Dos ecuaciones, una historia común
Semana 7: Cátedra
2026-09-21
Un informe tiene dos totales
Una oficina de atención ciudadana registra durante una mañana:
- 120 trámites en total.
- 4.800 minutos de trabajo acumulado.
Hay dos tipos de trámite:
- Tipo A: 30 minutos cada uno.
- Tipo B: 50 minutos cada uno.
¿Cuántos trámites de cada tipo hubo?
La pregunta matemática detrás del caso
Definimos:
- \(x\): número de trámites tipo A.
- \(y\): número de trámites tipo B.
El total de trámites entrega:
\[ x+y=120 \]
El total de minutos entrega:
\[ 30x+50y=4800 \]
La pregunta matemática detrás del caso
Buscamos una pareja \((x,y)\) que cumpla ambas ecuaciones a la vez.
Un sistema exige valores que satisfacen simultáneamente varias relaciones.
Una ecuación sola deja muchas posibilidades
Si solo sabemos que:
\[ x+y=120 \]
podrían ser:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 20 | 100 |
| 60 | 60 |
| 90 | 30 |
Todas cumplen el total.
La segunda ecuación elimina combinaciones incompatibles.
Método 1: sustitución
De:
\[ x+y=120 \]
obtenemos:
\[ x=120-y \]
Sustituimos en la segunda relación:
\[ 30x+50y=4800 \]
y nos queda:
\[ 30(120-y)+50y=4800 \]
Ahora tenemos una ecuación con una incógnita.
Sustituir no “borra” una variable: incorpora la primera relación dentro de la segunda.
Resolver y volver al contexto
\[ 30(120-y)+50y=4800 \]
\[ 3600-30y+50y=4800 \]
\[ 20y=1200 \]
\[ y=60 \]
Luego:
\[ x=120-60=60 \]
Resultado: 60 trámites A y 60 trámites B.
La comprobación es parte de la respuesta
Una solución de sistema no termina en \(x=60\), \(y=60\).
Debe responder:
- ¿Cumple el total de casos?
- ¿Cumple el total de minutos?
- ¿Tiene sentido en el contexto?
- ¿Las unidades son correctas?
Una cuenta correcta puede ser una mala interpretación si olvidamos el significado de las incógnitas. El pensamiento crítico antes que procedimientos mecánicos.
Método 2: eliminación
Partimos de:
\[ \begin{cases} x+y=120\\ 30x+50y=4800 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por 30:
\[ 30x+30y=3600 \]
Restamos a la segunda:
\[ 30x - 30x + 50y - 30y = 4800 - 3600 \]
\[ 20y=1200 \]
Eliminar es construir una comparación en la que una cantidad común desaparece.
¿Qué representa la resta?
Comparemos:
- Si los 120 trámites fueran A: \(120\cdot30=3600\) minutos.
- El registro real muestra 4800 minutos.
- Hay 1200 minutos adicionales.
Cada trámite B usa 20 minutos más que uno A.
Entonces:
\[ 1200/20=60 \]
La eliminación también tiene una interpretación sustantiva.
Caso 2: modos de respuesta en una encuesta
Una encuesta recibió 300 respuestas:
- algunas por teléfono
- otras por formulario web.
El tiempo total de revisión fue de 7200 minutos.
Se estima:
- teléfono: 30 minutos de revisión
- web: 18 minutos.
¿Cuántas respuestas hubo por cada modo?
Traducir antes de resolver
No empiecen con operaciones.
Primero completen:
| Elemento | Definición |
|---|---|
| \(x\) | respuestas telefónicas |
| \(y\) | respuestas web |
| Ecuación 1 | total de respuestas |
| Ecuación 2 | total de minutos |
| Unidad de la solución | respuestas |
La traducción del problema ya es parte del razonamiento matemático.
¿Cómo resolvemos el sistema?
Partimos del sistema:
\[ \begin{cases} x+y=300 \\ 30x+18y=7200 \end{cases} \]
Método 1: Sustitución
De la primera ecuación:
\[ y=300-x \]
Sustituimos en la segunda:
\[ 30x+18(300-x)=7200 \]
\[ 30x+5400-18x=7200 \]
\[ 12x=1800 \]
\[ x=150 \]
Luego:
\[ y=300-150=150 \]
Método 2: Eliminación
Partimos del sistema:
\[ \begin{cases} x+y=300 \\ 30x+18y=7200 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por (-18):
\[ -18x-18y=-5400 \]
Sumamos con la segunda:
\[ \begin{aligned} 30x+18y &= 7200\\ -18x-18y &= -5400\\ \hline 12x &= 1800 \end{aligned} \]
\[ x=150 \]
Luego:
\[ y=300-150=150 \]
Interpretación
\[ \boxed{x=150,\qquad y=150} \]
Hay 150 respuestas telefónicas y 150 respuestas web.
Ambos métodos conducen al mismo resultado.
En sustitución, una variable se expresa en función de la otra.
En eliminación, buscamos que una de las variables desaparezca al sumar o restar las ecuaciones.
Resolver no explica por qué ocurrió
El sistema permite reconstruir cantidades.
No permite concluir, por sí solo:
- por qué alguien eligió teléfono o web
- qué modo es “mejor”
- si un modo representa mejor a la población
- si el tiempo de revisión causa la elección.
El álgebra responde una pregunta de consistencia, no una pregunta causal.
Caso 3: dotación de un equipo
Un servicio tiene 28 personas entre profesionales y técnicos.
La carga semanal registrada suma 980 horas.
En el escenario simplificado:
- cada profesional aporta 40 horas
- cada técnico aporta 30 horas.
¿Cuántos hay de cada tipo?
La misma matemática, otra interpretación
En el caso anterior:
\[ \begin{cases} p+t=28\\ 40p+30t=980 \end{cases} \]
La solución es \((14,14)\).
Pero ahora las incógnitas son personas, no trámites.
La forma algebraica puede repetirse; el significado cambia completamente.
¿Y si la solución no fuera entera?
Supongamos:
\[ \begin{cases} x+y=19\\ 2x+3y=50 \end{cases} \]
La solución es:
\[ x=7,\qquad y=12 \]
Es admisible si \(x\) e \(y\) cuentan unidades enteras.
Pero en otros problemas las incógnitas podrían ser:
- horas, kilómetros, millones de pesos , tasas, etc.
No todas las incógnitas exigen el mismo tipo de número.
Cuando las cuentas se contradicen
Considera:
\[ \begin{cases} x+y=100\\ 2x+2y=250 \end{cases} \]
La primera ecuación implica:
\[ 2x+2y=200 \]
pero la segunda exige 250.
No existe una pareja que cumpla ambas.
Cuando la segunda ecuación no agrega información
Considera:
\[ \begin{cases} x+y=100\\ 2x+2y=200 \end{cases} \]
La segunda ecuación es solo el doble de la primera.
Hay muchas soluciones posibles.
Tenemos dos ecuaciones escritas, pero una sola pieza independiente de información.
Tres diagnósticos posibles
Un sistema puede tener:
| Situación | Lectura |
|---|---|
| Una solución | Los datos fijan una combinación única |
| Ninguna solución | Los datos son incompatibles |
| Infinitas soluciones | Falta información independiente |
Antes de calcular, conviene preguntar qué tipo de evidencia tenemos.
Desafío: hogares y formas de tenencia
En una muestra simulada hay 240 hogares entre arrendatarios y propietarios.
La suma de un puntaje administrativo es 660, donde:
- arrendatario aporta 2 puntos
- propietario aporta 3 puntos.
- Define las incógnitas.
- Formula el sistema.
- Resuélvelo.
- Explica qué no puedes inferir sobre bienestar o seguridad habitacional.
Ticket de salida
Un registro informa:
\[ \begin{cases} x+y=75\\ 4x+7y=420 \end{cases} \]
Responde en tres líneas:
- ¿Qué obtienes para \(x\) e \(y\)?
- ¿Cómo lo compruebas?
- ¿Qué dato contextual falta para interpretar la solución?
Lo que debe quedar de hoy
Un sistema de ecuaciones sirve para:
- representar varias restricciones simultáneas
- reconstruir cantidades no observadas directamente
- comprobar coherencia entre registros
- distinguir falta de información de contradicción.
Resolver no es solo encontrar números: es explicar por qué esos números satisfacen todas las condiciones.
Resolución del desafío: hogares y formas de tenencia
1. Definimos las incógnitas
Sea:
\[ a = \text{número de hogares arrendatarios} \]
\[ p = \text{número de hogares propietarios} \]
2. Formulamos el sistema
Sabemos que hay 240 hogares en total:
\[ a+p=240 \]
Además, cada hogar arrendatario aporta 2 puntos y cada hogar propietario aporta 3 puntos, para un total de 660 puntos:
\[ 2a+3p=660 \]
Por lo tanto:
\[ \begin{cases} a+p=240 \\ 2a+3p=660 \end{cases} \]
3. Resolvemos el sistema
Usaremos el método de eliminación.
Multiplicamos la primera ecuación por (-2):
\[ -2a-2p=-480 \]
La sumamos con la segunda ecuación:
\[ \begin{aligned} 2a+3p &= 660 \\ -2a-2p &= -480 \\ \hline p &= 180 \end{aligned} \]
Por lo tanto:
\[ p=180 \]
3. Resolvemos el sistema
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ a+180=240 \]
\[ a=60 \]
Resultado
\[ \boxed{a=60,\qquad p=180} \]
En la muestra hay:
- 60 hogares arrendatarios
- 180 hogares propietarios
4. ¿Qué podemos y qué no podemos concluir?
El sistema permite conocer la cantidad de hogares en cada categoría.
Pero no permite concluir que:
- los propietarios tengan mayor bienestar
- los arrendatarios tengan menor seguridad habitacional
- una forma de tenencia sea socialmente mejor que la otra.
¿Por qué?
Los valores 2 y 3 son solamente una codificación utilizada en el ejercicio.
\[ \text{mayor puntaje} \neq \text{mayor bienestar} \]
Matemáticas para las Cs. Sociales I