TALLER 331: MODELOS DISCRETOS ESPECIALES
Solución de problemas propuestos
Jacobo Raffan Perez
01 de octubre de 2026
PROBLEMA 1
\(X \sim \text{Binomial}(n=10,\ p=0.5)\)
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ASOCIADA A X
La función de probabilidad es:
\[ f(x) = \binom{10}{x}(0.5)^x(0.5)^{10-x}, \quad x=0,1,2,\ldots,10 \]
y la función de distribución acumulada es \(F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{x} f(k)\).
| x | f(x) | F(x) |
|---|---|---|
| 0 | 0.0010 | 0.0010 |
| 1 | 0.0098 | 0.0107 |
| 2 | 0.0439 | 0.0547 |
| 3 | 0.1172 | 0.1719 |
| 4 | 0.2051 | 0.3770 |
| 5 | 0.2461 | 0.6230 |
| 6 | 0.2051 | 0.8281 |
| 7 | 0.1172 | 0.9453 |
| 8 | 0.0439 | 0.9893 |
| 9 | 0.0098 | 0.9990 |
| 10 | 0.0010 | 1.0000 |
P(X=5)
\[ P(X=5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461 \]
P(X≤2)
\[ P(X\le2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0010+0.0098+0.0439 = 0.0547 \]
P(3≤X<5)
\[ P(3\le X<5) = f(3)+f(4) = 0.1172+0.2051 = 0.3223 \]
P(X≥8)
\[ P(X\ge8) = 1-P(X\le7) = 1-0.9453 = 0.0547 \]
GRÁFICA DE fX(x)
PROBLEMA 2
\(X \sim \text{Geométrica}(p=0.05)\), con \(x=1,2,3,\ldots\)
P(X=1)
\[ P(X=1) = p(1-p)^{0} = 0.05(0.95)^0 = 0.05 \]
P(X≤2)
\[ P(X\le2) = f(1)+f(2) = 0.05 + 0.05(0.95)^1 = 0.05+0.0475 = 0.0975 \]
P(X=8)
\[ P(X=8) = p(1-p)^{7} = 0.05(0.95)^7 = 0.0349 \]
P(X≥2)
\[ P(X\ge2) = 1-P(X=1) = 1-0.05 = 0.95 \]
GRÁFICA DE fX(x)
Al ser una variable con rango infinito, se grafica hasta un valor donde la probabilidad ya es prácticamente nula.
PROBLEMA 3
\(X \sim \text{Hipergeométrica}(N=100,\ n=4,\ K=20)\)
En R, dhyper(x, m, n, k) usa \(m=K\) (éxitos en la población), \(n=N-K\) (fracasos en la población) y \(k=\) tamaño de la muestra.
P(X=1)
\[ P(X=1) = \frac{\binom{20}{1}\binom{80}{3}}{\binom{100}{4}} = 0.4191 \]
P(X=6)
Como la muestra solo tiene \(n=4\) elementos, el máximo valor posible de \(X\) es 4. Por lo tanto \(X=6\) está fuera del rango de la variable:
\[ P(X=6) = 0 \]
P(X≥1)
\[ P(X\ge1) = 1-P(X=0) = 1-0.4033 = 0.5967 \]
P(X=4)
\[ P(X=4) = \frac{\binom{20}{4}\binom{80}{0}}{\binom{100}{4}} = 0.0012 \]
GRÁFICA DE fX(x)
PROBLEMA 4
\(X \sim \text{Poisson}(\lambda=4)\)
P(X=0)
\[ P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = 0.0183 \]
P(X=4)
\[ P(X=4) = \frac{4^4 e^{-4}}{4!} = 0.1954 \]
P(X≥2)
\[ P(X\ge2) = 1-P(X\le1) = 1-[f(0)+f(1)] = 1-[0.0183+0.0733] = 0.9084 \]
P(X≤2)
\[ P(X\le2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0183+0.0733+0.1465 = 0.2381 \]
GRÁFICA DE fX(x)
PROBLEMA 5
\(X \sim \text{Binomial negativa}\), número de ensayos necesarios para obtener \(r\) éxitos. Tomando \(r=n=5\) y \(p=K/N=20/100=0.2\) (parámetros dados en el enunciado), la función de probabilidad es:
\[ f(x) = \binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r}, \quad x=r,r+1,r+2,\ldots \]
P(X=0)
Como el mínimo número de ensayos para lograr 5 éxitos es 5, el valor \(x=0\) está fuera del rango de la variable:
\[ P(X=0) = 0 \]
P(X=6)
\[ P(X=6) = \binom{5}{4}(0.2)^5(0.8)^{1} = 5(0.00032)(0.8) = 0.0013 \]
P(X≥10)
\[ P(X\ge10) = 1-P(X\le9) = 1-0.0196 = 0.9804 \]
P(X≤12)
\[ P(X\le12) = \sum_{x=5}^{12} f(x) = 0.0726 \]
E[X] Y V[X]
\[ E[X] = \frac{r}{p} = \frac{5}{0.2} = 25 \]
\[ V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2} = \frac{5(0.8)}{0.04} = 100 \]
GRÁFICA DE fX(x)
PROBLEMA 6
En un cargamento de llantas, el 5% tiene imperfecciones. Se eligen 4 al azar. \(X \sim \text{Binomial}(n=4,\ p=0.05)\): número de llantas con imperfecciones.
PROBABILIDAD DE QUE NINGUNA TENGA IMPERFECCIONES
\[ P(X=0) = \binom{4}{0}(0.05)^0(0.95)^4 = 0.8145 \]
PROBABILIDAD DE QUE SOLO UNA TENGA IMPERFECCIONES
\[ P(X=1) = \binom{4}{1}(0.05)^1(0.95)^3 = 0.1715 \]
PROBABILIDAD DE UNA O MÁS CON IMPERFECCIONES
\[ P(X\ge1) = 1-P(X=0) = 1-0.8145 = 0.1855 \]
PROBLEMA 7
Los clientes llegan según un proceso Poisson con tasa de 8 por hora.
A) EXACTAMENTE CINCO CLIENTES ENTRE 8AM Y 9AM
En una hora, \(\lambda=8\):
\[ P(X=5) = \frac{8^5 e^{-8}}{5!} = 0.0916 \]
B) NO MÁS DE TRES CLIENTES ENTRE 2:30PM Y 3:30PM
También es un intervalo de una hora, \(\lambda=8\):
\[ P(X\le3) = 0.0424 \]
C) EXACTAMENTE DOS CLIENTES EN DOS HORAS CONTINUAS
En dos horas, \(\lambda = 8 \times 2 = 16\):
\[ P(X=2) = \frac{16^2 e^{-16}}{2!} = 0.0000144 \]
D) VALOR ESPERADO ENTRE 2PM Y 4:30PM (2.5 HORAS)
\[ E[X] = \lambda = 8 \times 2.5 = 20 \text{ clientes} \]
PROBLEMA 8
\(X \sim \text{Binomial}(n=20,\ p=0.9)\): número de semillas que germinan.
NÚMERO ESPERADO DE SEMILLAS QUE GERMINAN
\[ E[X] = np = 20(0.9) = 18 \text{ semillas} \]
¿HAY RAZÓN PARA SOSPECHAR DE LA CIFRA 90%?
Se calcula la probabilidad de que germinen 15 o menos, suponiendo que el 90% es correcto:
\[ P(X\le15) = 0.0432 \]
Respuesta: si realmente la tasa de germinación fuera del 90%, la probabilidad de que germinen 15 o menos semillas es de apenas 4.32%, un evento muy poco probable. Por lo tanto, si en la práctica solo germinan 15 o menos, sí hay razones para sospechar que la tasa real de germinación es menor al 90% anunciado.
PROBLEMA 9
100 preguntas de selección múltiple con 4 opciones, respondidas al azar (\(p=1/4=0.25\) de acertar cada una).
A) PROBABILIDAD DE APROBAR (MÍNIMO 60 CORRECTAS)
\(X \sim \text{Binomial}(n=100,\ p=0.25)\):
\[ P(X\ge60) = 1-P(X\le59) \approx 0 \]
Respuesta: la probabilidad es prácticamente cero (1.326717e-13). Respondiendo al azar es casi imposible aprobar un examen donde se necesitan 60 de 100 preguntas correctas.
B) PROBABILIDAD DE RESPONDER 10 PREGUNTAS HASTA LA PRIMERA CORRECTA
\(X \sim \text{Geométrica}(p=0.25)\):
\[ P(X=10) = (0.25)(0.75)^{9} = 0.0188 \]
C) PREGUNTAS ERRADAS ESPERADAS HASTA RESPONDER 5 CORRECTAS
\(X \sim \text{Binomial negativa}\), \(r=5\), \(p=0.25\). El número esperado de ensayos (preguntas totales) es \(E[X]=r/p\), y las preguntas erradas esperadas son \(E[X]-r\):
\[ E[X] = \frac{5}{0.25} = 20 \text{ preguntas en total} \]
\[ \text{Erradas esperadas} = 20-5 = 15 \]
PROBLEMA 10
\(X \sim \text{Poisson}(\lambda=15)\): número de microorganismos por muestra.
A) AL MENOS 17 MICROORGANISMOS
\[ P(X\ge17) = 1-P(X\le16) = 0.3359 \]
B) 18 O MENOS MICROORGANISMOS
\[ P(X\le18) = 0.8195 \]
C) EXACTAMENTE DOS MICROORGANISMOS
\[ P(X=2) = \frac{15^2 e^{-15}}{2!} = 0.0000344 \]
PROBLEMA 11
Avión de 100 asientos, 105 tiquetes vendidos, probabilidad de que una persona llegue es 0.90. \(X \sim \text{Binomial}(n=105,\ p=0.9)\): número de personas que llegan.
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS QUE LLEGUEN TENGAN ASIENTO
Se busca \(P(X\le100)\), es decir, que no lleguen más personas que asientos disponibles:
\[ P(X\le100) = 0.9833 \]
Respuesta: la probabilidad de que todas las personas que lleguen tengan asiento es del 98.33%.
PROBLEMA 12
Grietas en el pavimento: 1 grieta cada 100 m en promedio (proceso Poisson).
A) EXACTAMENTE 8 GRIETAS EN 500 M
En 500 m, \(\lambda = 5\):
\[ P(X=8) = \frac{5^8 e^{-5}}{8!} = 0.0653 \]
B) NINGUNA GRIETA EN 100 M
En 100 m, \(\lambda = 1\):
\[ P(X=0) = e^{-1} = 0.3679 \]
C) MENOS DE 2 GRIETAS EN 500 M
En 500 m, \(\lambda = 5\):
\[ P(X<2) = f(0)+f(1) = 0.0067+0.0337 = 0.0404 \]
PROBLEMA 13
92% de los sensores pasan la prueba. Se seleccionan 12 por turno. \(X \sim \text{Binomial}(n=12,\ p=0.92)\): número de sensores que pasan la prueba.
IDENTIFICACIÓN DEL MODELO
La variable corresponde a un conteo de éxitos (sensores aprobados) en un número fijo de ensayos independientes (12 sensores) con probabilidad de éxito constante (0.92), lo que corresponde exactamente a un modelo Binomial con \(n=12\) y \(p=0.92\).
DIRECTRIZ 1: REDUCIR INSPECCIONES SI P(LOS 12 PASAN) > 35%
\[ P(X=12) = (0.92)^{12} = 0.3677 \]
Decisión: como 36.77% > 35%, sí se cumple la condición para reducir la frecuencia de inspecciones.
DIRECTRIZ 2: ALTA CONFIABILIDAD SI P(AL MENOS 11 PASAN) > 70%
\[ P(X\ge11) = P(X=11)+P(X=12) = 0.7513 \]
Decisión: como 75.13% > 70%, sí se cumple la condición y el proceso se clasifica como de alta confiabilidad.
DIRECTRIZ 3: REVISIÓN PREVENTIVA SI P(2 O MÁS FALLAN) > 20%
Que fallen 2 o más de 12 equivale a que pasen 10 o menos:
\[ P(X\le10) = 0.2487 \]
Decisión: como 24.87% > 20%, sí se cumple la condición y se debería realizar una revisión preventiva de los equipos.
DIRECTRIZ 4: SEÑAL DE ALERTA SI P(MENOS DE 10 PASAN) < 10%
\[ P(X<10) = P(X\le9) = 0.0652 \]
Decisión: como 6.52% < 10%, sí se cumple la condición: si llegara a pasar que menos de 10 sensores aprueben la prueba, sería un evento poco común y debería tratarse como una señal de alerta para investigar el proceso.
RESUMEN DE DECISIONES
| Directriz | Probabilidad | Se cumple |
|---|---|---|
| Reducir inspecciones (12 pasan > 35%) | 0.3677 | Sí |
| Alta confiabilidad (≥11 pasan > 70%) | 0.7513 | Sí |
| Revisión preventiva (≤10 pasan > 20%) | 0.2487 | Sí |
| Señal de alerta (<10 pasan < 10%) | 0.0652 | Sí |
En conjunto, bajo las condiciones actuales del proceso (p=0.92), las cuatro directrices se cumplen: la empresa reduciría la frecuencia de inspecciones, clasificaría el proceso como de alta confiabilidad, realizaría una revisión preventiva de los equipos, y trataría un resultado de menos de 10 sensores aprobados como una señal de alerta.