_antes - media_depois  # D = antes - depois

r <- seq(-1, 1, length.out = 1001)

ep <- sqrt((dp_antes^2 + dp_depois^2 - 2*r*dp_antes*dp_depois) / n)
t_stat <- dif / ep

p_right <- 1 - pt(t_stat, df)

range(p_right)
[1] 0.0001563065 0.0064059425
plot(r, p_right,
     xlab = "r (correlação antes-depois)",
     ylab = "valor-p (unilateral à direita)",
     type = "l",
     ylim = c(0, 0.01))
abline(h = alpha, lty = 2)

2.13 APEx 13469: Amiodarona – III

A amiodarona é um antiarrítmico empregado para o tratamento dos distúrbios do ritmo de origem ventricular em pacientes com insuficiência cardíaca. Um experimento hipotético tem por objetivo avaliar os efeitos da amiodarona sobre a frequência cardíaca (FC). As médias e desvios-padrão amostrais de FC (bpm) antes e depois da administração de 200mg de amiodarona por dia em seis pacientes estão no quadro a seguir.

Amiodarona (200 mg/dia) Média (bpm) Desvio-padrão (bpm)
Antes 119 18.50
Depois 79 7.38

A correlação entre FC antes e depois é igual a \(r=0.961\).
Adotar o nível de significância de 5%.

A decisão do teste da hipótese nula é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: ARANGO, HG (2012) Bioetatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 286.

O delineamento é pareado. Defina \[ D = \text{FC}_{\text{antes}}-\text{FC}_{\text{depois}} \] e teste \[ H_0:\ \mu_D=0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_D>0 \] pois a expectativa é redução da FC após a droga, isto é, \(D>0\).

Sem dados brutos, o erro-padrão de \(\bar D\) depende de \(r\): \[ s_D=\sqrt{s_{\text{antes}}^2+s_{\text{depois}}^2-2r\,s_{\text{antes}}s_{\text{depois}}} \\ EP(\bar D)=\frac{s_D}{\sqrt{n}} \]

Com \(\bar D = 119-79 = 40\) e \(n=6\), \[ t=\frac{\bar D}{EP(\bar D)} = \frac{40}{\sqrt{(18.50^2+7.38^2-2\cdot 0.961\cdot 18.50\cdot 7.38)/6}} \approx 8.455 \] com \(gl=n-1=5\) e \(p\) unilateral \[ p = P(T_5 \ge t)\approx 0.00019 \] Como \(p<0.05\), rejeita-se \(H_0\).

n <- 6

media_antes <- 119
media_depois <- 79

dp_antes <- 18.50
dp_depois <- 7.38

r <- 0.961
alfa <- 0.05

dif <- media_antes - media_depois
df <- n - 1

ep <- sqrt((dp_antes^2 + dp_depois^2 - 2*r*dp_antes*dp_depois) / n)

t <- dif / ep
p <- 1 - pt(t, df)

cat("t(", df, ") = ", t, ", p = ", p, "\n", sep = "")
t(5) = 8.454571, p = 0.0001900319

2.14 APEx 9570: Amiodarona – IV

A amiodarona é um antiarrítmico empregado para o tratamento dos distúrbios do ritmo de origem ventricular em pacientes com insuficiência cardíaca. Um experimento hipotético tem por objetivo avaliar os efeitos da amiodarona sobre a frequência cardíaca (FC) em pacientes portadores de prótese valvar normofuncional. Os dados de FC (bpm) antes e depois da administração de 200mg/dia em seis pacientes são apresentados a seguir.

Participante Antes Depois
1 128 83
2 106 72
3 113 80
4 135 86
5 92 68
6 140 85

Adotar o nível de significância de 1%.

A decisão do teste da hipótese nula é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Fonte: ARANGO, HG (2012) Bioetatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 286

O delineamento é pareado. Define-se a diferença \[ D = \text{Depois} - \text{Antes} \] e testa-se \[ H_0:\ \mu_D = 0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_D < 0 \] pois a expectativa clínica é de redução da FC.

Com os dados observados, a média das diferenças é \(\bar D = -40\) bpm. O teste t pareado unilateral à esquerda produz valor-\(p \approx 0.00019 < 0.01\), levando à rejeição de \(H_0\). O teste bootstrap (1e6 reamostragens) confirma a conclusão (\(p \approx 0.002\)), com intervalo de confiança unilateral totalmente abaixo de zero.

Dados <- data.frame(
  Participante = 1:6,
  Antes = c(128, 106, 113, 135, 92, 140),
  Depois = c(83, 72, 80, 86, 68, 85)
)

diferenca <- Dados$Depois - Dados$Antes

# Teste t pareado unilateral à esquerda (bootstrap)
MKinfer::boot.t.test(diferenca, mu = 0, alternative = "less", R = 1e6)

    Bootstrap One Sample t-test

data:  diferenca
number of bootstrap samples:  1e+06
bootstrap p-value = 0.001956 
bootstrap mean of x (SE) = -40.00576 (4.208136) 
95 percent bootstrap percentile confidence interval:
      -Inf -32.83333

Results without bootstrap:
t = -8.4515, df = 5, p-value = 0.0001904
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -30.46305
sample estimates:
mean of x 
      -40 
# Teste t clássico
t.test(diferenca, mu = 0, alternative = "less")

    One Sample t-test

data:  diferenca
t = -8.4515, df = 5, p-value = 0.0001904
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -30.46305
sample estimates:
mean of x 
      -40

2.15 APEx 11393: Diâmetro abdominal e creme redutor

Para verificar os efeitos de um produto denominado “creme redutor” foram medidos os diâmetros abdominais de 10 indivíduos, antes de começar o tratamento e uma semana após a aplicação diária do produto.

Dados observados:

Antes Depois
80 76
77 75
74 74
86 82
72 74
66 60
78 77
62 65
82 80
94 90

Adotar o nível de significância de 5% para o teste t pareado bicaudal, usando MKinfer::boot.t.test com 10^6 reamostragens.

Pode-se concluir que:

A. O teste t pareado por reamostragem tem decisões diferentes sobre \(H_0\) usando os critérios do valor-\(p\) e do IC95%.
B. O teste t pareado por reamostragem não deve ser usado devido ao tamanho da amostra ser menor que 30.
C. \(H_0\) é rejeitada pelos testes \(t\) pareado com e sem reamostragem pelo critério do valor-\(p\).
D. O teste t pareado por reamostragem garante a aceitação de \(H_0\).
E. Apenas o teste t pareado sem reamostragem pode ser usado para testar \(H_0\) nessa situação.

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Define-se a variável diferença \[ D = \text{Depois} - \text{Antes} \] e testa-se \[ H_0:\ \mu_D = 0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_D \neq 0 \]

No teste t pareado clássico (sem reamostragem), obtém-se \(p \approx 0.078 > 0.05\) e o IC95% inclui o zero, logo não se rejeita \(H_0\).

No teste t pareado por reamostragem (bootstrap), o \(p \approx 0.109 > 0.05\), indicando novamente não rejeição de \(H_0\). Entretanto, o IC95% bootstrap percentil é aproximadamente \([-* 2.4,\,-0.1]\), que não contém o zero, o que levaria à rejeição de \(H_0\) se o critério fosse apenas o intervalo de confiança.

Portanto, o teste t pareado por reamostragem conduz a decisões distintas sobre \(H_0\) quando se usam os critérios do valor-p e do IC95%.

Dados <- data.frame(
  Antes  = c(80, 77, 74, 86, 72, 66, 78, 62, 82, 94),
  Depois = c(76, 75, 74, 82, 74, 60, 77, 65, 80, 90)
)

diferenca <- Dados$Depois - Dados$Antes

# teste t pareado por reamostragem
MKinfer::boot.t.test(diferenca, mu = 0, alternative = "two.sided", R = 1e6)

    Bootstrap One Sample t-test

data:  diferenca
number of bootstrap samples:  1e+06
bootstrap p-value = 0.1073 
bootstrap mean of x (SE) = -1.80006 (0.8422505) 
95 percent bootstrap percentile confidence interval:
 -3.4 -0.1

Results without bootstrap:
t = -1.9905, df = 9, p-value = 0.07774
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.8456928  0.2456928
sample estimates:
mean of x 
     -1.8 
# teste t pareado clássico
t.test(diferenca, mu = 0, alternative = "two.sided")

    One Sample t-test

data:  diferenca
t = -1.9905, df = 9, p-value = 0.07774
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.8456928  0.2456928
sample estimates:
mean of x 
     -1.8

2.16 APEx 13400: Tamanho de amostra com pwr

Ao planejar um estudo o pesquisador definiu os seguintes parâmetros: teste t independente, bicaudal, com tamanho de efeito pequeno (d de Cohen igual a 0.2), nível de significância de 5%, poder de pelo menos 90% com grupos perfeitamente balanceados.

Utilizando o pacote pwr do R, qual é o tamanho de amostra total do estudo?

A. 22
B. 23
C. 42
D. 44
E. 46
F. 393
G. 429
H. 526
I. 527
J. 784
K. 786
L. 856
M. 858
N. 1050
O. 1052
P. 1054

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: P.

A função pwr::pwr.t.test retorna \(n\) por grupo no teste t de duas amostras. Com \(d=0.2\), \(\alpha=0.05\) e poder \(=0.9\), obtém-se \(n \approx 526.33\) por grupo. Arredondando para cima, \(n=527\) por grupo, logo o total é \(2\times 527 = 1054\).

pd <- pwr::pwr.t.test(d = 0.2, sig.level = 0.05, power = 0.9,
                      type = "two.sample", alternative = "two.sided")
pd

     Two-sample t test power calculation 

              n = 526.3332
              d = 0.2
      sig.level = 0.05
          power = 0.9
    alternative = two.sided

NOTE: n is number in *each* group
n_por_grupo <- ceiling(pd$n)
n_total <- 2 * n_por_grupo

n_por_grupo
[1] 527
n_total
[1] 1054
# verificação do poder com n inteiro
pwr::pwr.t.test(n = n_por_grupo, d = 0.2, sig.level = 0.05,
                type = "two.sample", alternative = "two.sided")

     Two-sample t test power calculation 

              n = 527
              d = 0.2
      sig.level = 0.05
          power = 0.9003604
    alternative = two.sided

NOTE: n is number in *each* group

2.17 APEx 13468: Distúrbio do sono – II

Um pesquisador da área da saúde deseja verificar se o gênero interfere no seu tempo de sono ininterrupto (TSI) usando o teste t de Welch, ao nível de significância de 5%.

Dados resumidos:

Gênero n Média (h/noite) Desvio-padrão (h/noite)
Masculino 80 4.8 1.8
Feminino 125 5.6 1.2

A decisão sobre a hipótese nula é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: A.

Hipóteses (bicaudal): \[ H_0:\ \mu_M-\mu_F=0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_M-\mu_F\neq 0 \]

Aplicando o teste t de Welch com estatísticas-resumo, obtém-se aproximadamente \(t\approx -* 2.51\), \(gl\approx 12* 2.95\) e \(p\approx 0.00063\). Como \(p<0.05\), rejeita-se \(H_0\) ao nível de 5%.

alfa <- 0.05
DescTools::TTestA(mx = 4.8, sx = 1.8, nx = 80,
                  my = 5.6, sy = 1.2, ny = 125,
                  alternative = "two.sided",
                  conf.level = 1 - alfa)

    Welch Two Sample t-test

data:  x and y
t = -3.5076, df = 123.95, p-value = 0.0006307
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.2514341 -0.3485659
sample estimates:
mean of x mean of y 
      4.8       5.6

2.18 APEx 13470: Distúrbio do sono – I

Um pesquisador da área da saúde deseja verificar se o gênero interfere no seu tempo de sono ininterrupto (TSI) usando teste t de Welch, ao nível de significância de 5%.

Dados resumidos:

Gênero n Média (h/noite) Desvio-padrão (h/noite)
Masculino 16 4.8 1.8
Feminino 25 5.6 1.2

A decisão sobre a hipótese nula é:

A. Rejeitar
B. Não rejeitar
C. Aceitar
D. Impossível testar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: B.

Fonte: ARANGO, HG (2012) Bioetatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 285-6.

Hipóteses (bicaudal): \[ H_0:\ \mu_M-\mu_F=0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_M-\mu_F\neq 0 \]

Aplicando o teste t de Welch com estatísticas-resumo, obtém-se aproximadamente \(t\approx -1.569\), \(gl\approx 2* 2.56\) e \(p\approx 0.130\). Como \(p>0.05\), não se rejeita \(H_0\) ao nível de 5%.

alfa <- 0.05
DescTools::TTestA(mx = 4.8, sx = 1.8, nx = 16,
                  my = 5.6, sy = 1.2, ny = 25,
                  alternative = "two.sided",
                  conf.level = 1 - alfa)

    Welch Two Sample t-test

data:  x and y
t = -1.5686, df = 23.556, p-value = 0.1301
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.8536397  0.2536397
sample estimates:
mean of x mean of y 
      4.8       5.6

2.19 APEx 12432: Distúrbio do sono – II

Um pesquisador deseja verificar se o uso de Melatonina interfere no tempo de sono ininterrupto (TSI), ao nível de significância de \(5\%\).
O delineamento é entre participantes.

Os dados resumidos são:

Droga \(n\) Média (min/noite) Desvio-padrão (min/noite)
Com Melatonina 34 492 126
Sem Melatonina 18 450 156

Fonte: Arango, HG (2012) Bioestatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 285–6.

Qual teste estatístico para testar o efeito do fator droga pode ser aplicado utilizando os dados da tabela?

A. t de Welch
B. t relacionado
C. Qui-quadrado de Pearson
D. ANOVA unifatorial relacionada
E. Regressão linear simples
F. Impossível aplicar teste estatístico

Explicações e justificativas:

Alternativas corretas: A e E.

O delineamento é entre participantes, com dois grupos independentes. A variável resposta (TSI) é quantitativa (intervalar). Os tamanhos amostrais e os desvios-padrão são distintos, não sendo apropriado assumir homocedasticidade. Assim, o teste adequado é o teste t para duas médias independentes com variâncias desiguais (teste t de Welch).

O teste t relacionado e a ANOVA relacionada pressupõem medidas dependentes. O teste qui-quadrado aplica-se a variáveis categóricas. Regressão linear simples não é necessária neste contexto.

## =========================================================
## VI dicotômica (0/1): teste de inclinação por OLS,
## t de Student e t de Welch usando apenas estatísticas-resumo
## =========================================================

## Dados-resumo
n1 <- 34; y1 <- 492; s1 <- 126   # grupo 1: com melatonina (x=1)
n0 <- 18; y0 <- 450; s0 <- 156   # grupo 0: sem melatonina (x=0)

alpha <- 0.05

## Estimativas OLS do modelo y = beta0 + beta1*x + e
beta0_hat <- y0
beta1_hat <- y1 - y0

## ---------------------------------------------------------
## 1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student)
## ---------------------------------------------------------

# variância combinada (pooled)
sp2 <- ((n1 - 1)*s1^2 + (n0 - 1)*s0^2) / (n1 + n0 - 2)

# erro-padrão do coeficiente beta1
se_beta1_ols <- sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n0))

# estatística t e gl
t_ols <- beta1_hat / se_beta1_ols
df_ols <- n1 + n0 - 2

# valor-p bicaudal
p_ols <- 2 * pt(-abs(t_ols), df_ols)

# IC 95% (bicaudal)
tcrit_ols <- qt(1 - alpha/2, df_ols)
ci_ols <- c(beta1_hat - tcrit_ols*se_beta1_ols,
            beta1_hat + tcrit_ols*se_beta1_ols)

## ---------------------------------------------------------
## 2) Teste t de Student (mesmo do OLS homocedástico)
## ---------------------------------------------------------
# diferença de médias (mesma beta1_hat)
diff_means <- beta1_hat

se_student <- se_beta1_ols
t_student <- t_ols
df_student <- df_ols
p_student <- p_ols
ci_student <- ci_ols

## ---------------------------------------------------------
## 3) Teste t de Welch (variâncias desiguais)
## ---------------------------------------------------------

se_welch <- sqrt(s1^2/n1 + s0^2/n0)
t_welch <- diff_means / se_welch

df_welch <- (s1^2/n1 + s0^2/n0)^2 /
  ((s1^2/n1)^2/(n1 - 1) + (s0^2/n0)^2/(n0 - 1))

p_welch <- 2 * pt(-abs(t_welch), df_welch)

tcrit_welch <- qt(1 - alpha/2, df_welch)
ci_welch <- c(diff_means - tcrit_welch*se_welch,
              diff_means + tcrit_welch*se_welch)

## ---------------------------------------------------------
## Saída organizada
## ---------------------------------------------------------

cat("Modelo: y = beta0 + beta1*x + e, com x=1 (grupo 1) e x=0 (grupo 0)\n\n")
Modelo: y = beta0 + beta1*x + e, com x=1 (grupo 1) e x=0 (grupo 0)
cat("Estimativas OLS (por definição com VI dicotômica):\n")
Estimativas OLS (por definição com VI dicotômica):
cat("beta0_hat = ", beta0_hat, " (media do grupo x=0)\n", sep = "")
beta0_hat = 450 (media do grupo x=0)
cat("beta1_hat = ", beta1_hat, " (diferença de medias: grupo 1 - grupo 0)\n\n", sep = "")
beta1_hat = 42 (diferença de medias: grupo 1 - grupo 0)
cat("1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student):\n")
1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student):
cat("t(", df_ols, ") = ", t_ols, ", p = ", p_ols, "\n", sep = "")
t(50) = 1.052192, p = 0.2977702
cat("IC", 100*(1-alpha), "% para beta1: [", ci_ols[1], ", ", ci_ols[2], "]\n\n", sep = "")
IC95% para beta1: [-38.17501, 122.175]
cat("2) t de Student (variâncias iguais):\n")
2) t de Student (variâncias iguais):
cat("t(", df_student, ") = ", t_student, ", p = ", p_student, "\n", sep = "")
t(50) = 1.052192, p = 0.2977702
cat("IC", 100*(1-alpha), "% para (mu1 - mu0): [", ci_student[1], ", ", ci_student[2], "]\n\n", sep = "")
IC95% para (mu1 - mu0): [-38.17501, 122.175]
cat("3) t de Welch (variâncias desiguais):\n")
3) t de Welch (variâncias desiguais):
cat("t(", df_welch, ") = ", t_welch, ", p = ", p_welch, "\n", sep = "")
t(28.98907) = 0.9847817, p = 0.3328797
cat("IC", 100*(1-alpha), "% para (mu1 - mu0): [", ci_welch[1], ", ", ci_welch[2], "]\n", sep = "")
IC95% para (mu1 - mu0): [-45.22852, 129.2285]

2.19.1 Teste da inclinação com VI dicotômica usando estatísticas-resumo

Considere dois grupos independentes, codificados por
\(x=1\) (grupo 1) e \(x=0\) (grupo 0), com estatísticas-resumo \((n_1,\bar y_1,s_1)\) e \((n_0,\bar y_0,s_0)\).

O modelo de regressão linear é \[ Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i \] com \(E(\varepsilon_i)=0\).

Estimativas OLS:

Com \(x\in\{0,1\}\), \[ \hat\beta_0=\bar y_0, \qquad \hat\beta_1=\bar y_1-\bar y_0 \]

2.19.1.1 1) OLS homocedástico (equivalente ao teste t de Student)

Variância combinada: \[ s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_0-1)s_0^2}{n_1+n_0-2} \]

Erro-padrão da inclinação: \[ SE(\hat\beta_1)=\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)} \]

Estatística de teste: \[ t=\frac{\hat\beta_1}{SE(\hat\beta_1)}, \qquad gl=n_1+n_0-2 \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,P\!\left(T_{gl}\ge |t|\right) =2\,\mathrm{pt}(-|t|,gl) \]

2.19.1.2 2) Teste \(t\) de Student (diferença de médias)

Diferença de médias: \[ \hat\Delta=\bar y_1-\bar y_0 \]

Erro-padrão: \[ SE(\hat\Delta)=\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)} \]

Estatística e graus de liberdade: \[ t=\frac{\hat\Delta}{SE(\hat\Delta)} \qquad gl=n_1+n_0-2 \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,\mathrm{pt}(-|t|,gl) \]

Este teste é algebraicamente idêntico ao teste da inclinação OLS sob homocedasticidade.

2.19.1.3 3) Teste \(t\) de Welch (variâncias desiguais)

Erro-padrão: \[ SE_W=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_0^2}{n_0}} \]

Estatística de teste: \[ t_W=\frac{\bar y_1-\bar y_0}{SE_W} \]

Graus de liberdade (Welch–Satterthwaite): \[ gl_W= \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_0^2}{n_0}\right)^2} {\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1} +\frac{\left(\frac{s_0^2}{n_0}\right)^2}{n_0-1}} \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,\mathrm{pt}(-|t_W|,gl_W) \]

Observação: o teste de Welch corresponde ao teste da inclinação com erro-padrão robusto à heterocedasticidade quando a VI é dicotômica.

2.20 APEx 16444: Teste t de Welch e tamanho de amostra (cloreto de potássio)

Um pesquisador deseja avaliar o efeito de duas doses de cloreto de potássio (KCl) sobre a frequência cardíaca (FC) de homens adultos hipertensos, em delineamento entre participantes.

Grupo 1 (dose baixa): FC média esperada = 72 bpm, desvio-padrão = 6 bpm
Grupo 2 (dose alta): FC média esperada = 76 bpm, desvio-padrão = 10 bpm

Assuma grupos balanceados (mesmo \(n\) em cada grupo) e teste bicaudal t de Welch, com nível de significância de 5%.

Qual é o menor valor de \(n\) (por grupo) a partir do qual rejeitamos H0: μ1 = μ2?

A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
E. 45
F. Infinito G. Impossível determinar

Explicações e justificativas:

Alternativa correta: C.

Testa-se \[ H_0:\ \mu_1-\mu_2 = 0 \quad\text{vs}\quad H_1:\ \mu_1-\mu_2 \neq 0 \]

Com estatísticas-resumo, a estatística de Welch é \[ t = \frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n}+\frac{s_2^2}{n}}} \] e os graus de liberdade aproximados (Welch–Satterthwaite) são \[ gl = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n}+\frac{s_2^2}{n}\right)^2}{ \frac{\left(\frac{s_1^2}{n}\right)^2}{n-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n}\right)^2}{n-1} } \]

O menor \(n\) é obtido por busca inteira, verificando o primeiro \(n\) tal que o valor-p bicaudal satisfaça \(p < 0.05\).

alpha <- 0.05

mu1 <- 72; s1 <- 6
mu2 <- 76; s2 <- 10

welch_p <- function(n, mu1, s1, mu2, s2) {
  dif <- mu1 - mu2
  se <- sqrt(s1^2/n + s2^2/n)
  t <- dif / se
  df <- (s1^2/n + s2^2/n)^2 / ((s1^2/n)^2/(n-1) + (s2^2/n)^2/(n-1))
  p <- 2 * pt(-abs(t), df)
  c(t = t, df = df, p = p)
}

out <- do.call(rbind, lapply(10:80, function(n) c(n = n, welch_p(n, mu1, s1, mu2, s2))))
out <- as.data.frame(out)

n_min <- min(out$n[out$p < alpha])
print(n_min)
[1] 35
print(out[out$n %in% c(n_min-2, n_min-1, n_min, n_min+1, n_min+2), ],
      row.names = FALSE, digits=4)
  n      t    df       p
 33 -1.970 52.40 0.05409
 34 -2.000 54.03 0.05054
 35 -2.029 55.67 0.04723
 36 -2.058 57.31 0.04415
 37 -2.086 58.95 0.04128